1.两个二元消息符号X X1X1a 2a2X1a 2a 3a 4aP 0.3 0.7P0.3 0.2 0.3 0.2求它们的熵。
解：利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑易见，)(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--=)(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-=2.习题二解：（1）最大输出信噪比的时刻为：T（2）（3）最大输出信噪比值:习题三1.2. 一个AM 信号具有如下形式：()[]202cos300010cos6000cos2c s t t t f t πππ=++其中510c f =Hz ；（1） 试确定每个频率分量的功率； （2） 确定调制指数；（3） 确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比。
解：（1）试确定每个频率分量的功率 ()[]202cos300010cos 6000cos 220cos 2cos 2(1500)cos 2(1500)5cos 2(3000)5cos 2(3000)c c c cc c s t t t f tf t f t f t f t f t ππππππππ=++=+++-+++-()s t 的5个频率分量及其功率为：20cos 2c f t π：功率为200w ；cos 2(1500)c f t π+：功率为0.5w ；cos 2(1500)c f t π-：功率为0.5w ；5cos 2(3000)c f t π+:功率为12.5w ；5cos 2(3000)c f t π-:功率为12.5w 。
（2）确定调制指数()[][]202cos300010cos 6000cos 22010.1cos30000.5cos 6000cos 2c c s t t t f tt t f tππππππ=++=++ 因此()0.1cos30000.5cos6000m t t t ππ=+，()max 0.6AM m t β==⎡⎤⎣⎦。
（3）确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比5个频率分量的全部功率为：20020.5212.5226total P w w w w =+⨯+⨯= 边带功率为：20.5212.526sidePw w w =⨯+⨯=边带功率与全部功率之比：260.115226AMη== 3. 用调制信号()cos2m m m t A f t π=对载波cos 2c c A f t π进行调制后得到的已调信号为()()1cos 2c c s t A m t f t π=+⎡⎤⎣⎦。
为了能够无失真地通过包络检波器解出()m t ，问m A 的取值应满足什么条件。
解：如果1m A >，即发生了过调制，包络检波器此时将无法恢复出()m t 。
因此要想无失真通过包络检波器解出()m t ，则需要1m A ≤。
4. 已知调制信号()()()cos 2000cos 4000m t t t ππ=+，载波为4cos10t π，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达式，并画出频谱图。
解：根据单边带信号的时域表达式，可确定上边带信号：()()()11ˆcos sin 22USB cc S t m t t m t t ωω=- ()()41cos 2000cos 4000cos102t t t πππ=+⎡⎤⎣⎦ ()()41sin 2000sin 4000sin102t t t πππ-+⎡⎤⎣⎦ 11cos12000cos1400022t t ππ=+ ()()()()()1[6000600070007000]4USB S f f f f f δδδδ=++-+++-同理，下边带信号为：()()()11ˆcos sin 22LSB c c S t m t t mt t ωω=+ ()()41cos 2000cos 4000cos102t t t πππ=+⎡⎤⎣⎦ ()()41sin 2000sin 4000sin102t t t πππ++⎡⎤⎣⎦ 11cos8000cos600022t t ππ=+ ()()()()()1[4000300040003000]4LSB S f f f f ωδδδδ=++++-+-两种单边带信号的频谱图分别如下图所示（载波为4cos10t π，即5000c f Hz =）：()USBS f ()LSB S f ff 30004000600070005. 若对某一信号用DSB 进行传输，设加至发射机的调制信号()m t 之功率谱密度为：()0,20,m m mmf f f N P f f f f ⎧≤⋅⎪=⎨⎪>⎩试求：（1） 接收机的输入信号功率； （2） 接收机的输出信号功率（3） 若叠加于DSB 信号的白噪声具有双边功率谱密度为02N ，设解调器的输出端接有截止频率为m f 的理想低通滤波器，那么输出信噪比是多少。
解：⑴ 设DSB 已调信号()()cos DSB c s t m t t ω=，则接收机的输入信号功率()()()221122i DSBm S S t m t P f df ∞-∞===⎰0012224m f m m N N f f df f =⨯⨯⋅=⎰⑵ 相干解调之后，接收机的输出信号()()o m t m t =，因此输出信号功率()()()2202mo oN f s t m t m t ===⑶ 解调器的输出信噪功率比 ()20001288i m i m m s t N f S N N B N f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭124o iS SN N⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为910-W，由发射机输出端到解调器输入之间总的传输损耗为100dB，试求：（1）DSB时的发射机输出功率；（2）SSB时的发射机输出功率。
解：⑴在DSB方式中，解调增益2DEMG=，因此解调器输入信噪比201011105022i oS SN N⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同时，在相干解调时，910i oN N w-==因此解调器输入端的信号功率850510i iS N-==⨯W考虑发射机输出端到解调器输入端之间的100dB传输损耗，可得发射机输出功率1001010500T iS S w=⨯=另解：在DSB方式中，系统增益1sysG=201010100base oS SN N⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100iSN B=DSB输出噪声功率：9210N B w-=971100100100.5102iS N W w--==⨯⨯=⨯1001010500T iS S w=⨯=⑵在SSB 方式中，解调增益1DEMG =，201010100i oS S N N ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 910i o N N -==W因此，解调器输入端的信号功率710010i i S N -==W发射机输出功率10101000T i S S =⨯=W7. 已调信号由下式描述：()()()8310cos 21010cos 210s t t t ππ⎡⎤=⨯+⨯⎣⎦试确定以下各值：（1） 已调信号的归一化功率； （2） 最大相位偏移； （3） 最大频率偏移。
解：（1）()()22211105022sP s t a t ===⋅= （2） ()()3max 10cos 21010t t rad θπθ=⨯→∆=（3）()()()434max 110sin 210102i d t f t t f Hz dtθππ∆==-⨯→∆=8. 已知调频信号()()6310cos 108cos 10FM S t t t ππ⎡⎤=+⎣⎦，设调制器的比例常数2FM K =，求其载频、调制信号、调频指数和最大频偏分别是多少。
解：载频为5510c f HZ =⨯，因为()()()()()3338cos 102810sin 102FM FMt t K m t dtm t t K θπππππ==⨯=-⎰故调制信号为 ()33210sin10m t t π=-⨯，又 ()()i FM f t K m t ∆= 调频指数 3max 3221080.510FM m FMm m f k A f f β∆⨯⨯====⨯， 最大频偏为3410⨯Hz 。
习题四1. 给定二进制比特序列{1101001}，试给出相应的单极性NRZ 信号、双极性RZ 信号与传号差分码信号的波形。
解：单极性NRZ 信号、双极性RZ 信号与传号差分码信号的波形如下图所示：2. 某数字基带系统速率为2400Baud ，试问以四进制或八进制码元传输时系统的比特速率为多少？采用双极性NRZ 矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？解：以四进制传输时系统的比特率为：22log 2400log 44800b S R R M bps =⋅=⨯=以八进制传输时系统的比特率为;22log 2400log 87200b S R R M bps =⋅=⨯=信号的带宽与波特率有关，无论是多少进制传输，采用双极性NRZ 矩形脉冲传数据时，信号带宽都为：2400T S B R Hz ==3. 某数字基带系统速率为9600bps ，试问以四进制或十六进制码元传输时系统的符号率为多少？采用单极性RZ 矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？ 解：以四进制传输时系统的符号速率为：229600/log 44800/log s b a d R R u M B ===以十六进制传输时系统的符号速率为：229600/log 1/log 62400b s R M R Baud ===信号的带宽与波特及脉冲宽度有关，以四进制单极性RZ 脉冲传输时，信号带宽为：2480096002s T R B Hz ==⨯= 以十六进制单极性RZ 脉冲传输时，信号带宽为： 2240048002s T R B Hz ==⨯=4. 在功率谱密度为02N 的AWGN 信道中进行二元基带传输，假定码元等概且发射信号分别为：()10,0,Att T m t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 ()21,00,t A t Tm t T ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩其他（1） 确定最佳接收机的结构（确定滤波器特性）； （2） 给出最佳错误概率。
解：()()()12110,2,0t T m t S t m t t T≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤发0，概率为发，概率为12(1) 最佳接收机结构为（滤波器为匹配滤波器）()1m T t-()2m T t-抽样抽样判决{}ˆa n 2y n()2y t1y n()1y t()()()r t s t n t=+定时或：（2）()()()12d s t s t s t =-的能量d E 为：()()22212002t t 3TTd At A T E m m dt A dt T ⎛⎫=-=-=⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 由教材式（4.3.21）可知，最小的e P 为()022e s d d P Q E Q E Q E ⎛⎛ ⎛=== ⎝=+⎝=⎝5. 设4种基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成的()H f 如图题4.13所示，若要求以1s 波特的速率进行数字传输，问它们是否会造成码间干扰。
