2012届江苏省常州一中高三第一学期期中考试数学试卷(理科)

2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．（5分）已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）（2011•南京模拟）设集合，则A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：本题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基本题．3．（5分）函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f（x）的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：本题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．（5分）过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点（1，0）的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点（1，0）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=（x﹣1），即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：本题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．（5分）右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列（n∈N+）中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，本题重点是判断出是周期的整数倍，则问题得解7．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”必有a（a+1）=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°）．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）点评：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．（5分）若，则a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点评：本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．（5分）如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由基本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）（2010•扬州模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为②③．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据已知条件可判断a2＞1，0＜a2009＜1，0＜a2009＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2009=2，利用等差数列的性质可知a1+a2010=a2+a2009=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1 可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2009﹣1＜0即a2＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2009＜a2正确把已知的两式相加可得（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）+（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=0 整理可得（a2+a2009﹣2）•[（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010]=0结合上面的判断可知（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010＞0所以a2+a2009=2，而②正确由于d＜0，a2010＜a2009＜1，则S2009=S2010﹣a2010=2010﹣a2010＞2009①错误由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2009﹣s2=a3+a4+…+a2009=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：本题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．（5分）已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是8 ．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合基本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，则（当且仅当t=3，即b=3a时等号成立）；故答案为8．点评：本题考查基本不等式的应用，关键是对M变形，转化为基本不等式的问题．14．（5分）已知二次函数f（x）=x2﹣x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）﹣2在上有两个不同的零点，则的最小值为．考点：二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 值从而得出二次函数f（x）=x2﹣x，值域，再将=结合基本不等式即可求出的最小值．解答：解：若函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，则k=2．∴二次函数f（x）=x2﹣x+2，其值域f（x）∈[，+∞），=≥2=2，当且仅当f（x）=即f（x）=时取等号，而∉[，+∞），∴当f （x ）=时，的最小值为．故答案为：点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（10分）已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期和值域； （2）若x=x 0为f （x ）的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为 ，由此求得最小正周期和（2）由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：（1）易得==所以f （x ）周期π，值域为；（2）由，得，又由得，所以，故，此时，==点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的16．（10分）（2010•盐城三模）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵，∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，即，B是三角形的一个内角，∴（Ⅱ）∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．（15分）（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．分析：（1）由f（2）=2+=2+求解a．（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解答：解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△OPN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．（15分）设函数上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若，且P点的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；（2）若，n∈N*，求S n；（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）可设，由，可得，代入解析式验证即可．（2）由（1）知，而由，可变形为两式相加可得到解决．（3）由（2）知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：（1）设，又∵，∴，又，∴（2）由x1+x2=1，得∴，又∴，即（3）∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g（n）在上是增函数，在上是减函数，我且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即，∴点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N 项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．（15分）（2011•南汇区二模）某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：（1）因为m=4，所以y=m•f（x）=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．（2）由y=m•f（x）=知，在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间（4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为．点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．（15分）（2010•徐州二模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析：（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答：解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合{}a A ,1-=，{}b B a,2=，若{}1=B A ，则=B A ．2．已知平面向量()1,2a = ， ()2,b m =- ， 且//a b ， 则23a b +=．3．函数ln(y e =-的定义域为 ．4．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ．5．若二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是 ．6．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，则目标函数y x k +=3的最大值为 ．7．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)n xx x x x n H=++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：44(4)(3)(2)(1)24H -=-∙-∙-∙-=，则函数52()x f x x H -=∙的奇偶性为 ． 8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ． 9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是 ．11．若自然数n 使得作竖式加法n (n 1)(n 2)++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”；如：32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象，23不是“可连数” ，因为23+24+25产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为 ．12．已知定义在R 上偶函数)(x f ，且0)1(=f ，当0>x 时有0)()(2'>-xx f x xf ，则不等式0)(>x xf 解集为 ．13．已知)2,0(,∈y x ，且xy ＝1，则yx -+-4422的最小值是 ． 14．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →且点(1,(1)),A f (2,(2)),(3,(3))B f C f ；若ABC∆的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB λλ+=∈R，则下列结论正确的有 ．（填上正确命题的序号）① ABC ∆必是等腰三角形；② ABC ∆必是直角三角形； ③ 满足条件的实数λ有3个；④ 满足条件的函数有12个． 二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点6(,0)cos ,sin 5A P αα，（），其中20πα<<．⑴ 若,65cos =α求证：PA PO ⊥ ；⑵ 若PA PO = ，求)42sin(πα+的值．16．（本题满分14分）设函数sin ()2cos xf x x=+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 证明：对任意的0x ≥，都有()x x f 31≤．17．（本题满分14分） 我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。

江苏省高邮第一中学2011—2012学年高三数学期中模拟试卷江苏省高邮第一中学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的．．．．．．位置．．） 1． 已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则实数m = ▲ 2．若复数(1)()i a i -+是实数，则实数a = ▲3．设函数()⎩⎨⎧=x x x f 2log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f ▲4．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = ▲ 5．函数()sin sin()3f x x x π=--，)20(π≤≤x 的最小值为 ▲6．已知l n m ,,是三条直线，βα,是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是 ▲ ①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则α内有无数条直线与l 平行； ③若m ∥ββ⊂n ,，则m ∥n ；④若βα⊥⊥n m ,且n m ⊥，则βα⊥。

7． 已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时，则)2011(f =▲8．已知2||,1||==b a ，若a b a ⊥-)(，则向量a 与b 的夹角为 ▲9．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则→AP ·(→PB ＋→PD )的取值范围是 ▲ 10． 若不等式0122<-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立，则实数x 的取值范围是 ▲ 11． 直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则实数a 的取值范围是 ▲12．数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S = ▲ 13．已知二次函数2()()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值为 ▲14．已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有0)2(=mf ；②函数)(x f 的值域为),0[+∞；③存在Z n ∈，使得9)12(=+nf ；④“函数)(x f 在区间),(b aAD上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得)2,2(),(1+⊆k k b a ” ．其中所有正确结论的序号是 ▲二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，ACBD G =．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ；（Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积． 16．（15分）如图，现在要在一块半径为1m ．圆心角为60°的扇形纸板AOB 上 剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上， 设∠BOP ＝θ， 平行四边形MNPQ 的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．17．（本题满分15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=，（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．（本题满分15分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d （d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a 1, a 2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r （r >0）,那么, 在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a 1（1+r ）n －1，第二年所交纳的储备金就变成 a 2（1+r ）n －2，……. 以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证T n =A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列. ,||;)0(1,)1(||2121为公差的等差数列首项是以为公比的等比数列以为首项是以其中rdr d r d r a B r r r r d r a A n n --+->+++19．（本小题满分16分）设]1,1[-=A ，]22,22[-=B ，函数12)(2-+=mx x x f ， （1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当)(B A C ⊆时，求实数m 取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有)1()1(x f x f -=+成立，试求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）设mx x a x x g ---=2||)( ()a ∈R ，求)()(x g x f +的最小值．20．（本小题满分14分）设函数f(x) = x 2+ bln(x+1),（1）若对定义域的任意x ，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b 的值； （2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(n＜k f nk ++++∑=都成立2011—2012学年高三数学期中模拟试卷解答江苏省高邮第一中学2011.11.5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的．．．．．．位置．．） 1． 已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则实数m = ▲ 1．2； 2．若复数(1)()i a i -+是实数，则实数a = ▲ 2．1；3．设函数()⎩⎨⎧=x xx f 2log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f ． 3．2；4．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = ▲4．1-；5．函数()sin sin()3f x x x π=--，)20(π≤≤x 的最小值为 ▲ 5．216．已知l n m ,,是三条直线，βα,是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是 ▲ ．②④①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则α内有无数条直线与l 平行； ③若m ∥ββ⊂n ,，则m ∥n ；④若βα⊥⊥n m ,且n m ⊥，则βα⊥。

Y开始1i ←360i G ≥i i N G 打印， 1i i ←+N50i > 结束YN（第3题图）（第8题图）2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ . 2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ . 4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共4页，满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题纸交回． 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3． 作答必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e x y =的图象在点(e )ka k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABC D 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、C D 上的两个不同点，且1MN≤，则OM ON ⋅ 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b ,，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)（第11题图）1 1 2O -xy平面直角坐标系x O y 中，已知向量()()()6123A B B C x y C D ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABC D 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABC D 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， MPAODAB与O P 交于点M ，设C D 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、 、 、 四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00mn ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O , ，()324P π,，求以O P 为直径的圆的极坐标方程．D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．PABCD1A 1B 1C 1D （第22题图）Y开始1i ←360i G ≥i i N G 打印， 1i i ←+N50i > 结束YN3题图）（第8题图） 2012届高三年级期中考试 数学Ⅰ（选修物理）2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a = ▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ . 9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件． （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e x y =的图象在点(e )kak a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABC D 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、C D 上的两个不同点，且 1MN≤，则OM ON⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1. {}1 9，； 2. 3±； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. 1515； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. 272733⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,； 12. 6-； 13. )22 2⎡-⎣， ； 14. 1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)（第11题图）1 1 2O - xy平面直角坐标系x O y 中，已知向量()()()6123A B B C x y C D ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABC D 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()B C x y = ,, ………………………2分因为//AD BC，所以(4)x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6ACA B B Cx=+=++，，(2 3)BD BC C D x y =+=--，， (6)分因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分 当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162ABCD S A C B D =四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S A C B D =四边形 …………………14分所以，四边形ABC D 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>， 化简得()2si n 2ωπ+=4， ………………………………………………………………………2分 因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即m inωπ=2， 所以，T的最大值为8．…………………………………………………………………………6分 （2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+()22222s i nc o s 2s i n c o sx x xx ωωωω=+- ()212s i n c o s x x ωω=-211s i n 22x ω=-()11c o s 4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， ………………………………………………………………………10分 因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==，在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B cc=，由正弦定理得sin sin a B A c=，所以，3s i n2b Bc =； ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知 不失一般性，可设1c =， 则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=， 所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABC D 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α- ，对菱形AB的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………2分解得3ta 5α=，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60423 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分 （2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形A B的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分解得sita 2cθαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin s in S θα=⋅()2191s i n tan θα=+⋅()54c os9si nθθ+=，………………12分 由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）经检验得，当4co s 5θ=-时，养殖区的面积2m in=27(m )S ． ………………………………16分 答：（1）养殖区的面积为2423 m ；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为()f x x=是[)0 +∞，上的正函数，且()f x x=在[)0 +∞，上单调递增，所以当[]x ab ∈，时，()() fa a fbb⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即a ab b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，…………………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分 （2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数， 所以当[]x ab∈，时，()() g a b g ba⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=， 由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分 记()21h a a a m =+++， 则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． (7)分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， (12)分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d=+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n a n a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理）附加题部分 参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB与O P 交于点M ，设C D 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以O P 垂直平分弦AB ， 在R t O A P∆中，2OM M P A⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM C M D M ⋅=⋅， 所以，O⋅=⋅， …………………………8分又弦C D不过圆心O，所以O CP , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）MPABOC D（第21—A 题）设矩阵A 00mn ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得011000002011m n m n⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,,,, 所以12m n =⎧⎨=⎩,.…………………………10分C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O , ，()324P π, ，求以O P 为直径的圆的极坐标方程．【解】设点()Q ρθ,为以O P 为直径的圆上任意一点， 在Rt OQP ∆中，()32cos 4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()32cos 4ρθπ=-． …………………………10分D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113aba b--=+-， …………………………3分又正实数a ，b 满足112a b ab --+≥，即1ab-≤()214a b -+，（当且仅当a b=时取“=”） …………………………6分PABCD1A 1B 1C 1D （第22题图） PABCD1A 1B 1C 1D （第22题图）x yz 所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b-+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ， 设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分 因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈,， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分 23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，2222nn n A =⨯⨯个相乘； …………………………4分 （2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，不妨设2122(1)jj kk a a j m -+=≤≤，则112122j j kk a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)jj k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明21j jk k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所以，12C 2n nn nnB --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+…………………………8分 11222(2+C 2C 2C )22nn n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22nn=+-⨯2(32)nn=-． …………………………10分。