第6讲 二次函数几何综合(1)(教师版)

二次函数(h ánsh ù)与几何(j ǐ h é)综合典题题例1．已知抛物线的顶点(d ǐngdi ǎn)坐标为（3，-2），且与轴两交点(ji āodi ǎn)间的距离为4，求其解析(ji ě x ī)式。

例2.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 在点B 的左边，与轴交于点C ，若△AOC 与△BOC 的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a ），求这个二次函数的解析式。

例3.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像过点E （2，3），对称轴为x ＝1，它的图像与x 轴交于两点A 。

（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

例4.如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、轴分别相交于A （-1，0）、B （3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D 。

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。

例5：如图，已知抛物线的图像(tú xiànɡ)与X轴交于A、C两点。

l的解析(jiě xī)式；（1）若抛物线与关于(guānyú)x轴对称，求2l上一动(yīdòng)点（B不与A,C重合(chónghé)），以（2）若点B是抛物线1AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求l上；证：点D在2l在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形（3）探索：当点B分别位于1ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________．y xCB AO提示：（1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢ 知识点睛1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________． 2. 研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．=6时，点G的坐标为_______________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD关于l的对称点为E，求点E的坐标．（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5. 如图，抛物线y =ax 2-5ax+4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点G 的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练（2）(3，0)或(-2，-5)3.（1）y=x2-2x-3；（2）m=4或m=-1．二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．(2+2x-3第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ， 易得l AC ：y =-x -3设点P 的横坐标为t ，则P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴2139()222ACP C A S PQ x x t t =⋅-=--△（-3＜t ＜0） ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-，∴当32t =-时，S △ACP 最大，为278．第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；当四边形是□ABEF时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．➢巩固练习1.如图，直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A，B两点，C是抛物线的顶点．（1）在直线AB上方的抛物线上有一动点P，当△ABP的面积最大时，点P的坐标为__________________．（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，则M，N两点的坐标为_______________．2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且112αβ+=-．抛物线的对称轴为直线l，与y轴的交点为点C，顶点为点D，点C关于l的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为_________．（2）连接CD，在直线CD下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G的坐标为______________．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为_______．3.已知抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△BCQ与△BCP的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是抛物线上一动点，点F是x轴上一动点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b与y轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴l上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】1.（1）23 (1)4，；（2）M1(-10，-19)，N1(-20，-14)；M2(12，-30)，N2(2，-25) 2.（1）y=-x2+4x+2；（2）G1(-1，-3)，G2(3，5)；（3）1(40)Q，2(40)Q，3(0)Q，40)Q3.（1）y=-x2+4x-3；（2）存在，Q1(1，0)，237 (22Q --，，337(22Q+-+，；（3）存在，F1(7，0)，F2(-1，0)．4. （1）211222y x x =--；（2）3x =（3）存在，1313()28P -，，2113()28P --，，3117()28P -，．。

二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）；（2）存在，P 的坐标为（43，139）或（23，119-）；（3）存在，点P 的坐标为（－4，5）或（52-，74-）；（4）点M 的坐标为（0－3）；（5）存在，P 1，－32）或（1-，－32）；（6）点M 的坐标为（52-，12-）或（12，72-）；（7）在y 轴上存在点N ，点N 的坐标为（0，±2）；（8）见解析，（－1，－3）．【详解】答案：（1）解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）． （2）解：假设存在，如图，当点P 在x 轴上方时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设点P 的坐标为（a ，223a a +-）， 则90PHA COE ∠=∠=︒，∵点A （－3，0），点C （0，－3），点E （－1，0），点P （a ，223a a +-）， ∴AH ＝a －（－3）＝a ＋3，PH ＝223a a +-，OC ＝3，EO ＝1，∵PAO OCE ∠=∠，90PHA COE ∠=∠=︒， ∴PHA EOC △∽△， ∴PH AHEO OC=， ∴223313a a a +-+=， 解得：143a =，23a =-（不符合题意，舍去）， 此时2164132323939a a +-=+⨯-=， ∴点P 的坐标为（43，139），当点P 在x 轴下方时，如图，过点P '作P F '⊥x 轴于点F ，设点P '的坐标为（b ，223b b +-）， 则90P FA COE '∠=∠=︒，∵点A （－3，0），点C （0，－3），点E （－1，0），点P '（b ，223b b +-）， ∴AF ＝b －（－3）＝b ＋3，P F '＝223b b --+，OC ＝3，EO ＝1， ∵P AO OCE '∠=∠，90P FA COE '∠=∠=︒， ∴P FA EOC '△∽△， ∴P F AFEO OC'=， ∴223313b b b --++=，解得：123b =，23b =-（不符合题意，舍去）， 此时242112323939b b +-=+⨯-=-， ∴点P '的坐标为（23，119-）， 综上所述，在抛物线上存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，此时点P 的坐标为（43，139）或（23，119-）．（3）解：假设存在，如图，当点P 在直线AC 的右上方时，设直线AD 为y kx b =+，将A （－3，0），D （－1，－4）代入，得304k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得：26k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 为26y x =--， ∵PCA CAD ∠=∠， ∴//PC AD ，∴设直线PC 为12y x b =-+， 将C （0，－3）代入，得13b =-， ∴直线PC 为23y x =--，将23y x =--与223y x x =+-联立方程，得22323x x x +-=--，解得：14x =-，20x =（不符合题意，舍去） 当4x =-时，235y x =--=， ∴点P 的坐标为（－4，5）；如图，当点P '在直线AC 的左下方时，延长CP '交x 轴于点G ，延长AD 交y 轴于点H ，∵直线AD 为26y x =--， ∴当x ＝0时，y ＝－6， ∴OH ＝6，∵P CA CAD '∠=∠，45OCA OAC ∠=∠=︒， ∴P CA OCA CAD OAC '∠+∠=∠+∠， 即：P CO OAD '∠=∠， ∴在△GOC 与△HOA 中，OCG OAH OC OA COG AOH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△GOC ≌△HOA （ASA ）， ∴OG ＝OH ＝6，∴点G 的坐标为（－6，0）， 设直线CG 为22y k x b =+，将G （－6，0），C （0，－3）代入，得603k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：123kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线CG为132y x=--，将132y x=--与223y x x=+-联立方程，得21 2332x x x+-=--，解得：15 2x=-，20x=（不符合题意，舍去）当52x=-时，17324y x=--=-，∴点P的坐标为（52-，74-），综上所述，抛物线上存在点P，使得PCA CAD∠=∠，此时点P的坐标为（－4，5）或（52-，74-）．（4）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，∵点D为（－1，－4），点C为（0，－3），∴DE＝OH＝4，OC＝3，DH＝1，∴CH＝OH－OC＝1，∴在Rt△CDH中，CD∵DM平分CDF∠，∴∠CDM＝∠FDM，∵DF//y轴，∴∠CMD＝∠FDM，∴∠CMD＝∠CDM，∴CM＝CD∴OM＝OC－CM＝3又∵点M在y轴的负半轴上，∴点M 的坐标为（03）． （5）解：假设存在，∵POC PCO ∠=∠， ∴PC ＝PO ，∴点P 在OC 的垂直平分线上， ∵O （0，0），C （0，－3），∴OC 的垂直平分线为直线y ＝－32，将y ＝－32代入223y x x =+-，得23232x x +-=-，解得：11x ，21x =，∴在抛物线上存在点P ，使得POC PCO ∠=∠，此时点P 1，－32）或（1，－32）． （6）解：若点M 在点C 的左上方时，满足2AMB ACB ∠=∠，如图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，过点C 作CG ⊥MH ，交HM 的延长线于点G ，∵2AMB ACB MBC ACB ∠=∠+∠=∠， ∴ACB MBC ∠=∠， ∴MB MC =，设直线AC 为y kx b =+，将A （－3，0），C （0，－3）代入，得303k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 为3y x =--， ∵点M 在直线AC 上，∴设点M 的坐标为（x ，－x －3）， 又∵点B （1，0），点C （0，－3），∴MH ＝x ＋3，BH ＝1－x ，MG ＝－x －3－（－3）＝－x ，CG ＝－x ， ∴在Rt △MHB 中，22222(3)(1)MB MH BH x x =+=++-， 在Rt △MGC 中，222222()()2MC MG CG x x x =+=-+-=， ∵MB MC =， ∴22MB MC =， ∴222(3)(1)2x x x ++-=， 解得：52x =-，将52x =-代入3y x =--，得12y =-，∴此时点M 的坐标为（52-，12-），若点M '在点C 的右下方时，满足2PM B ACB '∠=∠， 如图，过点M '作M N AB '⊥于点N ，∵2PM B ACB '∠=∠，2AMB ACB ∠=∠，∴AMB PMB '∠=∠， ∴MBMB '=， 设点M '的坐标为（m ，－m －3），又∵点B （1，0），点M （52-，12-），∴MH ＝52-＋3＝12，BH ＝1－（52-）＝72，M 'N ＝－m －3，BN ＝1－m ，∴在Rt △MHB 中，222221725()()222MB MH BH =+=+=， 在Rt M NB '△中，22222(3)(1)M B M N BN m m ''=+=--+-，∵MBMB '=， ∴22M B MB '=， ∴2225(3)(1)2m m --+-=， 解得：112m =，252m =-（不符合题意，舍去）， 将12x m ==代入3y x =--，得72y =-，∴此时点M '的坐标为（12，72-），综上所述，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，点M 的坐标为（52-，12-）或（12，72-）．（7）解：假设在y 轴的正半轴上存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，如图，过点N 作NM ⊥BN ，交CB 的延长线于点M ，过点M 作MH ⊥y 轴于点H ， 则∠MHN ＝∠MNB ＝∠BON ＝90°，∵点A （－3，0），点C （0，－3）， ∴OA ＝OC ＝3， 又∵∠AOC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠OCA ＝45°， ∴45BCO BNO BAC ∠+∠=∠=︒， ∴45MBN BCO BNO ∠=∠+∠=︒， ∵∠MNB ＝90°，∴∠NMB ＝∠MBN ＝45°， ∴NB ＝MN ，∵∠MHN ＝∠MNB ＝90°，∴∠HMN ＋∠HNM ＝∠ONB ＋∠HNM ＝90°， ∴∠HMN ＝∠ONB ， ∴在△HMN 与△ONB 中，MHN NOB HMN ONB MN BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△HMN ≌△ONB （AAS ）， ∴HM ＝ON ，HN ＝OB ， ∵点B 坐标为（1，0）， ∴HN ＝OB ＝1，设HM ＝ON ＝a ，则OH ＝ON ＋HN ＝a ＋1， ∴点M 的坐标为（a ，a ＋1）， 设直线BC 为y kx b =+，将B （1，0），C （0，－3）代入，得3k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：33k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 为33y x =-， 将点M （a ，a ＋1）代入得：133a a +=-，解得：2a =，∴点N 的坐标为（0，2），当点N 在y 轴的负半轴时，如图所示，根根轴对称的性质可得此时点N 的坐标为（0，－2）， 综上所述，在y 轴上存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，此时点N 的坐标为（0，±2）． （8）解：如图，过点D 作直线l ⊥y 轴，过点M 、N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点H 、G ，设点M 的坐标为（m ，223m m +-），点N 的坐标为（n ，223n n +-）， ∵顶点D 的坐标为（－1，－4），且M 、N 分别位于点D 的左右两侧， ∴2223(4)21MH m m m m =+---=++，1HD m =--，2223(4)21NG n n n n =+---=++，(1)1DG n n =--=+，根据题意可得90MHD DGN MDN ∠=∠=∠=︒， ∴90MDH HMD MDH GDN ∠+∠=∠+∠=︒， ∴HMD GDN ∠=∠， ∴HMD GDN △∽△， ∴MH HDDG NG=， ∴22211121m m mn n n ++--=+++，即22(1)(1)1(1)m m n n +-+=++， ∴(1)(1)1m n -++=， 整理得：20mn m n +++=， 设直线MN 为y kx b =+，将M （m ，223m m +-），N （n ，223n n +-）代入，得222323km b m m kn b n n ⎧+=+-⎨+=+-⎩， 解得：23k m n b mn =++⎧⎨=--⎩，∴直线MN 为(2)3y m n x mn =++--， ∵20mn m n +++=， ∴2m n mn ++=-，∴直线MN 为3(1)3y mnx mn mn x =---=-+-， ∴当10x +=即=1x -时，=3y -，∴无论m ，n 取何值，直线MN 总会经过定点（－1，－3）， ∴直线MN 恒过定点，该定点坐标为（－1，－3）．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥【分析】（1）设抛物线的解析式为()221y a x =--，把点O (0，0)代入即可求解；（2）求得B (0，0)或B (8，8)，分两种情况讨论，①当点B 的坐标为(0，0)时，过点B 作BC ∥AP 交抛物线于点C ，利用待定系数法求得直线BC 的解析式为12y x =，解方程组即可求解；②点B 的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M (85，165)，同①可求解；（3）作出如图的辅助线，点B 的坐标为(t ，214t t -)，得到AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ，由AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ，△ABH ~△BMN 得到M (0，2144t t -+)，求得BC 的解析式为：24144y x t t t =-+-+，解方程组求得点C 的横坐标为164t t--+，即可求解．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为P (2，-1)，∴设抛物线的解析式为()221y a x =--， ∵抛物线经过原点O ，即经过点O (0，0)， ∴()20021a =--， 解得：14a =， ∴抛物线的解析式为()22112144y x x x =--=-； （2）在()21214y x =--中，令y x =， 得：()21214x x =--， 解得0x =或8x =， ∴B (0，0)或B (8，8)，①当点B 的坐标为(0，0)时，过点B 作BC ∥AP 交抛物线于点C ， 此时∠ABC =∠OAP ，如图：在()21214y x =--中，令0y =， 得：()212104x --=， 解得：0x =或4x =， ∴A (4，0)，设直线AP 的解析式为1y kx b =+， 将A (4，0)，P (2，-1)代入得110412k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得：1122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 的解析式为122y x =-，∵BC ∥AP ，∴设直线BC 的解析式为212y x b =+， 将B (0，0)代入得20b =， ∴直线BC 的解析式为12y x =， 由()2121214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得：00x y =⎧⎨=⎩(此点为点O ，舍去)或63x y =⎧⎨=⎩， ∴点C 的坐标为(6，3)；②点B 的坐标为(8，8)时，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：∵A (4，0)，P(2，-1)， ∴PQ =1，AQ =2，在Rt △APQ 中，1tan 2PQ OAP AQ ∠==， ∵A (4，0)，B (8，8)， ∴AH =4，BH =8，在Rt △ABH 中，1tan 2AH ABH BH ∠==， ∴∠OAP =∠ABH ，∵H 关于AB 的对称点为M ， ∴∠ABM =∠ABH ，∴∠ABC =∠OAP ，即C 为满足条件的点， 设M (x ，y )，∵H 关于AB 的对称点为M ，∴AM =AH =4，BM =BH =8，∴()()()()222222404888x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 两式相减得：82x y =-，代入即可解得： 80x y =⎧⎨=⎩(此点为点H ，舍去)或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴M (85，165)，同理求得BM 的解析式为：324y x =+， 解()23241214y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得：88x y =⎧⎨=⎩(此点为点B ，舍去)或154x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点C 的坐标为(-1，54)； 综上，点C 的坐标为(6，3)或(-1，54)； （3）设BC 交y 轴于点M ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，过点M 作MN ⊥BH 于点N ，如图：∵点B 的横坐标为t ，∴点B 的坐标为(t ，214t t -)，又A (4，0)，∴AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ， ∵∠ABC =90°，∴∠MBN =90°-∠ABH =∠BAH ， 且∠N =∠AHB =90°， ∴△ABH ~△BMN ，∴AH BH BN MN=，即2144t t t BN t--=， ∴BN =224414t tt t -=-，∴HN =2144t t -+，∴M (0，2144t t -+)，同理求得BC 的解析式为：24144y x t t t =-+-+，由22144144y x x y x t t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩，得22141444x x x t t t -=-+-+，解得x t =(点B 的横坐标)，或2416164t t x t t t-+=-=--+，∴点C 的横坐标为164t t --+，当0t <时，164C x t t=--+224=++212=+，=C x 的最小值是12，此时4t =-；∴当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x ≥． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：y ＝﹣（x ﹣m ）2+2m 2（m ＜0）的顶点P 在抛物线F ：y ＝ax 2上，直线x ＝t 与抛物线E ，F 分别交于点A ，B ． （1）求a 的值；（2）将A ，B 的纵坐标分别记为y A ，y B ，设s ＝y A ﹣y B ，若s 的最大值为4，则m 的值是多少？ （3）Q 是x 轴的正半轴上一点，且PQ 的中点M 恰好在抛物线F 上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使∠PQG 总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），∵点P在抛物线F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴y A＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，y B＝2t2，∴s＝y A﹣y B＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴当t＝m时，s的最大值为m2，∵s的最大值为4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），∵点Q在x轴正半轴上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN解得QN＝．∴G（0，﹣）．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）过点D作DF⊥CP交CP的延长线于点F，过点F作y轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，过点C作CG⊥EF于点G，证明△DEF≌△FGC（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝FG，EF＝CG，求出F点的坐标，由待定系数法求出直线CF的解析式，联立直线CF和抛物线解析式即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）设点P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴点P的横坐标为1或2或或；（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，），∴，解得，∴H（，），设直线CH的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线CH的解析式为y＝﹣x+2，联立直线CF与抛物线解析式得，解得或，∴Q（，）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（，）．综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，）．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）设直线AC解析式为y＝kx+2，用待定系数法得直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），即得MN＝﹣x2﹣2x，可证△QMN∽△AOC，有＝＝，故MQ＝2MN，NQ＝MN，可得△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝﹣（x﹣2）2+6+2，即得当x＝2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，由C（0，2），D（2，0），得直线CD解析式为y＝x+2，即可解得P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E （m，n），可得，可解得E（﹣，），从而可得直线CE解析式为：y＝x+2，即可解得P'（﹣，）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：﹣4k+2＝0，解得k＝，∴直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，∵﹣＜0，∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，如图：∴D（﹣2，0），∠CDO＝45°，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，∵C（0，2），D（2，0），∴直线CD解析式为y＝x+2，由得或，∴P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E（m，n），根据AE＝AD，CE＝CD可得：，解得或，∴E（﹣，），由E（﹣，），C（0，2）可得直线CE解析式为：y＝x+2，解得或，∴P'（﹣，），综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）把点G（1，m）分别代入y＝x2﹣4x+c与y＝kx，即可求得答案；（2）由题意可得A（m﹣1，m2﹣m），B（m﹣1，m2﹣5m+8），M（m+1，m2﹣m），求得＝＝﹣2m+4，再根据一次函数的性质即可求得的取值范围；（3）先求出D（﹣m+5，m2﹣5m+8），E（2，m2﹣5m+8），F（2，m2﹣m），利用三角函数定义可得：tan ∠ABC＝＝，tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，得出∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，进而可得∠MEN＝2∠ABC．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m），∴m＝12﹣4×1+c，m＝k×1，∴c＝m+3，k＝m；（2）∵直线x＝m﹣1交直线l于点A，∴y＝m（m﹣1）＝m2﹣m，∴A（m﹣1，m2﹣m），∵直线x＝m﹣1交抛物线于点B，∴y＝x2﹣4x+m+3＝（m﹣1）2﹣4（m﹣1）+m+3＝m2﹣5m+8，∴B（m﹣1，m2﹣5m+8），∴AB＝﹣4m+8，∵过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C，∴C（0，m2﹣m），点M的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴m2﹣m＝x2﹣4x+m+3，解得：x1＝m+1，x2＝﹣m+3，∴M（m+1，m2﹣m），N（﹣m+3，m2﹣m），∴AM＝m+1﹣（m﹣1）＝2，∴＝＝﹣2m+4，∵﹣2＜0，且﹣1≤m＜0，∴的值随着m的增大而减小，当m＝﹣1时，＝﹣2×（﹣1）+4＝6，当m＝0时，＝﹣2×0+4＝4，∴4≤≤6；（3）∠MEN＝2∠ABC．理由如下：∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相等，∴m2﹣5m+8＝x2﹣4x+m+3，解得：x1＝m﹣1，x2＝﹣m+5，∴D（﹣m+5，m2﹣5m+8），∵点E是线段BD的中点，∴E（2，m2﹣5m+8），如图，设直线x＝2交直线MN于点F，则F（2，m2﹣m），∴MF＝NF＝﹣m+1，EF＝m2﹣5m+8﹣（m2﹣m）＝﹣4m+8，∵AC＝0﹣（m﹣1）＝﹣m+1，AB＝﹣4m+8，∴tan∠ABC＝＝，∵tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，∴∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，∴∠MEN＝2∠ABC．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（3，0）；抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．【分析】（1）令y＝0，可求出x的值，进而可得出A，B的坐标；令x＝0，可求出y的值，可得出点C的坐标，得出线段OC的长，利用三角形的面积公式可得出a的值；（2）过点O作OQ⊥AC于点Q，根据三角形面积的等积法可求出OQ的长，进可得出点D的位置，利用全等三角形的性质求出直线QA′的解析式，联立可求出点D的坐标；（3）过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，根据∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，可得△MPE∽△NPF，设出M、N、P三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出MN的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出P点的横坐标，进而算出纵坐标．【解答】解：（1）令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；令x＝0，则y＝﹣3a，∴C（0，﹣3a），即OC＝﹣3a，∴S＝×4×（﹣3a）＝6，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．故答案为：A（﹣1，0），B（3，0）；y＝﹣x2+2x+3．（2）由（1）知，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OA＝1，OC＝3，AB＝，过点O作OG⊥AC于点G，∴S△OAC＝•OA•OB＝•AC•OG∴×1×3＝וOG，∴OG＝，设点D到直线AC的距离h＝＝2OG，延长GO到点G′，使得OG′＝OG，过点G′作AC的平行线与x轴交于点A′，与抛物线在第一象限内交于点D，∴∠GAO＝∠G′A′O，∵∠GOA＝∠G′OA′，∴△GAO≌△G′A′O（AAS），∴OA＝OA′＝1，∴A′（1，0），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝3x+3，∴直线A′G′的解析式为：y＝3x﹣3，令3x﹣3＝﹣x2+2x+3，解得x＝2或x＝﹣3，∵点D在第一象限，∴D（2，3）．（3）如图，过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，设M（x1，﹣x12+2x1+3），N（x2，﹣x22+2x2+3），P（x0，﹣x02+2x0+3），则：ME＝﹣x12+2x1+3﹣（﹣x02+2x0+3）＝﹣x12+2x1+x02﹣2x0＝﹣（x1﹣x0）（x1+x0）+2（x1﹣x0）＝（x0+x1﹣2）（x0﹣x1），PE＝x0﹣x1，FN＝﹣x02+2x0+3﹣（﹣x22+2x2+3）＝﹣（x0+x2﹣2）（x0﹣x2），PF＝x0﹣x2，∵PQ恰好平分∠MPN，即∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MPE∽△NPF，∴＝，∴＝，∴x0＝，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∵MN∥AC，∴设直线MN的解析式为y＝3x+b，令3x+b＝﹣x2+2x+3，由消去y整理得：x2+x﹣3+b＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣1，∴x＝，∴x−2x−3＝，∴P（，）．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系，用一元二次方程根与系数的关系定理列出关于m的方程，解方程即可得出结论；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，利用待定系数法求得直线AC的解析式，设D（a，a+2），则M（a，a+2），求得线段DM，BN的长，利用同高的三角形的面积关系列出S△DCE：S△BCE关于a的等式，利用配方法和二次函数的性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠DCF＝2∠BAC时，②当∠FDC＝2∠BAC时：取AB的中点P，连接OP，过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，设D（a，a+2），则DR＝﹣a，OR＝a+2，利用直角三角形的边角关系定理列出关于a的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），∴x1，x2是方程mx2+3mx﹣2m+1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝．∵x2﹣x1＝5，∴＝25．即：﹣4x1•x2＝25，∴9﹣4×＝25．解得：m＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣x+2．（2）S△DCE：S△BCE存在最大值，此时点D的坐标为（﹣2，3），理由：令y＝0，则﹣﹣x+2＝0，解得：x＝﹣4或1，∴A（﹣4，0），B（1，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，如图，则DM∥BN，∴△EDM∽△EBN，∴．设D（a，a+2），则M（a，a+2），∴DM＝（a+2）﹣（a+2）＝﹣﹣2a．当x＝1时，y＝×1+2＝，∴N（1，）．∴BN＝．∵等高的三角形的面积比等于底的比，∴S△DCE：S△B∁E＝．∴S△DCE：S△B∁E＝＝﹣﹣a＝﹣（a+2）2+，∵＜0，∴当a＝﹣2时，S△DCE：S△BCE有最大值为，此时点D（﹣2，3）；（3）第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣，理由：∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，∴AC＝＝2，BC＝＝，AB＝OA+OB＝5．∵AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．取AB的中点P，连接OP，则P（﹣，0），∴OP＝．∴P A＝PB＝PC＝，∴∠BAC＝∠PCA．∵∠CPB＝∠BAC+∠PCA，∴∠CPB＝2∠BAC．过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，如图，①当∠DCF＝2∠BAC时，设D（m，m+2），则DR＝﹣m，OR＝m+2，∴CR＝OR﹣OC＝m．∵DR⊥y轴，OA⊥y轴，∴DR∥AB，∴∠G＝∠BAC．∵∠DCF＝∠G+∠CDG，∠DCF＝2∠BAC，∴∠CDG＝∠G＝∠BAC．∵tan∠BAC＝，∴tan∠CDR＝．∴，∴解得：m＝﹣2或0（舍去），∴m＝﹣2．∴点D的横坐标为﹣2；②当∠FDC＝2∠BAC时，∵∠CPB＝2∠BAC，∴∠FDC＝∠CPB．∵tan∠CPB＝，∴tan∠FDC＝，∵tan∠FDC＝，∴，设FC＝4n，则DF＝3n，∴CD＝＝5n．∵tan∠G＝tan∠BAC＝，∴tan∠G＝，∴FG＝6n．∴CG＝FG﹣FC＝2n．∵tan∠G＝，∴RC＝n，∴DR＝＝n，∴，解得：a＝或0（舍去），∴a＝﹣，即点D的横坐标为﹣，综上，第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣．【课后练习】1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，那么可以得到方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，然后利用根与系数即可确定a、b的值．（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点M（m，m2﹣4m+3），过点M作MN∥y轴，交BC于点N，则N（m，﹣m+3），根据△MOC的面积是△MBC面积的3倍，即可得到点M的坐标；（3）过点B作BE⊥AB交CN与E，证明△ABC≌△EBC（ASA），根据全等三角形的性质得BE＝AB＝2，求得E的坐标，由点E、C的坐标可得直线CN的解析式，联立y＝x2﹣4x+3即可求得N点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点M（m，m2﹣4m+3），过点M作MN∥y轴，交BC于点N，∴N（m，﹣m+3），∴MN＝﹣m+3﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+3m，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴S△MOC＝OC•m＝m，S△MBC＝MN•OB＝﹣m2+m，∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍，∴m＝3（﹣m2+m），∴m＝0（舍去）或，∴点M的坐标为（，﹣）；（3）抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．过点B作BE⊥AB交CN与E，∵B（3，0），C（0，3）．∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠OBC＝∠EBC＝45°，∵BC＝BC，∠BCN＝∠ACB．∴△ABC≌△EBC（ASA），∴BE＝AB＝2，∴E（3，2），设直线CN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，联立y＝x2﹣4x+3得，或（舍去），∴抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．点N的横坐标为．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出A（4，0），可得抛物线的对称轴为x＝＝，证明∠ACB＝∠ABC，△MCO∽△EBM，可得MC•BM＝BE•CO，求出MC，即可求解；（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），∵点A（4，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴抛物线的对称轴为x＝＝，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，AB＝＝5＝AC．∴∠ACB＝∠ABC，点E（，），∵∠CME＝∠CMO+∠OME＝∠ABC+∠MEB，∠ABC＝∠OME，∴∠CMO＝∠BEM．∴△MCO∽△EBM，∴，∴MC•BM＝BE•CO，∵B（0，3），E（，），∴BE＝＝，∴MC•BM＝，∵MC+BM＝BC＝＝．∴MC＝或MC＝．∴＝或＝，如图，过M作MK⊥x轴于K，则MK∥y轴，∴△CMK∽△CBO，∴＝或，即＝或，∴MK＝或，∵B（0，3），C（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴M的﹣横坐标为﹣或﹣，∴点M的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）设点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图，设BQ交x轴于点H，∵∠ABQ＝90°，∴∠BAO+∠BHA＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BHA，∵tan∠ABO＝，∴tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，∵该直线过点B（0，3），∴t＝3，∴直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．【分析】（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2﹣x+c，求出抛物线的解析式，求出D点坐标后，利用待定系数法求直线AD的解析式；（2）由题意可得PF＝PE，设P（x，x2﹣x﹣4），F（x，﹣x﹣2），则PF＝﹣x2+2，当PF最大时，PF+PE就最大，由此求解即可；（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，证明△OCN≌△OCA（SAS），则可推导出∠QAB＝∠NCA，再由S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，求出tan∠NCA＝，分两种情况讨论：当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，tan∠NCA＝tan∠QAB＝，可求点I（0，﹣），求出直线AQ解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组得：，可求点Q坐标为（，﹣），当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：y＝x+，联立方程组得：，可求点Q坐标为（，）．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2﹣x+c，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，当x＝2时，y＝﹣4，∴D（2，﹣4），设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，0）D（2，﹣4）代入，得，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）根据题意作图，如图1，在y＝﹣x﹣2上，当x＝0时，y＝﹣2，∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，﹣2），∴OA＝OM，∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠OAB＝45°，∠EPF＝90°，∴PF＝PE，设P（x，x2﹣x﹣4），F（x，﹣x﹣2），∴PF＝﹣x2+2，∵P在AD的下方，∴﹣2＜x＜2，当x＝0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，∴P（0，﹣4）；（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，如图2，∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣4），∴OA＝2，OC＝4，∴AC＝2，∵ON＝OA，∠CON＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCN≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠NCO，CN＝AC＝2，∴∠NCA＝2∠ACO，∵∠QAB＝2∠ACO，∴∠QAB＝∠NCA，∵S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，∴AH＝，∴CH＝，∴tan∠NCA＝，如图3，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，∵∠QAB＝∠NCA，∴tan∠NCA＝tan∠QAB＝，∴OI＝，∴点I（0，﹣），又∵点A（﹣2，0），∴直线AQ解析式为：y＝﹣x﹣，联立方程组得：，解得：或（不合题意舍去），∴点Q坐标为（，﹣），当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：y＝x+，联立方程组得：，解得：（不合题意舍去）或，∴点Q坐标为（，），综上所述：点Q的坐标为（，﹣）或（，）．。

<<函数与几何综合>>解题思路结合图(1)公式法(2)补割法(3)12×水平宽度×铅直高度注意分类讨论1.存在性问题(1)是否存在点:利用点所在函数图像设出点的坐标, 再利用点所满足的一个条件,通过全 等,相似,或三角函数,列出方程.注意 判别解的合理性.典型题型 (2)是否存在三角形①Rt :以谁为直角顶点分三种情况讨论,结合 双垂型、射影定理等相似，全等，勾 股定理及直角三角形的性质解题②等腰:以两两相等分三种情况讨论,结合相似 全等、勾股定理、中垂线、圆等解题③等腰Rt ：分三种情况分类讨论，结合上述 几何性质解题④等边：结合等腰、等边性质解题(3)是否存在面积关系:利用面积关系,通过求面积 的各种方法,列出方程解答.(4)是否存在全等：设点的坐标，利用 全等性质列方程解答。

(4)等底等高与平行(5)是否存在相似:一般利用等角分两种情况分类讨论,利用相似性质列方程解答(7)是否存在矩形、菱形、正方形：结合点的坐标， 利用它们的判定或性质及相似等列方程解答。

2.最值问题(1)线段最值①求解析式,利用二次函数配方求最值; ②垂线段最短、两点间线段最短 （转化为同一线段、将军饮马问题）(2)线段和差或周长最值:①解析式求最值;②将军饮马问题(3)面积最值:利用面积三种方法,列解析式求最值3.取值范围问题:①善于抓住图形位置特点,确定最大/小值; ②求解析式解不等式方程.4.线段定值问题:①直接计算；②如果题目没给出定值的，可利用特殊位置、 极端位置先探求出定值，然后加以一般化证明。

(6)是否存在平行四边形①几何论证法：以已知边为长边、短边及对角线去找图②代数论证法：选三点，以两两的连线为对角线，利用中点坐标公式分三种情况讨论计算出第四点坐标③平行四边形顶点的横纵坐标的差相等，利用平移表示 各点坐标，计算上可以简化，用于表示各顶点坐标①点动:依解析式设动点坐标②线动总体思路:圆只是周围是曲线的多边形 全等或相似勾股等照常用①求角或三角函数:直接求或等量替换 圆心或圆周角定理 切线性质,内接四边形对角性质 弦切角性质②求线段:垂径定理 切线性质③辅助线:(1)连半径，构造等腰(2)见弦必做弦心距，构造RT △(3)见切线必连圆心与切点，构造RT △ (4)见直径，构造90°圆周角基本思路:在变化中找到不变的性质③面动:折叠,平移,旋转5.动态问题6.圆典型题型思路要点与行程问题结合的动态问题:先用字母表示出各线段,根据 各线位置,结合相似全等等几 何知识列方程解答题型解读1 二次函数与几何综合题的两种解题方法【分析思路】在二次函数与几何综合的各种题型中，只有一条总体分析思路线：解析式（方程）←→点的坐标←→线段长←→几何问题，但在具体解题分析过程中，求点的坐标或线段长时，思考方向却有两种：可以由左往右思考，即“由解析式或方程求点的坐标，由点的坐标求线段长”，这是“代数论证方法”；也可以由右往左思考，即“由几何问题求线段长，由线段长求点的坐标”，这是“几何论证方法”。

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大； 当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数 的图象如图： ，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题 第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】 ，； 【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2． 即所求关系式为S=-x 2+x+2． （2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。

6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。

二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．yA OB xC第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．1第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S△ACP的最大值，分析A，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3＜x P＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△ACP．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A，B，E，F 为顶点的四边形中，A，B 为定点，E，F 为动点，定点A，B 连接成为定线段AB．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条yA Q OB xPC23件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足 EF ∥AB 且 EF =AB ，要找 EF ，可借助平移．点 E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点 E 在对称轴上，来找抛物线上的点 F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上 E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB ， EF 互相平分，先找到定线段 AB 的中点，在旋转过程中找到 EF 恰好被 AB 中点平分的位置，因为 E 和 AB 中点都在抛物线对称轴上，说明 EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为 F 点坐标．画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】（3）①当 AB 为边时，AB ∥EF 且 AB =EF ， 如图所示，设 E 点坐标为(-1，m )， 当四边形是□ABFE 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 1(3，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 2(-5，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．②当 AB 为对角线时，AB 与 EF 互相平分， AB 的中点 D (-1，0)，设 E (-1，m )，则 F (-1，-m )， 代入抛物线解析式，可得，m =4， ∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．结果验证：➢巩固练习1.如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x2 + 6 交于A，B 两点，2 4C 是抛物线的顶点．（1）在直线AB 上方的抛物线上有一动点P，当△ABP 的面积最大时，点P 的坐标为．（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，B 以及另一点N 为顶点的平行四边形ABNM 的面积为240，则M，N 两点的坐标为．yCBO xAyCBO xA42.已知抛物线y=-mx2+4x+2m 与x 轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且1+1=-2 ．抛物线的对称轴为直线l，与y 轴的交点为点αβC，顶点为点D，点C 关于l 的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为．（2）连接CD，在直线CD 下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G 的坐标为．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为．53.已知抛物线y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△BCQ 与△BCP 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是抛物线上一动点，点F 是x 轴上一动点，是否存在以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．64.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b 与y 轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，点Q 是抛物线对称轴l 上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．75．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．6．已知关于二次函数y＝x2﹣（4k+2）x+4k2+3k的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a﹣b）2＝2，求k的值，并写出二次函数的表达式；（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y＝﹣3x +的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．7．如图1，二次函数y＝a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y＝kx（k≠0）的图8象对称．（1）求二次函数与正比例函数的解析式；（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE＝∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，9b，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函2数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函1数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，4）（1）求抛物线的解析式．（2）点P为抛物线上一动点，满足S△PBC ＝S△ABC，求P点的坐标．（3）点D为抛物线对称轴上一点，若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标n的取值范围．1012．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（4）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，11①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a 的取值范围．14．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D （x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E 的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q 关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．1215．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2﹣x﹣2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．（1）判定△ABC的形状；（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一13点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM 平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B 1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1415。

二次函数与几何综合专题----面积问题【模型解读】1.比例问题大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则．更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则．策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：．DCBA::ABDACDSSBD CD =HABCD :::ABDACDSSBM CN BE CE ==M N EDCBA :::ABDACDSSBD CD BA AM ==“8”字型线段比：．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：．面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行．2.铅垂高求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．MDCBA:::ABDACDSSBD CD AB CM ==MDCBA:::ABDACDSSBD CD BM CN ==MNABCD【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5, 165152ABCS=⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABCS⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．引例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）．（2）求四边形ABCD 的面积．解：由例题可知该二次函数的解析式为223y x x =+-，()()()()3,0,1,0,0,3,1,4A B C D ----， 连接OD ，如图所示，∴DOC △的底为OC ，高为点D 的纵坐标的绝对值， ∵AODDOCBOCABCD S SSS=++四边形，∴1113431139222ABCD S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=四边形（3）抛物线上是一点P ，若△PAC 面积为1，求P 点坐标（4）抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABC S S =△△，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：设点()2,23P m m m +-，点()0,3C -，由ABP ABC S S =△△可知：△ABP 与△ABC 同底，为AB ，则有点P 与点C 的纵坐标的绝对值相等， ∴P C y y =，∴2233m m +-=-或3，①当2233m m +-=-时，解得：2m =-或0m =（舍去）， 此时点P 的坐标为()2,3--；②当2233m m +-=时，解得：1m ==-，此时点P 的坐标为()1-或()1-，综上所述：当ABP ABC S S =△△时，点P 的坐标为()2,3--或()1-或()1-（5）抛物线上是否存在点P ，使得ACPACDSS=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：过点D 作DM ∥y 轴，交AC 于点M ，过点P 作PN ∥y 轴，交AC 延长线于点N ，如图所示：∵()1,4D --，∴点M 的横坐标为－1，代入直线AC 的解析式3y x =--得：=2y -， ∴2DM =，根据铅垂法可知13232ADCACPSS =⨯⨯==，设()2,23P a a a +-，则有(),3N a a --，由铅垂法可把△ACP 的面积看作以AC 为水平宽，PN 为铅垂高，∴222333PN a a a a a =+-++=+，∴213332ACPSa a =⨯⨯+=，即232a a +=，∴当232a a +=时，解得：12a a =，此时点P 的坐标为⎝⎭或⎝⎭； 当232a a +=-时，解得：122,1a a =-=-（不符合题意，舍去）， 此时点P 的坐标为()2,3--；综上所述：当ACPACDSS=时，点P 的坐标为()2,3--或⎝⎭或⎝⎭（6）抛物线上是否存在点P ，使得12ACPACD S S =（32ACPACD SS =），若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（7）抛物线上是否存在点P ，使得AOPCOPSS=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：∵()()3,0,0,3A C --， ∴3OA OC ==，∴AOP 与COP 的底相等， ∴当AOPCOPSS=时，则AOP 与COP 的高也相等，由题意知AOP 的高是点P 的纵坐标的绝对值，而COP 的高是点P 的横坐标的绝对值，设()2,23P a a a +-，∴223a a a =+-，∴当223a a a =+-时，解得：12a a =，此时点P 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当223a a a =--+时，解得：12a a ==此时点P 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；综上所述：当AOPCOP SS=时，点点P 的坐标为⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭（8）抛物线上是否存在点P ，使得BP 平分ABC 的面积，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：设直线BP 与线段AC 交于点H ，如图所示：∵BP 平分ABC 的面积，∴线段BH 是ABC 的中线，即点H 是线段AC 的中点， ∵()()3,0,0,3A C --，∴根据中点坐标公式可得33,22H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设直线BH 的解析式为y kx b =+，把点()33,,1,022H B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得：33220k b k b ⎧-+=-⎪⎨⎪+=⎩，解得：3535k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线BH 的解析式为3355y x =-， 联立抛物线与直线解析式得：2332355x x x +-=-， 解得：1212,15x x =-=（不符合题意，舍去）， ∴1251,525⎛⎫-- ⎪⎝⎭（9）抛物线上是否存在点P ，使得BP 把ABC 的面积分为1:2，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（10）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，使得AC 平分APM △的面积，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：设直线AC 与线段PM 交于点Q ，如图所示：设()2,23P a a a +-，∵PM x ⊥轴， ∴(),0M a ，∵AC 平分APM △的面积，∴线段AQ 是APM △的中线，即点Q 是PM 的中点，∴根据中点坐标公式可得213,22Q a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点Q 在直线AC 上，∴213322a a a +-=--， 解得：121,3a a =-=-（不符合题意，舍去）， ∴()1,4P --（11）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线AC 于点N ，使得:2:1AMNANPSS=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：由:2:1AMNANPS S=，可知:2:1MN NP =，∴23MN MP =， 设()2,23P a a a +-，则有223MP a a =--+，∴224233MN a =--+，∴224,233N a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点N 在直线AC 上，∴2242333a a a +-=--，化简得22730a a ++=， 解得：121,32a a =-=-（不符合题意，舍去），∴115,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（12）过E 点的直线l 将四边形ABCD 的面积分成2:7两部分，求直线l 的解析式．解：由（2）可得9ABCD S =四边形，①当过点E 的直线l 靠近点B 时，交直线BC 于点F ，把四边形ABCD 的面积分成2:7两部分，如图所示：∵点E 在抛物线的对称轴上， ∴BE ＝2，设点F 的纵坐标为y F ， ∴2929EBFS=⨯=，即1222EBFy S F =⨯⨯=， ∴2y F =-，（2不符合题意，舍去），设BC 的解析式为：y kx b =+，则把点()()1,0,0,3B C -代入得：03k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：33k b =⎧⎨=-⎩， ∴BC 的解析式为：33y x =-， ∵点F 在直线BC 上， ∴233x -=-，解得：13x =，∴1,23F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线l 的解析式为11y k x b =+，把点E 、F 代入得： 11111230k b k b ⎧+=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得：113232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线l 的解析式为3322y x =--； ②当过点E 的直线l 靠近点A 时，交直线AD 于点G ，把四边形ABCD 的面积分成2:7两部分，如图所示：由①可知2AE =，1222AEGy S G =⨯⨯=， ∴2y G =-，设直线AD 的解析式为：y mx n =+，则把点()()3,0,1,4A D ---代入得：304m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：26m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AD 的解析式为：26y x =--， ∵点G 在直线AD 上，∴226x -=--，解得：2x =-， ∴()2,2G --，设直线l 的解析式为11y m x n =+，把点E 、G 代入得：1111220m n m n -+=-⎧⎨-+=⎩，解得：1122m n =⎧⎨=⎩， ∴直线l 的解析式为22y x =+；综上所述：当直线l 把四边形ABCD 的面积分成2:7两部分时，则直线l 的解析式为22y x =+或3322y x =--（13）抛物线上有一点P ，其横坐标为t ，抛物线上另有一点Q ，其横坐标为4t +，线段PQ 上有一点M ，作//MN y 轴交抛物线于点N ，求PNQ 面积的最大值．解：由抛物线上有一点P ，其横坐标为t ，抛物线上另有一点Q ，其横坐标为4t +，可知：()()22,23,4,1021P t t t Q t t t +-+++，设直线PQ 的解析式为y kx b =+，把点()()22,23,4,1021P t t t Q t t t +-+++代入得：()222341021tk b t t t k b t t ⎧+=+-⎪⎨++=++⎪⎩，解得：22643k t b t t =+⎧⎨=---⎩， ∴直线PQ 的解析式为()22643y t x t t =+---， 设点()2,23N m m m +-，∵//MN y 轴，∴()()2,2643M m t m t t +---，∴()()2222264323244MN t m t t m m m t m t t =+-----+=-++--，由铅垂法可知,P Q 的水平距离即为水平宽，即为44t t +-=，MN 为铅垂高， ∴()22142442PNQSm t m t t ⎡⎤=⨯⨯-++--⎣⎦ ＝()2224828m t m t t -++--＝()2228m t ---+， ∵－2＜0，开口向下，∴当2m t =+时，PNQ 的面积有最大值，最大值为8引例2：如图，已知抛物线过A （4,0）、B （0,4）、C （-2，0）三点，P 是抛物线上一点 （1）求抛物线解析式答案：2142x x -++（2）若P 在直线AB 上方，求四边形PBCA 面积最大值，（3）点D 是点B 关于关于x 轴的对称点，连接CD ，点P 是第一象限上一点，求△PCD 面积最大值△APB 面积为：12PH •△△AO （AO 是PBH ，PAH 两个三角形高之和）设P （m ，－12m ²+m +4），H （m ，－m +4）PH=－12m ²+2m （上面的点减去下面的点）当m =－b2a时，PH 取最大值2△分离出面积为定值的ABCH过动点P作y轴平行线交对边（延长）与点HS △PCD =S △PCH －S △PDH =12PH •CO=PH推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为h212PH •h1－12PH •h2=12PH •h1－h2()=12PH •CO（4）若P 在直线AB 上方，作PF ⊥AB ，交线段AB 于F,作PE ∥y 轴交AB 于E ，求△PEF 面积的最大值（5）若P 在直线AB 上方，连接OP ，交AB 于D ，求PDOD的最大值（6）若P 在直线AB 上方，连接CP ，交AB 于D ，△PDA 面积为S 1，△CDA 面积为S 2，求21S S 的最小值x第一步：面积比转换为共线的边之比S 2S 1=CD PD第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比CD PD =CG PH =6PH1．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC 于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴∠ACO ＝45°， ∵PD ⊥AB ， ∴∠ADP ＝90°， ∴∠ADP ＝∠AOC ， ∴PD ∥OC ，∴∠PEF ＝∠ACO ＝45°， ∵PF ⊥AC ，∴△PEF 是等腰直角三角形， ∴PF ＝EF ＝PE ，∴S △PEF ＝PF •EF ＝PE 2，∴当m ＝﹣时，S △PEF 最大值＝×（）2＝；2．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C -，连接AC ，BC ． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 在第四象限的抛物线上，设ABC 的面积为1S ，PBC 的面积为2S ，当2S =451S 时，求点P 的坐标3.在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两个交点分别为A （﹣3，0）、B （1，0），与y 轴交于点D （0，3），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）连结AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点（点E 与顶点C 不重合），当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；4.如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点B．（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C．①求抛物线的解析式及点C的坐标；②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；（2）过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出①S关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值．6.如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（﹣8，0），C（2，0），交y轴点A．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标．7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．8.抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx+3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．（1）求a、c的值；（2）当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；（3）若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【模型解读】1.如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC 沿BC 所在直线折叠，得到△DBC ，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，△BPQ 的面积记为S 1，△ABQ 的面积记为S 2，求的值最大时点P 的坐标．2．如图，已知抛物线2y x bx c ＝-与一直线相交于1,023A C -，，两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． (1)抛物线及直线AC 的函数关系式；(2)设点()3,M m ，求使MN MD +的值最小时m 的值；(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC △的面积的最大值．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C．（1）过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，求a的值；（2）过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值；（3）若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标．。