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运用平移、对称、旋转求二次函数解析式一、运用平移求解析式1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．【答案】因为()222314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()233y x =-- 所以可得6b =-，6c =3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -，，可得1a =-， 所以()()()22134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++二、运用对称求解析式4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833y x x =++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，关于y 轴对称后顶点为 843⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．【答案】因为()22211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--。
*第3课时用待定系数法求二次函数的解析式（附答案）1．过坐标原点，顶点坐标是(1，－2)的抛物线的解析式为____________．2．已知二次函数的图象经过(0,0)，(1,2)，(－1，－4)三点，那么这个二次函数的解析式是__________．3．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式是____________．4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,10)和(2,7)，且3a＋2b＝0，则该抛物线的解析式为________．5．已知二次函数的图象关于直线x＝3对称，最大值是0，与y轴的交点是(0，－1)，这个二次函数解析式为____________________．6．如图22-1-8，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________.图22-1-87．如图22-1-9，A(－1,0)，B(2，－3)两点都在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．图22-1-98．如果抛物线y＝x2－6x＋c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于() A．8B．14C．8或14D．－8或－149．已知双曲线y ＝k x与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)，B (m,2)，c (－3，n )三点，求双曲线与抛物线的解析式．10．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图22-1-10)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的解析式．图22-1-10*第3课时 用待定系数法求二次函数的解析式【课后巩固提升】1．y ＝2x 2－4x .2．y ＝－x 2＋3x 解析：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＝2，a －b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3，c ＝0. ∴所求解析式为y ＝－x 2＋3x .3．y ＝x 2－10x ＋274．y ＝2x 2－3x ＋55．y ＝－19(x －3)2 解析：由图象的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3,0)，设y ＝a (x －3)2，把(0，－1)代入，得9a ＝－1 ，a ＝－19.∴y ＝－19(x －3)2. 6．3 解析：由条件求得二次函数的解析式为y ＝x 2－x －2，所以点C 坐标为(2,0)，所以AC 长为2－(－1)＝3.7．解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.8．C9．解：把点A (2,3)代入y ＝k x，得k ＝6. ∴反比例函数的解析式为y ＝6x. 把点B (m,2)，C (－3，n )分别代入y ＝6x，得m ＝3，n ＝－2. 把点A (2,3)，B (3,2)，C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋3. 10．解：(1)根据题意，可知：A (0,1)，B (0，－1)，C (4，－1)，D (4,1)，E (2,1)．(2)∵抛物线顶点坐标是E (2,1)，且经过B (0，－1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1.把B (0，－1)代入解析式y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－12.∴抛物线的解析式为y ＝－12(x －2)2＋1.。
22.3 二次函数解析式的解法一、教学目标知识目标：通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
能力目标：能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
情感价值观 ：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
二、教学重难点重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题三、教学方法：探究法、引导法、归纳法、讲解法四、教学教具准备：三角板、课件五、教学时间：1课时六、教学过程（一）温故知新二次函数解析式（常见的三种形式）1、一般式：cbx ax y ++=22、顶点式：k h x a y +-=2)(3、交点式: ))((21x x x x a y --=（二）探究新知求二次函数解析式的思想方法1、求二次函数解析式的常用方法: 待定系数法、配方法、数形结合等2、求二次函数解析式的常用思想:3、二次函数解析式的最终形式:一般式（三）例题讲解例1、已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)，求它的解析式。
例2、已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式。
例3、已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)，且与y轴交于点P(0，-3)，求它的解析式。
（四）课堂小结求二次函数解析式的一般方法有哪些？（五）课堂练习1、已知一个二次函数的图象过点（0，1)，它的顶点坐标是（8，9)，求这个二次函数关系式。
2、已知二次函数的图象过（0，1)、(2，4)、(3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
3、已知二次函数的图象过 （-2，0）、(4，0)、(0，3）三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x知识图谱错题回顾知识精讲的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1D ． y=x 2+【答案】C【解析】 A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误； B 、y=ax 2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确； D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1【答案】A【解析】 根据二次函数的定义可得212m +=且10m -≠，解得1m =-，故答案为A 选项．例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．【答案】 2【解析】 由二次函数的定义可知2m =．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5 【答案】B 【解析】∵二次函数y=ax 2+bx -1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∵a+b -1=1，三点剖析题模精讲∵a+b=2，∵1-a -b=1-（a+b ）=1-2=-1． 故选：B ．随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x =-+，其中二次函数的个数为（ ） 【答案】 B 【解析】 本题考查的是二次函数概念． ①54y x =-，③32283y x x =-+，⑤2312y x x=-+不符合二次函数解析式， ②2263t x x =-，④2318y x =-符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．【答案】 1-【解析】 本题考查的是二次函数概念． ∵()2113m y m x x +=-+是二次函数，∴212m +=，∴1m =-或1m =（舍去，因为此时二次项系数10m -=）． 故答案为1-．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____． 【答案】 -2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得： 26a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩①②， 随堂练习∵+∵得：2a+2c=-4， 则a+c=-2； 故答案为：-2．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质a 的符号图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2） 【答案】A知识精讲三点剖析题模精讲【解析】∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴， ∵若图象经过点P （-2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A ．例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．【答案】 2-【解析】 二次函数有最大值，则开口向下，得出2m =-．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．【答案】【解析】 由描点法画出函数图像．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ． 321y y y << D ． 213y y y <<【答案】C【解析】 因为1a <-，所以110a a a -<<+<，因为2y x =对称轴为y 轴，且开口向上，所以321y y y <<，故答案为C 选项．随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的坐标为（ ）A ． ()3,3-B ． ()3,3-C ． ()3,1-D ． ()1,3- 【答案】A【解析】 由二次函数的对称性可知点()3,3B -．随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．【答案】 1【解析】 二次函数有最小值，则开口向上，得出1m =．随堂练习随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．【答案】【解析】 有描点法画出函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x -h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3-B ． ()2,3C ． ()2,3--D ． ()2,3-【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数．二次函数顶点式：()2y a x h k =-+，顶点坐标为(),P h k ，本题中，()223y x =++，顶点坐标()2,3-，故答案是A ．例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例 3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数性质． ∵二次函数的解析式()231y x k =--+，∴二次函数的对称轴为1x =， 根据二次函数解析式可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，题模精讲∴123y y y >>，故选A ．题模二：y=a （x -h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数图象的几何变换． 因为函数2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位长度， 所以根据左加右减，上加下减的规律， 直接在函数上加1可得新函数21y x =+；然后再沿x 轴向右平移2个单位长度，可得新函数()221y x =-+． 故选A随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-【答案】A 【解析】 由()2y a x h k=-+的性质可知，开口向下，顶点为()5,3．随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =--D ． 22(4)33y x =--【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换． 通过配方，可得22(2)9y x =--．故选C随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2 【答案】A 【解析】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图， ∵对称轴是x=-1，∵点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D【解析】 该题考查的是二次函数图像平移． 二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x ，如将()20y ax bx c a =++≠左平移m 个单位，即可得到 ()()()2++0y a x m b x m c a =++≠，右平移m 个单位，即可得到 ()()()20y a x m b x m c a =-+-+≠，上下平移变动的是y ，如将()20y ax bx c a =++≠上平移m 个单位，即可得到()2+0y ax bx c m a =++≠，下平移m 个单位，即可得到()20y ax bx c m a =++-≠总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本题中，()2312y x =-+-经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23y x =-，故答案是D ．随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位， ∴抛物线221y x =+向下平移两个单位变为221y x =-， 再向左平移两个单位变为：()2221y x =+-， 故选C ．y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象开口方向 对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac ba a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：知识精讲1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3 【答案】B【解析】 ∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值5， 可得：（3﹣h ）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3 【答案】D【解析】 ∵y=﹣x 2+2x+c ， ∵对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5， ∵y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，三点剖析题模精讲例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ． B ． 2C ．D ．【答案】D【解析】 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n ﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=1时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=，所以m+n=﹣2+=．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．【答案】 （1）49（2）17或2241p p ++（3）1或5- 【解析】 该题考查二次函数的最值． （1）∵抛物线的对称轴为直线∴当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为：22444149⨯+⨯+= （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1x =-， ∴由对称性可知，4x =-和2x =时函数值相等. ∴若42p -<≤，则2x =时，y 的最大值为17. 若4p ≤-，则x p =时，y 的最大值为2241p p ++. （3）2t <-时，最大值为：224131t t ++=，整理得，22150t t +-=，解得13t =（舍去），25t =- 2t ≥-时，最大值为：()()22242131t t ++++=整理得，()()2222150t t +++-=，解得11t =，27t =-（舍去） 所以t 的值为1或5-题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个【答案】B【解析】 ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．【答案】 10a -<<【解析】 由图像可知，0a <，且满足1002c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-<⎩，解得a 的取值范围是10a -<<．随练 4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<【答案】BO y x11随堂练习【解析】 因为抛物线对称轴为22bx a=-=-，所以A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为135244-+=，53244-+=，19244+=，因为开口向上，所以213y y y <<，故答案为B 选项．随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3 【答案】B 【解析】 第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=12a -＞3，即a ＞7， 第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即： x=12a -≥132+，即a≥5（此处若a 取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B ．随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C【解析】 ∵抛物线开口向下， ∵a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵b=2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，所以①正确； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确； ∵b=2a ，∵2a ﹣b=0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y ＞0，∵a ﹣b+c ＞0，所以④正确．随练4.4 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图 【答案】D【解析】 该题考查的是函数的图象． 本题考虑0m >和0m <两种情况：当0m >时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，没有符合要求的图象；当0m <时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，只有D 图符合． 所以该题的答案是D ．随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）【答案】 ②④【解析】 该题考察的是二次函数图象与系数的关系．∵抛物线开口向上， ∴0a >∵抛物线对称轴为直线x b =-，2 1a =-， ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误； ∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①错误；∵12x =时，0y =， ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++>，∴1202b bc ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数最大小，∴()21a b c m a mb cm -+<-+≠，∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是②④．随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．【答案】 见解析 【解析】()()()22a c b a c b a c b +-=+-++，由图像可知0a c b +-<，0a c b ++>，故()220a c b +-<，即()22a c b +<二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式．【答案】 （1）2x =；()3,0（2）243y x x =-+ 【解析】 该题考查二次函数解析式的求法．（1）抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为()3,0；…2分； （2）∵抛物线经过点()1,0C ，()3,0D ，∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =--．…………………3分； 由抛物线经过点()0,3A ，得1a =．…………………………4分；知识精讲三点剖析题模精讲∴抛物线的解析式为243y x x =-+．………………………5分．题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．【答案】 y=-x 2+4x -3 【解析】设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+1， 将B （1，0）代入y=a （x -2）2+1得， a=-1，函数解析式为y=-（x -2）2+1， 展开得y=-x 2+4x -3． 故答案为y=-x 2+4x -3． 题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式． 【答案】 2224y x x =+-【解析】 该题考查的是抛物线性质． 解方程220x x +-=可得，11x =，22x =-， ∴抛物线与x 轴交点坐标为()1,0，()2,0-，将三点代入解析式可得， ()()220022822a b c a b c a b c=++⎧⎪=⨯-+⨯-+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得2a =，2b =，4c =-，所以抛物线解析式为2224y x x =+-．例 5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．【答案】 21462y x x =-+-【解析】 该题考查的是抛物线的性质．由题可知，抛物线对称轴为0842x +==， ∴顶点坐标为()4,2， 将三点坐标代入解析式可得，226688244c a b c a b c-=⎧⎪-=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得12a =-，4b =，6c =- ，所以抛物线解析式为21462y x x =-+-．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式． 【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．随堂练习随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，()2224144525y x x x x x =--=-+-=--，故答案是D随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式． 【答案】 y=2x 2-4x 【解析】设这个二次函数的关系式为y=a （x -1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∵0=a （0-1）2-2 解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x -1）2-2，即y=2x 2-4x ．随练 5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____． 【答案】 y=x 2-7x+12 【解析】设二次函数的解析式为y=a （x -3）（x -4）， 而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x -3）（x -4）=x 2-7x+12． 故答案为y=x 2-7x+12．随练 5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．【答案】 21322y x x =-+或22y x x =- 【解析】 由题意可得抛物线的顶点坐标为()1,1或()1,1-，设抛物线解析式为()()133y a x x =+-+，将顶点坐标分别代入可得21322y x x =-+或22y x x =-．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<； （2）至少有一个正根．题模精讲【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．题模二：二次函数与x 轴交点例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2 【答案】A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，图1图3()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=， 由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0， ∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，随堂练习∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且【答案】D【解析】 该题考查的是一元二次方程根的判别式． 对于一元二次方程20ax bx c ++= ，判别式24b ac ∆=-： 0∆>，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点， 0∆=，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点， 0∆<，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，本题中，二次函数()2231y m x x =+-+与x 轴有两个交点，故()()22034210m m +≠⎧⎪⎨∆=--⨯+⨯>⎪⎩，解得：14m <且2m ≠-，故答案是D ．随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2【答案】A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：D ．随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ． 22y x =+D ． 2122y x x =-【答案】C【解析】 由二次函数的概念可知22y x =+为二次函数．作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和【答案】D【解析】 由题意得2278x x +-=，解得3x =或5x =-，故答案为D 选项．作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？【答案】 2m =【解析】 根据二次函数定义，只要满足20m m +≠且22m m -=即可，解得2m =作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ）A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对【答案】A【解析】 由二次函数2y ax =的对称性可知点'A 在2y ax =的图像上．作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ） A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<【答案】A【解析】 由二次函数()20y ax a =>的对称性和增减性可知123y y y <<．作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．【答案】 最大；1【解析】 由二次函数2y ax =的最值可得出结论．课后作业。
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
用待定系数法求二次函数的解析式教学目标知识与技能1若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c=++2（a ≠0）求解析式。
2若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式y=a(x－h)2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。
3若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式y＝a(x－x1)(x－x2),其中x x12，为抛物线与x轴交点的横坐标。
过程与方法能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
情感态度与价值观从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
重点求二次函数的函数关系式难点建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
教法、学法引导、启发自主学习、合作交流课型新授课教学准备小黑板教学流程教师活动学生活动二次备课一、自主学习1、知识回顾二次函数的一般式是什么？二次函数的顶点式是什么？回忆2、出示学习目标根据不同的已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式。
明确目标出示自学提纲⑴已知二次函数的图象过(-1，10)，(1， 4)和(2，7)三点，求这个二次函数解析式。
⑵归纳已知三点坐标怎么求该二次函数解析式？⑶已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
⑷归纳已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值）怎么求该二次函数解析式？阅读提纲，（1）~（4）4、组织学生自学指导学生阅读课本P39---40课文,并回答问题。
二次函数解析式教案教案标题：二次函数解析式教案教案目标：1. 理解二次函数的定义和特点；2. 掌握二次函数的解析式的构造方法；3. 能够利用解析式绘制二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解析式解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含有关二次函数的定义、性质和解析式的教材章节；2. 幻灯片或黑板：用于展示和说明二次函数的相关概念和解析式构造方法；3. 已准备好的练习题和解答。
教学步骤：引入阶段：1. 通过提问或展示幻灯片，引导学生回顾和复习一次函数的概念和解析式构造方法。
2. 引导学生思考，一次函数与二次函数之间的区别是什么？引导学生猜测二次函数的定义和解析式的构造方法。
探究阶段：3. 展示二次函数的定义和性质的幻灯片，并解释二次函数的定义和特点。
4. 介绍二次函数的解析式构造方法，包括确定二次函数的顶点坐标和对称轴的方法。
5. 通过示例演示如何利用解析式构造二次函数，并引导学生跟随操作。
实践阶段：6. 分发练习题给学生，要求学生根据给定的条件构造二次函数的解析式，并绘制函数图像。
7. 引导学生互相检查和纠正答案，确保正确理解和应用解析式构造方法。
拓展阶段：8. 引导学生思考和讨论，如何利用二次函数的解析式解决实际问题，例如最值问题、交点问题等。
9. 提供实际问题的练习题，要求学生利用二次函数的解析式解决问题，并讨论解决过程和答案。
总结阶段：10. 总结二次函数的定义、特点和解析式构造方法，并强调解析式在解决实际问题中的应用。
11. 鼓励学生在课后继续练习和探索二次函数的应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和理解情况；2. 练习题的完成情况和答案的正确性；3. 学生对于实际问题的解决方法和答案的讨论和思考。
教学延伸：1. 学生可以通过使用数学软件绘制二次函数的图像，进一步加深对二次函数解析式的理解和应用；2. 学生可以研究和探索其他类型的二次函数，例如带有系数的二次函数、二次函数的变形等。
❊2.5二次函数的解析式知识点二次函数的解析式题型一求二次函数解析式（1）例1已知二次函数的图象经过点A （-1，0），B （0，-3）和C （3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D 的坐标.【分析】设一般式为y ＝ax 2+bx +c ，然后把三个点的坐标代入得到a 、b 、c 的方程组，再解方程组即可；【解答】解：设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A （﹣1，0），B （0，﹣3）和C （3，12）代入，得0=−+−3=12=9+3+，解得：=2=−1=−3，∴抛物线解析式为y ＝2x 2﹣x ﹣3，∵y ＝2x 2﹣x ﹣3=2(−14)2−258，∴顶点D 的坐标为（14，−258）；例2一个二次函数，当x =0时，y =-5；当x =-1时，y =-4；当x =-2时，y =5，则这个二次函数的关系式是（）A ．y =4x 2+3x -5B ．y =2x 2+x +5C ．y =2x 2-x +5D ．y =2x 2+x -5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），然后由当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，得到a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组确定a ，b ，c 的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，∴c ＝﹣5①，a ﹣b +c ＝﹣4②，4a ﹣2b +c ＝5③，解由①②③组成的方程组得，a ＝4，b ＝3，c ＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y ＝4x 2+3x ﹣5．故选：A ．变1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a 、b 、c 的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得−+=10++=44+2+=7，解得=2=−3=5．则抛物线解析式为y ＝2x 2﹣3x +5；由y ＝2x 2﹣3x +5＝2（x −34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x =34，顶点坐标为（34，318）．变2已知二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，求此二次函数的解析式．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：二次函数解析式为2y ax bx c =++，二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，∴1643366321a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得11021a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为21021y x x =-+．题型二求二次函数解析式（2）例1若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．【答案】243y x x =-+【详解】解：设二次函数解析式为()221y a x =--，把()03，代入得：341a =-，解得：1a =，则二次函数解析式为()222143y x x x =--=-+，故答案为：243y x x =-+．变1已知二次函数当x =1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y ＝a （x ﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a 的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a （2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a ＝﹣2．所以抛物线解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣6．例2抛物线2y x bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x ⋯01234⋯y⋯3-13⋯则抛物线的解析式是_________．【答案】243y xx =-+【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，得：310c b c =⎧⎨++=⎩将3c =代入到10b c ++=，得：130b ++=∴4b =-∴2243y x bxc x x =++=-+故答案为：243y x x =-+．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：x4-3-2-1-012 y5-0343m5-（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m 的值；（2）求该二次函数的表达式．【分析】（1）由于2x =-，3y =；0x =，3y =，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m 的值；（2）设顶点式2(1)4y a x =++，然后把(0,3)代入求出a 的值，从而得到抛物线解析式．【解答】解：（1） 抛物线经过点(2,3)-，(0,3)，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，1x = 和3x =-所对应的函数值相等，0m ∴=；（2）设抛物线解析式为2(1)4y a x =++，把(0,3)代入得23(01)4a =⨯++，解得1a =-，∴该二次函数的解析式为(1)24y x =-++，即223y x x =--+．变2小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变3二次函数23y ax bx =+-中的x 、y 满足下表：x ⋯-10123⋯23y ax bx =+-⋯-3-4-3m⋯（1）求这个二次函数的解析式．（2）求m 的值．【答案】(1)223y x x =--(2)0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．（1）解：根据表格可知对称轴为直线1x =，且1x =时4y =-，即顶点为()1,4-，设解析式为()214y a x =--，当0x =时，3y =-，即43a -=-，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为：()221423y x x x =--=--，即223y x x =--（2）解：∵对称轴为直线1x =，∴当3x =与1x =-时的函数值相等，∴0m =题型三求二次函数解析式（3）例1在直角坐标系中，抛物线经过点A (0，4)、B (1，0)、C (5，0)，求抛物线的解析式和顶点E 坐标．变1已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是_________．变2抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（）A ．22--=x x yB ．22y x x =---或22++=x x yC ．22++-=x x yD ．22--=x x y 或22++-=x x y 【答案】D【分析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【详解】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．例2在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表，求这个二次函数的表达式．x⋯1-012⋯y⋯3-01⋯【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(1,1)，则可设顶点式2(1)1y a x =-+，然后把点(0,0)代入求出a 即可．【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，设二次函数的解析式为：2(1)1y a x =-+，把点(0,0)代入2(1)1y a x =-+，得1a =-，故抛物线解析式为2(1)1y x =--+，即22y x x =-+；例3如图，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点3OB OC OA ==，则该抛物线的解析式是_________．【答案】223y x x =--【分析】根据抛物线与y 轴交于点C 易得点C 的坐标为()0,3C -，根据3OB OC OA ==，可得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【详解】当0x =时，3y =-，∴()0,3C -，∴3OC =，∴3OB =，1OA =，∴()3,0B ，()1,0A -，将()3,0B ，()1,0A -代入23y ax bx =+-得，093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式是223y x x =--．变3小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变4如图是二次函数2y x c =++的图像，该函数的最小值是_________．将2b =代入930b c -+=得：9320c -⨯+=，解得3c =-，则二次函数的解析式为223y x x =+-，当1x =-时，2(1)2(1)34y =-+⨯--=-，即该函数的最小值是4-，故答案为：4-．课后强化1.已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A ．E ，F B ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．求抛物线的表达式．【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解答】解：由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．3.求分别满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．（2）二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．4.已知二次函数2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(5,0)B ，(0,2.5)C -三点．求二次函数2y ax bx c =++的解析式．【分析】利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；【解答】解：将(1,0)A -，(5,0)B ，(0, 2.5)C -代入2y ax bx c =++得：025502.5a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：0.522.5a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数2y ax bx c =++的解析式为20.52 2.5y x x =--；5.二次函数的图象顶点坐标为(2,2)--，且过(1,0)．求该二次函数解析式．【分析】由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，将点(1,0)代入上式即可求解；【解答】解：由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，1x =时，2(12)20y a =+-=，解得：29a =，故抛物线的表达式为：22(2)29y x =+-；6.一个二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，且顶点为(1,4)，那么这个函数的解析式是_________．【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a 的值一样，设出解析式23()y x h k =-+，根据顶点为(1,4)，即可得到答案．【解答】解： 二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，3a ∴=，设二次函数的解析式为23()y x h k =-+，顶点为(1,4)，1h ∴=，4k =，∴这个函数的解析式是23(1)4y x =-+，故答案为：23(1)4y x =-+．7.若抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()10B ,，则抛物线的函数关系式为（）A ．243y x x =+-B ．243y x x =-+-C ．243y x x =---D ．243y x x =-++【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），∴设抛物线的函数关系式是y =a （x -2）2+1，把B 点的坐标代入得：0=a （1-2）2+1，解得：a =-1，即抛物线的函数关系式是y =-（x -2）2+1，即y =-x 2+4x -3．故选：B ．8.二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（）x…0134…y …242-2…A ．抛物线开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．当02x <<时，1724y <≤D ．y 的最大值为29【答案】C 【详解】解：将点()0,2，()1,4，()3,2代入二次函数的解析式，得：24934c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵10-<，∴抛物线开口向下，∴A 选项不符合题意；∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为32x =，这时抛物线取得最大值17y 4=，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大；当32x >时，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，y 随x 的增大先增大，到达最大值174后，y 随x 的增大而减小，∴B 选项不符合题意；∵当0x =时，2y =；当2x =时，4y =，又∵抛物线的对称轴为32x =，当32x =时，17y 4=，又∵17244<<，∴当02x <<时，1724y <≤，∴C 选项符合题意；∵抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，抛物线取得最大值17y 4=，∴D 选项不符合题意．故选：C ．9.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y =-6x 2+3x +4B ．y =-2x 2+3x -4C ．y =x 2+2x -4D ．y =2x 2+3x -4【答案】D【详解】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选D10.如果抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x =-3，且开口方向与形状与抛物线y =-2x 2相同，又过原点，那么a =_______，b =_______，c =_______．【答案】-2-120【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 的开口方向，形状与抛物线y =-2x 2相同，∴a =-2，∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-3，∴-2b a=-3，即-()22b ⨯-=-3，解得b =-12；∵抛物线过原点，∴c =0．故答案为：-2，-12；0．11.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：（1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______；（2）m 的值是_______，n 的值是_______；（3）这个二次函数的解析式为_________．【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（3）待定系数法求解析式即可求解．【解答】解：（1）根据二次函数图象的对称性，可知，当0x =时与2x =时，函数值相等，∴对称轴为直线1x =，当1x =时，1y =-，即顶点坐标为(1,1)-，故答案为：1x =，(1,1)-；（2） 对称轴为直线1x =，3y ∴=时，1x =-或x n =，∴112n -+=，解得：3n =，当4x =与2x =-时，函数值相等，8m ∴=，故答案为：8，3；（3） 顶点坐标为(1,1)-，设该二次函数解析式为2(1)1y a x =--，将(0,0)，代入得01a =-，解得：1a =，∴二次函数解析式为：22(1)12y x x x =--=-，故答案为：22y x x =-．12.已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点，且BC =5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），再利用B 点坐标和BC ＝5得到C 点坐标，然后把C 点坐标代入可求出a 的值，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），∵B （4，0）两点，交y 轴于C ，BC ＝5，∴C 点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C 点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a =34，所以此时抛物线的解析式为y =34（x ﹣1）（x ﹣4）=34x 2−154x +3；当C 点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a =−34，所以此时抛物线的解析式为y =−34（x ﹣1）（x ﹣4）=−34x 2+154x ﹣3，所以该二次函数的解析式为y =34x 2−154x +3或y =−34x 2+154x ﹣3．13.二次函数图象过A ，C ，B 三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A ．B 两点的坐标及点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ．求出点C 的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．【解答过程】解：∵A （﹣1，0），B （4，0）∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO +OB ＝1+4＝5，∴OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∵二次函数图象过A ，C ，B 三点，∴−+=016+4+=0=5，解得=−54=154=5，∴二次函数的表达式为y =−54x +154x +5．。
教材课题 二次函数 类 型 新课 教 学 要 求 1、知识与技能：①理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式②会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围③会用待定系数法求二次函数的解析式2、程序性目标：①让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程②使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解次问题的能力3、情感与价值目标：通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点教材重点难点 重点：理解二次函数的概念，了解函数解析式难点：有些实际问题较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力 教学过程：一、知识回顾（多媒体出示）函数 概念 自变量的取值范围一次函数正比例函数反比例函数二、合作学习（多媒体出示）请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )（2）某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x ，三月份的利润为y（3）拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)1113x（一）教师组织合作学习活动：1、 先个体探索，尝试写出 y 与x 之间的函数解析式2、化简三个函数解析式（1）y =πx 2（2）y=2x 2+4x+2（3）y=-x 2+58x-112（二） 教师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 让学生充分发挥意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式得出二次函数的概念：我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ；称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项（三）考一考函数我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,c 是常数),当a,b,c 满足什么条件时（1）它是二次函数（2）它是一次函数（3）它是正比例函数（四）练一练1、下列函数哪些是二次函数(1)2x y = (2) 21xy -= (3))1(x x y -= （4）()221x x y --= (5))1)(1()1(2-+--=x x x y 2、说出下列二次函数的二次项系数，一次项系数，常数项()1125812-+-=x x y ()22x y π=()()()655413222-=+=---=x y x x y x x y 教师提醒：先化简，后判断（五）展示才智若函数()m m x m y --=212为二次函数时，求m 的值教师提醒:为二次函数一定要保证二次项系数为零和自变量最好次数为两次三、例题示范例1 已知二次函数 q px x y ++=2，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。
初高中数学衔接课程教案09 二次函数的解析式与图像一、知识点梳理1、二次函数的图像性质二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x的增大而增大；当x ＝2ba -时，函数取最小值y ＝244acb a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x的增大而减小；当x ＝2ba -时，函数取最大值y ＝244acb a-．2、二次函数的三种解析式形式1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2）顶点式：y＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )． 3）交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标． 在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典型例题例1、求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得k ＝－1，b ＝200．∴y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3、把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，图2．2－5240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4、已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例5、已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以①图2．2－6②③将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例6、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 例7、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．三、巩固练习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（） （A ）y ＝2x 2（B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x 答案：D（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 答案：D 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n ＝． （2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x时，y 随着x 的增大而减小． 答案：（1）4，0 （2）2，-2，0（3）下，x=-2,（-2，5），-2，大，5，大于-23．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3；（2）y ＝1＋6 x －x 2．答案：略4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3． 答案：（1）最大值为3，x=-2 (2)最大值为4，x=-1（3）最大值为4，x=-1，最小值为0,x=1 (4)最大值为3，x=0,最小值为-12，x=322,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩5、（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定 答案：A（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 答案：C 6、（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ． 答案：(x+1)(x-2)（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为． 答案：47、根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)． 答案：（1）223y x x =-+- （2）()23352y x =-+（3）(211y x x =-+-。
第二十二章二次函数22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的表达式.2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.难点：会用待定系数法求二次函数的表达式.一、知识链接1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的表达式问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式. 要点归纳：用一般式法求二次函数表达式的方法已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.练一练下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的表达式.试一试已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1，0)．求这个二次函数的解析式；例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 要点归纳：用顶点法求二次函数的方法已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.练一练已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．探究点3：用交点法求二次函数的表达式问题选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试出这个二次函数的表达式.要点归纳：用交点法求二次函数表达式的方法已知抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；（3）如图，图象经过A，B，C三点．三、课堂小结.2.过点(2，4)，且当x=1时，y 有最值为6，则其表达式是 .3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．4.已知抛物线与x 轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．5.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A(－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积． 参考答案 自主学习 知识链接 1.2个 2个2.(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式） 课堂探究 二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的表达式问题 （1）3个 由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式. （2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c.由已知，图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方程组10,4,427,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,3,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所求二次函数解析式为y=2x 2-3x+5. 例1 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax 2+bx+c ，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得4214,93110,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,23.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求的二次函数的表达式是2331.22y x x =-+ 练一练 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax 2+bx+c ，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax 2+bx+c 得930,0,3,a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩解得1,4,3.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的表达式是y=-x 2-4x-3.探究点2：用顶点法求二次函数的表达式试一试 解：把（-1，0）代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=-1，则函数解析式为y=-(x-1)2+4. 例2 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点（0,1），可得1=a(0-8)2+9.解得a=1.8-∴所求的二次函数的解析式是y=()28189.x --+ 练一练 解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，解得a=1.3-∴二次函数的关系式为y=()25134.x --+探究点3：用交点法求二次函数的表达式问题：解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x 1)(x-x 2).其中x 1、x 2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x 2-4x-3.例3 解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a ·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x 2+4x-3.（2）解：∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a=2.3-∴抛物线的解析式为y=()2223 3.x +-+（3）根据图象可知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0），B （0，-3），C （4，5）三点，代入可得0,3,1645,a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,2,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的表达式是y=x 2-2x-3.当堂检测 1.234y x =2.y=-2(x-1)2+6 3.解：设这个二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．依题意得5,4,1,a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得2,3,4.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴这个二次函数的表达式为y ＝2x 2＋3x －4.4.解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.5.解：(1)把点A(－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴ 2b- ＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的表达式是y ＝x 2＋6x ＋5.(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴S △BCD ＝12×8×7＝28.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
初中数学教案二次函数的解析式初中数学教案：二次函数的解析式一、引言二次函数是数学中常见的函数类型之一，它在一元二次方程的解析式中有着重要的应用。
本教案旨在通过引入二次函数的解析式，帮助初中学生理解和掌握二次函数的相关概念与解析方法。
二、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一个自变量为x，因变量为y的函数，其定义域为全体实数集，表示为f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 二次函数图像的性质a) 抛物线开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b) 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h=-b/（2a），k=f(h)。
c) 对称轴：抛物线的对称轴为x=h。
d) 判别式：二次函数ax^2+bx+c=0的判别式Δ=b^2-4ac，用于判断二次方程的解的情况。
三、二次函数的解析式1. 一般形式的解析式对于一般形式的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，解析式可通过以下步骤确定：a) 求出顶点坐标：h=-b/（2a），k=f(h)；b) 根据顶点坐标，构建一般形式的解析式：f(x)=a（x-h)^2+k。
2. 标准形式的解析式当二次函数的顶点坐标已知时，解析式可以用标准形式表示。
标准形式的解析式为f(x)=a（x-p）^2+q，其中(p，q)为顶点坐标。
3. 简化形式的解析式a) 当二次函数的顶点坐标为(0，c)时，解析式可以简化为f(x)=ax^2+c；b) 当二次函数的顶点坐标为(0，0)时，解析式可以简化为f(x)=ax^2。
四、二次函数的解析式在问题中的应用1. 求解二次方程a) 当二次方程给出的是一般形式的二次函数，可以利用解析式的顶点坐标求解。
b) 当二次方程给出的是标准形式的二次函数，可以直接读取解析式的参数求解。
2. 分析二次函数图像a) 根据解析式中参数a的符号，判断抛物线的开口方向。
b) 利用解析式中的顶点坐标，确定抛物线的顶点位置和对称轴。
二次函数解析式教案二次函数解析式教案是数学教学中的一项重要内容，它与高中数学课程的教学大纲密切相关。
本文将介绍二次函数解析式教案的核心内容和教学方法，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。
Part 1: 二次函数的介绍二次函数是一种常见的数学函数，它是一次项的平方和一常数，在数学中，表示为y=ax2+bx+c。
其中，a、b、c都是实数，而x和y是变量。
此外，a不等于0。
二次函数的图像都是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
二次函数的定义和性质在高中数学的课程中是很重要的内容，因为它们是数学的基石之一。
如果掌握了二次函数的性质，学生就能更好地理解高中数学中的其他重要内容，如解方程、求导、积分等。
Part 2: 二次函数的解析式二次函数解析式是二次函数的一种表达方式，通过它可以便捷地求出函数的图像、顶点、轴线等信息。
二次函数的解析式通式为y=a(x-h)²+k。
其中，h和k分别表示抛物线的顶点的横坐标和纵坐标，而a则表示到顶点距离为1时的纵坐标变化量。
在将二次函数转换为解析式时，我们首先需要求出顶点（x0，y0），然后确定抛物线的开口朝上或朝下，然后根据图像的特点得出二次函数的解析式。
Part 3: 教学方法为了帮助学生更好地理解和掌握二次函数解析式的知识，我们可以采用以下教学方法：1.基础知识培养在介绍二次函数解析式的相关知识之前，我们要确保学生已经掌握了相关的基础知识。
我们可以通过举例子、练习题等方式来帮助学生巩固基础知识。
2.教授公式教师可以使用具体实例来解释二次函数的解析式，例如将二次函数分解为标准式，然后应用公式求解顶点和其他基本信息。
3.实践教师之后可以让学生通过实践操作来深入理解二次函数解析式的知识。
具体可以使用解析式来绘制二次函数的图像，来检查学生是否真正掌握了相关知识。
Conclusion在高中数学课程中，二次函数解析式是非常重要的一部分，它关系到学生是否能够更好地学习其他相关知识。
2015年中考解决方案二次函数解析式学生姓名：上课时间：内容基本要求 略高要求较高要求 二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题二次函数解析式的确定1. 待定系数法确定解析式解析式已知点 备注 一般式：2y ax bx c =++(0)a ≠已知任意3点顶点式：2()y a x h k =-+(0)a ≠已知顶点和图象上的任意一点 已知对称轴时，也可以设顶点式交点式：12()()y a x x x x =--(0)a ≠已知二次函数与x 轴的两个交点坐标，和图象上任意一点对称式：12()()y a x x x x k =--+(0)a ≠已知抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 和图象上任意一点补充说明：① 当已知抛物线对称轴时，我们可以根据抛物线的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，从而得到未知的点坐标；② 当已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为122x x x +=； ③ 对于任意的二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，利用求根公式可得2142b b ac x a-+-=，2242b b ac x a---=，可知22212444||22b b ac b b ac b ac x x a a a -+------=-= ④ 根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则自检自查必考点二次函数解析式中考说明可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 2. 平移法确定解析式 1.化成顶点式后平移①先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；再利用顶点的平移来确定新的顶点坐标； 再写出新的函数解析式；②在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”。
待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--． 【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939cbacbacba解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531cba∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).举一反三：【变式】（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x2+x；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 ．当x 时，y ＞0．【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y ＞0时，求x 的取值范围，即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值．【答案】y=x 2﹣4x+3．x ＜1，或x ＞3 【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a （x ﹣1）（x ﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a （0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1．故函数表达式为y=x 2﹣4x+3． 由图可知当x ＜1，或x ＞3时，y ＞0．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-g ， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式． 【巩固练习】 一、选择题1.（2016•厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）A ．E ，FB ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G2．二次函数225y x x =+-有( )A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值-6D ．最大值-6 3．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）A . y=3(x －3)2+2B .y=3(x+3)2+2C .y=3(x －3)2－2D . y=3(x+3)2－2 4．如图所示，已知抛物线y ＝2x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y-27-13-3353则当x ＝1时，y 的值为 ( )A ．5B ．-3C ．-13D ．-27 二、填空题7．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．第7题 第10题8．（2016•河南）已知A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．9．已知抛物线222y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x 的取值范围是____ ____．11．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x… 32- -1 12- 0 12 1 32 … y…54- -294- -254- 074…则该二次函数的解析式为_____ ___．12．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____． 三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y ＝-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．15．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ．【解析】∵F （2，2），G （4，2）， ∴F 和G 点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴H （3，1）点为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+1， 把E （0，10）代入得9a+1=10，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x ﹣3）2+1．2.【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-， ∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1时，6y =-最小． 3.【答案】A ； 4.【答案】D ；【解析】∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， ∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称，又∵ A(0，3)， ∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3， ∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2y x x =+的顶点坐标是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，232y x x =-+的顶点坐标是31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 移动的距离31222a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x ＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x ＝-4和x ＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x ＝-3，再由对称性可知x ＝1的函数值必和x ＝-7的函数值相等，而x ＝-7时y ＝-27． ∴ x ＝1时，y ＝-27． 二、填空题7．【答案】223y x x =-++；【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)y x x =-+-． 8.【答案】（1，4）．【解析】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点， ∴代入得：，解得：b=2，c=3， ∴y=﹣x 2+2x+3 =﹣（x ﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）．9．【答案】(1)x ＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式2bx a =-和顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即可.10．【答案】12x ≥； 【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入2y x bx c =++中得b ＝-1， ∴ 对称轴为12x =，在对称轴的右侧，即12x ≥时，y 随x 的增大而增大. 11．【答案】22y x x =+-；【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x 、y 值， 从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2y ax bx c =++，用待定系数法求解．设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,1,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴ 二次函数解析式为22y x x =+-．12．【答案】21(3)22y x =--；【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)． 三、解答题 13.【答案与解析】 (1)∵ 顶点是(1，2)， ∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0)．又∵ 过点(2，3)，∴ 2(21)23a -+=，∴ a ＝1． ∴ 2(1)2y x =-+，即223y x x =-+．(2)设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得5,7,1.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的函数解析式为2571y x x =-+． (3)由抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a＝-1，∴ y ＝-(x-1)(x-3)，即243y x x=-+-．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴ AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴ C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a=++≠，则有0,9312,a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得5,61762.abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴所求抛物线的解析式为2517266y x x=-+．15.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC =S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．- 11 -。
初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
=*舟■，解得a ■— *・因此、所求二次隔数的解析式是$ = — 丁“ 45) (=~ 1),即* 5=—丄— -—x 十3 3 3 3 (2)如图3-2-2.根据观1)与(0, 1)两点关于直 线龙=一裆对紹又图像垠高点的函数值为召所以価数圏像& 4的顶点为何■设画数的解析式是$ = 4(工+ *)「+斗，将(0,"代入，得I §+ 丁 = 1 ■解得 a =— L J* Z-24 4 ＜ 2 -同此▼所求二次陋数曲解析式是y =—(工 + g) +〒，即眾=*— x 3 —工4 1.、 J f 4点评本题的解题羌键是充分利用二次晶数图像的轴对称性*由对称点确定对称轴方 程，或由对称轴确定对称点坐标，从而挖械出新的条件.顶点是抛物线中的特殊点，起到^一个顶俩無的作用•住下面的题目中，是否隐1 -3巳知抛物线$ =卅+此十贮与工轴只有~个公共点A<2» Q■它与y 轴的交点 为及(1) 求叽r 的值#(2) 如图3-2-3,点M 为线段AE 的中点，求图像经过(X Al.A 三点曲二次函数的解析式.解⑴Y 拋物线匀工轴只有〜个公共点(纭0),即为頂点, & =1…；抛物线的表达式是y = Q — 2>2,W y =护一4直十仁 得血=—4 * £ n 4*<2〉将x = 0代人y = # — 4工十4,得y = 4，二抛物线与y 仙的交点E 的坐麻为(5 4人又匚点A 的坐擁为(氛0几•： AB 中点M 的坐标为<1*2).'：。
、A 关于直线工=】对弥，点M 在直线工=1上，化M 是所求抛物线的顶点. 设函数的解析式是yz 5-【尸+氛将W, 0)代人，得a + 2 = 0,解得凸=一玄 丙此'二次甬数的解析式Jft y g —2 <x — 1 )2 +氛即y R —滋‘ + 4工点评樓携團像的赫從，介析条件的柞用，見濡捕定解析式形式的逸魏，世能事芈功馆. 直取轉&(1)几何背景下的二次函数解析式二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上□例环解例2在坐标平闻上，0为原点，已知点A(2, 2)，点伏C在 丁轴上,EC N 趴AB = AC,直线AE 交工軸于点D仃》求点G D 的墮标『(2)求图像经过A 、C\ D 三点的二次亟数的解析式. 解(1〕如图37-4,作AE 丄y 轴于E,得AE = OE^2. EB wEC =丄/3C 齐 4’0C = EC -0E =2,齐 C©-2).08 = 2 OE 4- EC =5 6 , :* D(3f 0).⑵设二次函数的解析式为 汁占+虹+“将A (签— 0)三点塑标代人，得(4 + %+亡严 2»■ * c =—2» 解得 a ==—■盒L9a +3 占+『=0*4 * 14因此，所求二次函数的解析式为/ ― 护 +亍花一 2-V AE // x 轴" t OD I t = AE BO B£ 即空=2,得OD = 3T 2 4点评在坐标平面上含有几何5?景的条件下Y要求析戎，一離是先根据几何图序的条件求由相关点的豎标，再用待定系般法求圉数解析式，这是一类典型的数形结會问题, 对知识的蛭合能力有一定的妥求.£3举一反三“三点确定一个二次曲数的解析式”这句话对不对？请看下面的问题・2-1巳知乎面直角坐标系中两点A(l, 2〉和B(0, 3),点C在d轴上，线段AC的长是2施⑴求点C的坐标；(2>如果一个二次函数的图像经过A、B、C三点*求这个二次函数杓解析式・解(1)没CS* 0)・»I •Z ACl f 2)t AC = 2^2, A (工一1卩 +公=<2V2)\解得百=3严=一1・A点C的坐标为(3, 0)或(一几0).(2)当点C的坐标为(3, 0)时•设图像过A、E* C三点的二次函数的第析式为y = fa + fr + r =2 T“d +处+c a工0),将A.枳C三点坐标代人，得* = 3*〔9直 + 36 + c = 0.. ・八■解得氐=0,方=—1* c =3,这与a 0 T盾、舍去.当点C的坐标为(一1, 0)时■设图像过A、B、C三点的二次西数的解析式为y^ax2+2-2已知抛物线y=皿‘ +4" +占(a H 0)与工轴的一个交点为缸一1* 0人(D求抛物线与尤轴的另一个交点E的坐标扌(2)设°是抛物线与y轴的交点*C是抛物线上的~点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此拋物线的表达式.M (1)'•*对称轴为•上=—訂*即工=—2,A(—1* 0)关2a于x=-2对称点的坐标是(一3復0), A B的坐标为(一3’ 0). ⑵*•*拋物线与工轴的交点为(一1, 0)、(—3. 0)»•:设拋物线的表达式为y = a(x + l)(x + 3).:*当上=0时Q =3鮎D(0t 3a) t D关于龙=-2的对称点是C(-4, 3a), A CD= 4・:、~ 石AE * OD = y (4 + 2) I 3a I = 9*解得0 =±= 1 时如图3-2-6)因此.所求抛物线的衷达式是j —x! +4r + 3或y =—x z—4x —3,点评解题it程中民复利用二次函牧田像的对称性•一般地，如果横坐樁分別为心和工2的两点A、B关，再缆工=Hi灯棘，那么一一-=m.又已知百*则龙工=2撷一工|, 81此在A* 23两点中，可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标（纵坐标不变）* 在二次函数的图像中渗透三角比运算，是常见的代数与三角的综合问题.—3如图3-2-7>在道角坐标系xOy中"拋物线『= 加云一6a込+ 6与y轴的公共点为A,第一象限点B、C在此抛物线Jt,AB 〃上轴，ZAOB = ZCO J»0C工2尽<1）求点C的坐标$（2）求抛物线的顶点坐标.解（1）当兀=0时小◎ 6* ：・A（0»6）.* AiS 〃龙轴，二点£的纵坐标为6. 6 =：2a X2—6az + 6. 丫盘H 0, •；刊=0,匕二3.代点B的坐标为（3,6）. 图3-2-7 化OB = J衣鼻6更=3岳，sinZAOB工磐="V5如图3-2-8,ii点C作CD丄£轴，垂足为DV ZAOB = ZCOD. CD = OC • sinZCOD = OC • sin ZAO B=2A/5•=2TVs:.OD = 二CD© = J20 - 4 = 4. A C(4, 2)-(2) •:点C在此抛物线上，将(4,刀代入y = 2应<一弘戈+图3-2-86、得a = *, / 3 < 33矗抛物线为y=—卫十3^ + 6,即)=一(工〜牙)+了・A抛物线的顶点坐标为& y）.ij—< 6a 3 点评也可以利用公丸工=-議束出枫物践的对艦袖，冲直—厂无，即工=空，得点A（0. 6》关于直錢工=¥的对■称恵为（3, 6）・£三.解析式系数特征的确定根据两散图像的特征来确定系数S筑S以及由g右、亡组成的代数式的符号*魁对二次函数解析式的进一步解读.例例3已知二次函数y^az2+br^c (a 0)的图像如图3 7-9所示点确定以下各誥的符号’S 扒c,於一4w、a + b + c-r a —b + c + 一乩ff T函数图像开口向上d>0.丫肘称轴在丫緬右侧…；一?>久色<山臨b<0・ 2a aT函数图像与y轴的交点左原点下方*二c<0.V函数图像与玄轴有两个交点,b3- 4ac > 0.V Sx- 1时函数值为负，-戊+占+芒<0・V当工=一1时函数值为正*几厲一力+匸：>6•:对隸轴左直线工=1的左侧二一刍VI.Ju又V a > 0, A -b<2a.即滋 + b > 0.V ^ > 0,J < Or ；* 2a-A> 0,点评粮提二次團敎圍像的大敷荫呪可祸判斷系张5 X占及其右关的一些代歎式的苻号，其中尤其是利别式沪一4“的41号：举一反三二次函数系数特征的题目常以选择题的形式出现，在一道题目中，要判断几个系数及其代数式的符号情况，要综合考虑，有时还要分类讨论。
