二次函数临界问题(教师版)

二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。

重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。

本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。

二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9______.（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。

相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1≤0, m≤1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m ≤1/4例3：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线y=kx -1与图象G 有两个公共点，请结合函数图象，求k 的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到 综上：0<k ≤1/3变式：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y =x +b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b 的值或取值范围.b<-13/4或 b>-3例4：（1）已知：21223,y x x y kx b =--=+，若只有当22x -<<时，12y y <，则2y 解析式为 __2y = -2x+1________．（2）将223(0)y x x y =--≤的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y kx b =+.设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当13m <<时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出b 的值____6或-6______________．（3）已知：221223,(0)y x x y ax bx c a =--=++≠，设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交1y 于点P ，交2y 于点Q ．若只有当13m -<<时，点P 在点Q 下方，请写出一个符合题意的2y 解析式_2y _= -x 2+2x+3__（满足y=a(x+1）(x-3),其中a<0开口向下或者0<a<1开口大于y 1即可)． （4）已知：1221,y x y x m =+=+，若当1x >时，12y y >，请写出一个符合题意的m 的值__m=0 (只需交点横坐标m-1≤1即可，即m ≤2)_________．小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A ,B .(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

临界条件和极值（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：高考提示：教学过程：1.当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。

2.解答临界问题的关键是找临界条件。

许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。

3.有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

4.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力求准确把握题目的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。

这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。

［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。

已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R ，斜面倾角为θ，s BC =2R 。

若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F ，如图所示。

可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：R v m FD 2= 即：R v m mg D225.1=由动能定理有：221)37sin 2cot (43)37cos (D mv R R h mg R R h mg =︒++⨯-︒--θ联立①、②可求出此时的高度h 。

中考数学专题（图形运动过程中的临界问题）一、题型特点1.图形位置不确定；2.图形运动具有连续性；3.多以求某一变量的取值范围或最值为主．二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象；2.几何计算；3.方程或不等式（组）；三、主要解题思路1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值．四、例题讲解例1 在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图1所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ＇处，折痕为PQ ，当点A ＇在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则BA ＇的取值范围是 ．例2 已知二次函数y = x 2+2x +c ．（1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围．P图1例3如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，3），动圆D 经过A 、O ，分别与两轴的正半轴交于点E 、F ，求直径EF 的范围.（参考图1） （参考图2）五、练习题1．如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，21OB 长为半径作⊙O ，若射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转至BA '，若BA '与⊙O 有公共点，则旋转的角度α（0° ＜α＜180°）的范围是 ．2．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．把二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．（第2题图）图1x图3x图23．已知二次函数21322y x x =-++和一次函数46y x =+，设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将直线46y x =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．4.如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ，当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．5.在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．6．已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数．(1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21(b ＜k)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．7．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 定义[,,]a b c 为函数2y ax bx c =++的特征数，下面给出特征数为[2,1,1]m m m ---的函数的一些结 论：①当3m =-时，函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m >时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于32；③当0m <时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）．A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④2．（2015•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 3．（2016•毕节市）一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题 7．（2016•金山区二模）如果抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= ． 8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0；②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．已知点(1，4)、(3，4)在二次函数232y x kx k =+-的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是_________．10．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值是_____.11．抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x 2﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ．三、解答题 13．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．14．已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围；（3）当12≤x ≤2时，求y 的最大值．15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】理解题意是前提，当3m =-时，6a =-，4b =，2c =．所以2218642633y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，①正确排除选项D ；因为当0m <时，对称轴11244b m x a m -=-=->，所以③错误．排除选项A 、C ．所以正确选项为B ．2.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．3.【答案】C ．【解析】A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2. 5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h. 6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3. 二、填空题 7.【答案】1.【解析】∵抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02ba->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->， ∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】(2，12)；【解析】由点(1，4)、(3，4)的纵坐标相同，可知它们是抛物线上的两个对称点，如果设抛物线的顶点坐标为(x ，y)，则1322x +==，2322212y k k =⨯+-=． 故二次函数图象的顶点坐标为(2，12)． 10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±， 即=3b a -±，由20b a -＞得=3ba-，3b =-. 11．【答案】(2，4)；【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】（1）将（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c得103b c c --+⎧⎨⎩＝＝，， 解得23.b c ⎧⎨⎩＝＝， 所以二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）把y=0代入y=-x 2+2x+3得-x 2+2x+3=0， 解得x 1=-1，x 2=3，所以当-1＜x ＜3，y ＞0；（3）y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵12≤x ≤2， ∴当x=1时，y 的最大值为4． 15.【答案与解析】 (1)直线与坐标轴的交点，.则 解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或.或当时，即，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为或.附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．（2015•乐山）如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

临界点讨论
例1：（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴
交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；。

2017 至2018 学年度第一学期初三年级数学学科，集体备课时间： 9月 22 日备课组长：主备人：参与人课题二次函数专题: 与二次函数有关的临界点问题（1）课型新授课课时三维度四水平教学目标水平1会求二次函数图象与x轴、y轴的交点及顶点坐标、对称轴方程水平2能够根据二次函数图象的对称轴、顶点、与x轴、y轴交点画出该抛物线的示意图水平3理解与二次函数有关的临界点问题解法的基本思路和方法水平4能够用转化的观点认识函数综合题，体会化繁为易，增强自信心，进一步提高解决数学问题的兴趣教学重点掌握解与二次函数有关的临界点问题的基本思路和方法教学难点综合运用所学知识解决二次函数临界点问题，增强解决函数综合压轴题的信心教学方法启发探究教学用具教具几何画板，实物投影， ppt学具学案和数学习用具教学过程知识与技能活动与任务反馈与评价学生教师一、课前作业展示学生回答解题思路和答案与x轴交点；y轴交点；对称轴方程；顶点坐标公式；直线解析式的求法教师倾听学生发言并追问第（5）问的解题策略教师对学生发言和答案的正确率进行评价二、合作探究变式提升1：（题干同上题）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点11(,)P x y，22Q(,)x y，与直线BC交于点33(,)N x y，若312x x x<<，结合函数的图象，求的312x x x++的取值范围．学生独立思考后，小组交流小组代表发言答案：31278x x x<++<教师给出变式提升问题，关注小组讨论时组员的参与度教师几何画板演示分界点情况追问解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形2、对于不确定的图形，确定其运动方式3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围教师对小组讨论的参与度以及小组代表发言进行评价学生独立完成第一问，小组交流及答案，小组长检查指导（1） 当y=2时，2=x-1，解得 x=3，所以A （3,2）；因为点A 关于直线x=1的对称点为点B ，所以 B （-1,2） （2）229+321221y x bx c b c b c y x x =+++=⎧⎨-+=⎩⎧⎨⎩∴=--1把点A(3,2)，B(-1,2)代入抛物线C ：得b=2解得c=-1抛物线的解析式为顶点为（1，-1）2,(1,2),2229C A B A B a a -=∴≤<当过点，点时为临界代入（3,2），则9a=22a=代入则9教师给出变式练习： 变式提升2：1. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B . (1)求点A ，B 的坐标； (2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.教师带领学生反思解决最后一问的特点及策略教师对学生找的临界点进行评价三、反思总结学生说收获，教师补充说说本节课的收获对学生发言进行评价四、课后作业1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A，B(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当m=1时，求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围.2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2 -(2m + 1)x + m-5的图象与x轴有两个公共点.（1）求m的取值范围；（2）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n，求n的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2 + k，当x < 2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围.板书设计二次函数专题：与二次函数有关的临界点问题（1）作业完成情况及存在的问题教学反思。

动力学中的临界问题1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键． 2．临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度．3．动力学中的典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a ＝0时．4.常用的解法： （1）极限法[例1]如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：（1）物体在水平面上运动时力F 的值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

习题：1.如图甲，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）图1—12.如图2—1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。

专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。

本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。

二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。

重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。

本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。

二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9______.（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.小结：以上四个问题具有什么共同点区别又是什么解题过程中有哪些相同的步骤都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。

相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1≤0, m≤1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m≤1/4例3：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线y=kx -1与图象G 有两个公共点，请结合函数图象，求k 的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到 综上：0<k ≤1/3变式：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y =x +b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b 的值或取值范围.b<-13/4或 b>-3例4：（1）已知：21223,y x x y kx b =--=+，若只有当22x -<<时，12y y <，则2y 解析式为 __2y = -2x+1________．（2）将223(0)y x x y =--≤的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y kx b =+.设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当13m <<时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出b 的值____6或-6______________．（3）已知：221223,(0)y x x y ax bx c a =--=++≠，设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交1y 于点P ，交2y 于点Q ．若只有当13m -<<时，点P 在点Q 下方，请写出一个符合题意的2y 解析式_2y _= -x 2+2x+3__（满足y=a(x+1）(x-3),其中a<0开口向下或者0<a<1开口大于y 1即可)．（4）已知：1221,y x y x m =+=+，若当1x >时，12y y >，请写出一个符合题意的m 的值__m=0 (只需交点横坐标m-1≤1即可，即m ≤2)_________．小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A ,B .(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。

一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

自变量x 取任意实数时的最值情况（1）当0a >时，函数在2bx a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；（2）当0a <时，函数在2bx a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++.[2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++；②对称轴2 m nx+>，即对称轴在m x n≤≤的中点的右侧，在x m=处取最大值2maxy am bm c=++小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a<0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf f xf mbam nf nbam n()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910另法：2(0)y ax bx c a=++≠当m x n≤≤（其中m n<）的最值：求出函数的对称轴02bx xa==-，在以后的数学学习中①若m x n≤≤，则分别求出,,m x n处的函数值()f m，()f x，()f n，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n<>或时，则求出,m n处的函数值()f m，()f n，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。

二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。

重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。

本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。

二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9______.（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。

相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1≤0, m≤1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m ≤1/4例3：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线y=kx -1与图象G 有两个公共点，请结合函数图象，求k 的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到 综上：0<k ≤1/3变式：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y =x +b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b 的值或取值范围.b<-13/4或 b>-3例4：（1）已知：21223,y x x y kx b =--=+，若只有当22x -<<时，12y y <，则2y 解析式为 __2y = -2x+1________．（2）将223(0)y x x y =--≤的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y kx b =+.设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当13m <<时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出b 的值____6或-6______________．（3）已知：221223,(0)y x x y ax bx c a =--=++≠，设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交1y 于点P ，交2y 于点Q ．若只有当13m -<<时，点P 在点Q 下方，请写出一个符合题意的2y 解析式_2y _= -x 2+2x+3__（满足y=a(x+1）(x-3),其中a<0开口向下或者0<a<1开口大于y 1即可)． （4）已知：1221,y x y x m =+=+，若当1x >时，12y y >，请写出一个符合题意的m 的值__m=0 (只需交点横坐标m-1≤1即可，即m ≤2)_________．小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A ,B .(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

华东师大版数学九年级下册 第26章 二次函数类型1 二次函数的取值范围问题1．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是( C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜8第1题图 第2题图 2．(2019·湖北武汉江岸区模拟)二次函数y ＝2x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象如图所示，如果当x ＝a 时，y ＜0，那么当x ＝a －1时，函数值( C )A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．m ＜y ＜m ＋4D ．y ＞m3．如图，抛物线y ＝－2x 2＋8x －6与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D .若直线y ＝x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( D )A ．－2＜m ＜18B ．－3＜m ＜－74C ．－3＜m ＜－2D ．－3＜m ＜－1584．已知函数y ＝x 2－2x －2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≤1成立的x 的取值范围是__－1≤x ≤3__.5．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 为常数，c ＞0)的顶点恰为函数y ＝2x 和y ＝2x 的其中一个交点，则当a 2＋ab ＋c ＞2a ＞2a 时，a 的取值范围是__－1＜a ＜0或a ＞3__.类型2 二次函数区间的最值问题6．已知函数y ＝x 2－2x －3，当－1≤x ≤a 时，函数的最小值是－4，则实数a 的取值范围是__a ≥1__.7．函数y ＝ax 2－8ax (a 为常数，且a ＞0)在自变量x 的值满足2≤x ≤3时，其对应的函数值y的最大值为－3，则a 的值为__14__.8．若二次函数y ＝ax 2＋8x ＋(a －3)的图象最高点的纵坐标为3，则a 的值是__－2__.9．(2019·湖北武汉江夏区模拟)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)，当自变量x 的值满足－1≤x ≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为－2，则m 的值为__－2或3__.10．已知二次函数y ＝－x 2＋2mx (m 为常数)，当－2≤x ≤1时，函数值y 的最大值为2，则m的值是__－2或32__.11．(2019·山东临沂一模)对于两个实数，规定max{a ，b }表示a ，b 中的较大值，当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ，当a ＜b 时，max{a ，b }＝b ，例如：max{1，3}＝3.函数y ＝max{x 2＋2x ＋2，－x 2－1}的最小值是__1__.12．已知二次函数y ＝ax 2－2ax －2(a ≠0)．(1)该二次函数图象的对称轴是直线__x ＝1__；(2)若该二次函数的图象开口向上，当－1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为112，求点M 和点N 的坐标；(3)对于该二次函数图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设t ≤x 1≤t ＋1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．解：(1)该二次函数图象的对称轴是直线x ＝2a 2a ＝1.故答案为x ＝1.(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，若－1≤x ≤5，则当x ＝5时，y 的值最大，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，112.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，112的坐标代入y ＝ax 2－2ax －2，解得a ＝12，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－x －2.当x ＝1时，y ＝－52，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52. (3)当二次函数图象开口向上时不满足条件，∴二次函数图象开口向下，a <0.∵当x ≥3时，均有y 1≥y 2，∴⎩⎨⎧t ≥－1，t ＋1≤3，解得－1≤t ≤2.∴t 的取值范围是－1≤t ≤2.。