浙教版八年级上册三角形初步知识复习

浙教版八年级上册数学第一章三角形的初步学问学问点及典型例题考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围考点三、推断一句话是否为命题，以及改成“假如……那么……〞的形式 考点四、利用角平分线、垂线〔90°角〕、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度 考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的根底之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及根本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题例1、两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？1、某一三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长的取值范围为〔 〕 A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的〔 〕A 、中线B 、高线C 、角平分线D 、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，那么这个三角形〔 〕A. 必定是钝角三角形B. 必定是直角三角形C. 必定是锐角三角形D. 不行能是锐角三角4、△ABC 的三个不相邻外角的比为2：3：4，那么△ABC 的三个内角的度数分别为 。

例2、如图，△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=C E ，∠1=∠2。

说明BE=CD 的理由。

【设计意图】本例主要考察了角平分线和三角形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决。

例3、AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和高线，且AB=7cm ，AC=5cm ，那么△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘米？△ACE 和△ABE 的面积之比为多少？【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。

第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、三角形全等的判定知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、 三角形的分类：(1)按角分类： (2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 （2）三角形的角平分线（3）三角形的高 4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形（1）三角形全等的判定 （SAS ） （ASA ） （AAS ） （SSS ） （HL ）（2）全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：（1）平移变换 （2）对称变换（3）旋转变换中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。

典例分析三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形例1、小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ， △ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 例3 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC例4 如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ，BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF .基础练习一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )A 、B 、C 、D 、 2、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、 3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角；C 、一个锐角，一个直角；D 、一个直角，一个钝角； 5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )A 、(1，3，2)B 、(3，4，5)C 、(23，24，25) D 、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A A A AB B B BC C C C E E EE BA CD EF 图1图2A 、115°B 、120°C 、125°D 、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块；8、如图4，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )A 、150°B 、130°C 、120°D 、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10、如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的 点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为( ) A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 二、耐心填一填(每小题3分，共30分)11、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3121，由此三角形是_______三角形；12、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--14、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 15、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________16、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ，∠BNA=_________度；17、如图9，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形；18、如图10，已知∠B=∠C ，AD=AE ，则AB=AC ，请说明理由(填空) 解：在△ABC 和△ACD 中， ∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________)12 3 4图3ABCED 图5ABCDO图6D AB EC 图7 A B CD N M 图8 A B C DE O图9 ABD图10ABEAE=________ (__________) ∴△ABE ≌△ACD (______________)∴AB=AC (______________________________) 19、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________； 20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：____________________； 三、细心做一做(共60分)24、(8分)某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。

浙教版八年级上数学知识点第一章 三角形的初步知识 复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、掌握三角形全等的判定方法 知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．2、 三角形的分类： (1)按角分类： (2)按边分类：三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A 三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形21DC BAD CB ADC BA3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的中线.=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：是△ABC 的BC 上的高线.⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180?;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7、全等三角形（1）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

A B C O B AC D E 三角形的初步知识一、选择题（每题3分，共30分）1、在△ABC 中，三个内角满足以下关系：C B A ∠=∠=∠3121，那么这个三角形是（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、任意三角形2、在下列长度的四根木棒中，能与4 cm, 9 cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A 、 4 cmB 、 5 cmC 、 9 cmD 、 13 cm3、如图，PD ⊥AB, PE ⊥AC, 垂足分别为D , E ，且AP 平分∠BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A 、SASB 、ASAC 、SSSD 、AAS4、下列说法错误的是（ ） A 、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形;B 、有两个角互余的三角形是直角三角形;C 、直角三角形只有一条高;D 、任何一个三角形中，最大角不小于60度.5、在下列条件中，不能说明△ABC ≌△A’B’C’的是（ ）A 、∠A=∠A ’, ∠B=∠B ’, AC =A ’C ’; B 、∠A=∠A ’, AB=A ’B ’, BC =B ’C ’C 、∠B=∠B ’, BC=B ’C ’, AB =A ’B ’;D 、AB=A ’B ’, BC=B ’C ’, AC =A ’C ’6、如图,AD, BE 都是△ABC 的高，则与∠CBE ） A. ∠ABE B. ∠BAD C. ∠DAC D. 以上都不是7、下列图中，正确画出AC 边上的高的是（ ） A B C D8、如图，在△A BC 中，AB=AC ，AB 的中垂线DE 交AC于点D ，交AB 于E 点，如果BC=10，△BDC 的周长为22，那么△ABC 的周长是（ ） A 、24 B 、30 C 、32 D 、349、如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点O ，且∠A ＝α，则∠BOC 的度数是（ ） A. 11802α︒- B. 1902α︒+ C. 1902α︒- D. 12α 10、如图，=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A ……（ ）A 、1800B 、2700C 、3600D 、4500二、填空题（每空3分，共24分） 11、如图（1）∠A ＝80º，∠2＝130º，则∠1＝_______º;B C A P D E B A A B E A B B E F A CB D12、如图（2）已知AC = BD，要使△A BC≌DCB，只需增加的一个条件是___________;13、三角形的两边长分别为2cm, 5cm，第三边长x cm也是整数，则当三角形的周长取最大值时 x 的值为__________；14、如图（5）△ABC的高AD和CE相交于点H，若∠B＝40º，则∠AHC＝_______º；15、如下图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，AD与CE相交于点P，已知∠APE=50º,∠AEP=80º, 则∠B＝________º16、在Rt△ABC中，∠C＝90º，CE是△ABC的中线，若AC=2.4cm, BC = 1.5cm, 则△AEC的面积为________.17、如下图，△ABC的面积为20㎝2，D、E、F分别为中点，则S△DFE= ㎝2。

期末复习(一) 三角形的初步知识01 知识结构三角形的初步知识⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧三角形的概念⎩⎪⎨⎪⎧三边关系内角和定理及其推论三角形的中线、高线、角平分线定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧命题的组成命题的分类全等图形→全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形的性质全等三角形的判定角平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理尺规作图02 重难点突破重难点1 三角形的三边关系【例1】 (萧山区期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是( B ) A.12 B.15 C.12或15 D.15或18 【方法归纳】 判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段.在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形.1.(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm 和7 cm ，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是( B )A.2 cmB.4 cmC.12 cmD.13 cm重难点2 三角形形内角和定理及其推论 【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于( A)A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【方法归纳】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义.平行线的性质等知识的运用.2.如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为( C )A.28°B.38°C.48°D.88°重难点3三角形的三条重要线段【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝41 4.【思路点拨】根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，从而S△BFC＝14S△ABC.3.在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝7_cm.4.(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF ＝∠CED ＝∠A ＋∠ACE ，∠ACE ＝180°－α－β2.所以∠CDF ＝180°＋α－β2.重难点4 线段垂直平分线与角平分线的性质【例4】 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于点E ，DE 垂直平分AB 于点D ，求证：BE ＋DE ＝AC .证明：∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC .∵ED ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ， ∴CE ＝DE ，∵DE 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE .∵AC ＝AE ＋CE ，∴BE ＋DE ＝AC . 【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长.5.如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，AB 的垂直平分线MP 交BC 于点P ，AC 的垂直平分线NQ 交BC 于点Q ，连结AP ，AQ ，若△APQ 的周长为20 cm ，则BC 为20cm .第5题图 第6题图6.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD ＝5，则△ABC 的面积为50.重难点5 全等三角形的性质与判定【例5】 已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.(1)求证：BD ＝CE ； (2)求证：∠M ＝∠N .【思路点拨】 (1)要证BD ＝CE ，可通过转化证△ABD ≌△ACE ，根据“SAS ”得证；(2)要证∠M ＝∠N ，可通过转化证△ACM ≌△ABN ，由(1)可知∠C ＝∠B .因为∠2＝∠1，所以∠CAM ＝∠BAN .再结合AB ＝AC ，即可根据“ASA ”得证.证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS ). ∴BD ＝CE .(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM .由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C .在△ACM 和△ABN 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAM ，∴△ACM ≌△ABN (ASA ). ∴∠M ＝∠N .【方法归纳】 三角形全等的证明思路：已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找另一边→SSS已知一边和一角 ⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS7.(成都中考)如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ＝24°，则∠B ＝120°.第7题图第8题图8.(杭州大江东区期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AF D.03备考集训一.选择题(每小题3分，共30分)1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C )A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，112.(嵊州校级期中)下列语句不是命题的是( B )A.两直线平行，同位角相等B.作直线AB垂直于直线CDC.若|a|＝|b|，则a2＝b2D.同角的补角相等3.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是( D )A.AB＝ACB.∠BAE＝∠CADC.BE＝DCD.AD＝DE第3题图第4题图4.(杭州大江东区期中)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( C )A.BC＝EC，∠B＝∠EB.BC＝EC，AC＝DCC.BC＝EC，∠A＝∠DD.∠B＝∠E，∠A＝∠D5.如图，将两根钢条AA′.BB′的中点O连在一起，使AA′.BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( A )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交A B.AC于点D.E，△BEC 的周长是14 cm，BC＝5 cm，则AB的长是( B )A.14 cmB.9 cmC.19 cmD.12 cm7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是( A )A.3B.4C.6D.5第7题图第8题图8.如图所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB 上的高，BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数为( B )A.120°B.135°C.125°D.130°9.(嵊州期末)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个第9题图第10题图10.(杭州大江东区期中)如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A.D.C三点，且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是( B )A.70B.74C.144D.148二.填空题(每小题4分，共24分)11.如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，则外角∠ACD＝121度.第11题图第12题图12.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为3.13.如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，AB＝8_cm.14.(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为40°，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个.15.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°或36°.16.如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出3个正确的命题.三.解答题(共46分)17.(10分)如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18.(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.解：设AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周长是3＋AD，则2x＋x＝3，解得x ＝1.∴AC ＝4－1＝3.若△ABD 的周长是4＋AD ，则2x ＋x ＝4， 解得x ＝43.∴AC ＝3－43＝53.综上，AC 边的长为3或53.19.(12分)如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，点D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE .DE .DC .(1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数.解：(1)证明：在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ＝90°，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS ).(2)∵在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°. ∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠AEB ＝∠BDC .∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝45°＋30°＝75°. ∴∠BDC ＝75°.20.(12分)(杭州青春中学期末)如图1，AB ＝4 cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3 cm .点P 在线段AB 上以1 cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动.它们运动的时间为t (s ).(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；(2)如图2，将图1中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变.设点Q 的运动速度为x cm /s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x .t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当t ＝1时，AP ＝BQ ＝1，BP ＝AC ＝3，在△ACP 和△BPQ 中，⎩⎨⎧AP ＝BQ ，∠A ＝∠B ＝90°，AC ＝BP ，∴△ACP ≌△BPQ (SAS ). ∴∠ACP ＝∠BPQ .∴∠APC ＋∠BPQ ＝∠APC ＋∠ACP ＝90°. ∴∠CPQ ＝90°， 即线段PC 与线段PQ 垂直. (2)①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，⎩⎨⎧3＝4－t ，t ＝xt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1. ②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ， ⎩⎨⎧3＝xt ，t ＝4－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32.综上所述，存在⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32，使得△ACP 与△BPQ 全等.。

第一章三角形的初步知识三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

注：三角形具有稳定性。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

3、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

4、三角形的面积 三角形的面积=21×底×高 注：同底等高的三角形面积相等。

三角形中的主要线段1、三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须八年级知识点总结明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

在以后我们可以给出具体证明。

今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。

第一章 三角形初步[定义与命题]定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

[证明]在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

[三角形]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形[三角形按边分类]三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 [三角形按内角分类] 三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角钝角三角形：有一个内角是钝角[三角形的性质]三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]顶角的角平分线：三条，交于一点三角形的中线：三条，交于一点三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置[全等形]能够完全重合的两个图形叫做全等形.[全等三角形]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.[全等三角形的性质]全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（AAS）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（HL）证明两个三角形全等的基本思路：方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS )找夹角（SAS )(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL )已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA )找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS )找一角(AAS )已知角是直角，找一边(HL )(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS )练习 [角平分线的作法]尺规作图 [角平分线的性质] 在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN[角平分线的判定]角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。