数据结构时间复杂度的计算

c++计算时间复杂度的技巧（原创实用版4篇）目录（篇1）一、引言二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算2.递归调用的计算3.函数调用的计算三、计算时间复杂度的技巧和注意事项1.忽略常数项和次要项2.关注最高次项的阶数3.考虑最坏情况四、总结正文（篇1）一、引言在 C++编程中，时间复杂度是用来衡量算法效率的重要指标，它能帮助我们了解程序在运行时所需的时间资源。

掌握计算时间复杂度的技巧，能更好地优化程序性能，提高代码质量。

本文将介绍 C++计算时间复杂度的方法及一些技巧和注意事项。

二、C++中计算时间复杂度的方法1.循环次数的计算在 C++中，循环是造成时间复杂度的主要因素。

通过分析循环语句的执行次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppfor (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 操作}}```在这个例子中，有两个嵌套循环，外层循环执行 n 次，内层循环也执行 n 次，因此总执行次数为 n^2，时间复杂度为 O(n^2)。

2.递归调用的计算递归调用也会对时间复杂度产生影响。

通过分析递归调用的次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppvoid recursiveFunction(int n) {if (n == 1) {return;} else {recursiveFunction(n / 2);// 操作}}```在这个例子中，递归函数 recursiveFunction(n) 会调用自身 n-1次，因此时间复杂度为 O(n)。

3.函数调用的计算在 C++中，函数调用也是影响时间复杂度的一个因素。

通过分析函数调用的次数，可以计算出时间复杂度。

例如，以下代码：```cppvoid function1(int n) {function2(n);}void function2(int n) {// 操作}int main() {function1(n);}```在这个例子中，函数 function1(n) 调用函数 function2(n) 一次，函数 function2(n) 执行 n 次操作，因此总执行次数为 n，时间复杂度为 O(n)。

数据结构时间复杂度总结在计算机程序设计中，数据结构是一种用来组织和存储数据的方式，它可以使数据的访问、插入、删除等操作更加高效。

而在进行数据结构的设计和实现时，时间复杂度是一个非常重要的指标，它可以衡量程序的性能和效率。

因此，本文将对常见的数据结构进行时间复杂度总结。

一、数组数组是一种最基本的数据结构，它可以存储相同类型的数据，并且可以通过下标来访问数组中的元素。

在数组中，访问元素的时间复杂度为O(1)，插入和删除的时间复杂度为O(n)。

二、链表链表是一种线性的数据结构，它由多个节点组成，每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针。

在链表中，访问元素的时间复杂度为O(n)，插入和删除的时间复杂度为O(1)。

三、栈栈是一种数据结构，它可以存储相同类型的数据，并且只能在栈顶进行插入和删除操作。

在栈中，访问栈顶元素的时间复杂度为O(1)，插入和删除的时间复杂度也为O(1)。

四、队列队列是一种线性的数据结构，它可以存储相同类型的数据，并且只能在队尾进行插入操作，在队首进行删除操作。

在队列中，访问队首元素的时间复杂度为O(1)，插入和删除的时间复杂度也为O(1)。

五、堆堆是一种特殊的树形数据结构，它可以快速找到最大或最小元素，并且可以在O(log n)的时间复杂度内插入和删除元素。

六、哈希表哈希表是一种使用哈希函数将键映射到值的数据结构，它可以在O(1)的时间复杂度内进行插入、删除和查找操作。

七、树树是一种类似于链表的数据结构，它由多个节点组成，每个节点包含一个数据元素和多个指向子节点的指针。

在树中，访问节点的时间复杂度为O(n)，插入和删除的时间复杂度为O(log n)。

综上所述，不同的数据结构在访问、插入和删除操作上都有不同的时间复杂度，我们在进行程序设计时需要根据实际情况选择合适的数据结构以及相应的算法，以达到最优的程序性能和效率。

数据结构时间复杂度的计算数据结构的时间复杂度是衡量算法性能的重要指标，它描述了算法执行所需的时间随输入规模增长而变化的规律。

在计算时间复杂度时，我们通常关注最坏情况下算法的执行时间。

以下是常见数据结构的时间复杂度计算方法及其分析：1. 数组（Array）：-访问指定位置的元素：O(1)-查找指定元素：O(n)-插入或删除元素：O(n)数组的访问和插入/删除元素的时间复杂度取决于元素的位置。

如果位置已知，访问和插入/删除元素的时间复杂度为常数；但如果需要查找元素的位置，时间复杂度为线性。

2. 链表（Linked List）：-插入或删除头节点：O(1)-插入或删除尾节点：O(n)-查找指定元素：O(n)链表的插入/删除头节点和访问指定元素的时间复杂度为常数，而插入/删除尾节点的时间复杂度为线性。

3. 栈（Stack）：-入栈：O(1)-出栈：O(1)-查看栈顶元素：O(1)栈的操作都是在栈顶进行，因此时间复杂度都为常数。

4. 队列（Queue）：-入队：O(1)-出队：O(1)-查看队首元素：O(1)队列操作也都是在固定的位置进行，所以时间复杂度为常数。

5. 哈希表（Hash Table）：-插入或删除元素：O(1)-查找指定元素：O(1)（平均情况），O(n)（最坏情况）哈希表的插入/删除操作的平均时间复杂度为常数，但在最坏情况下，哈希冲突可能导致查找元素的时间复杂度变为线性。

6. 二叉树（Binary Tree）：- 查找指定元素：O(log n)（平均情况），O(n)（最坏情况）- 插入或删除节点：O(log n)（平均情况），O(n)（最坏情况）二叉树的查找、插入和删除涉及到对树的遍历，所以时间复杂度与树的深度相关。

在平衡二叉树中，树的深度是对数级的；但在非平衡二叉树中，最坏情况下时间复杂度可能退化为线性。

7. 堆（Heap）：- 插入元素：O(log n)- 删除堆顶元素：O(log n)-查找堆中最大/最小元素：O(1)堆的插入和删除操作需要对堆进行调整以保持其性质，时间复杂度与堆的高度有关，因此为对数级。

数据结构习题及答案第1章算法一、选择题1.算法的时间复杂度是指（）。

A）执行算法程序所需要的时间B）算法程序中的指令条数C）算法执行过程中所需要的基本运算次数D）算法程序的长度2.算法的空间复杂度是指（）。

A）算法程序的长度B）算法程序所占的存储空间C）算法执行过程中所需要的存储空间D）算法程序中的指令条数3.下面（）的时间复杂度最好（即执行时间最短）。

logn)O(）O(n ) B）A2logn2 ) D）O(n)C）O(n24.下面累加求和程序段的时间复杂度为（）。

int sum(int a[],int n){int i, s=0;for (i=0;i<n;i++)< p="">s+=a[i];return s;}logn ) ）O(A）O(1 ) B22)）O(nC）O(n ) D中的算法，c[][]相加的结果存放到b[][]n阶矩阵5.下面是将两个n阶矩阵a[][]与。

该算法的时间复杂度为（）void matrixadd(int a[][],intb[][],c[][],int n){int i,j;for (i=0;i<n;i++)< p="">for(j=0;j<n;j++)< p="">c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];}nlog) ）O(1 ) B）O(A22) ）O(nO( n ) DC）。

6.下面程序段的时间复杂度为（） 1int i=0,s1=0,s2=0;while(i<n)< p="">{if(i%2)s1+=i;elses2+=i;i++;}nlog) O(A）O(1 ) B）22) ）O(nC）O(n ) D ）。

7.下面程序段的时间复杂度为（int prime(int n){int i=1;int x=(int)sqrt(n);while(i<=x){i++;if(n%i==0)break;}if(i>x)return 1;elsereturn 0;}nlog) O(O(1 ) BA））2n) O(）CO(n ) D））下面程序段的时间复杂度为（8.int fun(int n){int i=1,s=1;while(s<n)< p="">{i++;s+=i;}return i;}nlog)O(n/2) BA））O(2 2n) ）O(C）O(n ) D9.下面程序段的时间复杂度为（）int i,j,m,n,a[][];for(i=0;i<m;i++)< p="">for(j=0;j<n;j++)< p="">a[i][j]=i*j;22) ）O(nA）O(m) BO(m+n) ）C）O(m*n ) D ）10. 下面程序段的时间复杂度为（int sum1(int n){int i,p=1,s=0;for(i=1;i<=n;i++){p*=i;s=s+p;}return s;}nlog) ）O(A）O(1 ) B22)O(n ) D）O(nC）二、填空题复杂度。

路由算法中的Dijkstra算法实现原理路由算法是计算机网络中的一项重要技术，它指导着数据在网络中的传输过程。

路由算法中的Dijkstra算法是其中一种比较常用的算法，它通过计算最短路径来选择数据传输方案，进而实现高效稳定的数据传输。

本文将详细介绍Dijkstra算法的实现原理。

一、Dijkstra算法的概述Dijkstra算法是一种用于计算带权图最短路径的算法。

它的基本思想是：维护一个当前已知的最短路径集合S和距离源点最短的节点v，然后以v为基础扩展出一些新的节点，并计算这些节点到源点的距离并更新路径集合S。

重复这一过程，一直到源点到所有节点的最短路径集合已经确定为止。

该算法求解的是一个有向带权图中一个节点到其他所有节点的最短路径问题，其中「带权」表示图的边权值是一个非负实数。

二、Dijkstra算法的实现Dijkstra算法可以使用多种数据结构的实现，常见的有数组、链表、堆等。

这里我们以使用优先队列为例进行实现。

首先，定义一个数组distance用于存储源点至所有节点的最短距离。

初始状态下，将源点与其它节点的距离初始化为正无穷大。

同时，构建一个优先队列，用于维护已经遍历过的节点。

具体实现过程如下：1. 初始化distance数组和优先队列。

将源点源加入优先队列中，与源点相邻的节点按照距离增序加入队列中。

2. 从队列中取出距离源点最短的节点u，然后遍历所有与节点u相邻的节点v。

通过计算distance[u] + w(u,v)可得到源点到节点v的距离。

如果这个距离比已经存储在distance[v]中的距离更短，则更新distance[v]的值，同时将节点v加入到优先队列中。

3. 重复步骤2，直到所有节点都已经加入到队列中，并且所有节点的最短路径都已经被确定。

三、Dijkstra算法的时间复杂度分析Dijkstra算法的时间复杂度主要取决于寻找当前距离源点最短的节点的过程。

如果使用数组实现，该过程的时间复杂度为O(n^2)，n为节点数量。

【数据结构】队列实现的5种⽅式及时间复杂度对⽐分析1. 使⽤数组实现⼀个简单的队列/*** ===========================* 队列⾸部 00000000000000000000000000 队列尾部* ===========================*/public class ArrayQueue<Element> implements Queue<Element>{// 通过内部的array来实现private Array<Element> array;// 构造函数public ArrayQueue(int capacity){this.array = new Array<>(capacity);}// 默认的构造函数public ArrayQueue(){this.array = new Array<>();}@Overridepublic int getSize() {return this.array.getSize();}@Overridepublic boolean isEmpty() {return this.array.isEmpty();}public int getCapacity(){return this.array.getCapacity();}@Overridepublic void enqueue(Element element) {// 进⼊队列(数组的末尾来添加元素)this.array.addLast(element);}@Overridepublic Element dequeue() {// 出队列(删除最后⼀个元素)，数组的第⼀个元素return this.array.removeFirst();}@Overridepublic Element getFront() {// 获取第⼀个元素(对⾸部的第⼀个元素)return this.array.getFirst();}@Overridepublic String toString(){StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();// 使⽤⾃定义的⽅式实现数组的输出stringBuilder.append("Queue:");// 开始实现数组元素的查询stringBuilder.append("front [");for (int i = 0; i < this.array.getSize(); i++) {stringBuilder.append(this.array.get(i));// 开始实现数组元素的回显(只要下表不是最后⼀个元素的话，就直接输出这个元素)if (i != this.array.getSize()-1)stringBuilder.append(", ");}stringBuilder.append("] tail");// 实现数组元素的输出return stringBuilder.toString();}}2. 使⽤数组实现⼀个循环队列（维护⼀个size变量）/*** 循环队列的⼏个要点：* 1. tail = head 说明队列就是满的* 2. 循环队列需要空出来⼀个位置*/public class LoopQueue<E> implements Queue {private E[] data;private int head; // ⾸部指针private int tail; // 尾部指针private int size; // 可以通过head以及tail的位置情况去计算size的⼤⼩【注意是不能直接使⽤getCapacity的】// 实现循环队列public LoopQueue() {// 设置⼀个队列的默认的⼤⼩this(10);}// 循环队列的实现public LoopQueue(int capacity) {this.data = (E[]) new Object[capacity + 1];// 需要多出来⼀个this.head = 0;this.tail = 0;this.size = 0;}@Overridepublic int getSize() {// 计算容量⼤⼩return this.size;}// capacity表⽰的这个队列中最⼤可以容纳的元素个数【这是⼀个固定值】@Overridepublic int getCapacity() {// 由于队列默认占了⼀个空的位置，因此sizt = this.length-1return this.data.length - 1;}// 当head和tail的值相同的时候队列满了public boolean isEmpty() {return head == tail;}@Overridepublic void enqueue(Object value) {// 1. 开始判断队列有没有充满, 因为数组的下表是不会改变的，所以这⾥需要以数组的下标为⼀个参考点，⽽不是this.data.length-14if ((tail + 1) % this.data.length == head) {// 2. 开始进⾏扩容, 原来的⼆倍, 由于默认的时候已经⽩⽩浪费了⼀个空间，因此这⾥就直接扩容为原来的⼆倍即可resize(2 * getCapacity());}// 2. 如果没有满的话，就开始添加元素this.data[tail] = (E) value;// 3. 添加完毕之后(tail是⼀个循环的位置，不可以直接相加)// this.tail = 2;this.tail = (this.tail+1) % data.length; // data.length对于数组的下标// int i = (this.tail + 1) % data.length;// 4. 队⾥的长度this.size++;}/*** 开始resize数组元素** @param capacity*/private void resize(int capacity) {// 开始进⾏数组的扩容// 1. 创建⼀个新的容器(默认多⼀个位置)E[] newData = (E[]) new Object[capacity + 1];// 2. 开始转移元素到新的容器for (int i = 0; i < size; i++) {int index = (head + i) % data.length;newData[i] = data[index];}// 添加完毕之后，开始回收之前的data，data⾥⾯的数据⼀直是最新的数据this.data = newData; // jvm的垃圾回收机制会⾃动回收内存data// 3. 添加完毕this.head = 0;// 4. 指向尾部this.tail = size;}@Overridepublic Object dequeue() {// 1. 先来看下队列中有没有元素数据if (this.size == 0)throw new IllegalArgumentException("Empty queue cannot dequeue!");// 2. 开始看⼀下内存的⼤⼩Object ret = this.data[head];// 3. 开始删除数据this.data[head] = null;// TODO 注意点：直接使⽤+1⽽不是使⽤++// 4. 开始向后移动，为了防⽌出错，尽量使⽤ this.head+1来进⾏操作，⽽不是使⽤ this.haad++, 否则可能会出现死循环的情况【特别注意】 this.head = (this.head+1) % data.length;// 5. 计算新的容量⼤⼩this.size--;// 6. 开始进⾏缩容操作， d当容量为1， size为0的时候，就不需要缩⼩容量、、if (this.size == this.getCapacity() / 4)// 缩⼩为原来的⼀半⼤⼩的容量resize(this.getCapacity() / 2);// 获取出队列的元素return ret;}@Overridepublic Object getFront() {// 由于front的位置⼀直是队列的第⼀个元素，直接返回即可if (this.size == 0)throw new IllegalArgumentException("Empty queue cannot get element!");return this.data[head];}@Overridepublic String toString() {StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();stringBuilder.append(String.format("Array : size=%d, capacity=%d; ", size, getCapacity()));stringBuilder.append("LoopQueue head [");// 第⼀个元素在head的位置，最后⼀个元素在tail-1的位置// 注意循环队列的遍历⽅式，是⼀个循环for (int i = this.head; i != tail; i = (i+1) % data.length) {stringBuilder.append(data[i]);// 只要不是最后⼀个元素的话, 由于循环条件中已经规定了i!=tail, 因此这⾥是不能直接这样来判断的if ((i+1)%data.length == this.tail) {// 此时就是最后⼀个元素} else {stringBuilder.append(", ");}}stringBuilder.append("] tail");return stringBuilder.toString();}}3.使⽤数组实现⼀个循环队列（不维护size变量）/*** 使⽤数组实现⼀个循环队列的数据结构*/public class WithoutSizeLoopQueue<E> implements Queue<E> {private E[] data;private int head;private int tail;public WithoutSizeLoopQueue(int capacity) {// 泛型不能直接被实例化，由于循环队列默认会空出来⼀个位置，这⾥需要注意this.data = (E[]) new Object[capacity + 1];this.head = 0;this.tail = 0;}public WithoutSizeLoopQueue() {this(10);}@Overridepublic int getSize() {// 计算数组的元素个数if (tail >= head) {return tail - head;} else {int offSet = head - tail;return this.data.length - offSet;}}@Overridepublic int getCapacity() {return data.length - 1;}@Overridepublic void enqueue(E value) {// 开始进⼊队列// 1. 先来看下队列有没有满if ((tail + 1) % data.length == head)// 开始扩⼤容量resize(2 * getCapacity());// 2. 开始进⼊队列data[tail] = value;// 3. 开始移动下标tail++;// 4. 开始更新容量【没必要】}public void resize(int newCapacity) {// 1. 更新为新的容量E[] newData = (E[]) new Object[newCapacity + 1];// 2. 开始转移数据到新的数组中去for (int i = 0; i < getSize(); i++) {newData[i] = data[(i + head) % data.length];}// 3. 销毁原来的数据信息data = newData;// 【错误警告】bug：移动到新的这个数组⾥⾯之后，需要重新改变head和tail的位置【bug】tail = getSize(); // 尾部节点始终指向最后⼀个元素的后⾯⼀个位置，此时如果直接使⽤getSize实际上获取到的是上⼀次的元素的个数，⽽不是最新的元素的个数信息（需要放在前⾯，否在获取到的size就不是同⼀个了，特别重要） head = 0; // 头节点指向的是第⼀个元素// 4. 直接销毁newData = null;}@Overridepublic E dequeue() {// 1.先来看下队列是否为空if (getSize() == 0)throw new IllegalArgumentException("Empty queue cannot dequeue!");// 2.开始出head位置的元素E value = data[head];// 3. 删除元素data[head] = null;// 4. 移动headhead = (head+1) % data.length;// 此时需要进⾏⼀次判断if (getSize() == getCapacity() / 4 && getCapacity() / 2 != 0)resize(getCapacity() / 2);// 如果数组缩⼩容量之后，这⾥的return value;}@Overridepublic E getFront() {return dequeue();}@Overridepublic String toString(){// 开始遍历输出队列的元素StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();stringBuilder.append(String.format("LoopQueue: size = %d, capacity = %d\n", getSize(), getCapacity())); stringBuilder.append("front ");// 从head位置开始遍历for (int i = head; i != tail ; i = (i+1) % data.length) {stringBuilder.append(data[i]);if ((i + 1) % data.length != tail)stringBuilder.append(", ");}return stringBuilder.append(" tail").toString();}}4. 使⽤链表实现⼀个队列/*** 使⽤链表实现的队列*/public class LinkedListQueue<E> implements Queue<E>{// 这是⼀个内部类，只能在这个类的内部可以访问（⽤户不需要了解底层是如何实现的）private class Node {// ⽤于存储元素public E e;// ⽤于存储下⼀个节点public Node next;public Node(E e, Node next) {this.e = e;this.next = next;}public Node(E e) {this(e, null);}public Node() {this(null, null);}@Overridepublic String toString() {return e.toString();}}// 定义队列需要的参数private Node head, tail;private int size;public LinkedListQueue(){this.head = null;this.tail = null;this.size = 0;}@Overridepublic int getSize() {return this.size;}public boolean isEmpty(){return this.size == 0;}@Overridepublic int getCapacity() {return 0;}/*** ⼊队* @param value*/@Overridepublic void enqueue(E value) {// ⼊队从尾部开始if (tail == null){// 1. 如果此时没有元素的话tail = new Node(value);head = tail;}else {// 2. 如果已经存在了元素，那么队列尾部肯定是不为空的，⽽是指向了⼀个空节点tail.next = new Node(value);// 移动尾节点tail = tail.next;}size++;}/*** 出队* @return*/@Overridepublic E dequeue() {if (isEmpty())throw new IllegalArgumentException("Empty queue cannot dequeue!");// 1. 存储出队的元素Node retNode = head;// 2.head节点下移动head = head.next;// 3.删除原来的头节点retNode.next = null; // 实际上删除的是这个节点的数据域// 如果删除了最后⼀个元素之后if (head == null)tail = null;size--;return retNode.e;}@Overridepublic E getFront() {if (isEmpty())throw new IllegalArgumentException("Empty queue cannot dequeue!");return head.e;}@Overridepublic String toString(){StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();Node cur = head;stringBuilder.append("head:");// 1. 第⼀种循环遍历的⽅式, 注意这⾥判断的是每⼀次的cur是否为空，⽽不是判断cur.next，否则第⼀个元素是不能打印输出的 while (cur != null) {stringBuilder.append(cur + "->");// 继续向后移动节点cur = cur.next;}stringBuilder.append("NULL tail");return stringBuilder.toString();}}5. 使⽤⼀个带有虚拟头结点的链表实现⼀个队列/*** 带有虚拟头结点的链表实现的队列*/public class DummyHeadLinkedListQueue<E> implements Queue<E> {// 这是⼀个内部类，只能在这个类的内部可以访问（⽤户不需要了解底层是如何实现的）private class Node {// ⽤于存储元素public E e;// ⽤于存储下⼀个节点public Node next;public Node(E e, Node next) {this.e = e;this.next = next;}public Node(E e) {this(e, null);}public Node() {this(null, null);}@Overridepublic String toString() {return e.toString();}}// 定义⼀个虚拟头结点private Node dummyHead, tail;private int size;public DummyHeadLinkedListQueue(){this.dummyHead = new Node(null, null);this.tail = null;this.size = 0;}@Overridepublic int getSize() {return this.size;}public Boolean isEmpty(){return this.size == 0;}@Overridepublic int getCapacity() {throw new IllegalArgumentException("LinkedList cannot getCapacity!");}@Overridepublic void enqueue(E value) {// 开始⼊队列(从队列的尾部进⾏⼊队列)// 1. 构造插⼊的节点Node node = new Node(value);// 2. 尾部插⼊节点 //bug : 由于默认的时候 tail为null，此时如果直接访问tail.next 是错误的if (tail == null) {dummyHead.next = node;// 说明此时队列为空的tail = node;} else {tail.next = node;// 3. 尾部节点向后移动tail = tail.next;}// 4. 队列长度增加size++;}@Overridepublic E dequeue() {// 元素出队列从链表的头部出去// 1. 获取头结点的位置Node head = dummyHead.next;// 缓存出队的元素Node retNode = head;// 2. 移动节点dummyHead.next = head.next;// 4. 更新容量size--;head = null;if (isEmpty())tail = null; // bug修复return (E) retNode;}@Overridepublic E getFront() {return null;}@Overridepublic String toString(){StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();stringBuilder.append("Queue head:");Node cur = dummyHead.next;while (cur != null){stringBuilder.append(cur + "->");cur = cur.next;}return stringBuilder.append("null tail").toString();}}以上就是创建队列实现的5中⽅式，每种⽅式都有各⾃的特点，就做个简单总结吧！ 队列的时间复杂度分析：+ 队列Queue[数组队列]void enqueue(E) O(1) 均摊复杂度E dequeue() O(n) 移出队列⾸部的元素，需要其他元素向前补齐E getFront() O(1)void dequeue() O(1)Int getSize() O(1)bool isEmpty() O(1)+ 循环队列void enqueue(E) O(1) 均摊复杂度E dequeue() O(1)E getFront() O(1)void dequeue() O(1)Int getSize() O(1)bool isEmpty() O(1)以上就是对于队列实现的⼏种⽅式的总结了。

数据结构-阶段测评11.单选题1.15.0计算机识别、存储和加工处理的对象被统称为(A ) 您答对了• a数据•• b数据元素•• c数据结构•• d数据类型•本题考核数据的基本概念1.25.0非空的循环单链表head的尾结点（由p所指向）满足（C）。

您答对了• ap->next==NULL•• bp==NULL•• cp->next==head•• dp==head•本题考核循环单链表的基本特点。

1.35.0若长度为n的线性表采用顺序存储结构存储，在第i个位置上插入一个新元素的时间复杂度为（A）。

您答对了• aO(n)•• bO(1)•• cO(n2)•• dO(n3)•本题考核顺序表的插入运算的时间复杂度。

1.45.0下面程序段中a[i][j]=0语句执行的时间复杂度是( D)。

for(i=0;i<n;i++)for(j=1;j<m;j++)a[i][j]=0；您答对了• aO(n)•• bO(m+n+1)•• cO(m+n)•• dO(m*n)•本题考核时间复杂度的计算方法1.55.0在一个具有n个结点的有序单链表中插入一个新结点并保持单链表仍然有序的时间复杂度是（B）。

您答对了• aO(1)•• bO(n)•• cO(n2)•• dO(nlog2n)•因要保持有序，所以需要查找插入结点的位置，而在链表中查找结点位置的时间复杂度为O(n)，所以本题选B。

1.65.0在一个长度为n的顺序表中删除第i个元素（1<=i<=n）时，需向前移动（A）个元素。

您答对了• an-i•• bn-i+1•• cn-i-1•• di•考核顺序表的基本操作1.75.0设顺序表有10个元素，则在第5个元素前插入一个元素所需移动元素的个数为（ B）。

您答对了• a5•• b6•• c7•• d9•在第5个元素前插入元素需要将第5个元素开始的所有元素后移，所以本题答案为B。

1.85.0算法指的是（D ）。

计算机算法的设计与复杂度分析计算机算法的设计与复杂度分析是计算机科学领域的重要研究方向。

算法设计是指根据特定的问题需求和约束条件，提出一种计算机程序的设计方法，以解决该问题并达到预期的效果。

复杂度分析是评估算法的效率和性能的过程，它衡量了算法解决问题所需的计算资源和时间。

本文将介绍计算机算法设计的基本原则和常见的复杂度分析方法。

一、算法设计的基本原则在进行计算机算法设计时，我们应该遵循以下基本原则来确保算法的正确性和高效性。

1. 明确问题需求：在开始设计算法之前，我们应该清晰地理解问题的需求和约束条件。

只有通过准确地定义问题，才能设计出相应的算法。

2. 模块化设计：将算法分解为多个独立的模块，每个模块负责一个特定的任务。

这样可以简化算法的设计和实现过程，并提高代码的可读性和可维护性。

3. 选择适当的数据结构：合适的数据结构能够更有效地处理算法涉及到的数据。

我们应该根据问题的特点选择最适合的数据结构，如数组、链表、栈、队列、树等。

4. 使用适当的算法策略：针对不同的问题，我们应该选择适当的算法策略来解决。

例如，对于查找问题，可以选择二分查找、哈希表等算法策略。

5. 考虑算法的时间复杂度和空间复杂度：在算法设计过程中，我们应该对算法的效率进行评估和预估，考虑算法的时间复杂度和空间复杂度，以便在实际应用中能够满足性能要求。

二、常见的复杂度分析方法计算算法的复杂度是评估其运行效率的重要指标。

常见的复杂度分析方法包括时间复杂度和空间复杂度。

1. 时间复杂度：时间复杂度衡量算法解决问题所需的时间资源。

常见的时间复杂度有O(1)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。

其中，O(1)表示算法的执行时间是一个常数，与问题的规模无关；O(n)表示算法的执行时间与问题的规模成线性关系；O(nlogn)表示算法的执行时间与问题的规模以及问题分解的规模成对数关系；O(n^2)表示算法的执行时间与问题的规模成平方关系。

树上启发式合并时间复杂度证明1. 引言1.1 背景介绍启发式合并算法是一种常用的优化方法，用于解决树结构问题中的合并操作。

在实际应用中，树结构经常出现在图数据结构、并查集等场景中，因此对于提高算法效率具有重要意义。

在传统的合并操作中，通常会通过遍历整棵树来找到需要合并的两个节点，然后进行合并操作。

这种方法的时间复杂度较高，在树结构较大时会导致效率低下。

为了提高效率，启发式合并算法应运而生。

启发式合并算法通过一些启发式方法来快速找到需要合并的节点，从而减少了不必要的遍历操作，提高了合并效率。

这种方法在实际应用中具有较高的实用价值，能够在一定程度上优化算法的时间复杂度，提高算法的效率。

通过深入研究启发式合并算法的原理和时间复杂度分析，可以更好地理解该算法的优势和局限性，为其在实际应用中的合理选择提供参考。

还可以探讨该算法在不同应用领域中的应用情况，并与其他相关研究进行比较和总结。

【完成】1.2 研究意义在实际应用中，启发式合并算法可以应用于社交网络分析、计算机网络路由优化、大规模数据处理等领域。

通过对启发式合并算法的优势与局限性进行研究和分析，可以更好地选择合适的算法应用在不同的场景中，从而提高算法的效率和性能。

通过与相关研究进展的比较和总结，可以及时掌握最新的研究动态，为进一步深入研究和应用启发式合并算法打下良好的基础。

2. 正文2.1 启发式合并算法原理启发式合并算法是一种常用于处理树结构的数据合并操作的有效算法。

在树上进行合并操作时，启发式合并算法可以通过合适的策略将树节点合并，从而降低整体复杂度并提高算法效率。

启发式合并算法的核心原理是根据节点的特性和树的结构，选择合适的节点进行合并，以达到最优的合并效果。

在实际应用中，启发式合并算法通常采用贪心的策略，即优先选择具有最优合并条件的节点进行合并，从而尽可能地减少合并的操作次数。

具体而言，启发式合并算法可以通过维护一个合并的优先队列或者使用路径压缩等技巧来实现。

第⼀章数据结构和算法简介—算法的时间复杂度和空间复杂度-总结算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于⼀个给定的算法，我们要做两项分析。

第⼀是从数学上证明算法的正确性，这⼀步主要⽤到形式化证明的⽅法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。

⽽在证明算法是正确的基础上，第⼆部就是分析算法的时间复杂度。

算法的时间复杂度反映了程序执⾏时间随输⼊规模增长⽽增长的量级，在很⼤程度上能很好反映出算法的优劣与否。

因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析⽅法是很有必要的。

算法执⾏时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运⾏时所消耗的时间来度量。

⽽度量⼀个程序的执⾏时间通常有两种⽅法。

⼀、事后统计的⽅法这种⽅法可⾏，但不是⼀个好的⽅法。

该⽅法有两个缺陷：⼀是要想对设计的算法的运⾏性能进⾏评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运⾏；⼆是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本⾝的优势。

⼆、事前分析估算的⽅法因事后统计⽅法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本⾝的优劣。

因此⼈们常常采⽤事前分析估算的⽅法。

在编写程序前，依据统计⽅法对算法进⾏估算。

⼀个⽤⾼级语⾔编写的程序在计算机上运⾏时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采⽤的策略、⽅法；(2). 编译产⽣的代码质量；(3). 问题的输⼊规模；(4). 机器执⾏指令的速度。

⼀个算法是由控制结构（顺序、分⽀和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。

为了便于⽐较同⼀个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取⼀种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执⾏的次数作为算法的时间量度。

1、时间复杂度（1）时间频度⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运⾏测试才能知道。

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

数据结构时间复杂度总汇数据结构时间复杂度总汇一、线性结构1.数组（Array）- 查找：O(1)- 插入：O(n)- 删除：O(n)2.链表（Linked List）- 查找：O(n)- 插入：O(1)- 删除：O(1)3.栈（Stack）- 查找：O(n)- 插入：O(1)- 删除：O(1)4.队列（Queue）- 查找：O(n)- 插入：O(1)- 删除：O(1)二、树形结构1.二叉树（Binary Tree）- 查找：O(log n) - O(n)- 插入：O(log n) - O(n)- 删除：O(log n) - O(n)2.二叉搜索树（Binary Search Tree）- 查找：O(log n) - O(n)- 插入：O(log n) - O(n)- 删除：O(log n) - O(n)3.平衡二叉树（Balanced Binary Tree）- AVL树：查找、插入、删除均为 O(log n) - 红黑树：查找、插入、删除均为 O(log n) 4.堆（Heap）- 查找：O(n)- 插入：O(log n)- 删除：O(log n)三、散列表（Hash Table）- 查找：平均 O(1)，最坏 O(n)- 插入：平均 O(1)，最坏 O(n)- 删除：平均 O(1)，最坏 O(n)四、图（Graph）- 邻接矩阵：查找、插入、删除均为 O(1)- 邻接表：查找 O(log n) - O(n)，插入 O(1)，删除O(log n) - O(n)附件：本文档未涉及附件。

法律名词及注释：1.时间复杂度（Time Complexity）：描述算法在解决问题时所需的计算时间。

2.数组（Array）：由相同数据类型的元素按照一定顺序排列而成的数据结构。

3.链表（Linked List）：由一系列节点（Node）组成的数据结构，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。

4.栈（Stack）：一种特殊的线性表，只能在表尾进行插入和删除操作的数据结构。

二叉树时间复杂度计算在本文中，我们将讨论二叉树的时间复杂度计算。

时间复杂度是一种描述算法执行时间与输入规模之间关系的方法，通常用大O符号来表示。

对于二叉树，我们通常关注的是二叉树的搜索、插入和删除操作的时间复杂度。

首先，让我们来看一下二叉树的搜索操作。

在二叉树中，搜索操作是指在二叉树中查找特定值的节点。

通常，我们从根节点开始搜索，如果要查找的值小于当前节点的值，则继续在左子树中搜索；如果要查找的值大于当前节点的值，则继续在右子树中搜索；如果要查找的值等于当前节点的值，则找到了目标节点。

对于平衡二叉树（即左右子树高度差不超过1的二叉树），搜索操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的个数。

这是因为在平衡二叉树中，树的高度接近log n，因此在最坏情况下，我们需要遍历树的高度来找到目标节点。

然而，对于非平衡二叉树，搜索操作的时间复杂度可能达到O(n)，其中n为二叉树中节点的个数。

这是因为在非平衡二叉树中，树的高度可能达到n，导致搜索操作变得非常耗时。

接下来，让我们来看一下二叉树的插入操作。

在二叉树中，插入操作是指向二叉树中插入一个新节点的过程。

通常，我们从根节点开始，根据新节点的值和当前节点的值的大小关系，找到合适的位置将新节点插入到树中。

对于平衡二叉树，插入操作的时间复杂度也为O(log n)，因为我们需要遍历树的高度来找到插入位置。

然而，对于非平衡二叉树，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为在最坏情况下，树的高度可能达到n，导致插入操作变得非常耗时。

最后，让我们来看一下二叉树的删除操作。

在二叉树中，删除操作是指删除二叉树中特定值的节点的过程。

通常，我们需要考虑被删除节点的情况：如果被删除节点是叶子节点，则直接删除；如果被删除节点有一个子节点，则将子节点替换被删除节点；如果被删除节点有两个子节点，则找到右子树中最小的节点来替换被删除节点。

对于平衡二叉树，删除操作的时间复杂度也为O(log n)，因为我们需要遍历树的高度来找到删除位置。

数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。

2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。

可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。

2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。

【数据结构】时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度AND空间复杂度专项时间维度：是指执⾏当前算法所消耗的时间，我们通常⽤「时间复杂度」来描述。

空间维度：是指执⾏当前算法需要占⽤多少内存空间，我们通常⽤「空间复杂度」来描述。

时间复杂度⼀个算法花费的时间与算法中语句的执⾏次数成正⽐例，哪个算法中语句执⾏次数多，它花费时间就多。

⼀个算法中的语句执⾏次数称为语句频度或时间频度。

记为 T(n)。

常见的算法时间复杂度由⼩到⼤依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增⼤，上述时间复杂度不断增⼤，算法的执⾏效率越低常见的时间复杂度：常见的时间复杂度：常数阶 O(1)对数阶 O(log2n)线性阶 O(n)线性对数阶 O(nlog2n)平⽅阶 O(n^2)⽴⽅阶 O(n^3)k 次⽅阶 O(n^k)指数阶 O(2^n)常见阶数串讲常数阶 O（1）没有循环结构，代码上万⾏都可以，消耗并不伴随某个的增长⽽增长，都是O（1）对数阶O（log2n）举个例⼦int n=1000;int i=1;while(i<=n){i=i*2;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;看在while循环中执⾏了多少次：while终⽌条件是i>n的时候，即当2的x次⽅等于n时结束循环，那么显然x=log2n。

也就是说while循环执⾏了log2n次后就结束了，那么这个算法的时间复杂度就是log2n。

从这个例⼦可以看出，如果将循环改成i=i*3;那么复杂度⾃然就变成了log3n。

线性阶O（n）现在你已经基本⼊门啦，我们直接上例⼦，线性阶很好理解，就是在循环中变量增长从倍数变成了单个增长。

int n=1000;int i=1;while(i<=n){i++;}cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;显然i需要增加n次才可以执⾏结束，故时间复杂度为O（n）线性对数阶O（nlogN）套娃！外层循环执⾏n次，内部循环需要执⾏logN次，那么⼀共就是n*logN啦，故时间复杂度为O（nlogN）。

算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。

它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。

时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。

例如，查找数组中某个元素的索引。

•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。

例如，二分查找算法。

•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。

例如，遍历数组求和。

•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。

例如，多次嵌套循环遍历二维数组。

•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。

例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。

如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。

以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。

•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。

•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。

•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。

空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。

•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。

•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。

•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。

如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。

数据结构算法时间复杂度的计算数据结构与算法时间复杂度的计算第一章概述数据结构与算法是计算机科学领域中非常重要的基础知识，它们对于优化程序性能、提高算法效率至关重要。

而对于一个算法的时间复杂度的计算，可以帮助我们评估算法的执行效率，比较不同算法之间的优劣，从而选择合适的算法解决问题。

第二章时间复杂度1.基本概念时间复杂度是对算法运行时间的一种衡量指标，表示算法执行所需要的时间与问题规模n之间的关系。

一般来说，我们关注的是算法执行时间的增长趋势，而不是具体的执行时间。

2.常见的时间复杂度（1）O(1)表示算法的执行时间是一个常数，不随问题规模n的增大而增长。

（2）O(logn)表示算法的执行时间随问题规模n的增大而以对数方式增长。

（3）O(n)表示算法的执行时间随问题规模n的增大而线性增长。

（4）O(nlogn)表示算法的执行时间随问题规模n的增大而近似以nlogn的速度增长。

（5）O(n²)表示算法的执行时间随问题规模n的增大而以平方方式增长。

（6）O(2ⁿ)表示算法的执行时间随问题规模n的增大而以指数方式增长。

3.时间复杂度计算方法（1）循环次数法当算法中存在循环结构时，可以计算循环体执行的次数和问题规模的关系，进而得到时间复杂度。

（2）递推关系法当算法中存在递归结构时，可以通过递推关系式来计算时间复杂度。

（3）最坏情况法对于算法中存在多种情况的情况下，我们一般关注最坏情况的时间复杂度，即算法执行所需的最大时间。

第三章案例分析1.数组查找（1）线性查找算法遍历数组，逐个比较查找目标和数组元素，时间复杂度为O(n）（2）二分查找算法通过比较中间元素和目标值的大小，缩小查找范围，时间复杂度为O(logn）2.排序算法（1）冒泡排序算法通过相邻元素的比较，将最大元素逐步冒泡到数组末尾，时间复杂度为O(n²）（2）快速排序算法通过找到一个基准值，将数组分割为左右两个部分，左边部分小于基准值，右边部分大于基准值，然后递归的对左右部分执行同样的操作，时间复杂度为O(nlogn）3.图的遍历（1）深度优先遍历算法从一个顶点开始，递归地遍历每个未访问过的相邻顶点，时间复杂度为O(----V----+----E----)，其中----V----表示顶点的数量，----E----表示边的数量。

数据结构算法时间复杂度的计算数据结构和算法时间复杂度的计算是评估算法性能的重要手段之一，通过分析算法的时间复杂度，可以了解算法在处理不同规模的输入时所需的时间。

时间复杂度是用来衡量算法执行时间随输入规模增长的趋势。

它通常用大O表示法来表示，表示算法执行时间的增长速度。

大O表示法中的O 表示"上界"，即理想情况下算法的最高执行时间。

在计算时间复杂度时，我们关注算法中的基本操作数，而不是具体的执行时间。

例如，对于一个循环结构，我们关注循环体内的操作次数，而不是循环的执行时间。

下面我们将分别介绍几种常见的数据结构和算法以及它们的时间复杂度计算方法。

1. 数组(Array)数组是最简单、最常见的一种数据结构。

数组由一系列相同类型的元素组成，可以通过索引来访问和修改元素。

对于数组来说，可以通过索引直接访问任何一个元素。

所以数组的访问时间复杂度为O(1)。

2. 链表(Linked List)链表是另一种常见的数据结构，它由一系列节点组成。

节点包含了数据和指向下一个节点的指针。

对于链表来说，需要遍历整个链表来访问或者修改一些节点，所以链表的访问时间复杂度为O(n)，其中n是链表的长度。

3. 栈(Stack)和队列(Queue)栈和队列是两种常见的线性数据结构。

对于栈来说，只能从栈顶插入和删除元素，所以栈的插入和删除操作的时间复杂度都是O(1)。

对于队列来说，只能从队列的一端插入元素，从队列的另一端删除元素。

队列的插入和删除操作的时间复杂度也都是O(1)。

4. 散列表(Hash Table)散列表通过将关键字映射为数组的索引，然后将值存储在该索引对应的数组位置上。

对于散列表来说，如果散列函数很好的均匀分布关键字，则散列表的插入、删除和查找操作的时间复杂度都是O(1)。

5. 树(Tree)树是一种非线性数据结构，由节点和边组成。

对于树来说，树的操作通常需要遍历整棵树来完成，所以树的插入、删除和查找操作的时间复杂度都是O(n)，其中n是树的节点数。