(完整word版)高中数学七大数学基本
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (4)2、函数 (5)3、函数的简单性态 (5)4、反函数 (6)5、复合函数 (7)6、初等函数 (7)7、双曲函数及反双曲函数 (8)8、数列的极限 (10)9、函数的极限 (11)10、函数极限的运算规则 (13)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A 中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=;②1')(-=n n nxx ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos '-=;⑤a a a xx ln )('=;⑥xx e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则(1)'''()u v u v ±=±. (2)'''()uv u v uv =+. (3)'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈,且1n >).(2)1m nm naa-==(0,,a m n N *>∈,且1n >).根式的性质(1)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注:若a>0,指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式:).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号;αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=;②1')(-=n n nxx ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos '-=;⑤a a a xx ln )('=;⑥xx e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则(1)'''()u v u v ±=±. (2)'''()uv u v uv =+. (3)'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈,且1n >).(2)1m nm naa-==(0,,a m n N *>∈,且1n >).根式的性质(1)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注:若a>0,指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式:).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号;αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:xA xC u A,xC u A x A. ? A A2集合佝旦丄,%}的子集个数共有2n个;真子集有2n1个;非空子集有2n1个;非空的真子集有2n2个.3二次函数的解析式的三种形式:⑴一般式f(x) ax2 bx c(a 0);(2) 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0);(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时,设为此式)(3) 零点式f (x) a(x xj(x x2)(a 0);(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),( X2,0)时,设为此式)(4) 切线式:f (x) a(x x。
)2 (kx d),(a 0)。
(当已知抛物线与直线y kx d相切且切点的横坐标为x0时,设为此式)4真值表:同真且真,同假或假5常见结论的否定形式;原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个[一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个[至多有(n 1)个小于不小于至多有n个至少有(n 1)个对所有X,成立存在某x,不成立p或q p且q对任何x,不成立存在某x,成立p且q p或q6四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)充要条件:(1)、p q,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;(2) 、p q,且q工> p,则P是q的充分不必要条件;(3) 、p H > p,且q p,则P是q的必要不充分条件;4、p H > p,且q H > p,贝U P是q的既不充分又不必要条件。
7函数单调性:增函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:设f (x)在x D上有定义,若对任意的x1,x2 D,且x1 X2,都有f(Xi) f(x2)成立,则就叫f (X )在x D 上是增函数。
D 则就是f (x )的递增区间。
减函数:(i)、文字描述是:y 随x 的增大而减小。
高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章:会合与函数观点1、会合三因素:确立性、互异性、无序性。
2、常有会合:正整数会合:N*或N,整数会合:Z ,有理数会合: Q,实数会合: R.3、并集 . 记作:A B.交集.记作: A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B);A B B B A;简略逻辑:或:有真为真,全假为假。
且:有假为假,全真为真。
非:真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题:若 P则 q;抗命题:若q 则 p;否命题:若┑ P 则┑q;逆否命题:若┑ q 则┑ p。
常用变换:① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证:x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集,假如依据某种确立的对应关系 f ,使对于会合A中的随意一个数 x ,在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应,那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数,记作: y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零,底大于零不等于1值域:利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值,6、函数单一性:(1)定义法:设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数;f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤:取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法:设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,若f (x) 0 ,则f ( x)为增函数;若f ( x)0 ,则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数:f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数,则y f x 在区间,0 上也是递加函数.若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数,则yf x 在区间 ,0 上是递减函数.函数的几个重要性质:① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R , 都 有f ax f ax 或 f ( 2a-x ) =f ( x ),那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称;函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称;函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ;② ( x n )' nx n 1 ;③ (sin x) ' cos x ; ④ (cos x) ' sin x ; ⑤ ( a x ) 'a xln a ; ⑥ ( e x) 'e x; ⑦ (log a x)'1 ;⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例( 1) (u v)'u ' v '.( 2) (uv)' u 'v uv ' .( 3) ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用:1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 :函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ,相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程,设切点为x 1, y 1 ,则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ,再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义:极值是在 x 0 邻近全部的点,都有f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值;极值是在 x 0 邻近全部的点,都有 f ( x) > f (x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法:①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) > 0,右边 f ' (x) < 0,那么 f ( x 0 ) 是极大值;②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) < 0,右边 f ' (x) > 0,那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值(极大或许极小值)(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较,此中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
高中数学知识点归纳高一 ( 上 ) 数学知识点归纳第一章会集与命题1.主要内容:会集的基本看法、空集、子集和真子集、会集的相等;会集的交、并、补运算。
四种命题形式、等价命题;充足条件与必要条件。
2.基本要求:理解会集、空集的意义,会用列举法和描述法表示会集;理解子集、真子集、会集相等等看法,能判断两个会集之间的包括关系或相等关系;理解交集、并集,掌握会集的交并运算,知道有关的基本运算性质,理解全集的意义,能求出已知会集的补集。
理解四种命题的形式及其互有关系,能写出一个简单命题的抗命题、否命题与逆否命题;理解充足条件、必要条件与充要条件的意义,能在简单问题的情况中判断条件的充足性、必要性或充足必要性。
3.重难点:重点是会集的看法及其运算,充足条件、必要条件、充要条件。
难点是对会集有关的理解,命题的证明,充足条件、必要条件、充要条件的鉴识。
4.会集之间的关系: (1) 子集:若是 A 中任何一个元素都属于 B,那么 A 是 B 的子集,记作 A B.(2) 相等的会集 : 若是 A B, 且 B A,那么 A=B.(3). 真子集:A B 且 B 中最少有一个元素不属于 A,记作 A B.5. 会集的运算: (1) 交集: A B { x x A且 x B}.(2)并集: A B { x x A或x B}. (3)补集: C U A { x x U且 x A}.6.充足条件、必要条件、充要条件若是 P Q ,那么P是Q的充足条件,Q是P的必要条件。
若是 P Q ,那么P是Q的充要条件。
也就是说,命题P与命题Q是等价命题。
有关看法:1. 我们把能够确实指定的一些对象组成的整体叫做会集。
2.数集有:自然数集 N,整数集 Z,有理数集 Q, 实数集 R。
3.会集的表示方法有列举法、描述法和图示法。
4.用平面地域来表示会集之间关系的方法叫做会集的图示法,所用图叫做文氏图。
5.真子集,交集,并集,全集,补集。
高中所用重点公式汇总公式口诀:一、《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。
性质奇偶与增减,观察图象最明显。
复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。
指数与对数函数,两者互为反函数。
底数非1的正数,1两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。
两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。
幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。
二、《三角函数》三角函数是函数,象限符号坐标注。
函数图象单位圆,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。
正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。
诱导公式就是好,负化正后大化小,变成锐角好查表,化简证明少不了。
二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。
两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。
和差化积须同名,互余角度变名称。
计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。
逆反原则作指导,升幂降次和差积。
条件等式的证明,方程思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。
公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集;三、《不等式》解不等式的途径,利用函数的性质。
对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步转化要等价。
数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。
高中数学解析几何第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 α(1) 定义:直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角(2) 范围: 0 180 2.斜率:直线倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率 .k t an1).倾斜角为 90 的直线没有斜率。
2).每一条直线都有唯一的倾斜角, 但并不是每一条直线都存在斜率 其斜率不存在 ),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到 这两种情况,否则会产生漏解。
3)设经过 A (x 1,y 1)和 B(x 2,y 2) 两点的直线的斜率为 k ,y 1 y 2o则当 x 1 x 2 时, k tan;当 x 1 x 2 时,90;斜率不存在;x1 x 2二、直线的方程1.点斜式:已知直线上一点 P (x 0,y 0)及直线的斜率 k (倾斜角 α )求直线的方程用点斜式: y-y 0=k(x-x 0)注意: 当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x x 0 ;2.斜截式:若已知直线在 y 轴上的截距(直线与 y 轴焦点的纵坐标)为 b ,斜率为 k ,则直 线方程: y kx b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:y kx注意:正确理解“ 截距 ”这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“距离”有区别 。
3.两点式:若已知直线经过 (x 1,y 1) 和 (x 2, y 2) 两点,且( x 1 x 2,y 1 y 2 则直线的方程:y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1注意:①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线;②当两点式方程写成如下形式 (x 2 x 1)(y y 1) (y 2 y 1)(x x 1) 0时, 方程可以适应在 于任何一条直线 。
4 截距式:若已知直线在 x 轴, y 轴上的截距分别是 a , b ( a 0,b 0 )则直线方程:a xb y1;注意: 1) .截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。
《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)二、题型与解法A.极限的求法 (1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor 级数法(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-,求 解:20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.121)12(lim ->-+x xx x x (重要极限)4.已知a 、b 为正常数,xx x x b a 30)2(lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解:令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换)6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f(洛必达与微积分性质)7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a解:令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x (连续性的概念)三、补充习题(作业) 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x (洛必达)2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- (洛必达或Taylor ) 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x (洛必达与微积分性质)第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定,求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定,求1|0==x dxdy解:两边微分得x=0时y x y y ==cos ',将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定,则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e (),在(==处切线的直角坐标方程。
第一:函数与方程思想
(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。
(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。
考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
第二:数形结合思想
(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面
(2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系,形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。
第三:分类与整合思想
(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
(2)从具体出发,选取适当的分类标准。
(3)划分只是手段,分类研究才是目的。
(4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。
(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性。
第四:化归与转化思想
(1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决题化归为已解决问题。
(2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
(3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
第五:特殊与一般思想
(1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识。
(2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
(3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程。
(4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程。
(5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。
第六:有限与无限的思想
(1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路。
(2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。
(3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用。
(4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查。
第七:或然与必然的思想
(1)随机现象两个最基本的特征,一是结果的随机性,二是频率的稳定性。
(2)偶然中找必然,再用必然规律解决偶然。
独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。