计算方法与实习 方程求根(二分法)

《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。

观察初值对收敛性的影响。

三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。

实验一 方程求根一、实验目的用不同方法求任意实函数方程f （x ）=0在自变量区间[a ，b]内或某一点附近的实根，并比较方法的优劣性。

二、实验方法 （1）二分法对方程f （x ）=0在[a ，b]内求根。

将所给区间二等分，在二分点x=(b-a)/2处判断是否f （x ）=0。

若是，则有根x=(b-a)/2；否则继续判断是否f(a)·f(b)<0,若是，则令b=x ，否则令a=x 。

重复此过程，直至求出方程f(x)=0在[a ，b]内的近似根为止。

（2）迭代法将方程f （x ）=0等价变换为x=φ（x ）的形式并建立相应的近似根为止。

（3）牛顿法设已知方程f （x ）=0的一个近似根x 0,则函数f （x ）在点x 0附近可用一阶泰勒多项式p 1（x ）=f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）来近似，因此方程f （x ）=0可近似表示为f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）=0。

设f ’（x 0）≠0，则 x=x 0-f （x 0）/’f （x 0）取x 作为原方程新的近似根x 1，然后再将x 1作为x 0代入上式。

迭代公式为 x k+1=x k -f （x k ）/f ’（x k ）三、实验内容1）在区间[0,1]内用二分法求方程e x +10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

2）取初值x0=0，用迭代公式x k+1=（2-e x k ）/10,(k=0,1,2,…)求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

3）取初值x 0=0用牛顿迭代法求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。

四、实验程序 （1）二分法（2）迭代法（3）牛顿法五、实验结果（仅供参考）（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0.09052六、结果分析由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=10次，迭代法要迭代k=4次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5×10-3的要求，而且方程e x+10x-2=0的精确解经计算，为0.0905250,由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。

二分法、试位法,牛顿法求方程的根二分法、试位法和牛顿法是求解方程根的常用数值方法。

一、二分法二分法是一种简单而有效的数值方法，它通过不断将区间一分为二来逼近方程的根。

它的基本思想是，如果在一个闭区间[a, b]内，函数f(x)在a和b两点的函数值f(a)和f(b)异号，那么函数在[a, b]内至少存在一个根。

算法步骤如下：1.初始化区间[a, b]和误差容限ε。

2.计算区间中点c=(a+b)/2。

3.如果f(c)=0或者(b-a)/2<ε，则停止迭代，c即为近似的根。

4.如果f(c)与f(a)异号，则根在[a, c]内，将b=c，否则根在[c,b]内，将a=c。

5.回到步骤2。

二、试位法试位法也是一种通过逼近来求解方程根的方法。

与二分法不同，试位法通过计算函数在两个点之间的插值点来逼近根。

它的基本思想是，如果在一个闭区间[a, b]内，函数f(x)在两个点a和b之间有一个变号点c，则函数在[a, b]内至少存在一个根。

算法步骤如下：1.初始化区间[a, b]和误差容限ε。

2.计算函数在区间[a, b]上的插值点c。

3.如果f(c)=0或者(b-a)/2<ε，则停止迭代，c即为近似的根。

4.如果f(c)与f(a)异号，则根在[a, c]内，将b=c，否则根在[c,b]内，将a=c。

5.回到步骤2。

三、牛顿法牛顿法又称为牛顿-拉弗森方法，它是一种通过不断迭代逼近根的方法。

牛顿法基于函数的局部线性近似，通过求导数来计算函数在当前近似根附近的切线与x轴的交点作为新的近似根。

算法步骤如下：1.初始化初始近似根x0和误差容限ε。

2.计算函数在当前近似根x的导数f'(x)。

3.如果f'(x)为0，则停止迭代，x即为近似的根。

4.计算函数在当前近似根x的函数值f(x)。

5.如果|f(x)|<ε，则停止迭代，x即为近似的根。

6.计算新的近似根x=x-f(x)/f'(x)。

《数值分析》实验报告一**: **学号: PB********实验一一、实验名称方程求根二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。

三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。

（一）二分法算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。

（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令)()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。

（二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。

（1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。

（2）计算)('/)(0001x f x f x x -=（3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。

（4）令 = ，转向（1）。

四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根,c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。

源程序：3.1.1.a#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a,b;double c,y,z;printf("plese input two number a and b:\n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001){z=1/a-tan(a);if(z*y<0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);}x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1}输入0 1.5707563( /2~1.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。

实验一 二分法求方程的根
一、实验题目
用二分法求方程的根
二、实验目的和意义
1、学习二分法求方程根的理论
2、利用该理论能够构造求解该类典型问题数值解的算
3、编程上机实现算法，在上机过程中加强对算法的理
4、应用算法去解决具体的非线性方程的求根问题
5、通过编程练习提高学生的程序设计能力。

三、实验要求
利用C 编写二分法的程序并利用编好的程序求解非线性方程f(x)＝0在区间[a,b]上的所有单重实根。

使误差不超过规定的要求。

1、根据算法理论编程，从a 开始以—个基本步长h 分隔，若一步前后的函数值yo 与y1等于零，则此小区问中必有一个实根。

把这个根的小区间记为[a,b]，计算f((a+b)/2)且比较y0，也能选出一个函数值异号的区间[a2,b2]。

再计算f((a2+b2)/2)且与y0比较，又能选出一个函数值异号的区间[a3,b3]。

重复上述二分法区间的过程，直到区间的最小长度小于给定的精度要求，则认为求得一个根；求出一个根后继续分隔，重复上述过程，直到求出[a,b]中全部实根为止。

2、利用已编程序解决实际问题
四、实验问题提出
对于给定的方程02010)(3=-+=x x x f ，试用二分法求在区间)2,1(之间的根，要求精度610-=ε。

五、实验源代码
六、实验结果
Root=
七、实验结果分析
1、算法简单直观，收敛性总能得到保证
2、不能求重根，计算速度较慢。

二分法求方程的实根一：实验目的 通过编程实现二分法，并利用所编程序求函数x e x y --=3在(0,1)的近似解,然后比较和计算器所求的结果，从理性和实践上认识两种计算方法。

二：基本原理连续函数的零点定理1、假定f(x)在区间（x ，y ）上连续 ， 先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2]。

2、假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①令a a =1,()11121,b a x b b +==,如果f(x)=0，该点就是零点。

如果0)()(1<x f a f ，则新的有根区间为[][]x a b a ,,122=；否则[][]122,,b x b a =。

此时有[][]2211,,b a b a ⊃，且()112221a b a b -=-。

对区间[]22,b a 重复上述做法多步有[][][][] n n b a b a b a b a ,,,,332211⊃⊃⊃且()a b a b n n n -=--121（式1）记*x 为0)(=x f 的根，我们有[]n n b a x ,*∈，即),3,2,1(* =≤≤n b x a n n 由（式1）及夹逼定理有:*lim lim x b a n n n n ==∞→∞→,实际计算时，当ε<-)(n n a b 时，取)(21*n n b a x +≈作为所求根近似值。

三：实验步骤1:建立如下函数文件f.m ：Function f=f(x)f=x e x --32:通过如下框图编写二分法程序：erfen.m开始输入f,a,b,delta计算fa,fb,fa*fbfa*fb>0计算最多二分次数max1计算c=(a+b)/2, fcfc=0fb*fc>0b=c,a=a a=c,b=b|a-b|<=0.0005结束是否是否是否是否(3)、在Matlab 命令窗口键入：[c,err,yc]=bisect(‘f ’,0,1,0.005)(4)、得出结果，并与计算器所得结果比较分析误差。

实验7二分法求方程的根实验7 二分法求方程的根一、问题：求324100x x +-=于区间[1,2]内的一个实根，且要求精确到0.001 二、算法：第一步：计算);(),(21b f y a f y ←←第二步：计算)(),(5.0000x f y b a x ←+←，若00ε<="" ，则输出0x="">否则转第三步; 第三步：若010<="" ，则置;,020y="">第四步; 第四步：若1ε>-a b 则转第二步;否则,输出0x 结束.三、练习编写程序或函数实现上以上区间的近似解，要求记录迭代次数。

函数或程序为：结果为：迭代次数为：四、逐步搜索法求方程根的存在区间在给定的区间[,]a b上判定根的大致分布，从区间左端点a出发，按某个预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，并记录所有的根的存在区间。

用你编写的程序搜索问题中[0,5]的根的存在区间，步长要求为0.1 h函数为：根的存在区间为：五、综合练习（选做）用逐步搜索法找到根的存在区间，并用二分法求出在该区间上方程根的近似解。

附：分组名单星期二下午5-6节第1组组长：陈絮莹缪妃何贵堂刘钰马倩第2组组长：李杰玉黎筱惠雷霞肖娴林碧珍朱元正第3组组长：陈静苏小丽李郑何淑楠田冬秀曾敬军第4组组长：杨欣王雪梅徐莉萍石小芳雷敏唐嘉第5组组长：杨佳悦郭滢李媛媛何可陈思露第6组组长：王钰琪寇玠杨丹熊晨曦周丹第7组组长：姚瑶高倩倩金杨周海宁杨琴第8组组长：雷芳陈艳王玉娇余非张雪王海燕星期三下午5-6节第9组组长：刘超慧王玉利秦佳丽张青梅廖婷程思远第10组组长：杨琴冯康欣黄宜纯田晓东郑美艳第11组组长：黄倩肖雪梅舒玉秀杨阳黄倩宋亚超第12组组长：乔欢曹人月万袁源刘学勤师小诚沈金勇第13组组长：张全兴程德超冯啸魏丹李茜罗凤菊第14组组长：张洋何婷婷刘云丹彭英萍马静第15组组长：杨丽王书琪袁杰宋慧玲杨璐萍李琳玲星期三下午7-8节第16组组长：李欢蒋书丽康斯梦王菊花李芝琴第17组组长：杨梅郑雨来李维刘玉兰羊玲第18组组长：左艳君古月黄文凤杨娟胡洲黄川第19组组长：吴星谭婷张欢向巧钱强陈虹弟第20组组长：曾大超胡敏马树述罗玉婷第21组组长：石章波拉吉石明岳榆川金小刚张泽松第22组组长：贾孙鹏袁鹏颜冬芹陈诚张博第23组组长：李自强黄金辉彭琦岳琪李宾李闯第24组组长：王文媛林小渝刘燕严英何思敏穆芦芸。

1 求下列方程的所有实根。

534221.204508967.8701231924.7590738320.6246081017.082712590x x x x x +--+-=1.1二分法计算该题1.1.1 确定区间[a,b].（1）用excel 进行计算出区间：最终确定区间范围是[1,2](2)作图法画出函数y=f(x)的大概图象，观察曲线y=f(x)与x 轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。

上图是大概的图形，由此确定区间为[1,2]经计算f(a)和f(b)得f(a)*f(b)<0，所以确定方程的根在[1,2]之间。

1.1.2算法过程设函数f （x ）在区间[1,2]上连续，且f(1)·f(2)<0根据连续函数的性质可知f(x)=0在[1,2]内一定有实根，并称[1,2]为方程f(x)=0的有根区间。

(1)取(a, b)的()k f x 中点，计算11()02a b f +=的值.若()02a b f +<，则2a b +为方程f(x)的根，计算结束.若()02a b f +¹，如果()2a b f +与f(a)同号,则记21b b =，1b b =如果11()2a b f +与f(a)异号,则记1a a =, 12a b b +=；(a1, b1)为新的有根区间， (a1,b1) (a,b)且进行下一步。

(2)取(a1, b1)的中点,计算112a b +的值.若11()02a b f +¹，则112a b +为方程f(x)=0的根，计算结束. 若11()02a b f +¹，如果11()2a b f +与f(a1)同号,则记112()2a b b f +=；21a a =；如果11()2a b f +与f(a1)异号,则记21a a =,112()2a b b f +=这时(a2, b2)为新的有根区间,(a2,b2)⊂ (a1,b1)⊂(a,b)且进行下一步。

1求下列方程的所有实根。

5342+--+-= x x x x x21.204508967.8701231924.7590738320.6246081017.082712590用二分法程序计算该题(1)该方程区间以确定为[1,2](2) 用程序中的x=(a+b)/2求区间(a,b)的中点x.(3) 判断根在那个区间(a) 若f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分,b=x;(b) 若f(a)*f(x)>0，则根在区间的右半部分,a=x;( b) fabs(b-a)>eps;判断结果是否达到精度要求,若没有达到,则返回前面继续执行；若达到精度,则取最后的小区间中点作为根的近似值x=(a+b)/2；（4）运行结果#include<stdio.h>#include <math.h>#define f(x) (pow(x,5)+21.20450896*pow(x,3)-7.87012319*pow(x,4)-24.75907383*x*x+20.6246 0810*x-17.08271259)void main(){ float a,b,x,eps;int k=0;printf("intput eps\n");/* 容许误差*/scanf("%f",&eps);printf("a,b=\n");for(;;){scanf("%f, %f",&a ,&b);if(f(a)*f(b)>=0) /* 判断是否符合二分法使用的条件*/printf("二分法不可使用,请重新输入:\n");else break;}do{ x=(a+b)/2;k++;if(f(a)*f(x)<0) /* 如果f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分*/b=x;else if(f(a)*f(x)>0) /* 否则根在区间的右半部分*/a=x;else break;}while(fabs(b-a)>eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/ x=(a+b)/2; /* 取最后的小区间中点作为根的近似值*/printf("\n The root is x=%f, k=%d\n",x,k);}。