高中数学圆锥曲线试题精选(含答案)

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。

故A正确。

【考点】抛物线的定义。

3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2解析： 抛物线的标准方程为x 2＝－4y ， 准线方程为y ＝1. 答案： C2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，故选D. 答案： D3．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A4．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C 5．若抛物线x 2＝2py的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D6．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A. 答案： A7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析： 由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2， 故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22.故选C. 答案： C8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB→|F A →|·|F B →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.答案： D9．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|.|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2 ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72. 答案： B10．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 28＝1(x <－1) C ．x 2＋y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析： 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8， ∴所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x >1)． 答案： A11.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=.故选A 12.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析： 由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10， 因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案： x 29－y 2＝112．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析： 设直线方程为y －1＝k (x －2)，与双曲线方程联立得(1＋4k 2)x 2＋(－16k 2＋8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12， 所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3. 答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析： 显然x 1，x 2≥0，又y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2， 当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以最小值为32. 答案： 32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.18．(12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)， 离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2， 从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.19．(12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7， 则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(12分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4. 而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，(43－3x 1)24＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233(取正值).∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.21．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值． 解析： 由y 2＝4x ，得p ＝2， 其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知．|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝2＋4k 2.由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4.所以|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.22．(12分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程．(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .解析： 由题意知e ＝c a ＝32，从而a ＝2b .又2b ＝a ，所以a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1，得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .。

（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。