反证法在多项式重因式与重根中的应用

㊀㊀㊀㊀㊀㊀浅谈反证法在高等代数中的应用浅谈反证法在高等代数中的应用Һ杜玉坤㊀（广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东㊀茂名㊀５２５２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ反证法作为一种数学的间接证明方法，是学生在学习数学的过程中必须要掌握的．本文主要阐述了反证法的概念及证题的一般步骤，并根据反证法的适用范围列举了一些实例探索其在高等代数中的应用，有助于培养学生的逻辑思维，同时提高学生的解题能力及学习的积极性．ʌ关键词ɔ反证法；高等代数；应用ʌ基金项目ɔ广东茂名幼儿师范专科学校２０２０年度教育科学 十三五 规划课题：反证法在‘高等代数“课程上的应用研究（２０２０ＧＭＹＳＫＴ０３）高等代数是数学专业的一门重要基础课程，它为学生深入学习其他相关专业课程奠定了基础，能够帮助数学相关专业的学生顺利完成由初等数学到高等数学的过渡．高等代数通过解决 多项式理论 矩阵 等基本问题来培养学生的逻辑思维能力以及创造力．进入师范专科学校学习的学生文化知识水平参差不齐，但普遍存在的一个现象是这些学生的数学基础较为薄弱，而高等代数比较抽象，使得他们在学习上必然会遇到阻碍．如何帮助学生走出学习高等代数的困境呢？反证法的教学不失为一种行之有效的方法．反证法也被称为 逆证 ，它是一种解决数学问题的间接论证的方法．牛顿曾说，反证法是数学家最精当的武器之一．数学家在很多数学命题中都使用到了反证法．比如，著名的古希腊数学家欧道克斯就通过运用反证法发现了无理数，还证明了 两个正多边形的面积之比等于其对应线段之比的平方 的结论．又如，古希腊数学家欧几里得运用反证法证明了 素数有无穷多 的结论．在常规的思维中，我们习惯用正面的思维去论证一个问题．实际上，并不是所有的数学问题都能用正向思维来解决．反证法反其道而行之，另辟蹊径，先假设结论的相对面成立，通过此条件推导得出与既定的定义㊁定理等存在矛盾的结论，则可证明之前的假设不成立，原结论便是成立的．对于反证法，虽然有 归谬法 穷举法 等多种不同说法，但它们最基本的核心是一样的，那就是 否定之否定 ．正如法国数学家阿达玛在‘初等数学教程“一文中指出，反证法的核心是若肯定定理的假设而否定其结论，则可以导致矛盾产生．使用反证法时，具体的证明命题的步骤如下：首先，否定命题的结论，做出相反的假设；其次，归谬，将反设结论作为已知条件，以此推导出其与既定的定理㊁公式或者题设里边的已知条件相矛盾；最后，反设为假，肯定原结论为真．反证法一般应用在正面直接论证或者反驳比较困难的命题中，如对于否定性命题㊁限制性命题㊁基本命题及无穷性命题，反证法就是一种行之有效的方法．在课堂教学实践中，我们选取高等教育出版社‘高等代数（第五版）“作为教材例子，书里的很多定理和习题的证明涉及反证法．比如，多项式理论㊁矩阵㊁向量空间㊁线性变换㊁欧氏空间㊁二次型等，几乎每一章的教学内容都会运用到反证法．反证法的有效使用，一方面可以培养学生的逆向逻辑思维，增强学生的创造性认识；另一方面可以提高学生的解题能力以及学习的积极性．下面笔者结合高等教育出版社‘高等代数（第五版）“中的一些具体实例，对反证法在解决高等代数问题时的应用进行初步探讨．一㊁反证法在多项式理论中的应用多项式 是高等代数的主要内容之一，此章节主要研究了多项式的一般理论和因式分解理论．对于一些基本命题或限制性命题，正面无法直接证明，此时可以运用反证法，能起到意想不到的效果．例１㊀求证：若ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０，则ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）中至少有一个为零多项式．证明㊀（运用反证法）假设ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都不是零多项式，则ｆ（ｘ）的次数大于零，ｇ（ｘ）的次数也大于零，则ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的次数大于零，故ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）不为零多项式，与ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０矛盾，故ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）中至少有一个为零多项式．分析㊀结论中含有 至少 至多 等词语的命题为限制性命题．例１中含有 至少 ，属于限制性命题，无法从正面直接证明，运用反证法可将复杂的情况变得易于理解．其中， 至少有一个为零多项式 的否定形式为 都不是零多项式 ．例２㊀求证：若多项式ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都与多项式ｈ（ｘ）互素，则这两个多项式的乘积ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）也与多项式ｈ（ｘ）互素．㊀㊀㊀㊀㊀证明㊀（运用反证法）假设这两个多项式的乘积ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）与多项式ｈ（ｘ）不是互素的，则由互素的定义可以知道存在不可约多项式ｐ（ｘ），使得ｐ（ｘ）整除ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），且ｐ（ｘ）整除ｈ（ｘ）．由于多项式ｆ（ｘ）与多项式ｈ（ｘ）互素，故存在多项式ｕ（ｘ）与ｖ（ｘ），使得ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｈ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１，在等式的两边同乘多项式ｇ（ｘ），得到ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）ｖ（ｘ）＝ｇ（ｘ）．由于ｐ（ｘ）整除ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），且ｐ（ｘ）整除ｈ（ｘ），故根据多项式整除的性质可以得到ｐ（ｘ）整除ｇ（ｘ），即ｐ（ｘ）为多项式ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）的公因式，故多项式ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）不是互素的，与已知条件多项式ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）互素相矛盾，故这两个多项式的乘积ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）也与多项式ｈ（ｘ）互素．分析㊀该命题属于基本命题，其能借助的条件只有多项式互素，从正面思考无从下手，那么可以从反面思考问题．由于无法直接证明多项式的乘积ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）与多项式ｈ（ｘ）互素，不妨假设ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）不是互素的，得到ｇ（ｘ）与ｈ（ｘ）不是互素的，这与已知条件相矛盾，故假设不成立．例３㊀设ｆ（ｘ）是实数域Ｒ上的多项式，ｐ（ｘ）是Ｒ上的不可约多项式，并且ｆ（ｘ）与ｐ（ｘ）在复数域Ｃ上有公共根α．求证：ｐ（ｘ）整除ｆ（ｘ）．证明㊀（运用反证法）设ｐ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ），则由ｐ（ｘ）的不可约性可知，在实数域Ｒ上ｐ（ｘ）与ｆ（ｘ）互素，从而在复数域Ｃ上ｐ（ｘ）与ｆ（ｘ）也是互素的．另一方面，因为ｆ（ｘ）与ｐ（ｘ）在复数域Ｃ上有公共根α，所以（ｘ－α）是ｐ（ｘ）与ｆ（ｘ）的公因式，因此ｐ（ｘ）与ｆ（ｘ）不是互素的，由于ｐ（ｘ）与ｆ（ｘ）互素，矛盾，故ｐ（ｘ）整除ｆ（ｘ）．分析㊀该命题属于基本命题．由于无法直接证明ｐ（ｘ）整除ｆ（ｘ），不妨假设ｐ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ），进而得到两个相互矛盾的结论，故假设不成立．二㊁反证法在矩阵中的应用矩阵是高等代数的基本内容和重要工具．在证明矩阵不可逆时，一般可以运用反证法，并利用矩阵可逆的性质，达到事半功倍的效果．例４㊀求证：若方阵Ａ不是单位矩阵，并且Ａ２＝Ａ，则矩阵Ａ不可逆．证明㊀（运用反证法）假设矩阵Ａ可逆，则Ａ－１Ａ２＝Ａ－１Ａ＝Ｉ，即Ａ为单位矩阵，与Ａ不是单位矩阵相矛盾，故矩阵Ａ不可逆．分析㊀该命题为否定性命题．直接证明矩阵Ａ不可逆比较困难，而假设矩阵Ａ可逆，则比较容易得出与已知条件相矛盾的结论．三㊁反证法在向量空间中的应用向量空间作为高等代数的基本概念之一，是后续章节学习的基础．本章有一些否定性命题㊁无穷性命题，常会用到反证法，推出相矛盾的结论．例５㊀设向量β可以由α１，α２， ，αｓ，γ线性表示，但不能由α１，α２， ，αｓ线性表示．求证：（１）向量γ可由向量组α１，α２， ，αｓ，β线性表示；（２）向量γ不能由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示．证明㊀（１）由于向量β可以由α１，α２， ，αｓ，γ线性表示，所以在数域中存在ｋ１，ｋ２， ，ｋｓ，ｋ，使得β＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｓαｓ＋ｋγ成立，ｋʂ０．事实上，假设ｋ＝０，则β可以由α１，α２， ，αｓ线性表示，这与β不能由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示相矛盾，所以γ＝１ｋβ－ｋ１ｋα１－ｋ２ｋα２－ －ｋｓｋαｓ，即向量γ可由向量组α１，α２， ，αｓ，β线性表示．（２）（运用反证法）假设向量γ可以由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示，由于向量β可以由向量组α１，α２， ，αｓ，γ线性表示，进而可以推得向量β可以由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示，这与β不能由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示相矛盾，故向量γ不能由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示．分析㊀反证法可以在解题的过程中应用．要证ｋʂ０，只需要假设ｋ＝０，得出与已知条件相矛盾的结论．第二问中是否定性命题，可假设向量γ能由向量组α１，α２， ，αｓ线性表示，得出与已知条件相矛盾的结论．例６㊀求证：Ｆ（ｘ）作为Ｆ上的向量空间由无限个多项式生成，因而是无限维向量空间．证明㊀（运用反证法）假设Ｆ（ｘ）是由有限个非零多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）生成的，令Ｔ是这ｓ个多项式中最大的次数，那么Ｆ（ｘ）中次数大于Ｔ的任意多项式都不能由这ｓ个多项式线性表示，这与假设相矛盾，故Ｆ（ｘ）作为Ｆ上的向量空间由无限个多项式生成，因而是无限维向量空间．分析㊀结论含有 无穷 无限 等词语的命题为无穷性命题．运用反证法，将无穷转化为有限，进而推出与已知条件相矛盾的结论．例７㊀设Ｖ是一个向量空间，且Ｖ不是零空间．求证：Ｖ不可能表示成它的两个真子空间的并集．证明㊀（运用反证法）假设Ｖ可以表示成它的两个真子空间的并集，即存在Ｖ的两个真子空间Ｗ１，Ｗ２使得Ｖ＝Ｗ１ɣＷ２．若Ｗ１⊂Ｗ２，则Ｗ１ɣＷ２＝Ｗ２，与Ｖ＝Ｗ１ɣＷ２矛盾．㊀㊀㊀㊀㊀㊀若Ｗ２⊂Ｗ１，则Ｗ１ɣＷ２＝Ｗ１，与Ｖ＝Ｗ１ɣＷ２矛盾．若Ｗ１，Ｗ２互不包含，则分别存在向量α，β使得α属于Ｗ１，但α不属于Ｗ２，β属于Ｗ２，但β不属于Ｗ１，则α＋β不属于Ｗ１．事实上，假设α＋β属于Ｗ１，由于α属于Ｗ１，进而由Ｗ１为子空间可以得到β＝（α＋β）－α也属于Ｗ１，与β不属于Ｗ１相矛盾．同理可证α＋β不属于Ｗ２，故α＋β不属于Ｗ１ɣＷ２，即α＋β不属于Ｖ．又由于α属于Ｗ１，β属于Ｗ２，故向量α，β都属于向量空间Ｖ，进而可以得到α＋β属于Ｖ，这与之前得出的结论α＋β不属于Ｖ相矛盾．综上所述，可知Ｖ不可能表示成它的两个真子空间的并集．分析㊀该命题为否定性命题．假设Ｖ能表示成它的两个真子空间的并集，并对两个真子空间是否有包含关系分三种情况进行讨论，分别得出矛盾．四㊁反证法在线性变换中的应用线性变换是高等代数的基本内容之一．在证明某一向量不是线性变换的本征向量时运用反证法，并利用本征值和本征向量的定义及线性变换的性质，可以得出与条件相矛盾的结论．例８㊀设向量α，β分别是线性变换σ属于不同本征值ｋ，ｌ的本征向量，则向量α＋β不是线性变换σ的本征向量．证明㊀（运用反证法）假设向量α＋β是线性变换σ属于本征值λ的一个本征向量，则由本征值的定义可以得到σ（α＋β）＝λ（α＋β）＝λα＋λβ．又由于α，β分别是线性变换σ属于不同本征值ｋ，ｌ的本征向量，故σ（α）＝ｋα，σ（β）＝ｌβ，进而由线性变换可以得到σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β）＝ｋα＋ｌβ．因此，有λα＋λβ＝ｋα＋ｌβ，即（λ－ｋ）α＋（λ－ｌ）β＝０，但线性变换属于不同本征值的本征向量是线性无关的，得到λ－ｋ＝λ－ｌ＝０，即ｋ＝ｌ，矛盾，故向量α＋β不是线性变换σ的本征向量．分析㊀该命题为否定性命题．假设向量α＋β是线性变换σ的本征向量，得到ｋ，ｌ是相等的，这与ｋ，ｌ是两个不同的数相矛盾，故假设不成立．五㊁反证法在欧式空间中的应用欧式空间由实数域上的向量空间引入内积得到，在数学中有着重要的应用．然而对于一些否定性命题，直接证明比较困难，运用反证法，从命题的反面出发，会较轻松地解决问题．例９㊀设α，β是ｎ维欧式空间Ｖ的两个不相等的单位向量，则（α，β）ʂ１．证明㊀（运用反证法）假设（α，β）＝１．由于α为单位向量，故可以把α扩充为ｎ维欧式空间Ｖ的一组规范正交基：α，ε２， ，εｎ．进而存在实数域上的一组数ｋ１，ｋ２， ，ｋｎ使得β＝ｋ１α＋ｋ２ε２＋ ＋ｋｎεｎ，所以（α，β）＝ｋ１，即ｋ１＝１．又由于β为单位向量，所以（β，β）＝１＋ｋ２２＋ ＋ｋ２ｎ＝１，进而推出ｋ２＝ ＝ｋｎ＝０．则可得到α与β是相等的，这与α，β是不相等的向量相矛盾，故（α，β）ʂ１．六㊁反证法在二次型中的应用二次型理论在数学的许多分支中有着重要的应用．对于一些基本命题，运用反证法，从相反的角度去思考问题，会达到事半功倍的效果．例１０㊀如果实二次型ｑ（ｘ１， ，ｘｎ）是半正定的，则实二次型的秩与其正惯性指数相等．证明㊀（运用反证法）设ｑ是半正定的，要使实二次型的秩与其正惯性指数相等，则ｑ的负惯性指数必须等于零，否则ｑ可以通过实非奇异线性变换Ｘ＝ＰＹ化为ｑ（ｘ１， ，ｘｎ）＝ｙ２１＋ ＋ｙ２ｐ－ｙ２ｐ＋１－ －ｙ２ｒ，其中ｐ＜ｒ．于是，当取ｙｒ＝１，而其余的ｙｉ＝０时，将由非奇异线性变换Ｘ＝ＰＹ所得相应的不全为零的实数ｘ１， ，ｘｎ代入上式，可以得到ｑ（ｘ１， ，ｘｎ）＝－１＜０．这与实二次型ｑ是半正定的相矛盾，故ｑ的负惯性指数必须等于零，即实二次型的秩与其正惯性指数相等．结㊀语反证法作为一种间接证明方法，是解决问题㊁发现问题的有力工具．我们在运用反证法时，需要对命题做出正确的反设，并且推导过程要准确合理．高等代数中的很多数学问题可以运用反证法来解决，但反证法并不是对所有的数学问题都适用，所以同学们要学会灵活运用，提高数学解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］刘晓翠．数学解题中的正难则反思想及其教学实践研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２０１４．［２］孙宗明．数学证明方法［Ｍ］．兰州：兰州大学出版社，１９９５．［３］杨子胥．高等代数精选题解［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８．［４］朱宝骧，郭金勇．反证法在高等代数中的应用［Ｊ］．柳州师专学报，２０１５（０３）：１１０－１１２，１５０．［５］徐德余．线性方程组理论在高等代数中的应用［Ｊ］．绵阳师范学院学报，２００８（１１）：１３－１９．［６］莫明忠．反证法在高等代数解题中的应用［Ｊ］．高等函授学报（自然科学版），２０１３（０１）：６４－６５．［７］张禾瑞，郝钅丙新．高等代数：第５版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．。

fx k p k 1 x p x g x p k x g x
p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。

它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。

引言反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。

反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。

它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。

根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

已知：∠A ，∠B ，∠C是三角形ABC 的三个内角。

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800。

所以 , n f - e2 - e f ≥ 0. ≥ 由 d 1 n - e + 1 , d 2 ≥n + e + f + 1 , 得 d = d 1 d 2 ≥( n - e + 1) ( n + e + f + 1)
= ( n + 1) 2 + ( nf - e2 - ef ) + f > ( n + 1) 2 .
矛盾 . 若 a2 < a1 , 同理可导出矛盾 .
3 在几何中的应用
例5 平面上有 n ( n ≥3 ) 个点 , 若经过 其中任意两个点的直线必过这 n 个点中的 第三个点 , 则这 n 个点都在同一条直线上 . 分析 :直接利用条件不知如何建构解题 思路 , 若换个角度 , 用反证法 , 在有了 n 个点 不共线这个条件以后 , 情况就大不一样了 . 证明 :假设这 n 个点 P1 , P2 , …, Pn 不在 一条直线上 . 设经过任意两点 Pi 、 Pj ( i ≠j ) 的直线为 l ij , 则在 l ij 之外一定存在已知点 . 设直线 l ij 之外的所有已知点到 l ij 的最短距 离为 d ij , d = min{ d ij } , 且设点 A 到过点 B 、
当 a1 = n 时 , d 1 > a1 , 得 d 1 ≥n + 1 . 由 a2 ≥n , 得 d 2 ≥n + 1 . 所以 , d = d 1 d 2 ≥( n + 1) 2 . 于是 , d = ( n + 1) 2 , d 1 = d 2 = n + 1 . 由 d 2 = n + 1 > a2 ≥a1 = n , 得 a2 = n . 所以 , b = c = n ( n + 1) , 矛盾 . 当 a1 < n 时 , 设 a1 = n - e , 则有