【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习：第九章统计(含答案解析)

姓名，年级：时间：A组基础关1．观察下列各图形：其中两个变量x，y具有相关关系的图是( ）A．①② B．①④ C．③④ D．②③答案C解析观察散点图可知,两个变量x,y具有相关关系的图是③④.2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位:cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i,y i)(i＝1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0.85x－85。

71,则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（错误!，错误!)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案D解析D选项中，若该大学某女生身高为170 cm，根据回归方程只能近似认为其体重为58.79 kg,但不是绝对的．故D不正确．故选D。

3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案D解析在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近1,相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大;残差平方和越小，相关性越强,只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两个变量有更强的线性相关性．故选D。

4．(2018·江西南城一中、高安中学联考）随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，得K2＝错误!≈9.616。

参照下表，正确的结论是（)A．在犯错误的概率不超过0。

1％的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99％以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99％以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C解析k≈9.616＞6.635，∴有99％以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．故选C.5．(2018·河南天一大联考）已知变量x，y之间满足线性相关关系y^＝1.3x－1,且x，y之间的相关数据如下表所示:则m＝（）A．0.8 B．1。

第九章统计测试一．选择题（每题5分，共60分）1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为( )A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【来源】沈阳市2016-2017学年度（下)部分市级重点高中协作校期中测试高一数学试题【答案】D【解析】①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围．②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90∼100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围．③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．本题选择D选项.2．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A．12B．15C．20D．21【来源】河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考数学（文)试题【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为211 30000.7100=⨯，所以初中生中抽取的男生人数是20000.612100⨯=人.本题选择A选项.4．某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【来源】陕西省黄陵中学2016-2017学年高一（普通班)下学期期末考试数学试题【答案】C【解析】∵听众人数比较多，∵把每排听众从1到70号编排，要求每班编号为15的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选C.5．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示,12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,2212,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A ．221212,x x s s ><B ．221212,x x s s =>C ．221212,x x s s ==D ．221212,x x s s =<【来源】2018年春人教A 版高中数学必修三单元测试：第二章 统计【答案】D【解析】由甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图可得，1914151516216x +++++==15，2813151517226x +++++==15， 2116s =×[(-6)2+(-1)2+02+02+12+62]=2237136s =，×[(-7)2+(-2)2+02+02+22+72]=533． 所以 221212,x x s s =<．选D ．6．（2016•浦东新区一模）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【来源】2015-2016学年云南省景洪市三中高二上学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】D【解析】由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．7．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息：2019年2月份新能源汽车销量结构图根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆C．2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆D．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆【来源】山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测理科数学试题【答案】C【解析】由图表可知：对于选项A中，2018年4月份我国新能源汽车的销量为8.2万辆，产量为8.1万辆，所以是正确的；对于选项B中，2017年3月份我国新能源汽车的产量为6.83.312.05≈万辆，所以是正确的；对于选项C中，2019年2月份我国插电混合动力汽车的销量为5.325% 1.325⨯=万辆，所以不正确；对于D中，2017年我国新能源汽车总销量为125.677.671.617≈万辆，所以是正确的，故选C．8．某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为（）A．16 B．24 C．32 D．48【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同，所以各层在总体的比例与在样本的比例相同，所以样本中乙类型饮品的数量为37224234⨯=++.故选B.9．某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1,2,...,60，选取的这6名学生的编号可能是（）A．1,2,3,4,5,6B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32D．3,9,13,27,36,54【来源】2013届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试文科数学试卷A（带解析)【答案】B【解析】根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为60106=，∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，故选B．10．将参加数学竞赛决赛的名同学编号为001,002,,500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为005，这500名同学分别在三个考试点考试，从001到200在第一考点，从201到365在第二考点，从366到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．15B．16C．17D．18【来源】江西省新八校2019届高三第二次联考文科数学试题【答案】C【解析】系统抽样的分段间隔为5001050=，在随机抽样中，首次抽到005号，以后每隔10个号抽到一个人，则，在201至365号中共有17人被抽中，其编号分别为205,215,225,,365⋯.故选C11．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴........如果这个过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂多少只（）A．()666161--B．66C．36D．26【来源】陕西省渭南市尚德中学2017-2018学年高二第一次教学质量检测数学试卷【答案】B【解析】第一天归巢后共有6个，第二天归巢后，共有26656+⨯=，第三天归巢后，共有3363656+⨯=，以此类推，第六天归巢后，共有66，故选B.12．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )．A．s1＞s2B．s1＝s2C．s1＜s2D．不确定【来源】吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题【答案】C【解析】乙选手分数的平均数分别为7885848192767780949384,84, 55++++++++====因此s1＜s2，选C.二．填空题（每题5分，共20分）13．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.【来源】9-3用样本估计总体（高效训练)-2019版导学教程一轮复习数学（人教版)【答案】2【解析】由题意，可得1170(12451011)1757x+++++++=，即1(33)57x+=，解得2x=.14．某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取____名血型为AB的学生．【来源】江苏省丹阳高级中学2018届高三上学期期中考试数学试题【答案】6【解析】由题意603 50025=，故AB型血抽：350625⨯=人.15．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量指数．空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI≤）的天数（按这个月总共30天计算）为________．【来源】步步高高一数学暑假作业：作业7 用样本的频率分布估计总体分布【答案】18【解析】根据茎叶图中，可得该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为63105=，估计该地本月空气质量优良的频率为35， 从而估计该地本月空气质量优良的天数为330185⨯=． 16．校开展“爱我南阳、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．【来源】2011年湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学理卷【答案】1【解析】由题意可知17(89+89+92+93+m +92+91)=91，解得x =91，所以x =1，故选A. 三．解答题（17题10分，其余12分/题，共70分）17．某校高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如图所示．据此解答如下问题：(1)计算频率分布直方图中)8090，⎡⎣间的矩形的高；(2)根据茎叶图和频率分布直方图估计这次测试的平均分．【来源】黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学必修三同步练习：第二章 统计单元测评【答案】（1）0.016 ； （2）73.8分.【解析】(1)设该班的数学测试成绩统计的人数为m ，则由茎叶图及频率分布直方图第一个矩形框知，2m =0.008×10，得到m ＝25，所以频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为252112510-⨯＝0.016. (2)设这次测试的平均分为，则＝55×0.08＋65×0.28＋75×0.4＋85×0.16＋95×0.08＝73.8， 所以，根据茎叶图和频率分布直方图估计这次测试的平均分为73.8分．18．一微商店对某种产品每天的销售量（x 件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若微商在一天的销售量超过25件（包括25件），则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.【来源】河北省枣强中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题【答案】（1）0.02；（2）22.5；（3）10800元【解析】（1）由题意可得()110.010.060.070.0450.025a ⎡⎤=-+++⨯=⎣⎦ （2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为()12.50.0117.50.0622.50.0727.50.0432.50.02522.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）根据频率分布直方图，日销售量超过25件（包括25件）的天数为()0.040.025309+⨯⨯=，可获得的奖励为900元，依次可以估计一年内获得的礼金数为9001210800⨯=元.19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数.（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？【来源】四川省广元市万达中学、八二一中学2018-2019高二下学期期中考试数学（理)试题【答案】（1）40；（2）65.2kg ；（3）P=0.28【解析】（1）根据频率直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为：(0.030.052007)21000.410040+⨯+⨯⨯=⨯=（人）；（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是：(550.01570.03590.05610.05630.07650.08670.06⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()690.05710.04730.04750.02)265.2kg +⨯+⨯+⨯+⨯⨯=即利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重是65.2kg ；（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg 的频率是(0.010.030.052)++⨯ 20.28⨯=， ∴这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg 的概率是0.28P =．20．如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？(2)试估计样本数据的中位数与平均数．【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题【答案】（1）20（2）17750，1962.5【解析】(1)由题知，月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500＝0.4，又月收入在[1000,1500)的有4 000人，故样本容量n40000.4==10000.又月收入在[1500,2000)的频率为0.000 4×500＝0.2，月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10000＝2 000，从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取100×200010000＝20(人)．（2）月收入在[1000,2000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，故样本数据的中位数为1500＋0.50.40.0004-＝1500＋250＝1750.由频率分布直方图可知，月收入在[3000,3500)的频率为()10.00080.00040.00030.000250.00015000.075-++++⨯=故样本数据的平均数为12500.417500.222500.1527500.12532500.07537500.051962.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)[)[)[]40,50,50,60,,80,90,90,100⋯（1）求频率分布图中a 的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（2）从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)50,60 的概率.【来源】安徽省阜阳市临泉县第一中学2016-2017学年高一下学期学科竞赛数学（文)试题【答案】（1）0.006,0.4; （2）310【解析】（1）由频率分布直方图知()100.0040.0220.0280.0220.0181a +++++=， 所以0.006a =.该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为()100.0220.0180.4+=.（2）在[)40,60的受访职工人数为()100.0040.006505+⨯=，此2人评分都在[)50,60的概率为310. 22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷带解析)【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分。

2025届高考数学一轮复习人教A 版多选题专题练：第九章 统计一、多项选择题1．2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg ）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )A.这2000头生猪体重的众数为160kgB.这2000头生猪中体重不低于200kg 的有80头C.这2000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg2．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ，平均数分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )A.12m m >B.12m m <C.D.3．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是( )A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分4．在我们发布的各类统计数据中,同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标.如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图,则下列结论正确的是( )A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差12s s <12s s >5．某院校教师情况如下表所示.关于2020年、2021年、2022年这三年该院校的教师情况,下面说法正确的是( )A.2021年的男教师最多B.该校教师最多的是2022年C.2021年中年男教师比2020年中年男教师多80人D.2020年到2022年,该校青年年龄段的男教师人数增长率为220％6．某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.则下列结论中正确的是( )A.招商引资后，工资净收入较前一年减少B.招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍7．为了调查,两种药物预防某种疾病的效果,某研究所进行了动物试验.已知参与两种药物试验的动物的品种,状态,数量均相同,图1是药物试验结果对应的等高堆积条形图,图2是药物试验结果对应的等高堆积条形图,则( )A.服用药物的动物的患病比例低于未服用药物的动物的患病比例B.服用药物对预防该疾病没有效果C.在对药物的试验中,患病动物的数量约占参与药物试验动物总数量的D.药物比药物预防该种疾病的效果好当月增速100%-=⨯去年同期产量当月产量去年同期产量.C.2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%D.2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米9．下列说法正确的是( )A.已知随机变量X 服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()1D X =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ,若(1)0.15P X >=,则(10)0.15P X -<<=C.已知一组数据为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,则它的第70百分位数为7D.若事件A ,B 满足()0P A >,()0P B >,(|)()P B A P B =,则事件A ,B 相互独立10．“体育强则中国强,国运兴则体育兴”.为行战2024年巴黎奥运会,运动员们都在积极参加集训,已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分敕分别为:9.1,9.3,9.4,9.6,9.8,10,10,则这组数据的( )A.平均数为9.6B.众数为1011．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y 与考试次数x 的相关性时,忘记了6=,于是分别用6m =和8m =得到了两条回归直线方程：11y b x a =+,22y b x a =+,对应的相关系数分别为1r 、2r ,排名y 对应的方差分别为21s 、22s ,则下列结论正确的是( )（附：b =y =-A.12r r < B.2212s s < C.12b b < D.12a a <12．第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源.常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热能等.下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则( )A.2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大B.2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数C.2020年我国水电新增装机数少于2015年D.2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年13．已知样本11:p ax ,,…,的均值为4,标准差为2,样本,,…,21n x -的方差为4,则样本和样本的( )A.平均数相等B.方差相等C.极差相等D.中位数相等14．某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：( )A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D.乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数15．某校为了了解学生的身体素质,对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计,结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%,2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示,则( )A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[)30,60内的学生人数占70%B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[]60,80内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在[)50,60内2ax n ax 12:21p x -221x -1p 2pD.相比于2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加16．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( )A.2x ，3x ，4x ，5x 的平均数等于1x ，2x ，…，6x ，的平均数B.2x ，3x ，4x ，5x 的中位数等于1x ，2x ，…，6x ，的中位数C.2x ，3x ，4x ，5x 的标准差不小于1x ，2x ，…，6x ，的标准差D.2x ，3x ，4x ，5x 的极差不大于1x ，2x ，…，6x ，的极差17．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是( )A.该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D.2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升18．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有( )A.该平台女性主播占比的估计值为0.4B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D.从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.619．下列统计量中可用于度量样本1x，2x ，…，n x 离散程度的有( )A.1x ，2x ，…，n x 的标准差B.1x ，，…，的中位数C.1x ，2x ，…，n x 的极差D.1x ，2x ，…，n x 的平均数20．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，( )A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量2x n x参考答案1．答案：BCD解析：由频率分布直方图可知，[140,160)这一组的数据对应的小长方形最高，所以这2000头生猪的体重的众数为150kg ，A 错误；这2000头生猪中体重不低于200kg 的有0.00220200080⨯⨯=（头），B 正确；因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.0010.0040.01)200.3++⨯=，在[140,160)内的频率为0.016200.32⨯=，且0.30.320.620.5+=>，所以这2000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内，C 正确；这2000头生猪体重的平均数为(0.001900.004110⨯+⨯0.011300.0161500.0121700.0051900.002210)20152.8(kg)+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，D 正确.故选BCD.2．答案：BC解析：由题中频率分布直方图得，甲地区[40,60)的频率为(0.0150.020)100.35+⨯=，[60,70)的频率为0.025100.25⨯=，所以甲地区用户满意度评分的中位数10.50.356010660.25m -=+⨯=，甲地区的平均数1450.01510550.02010650.02510750.02010s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.01010950.0101067+⨯⨯+⨯⨯=.乙地区[50,70)的频率为(0.0050.020)100.25+⨯=，[70,80)的频率为0.035100.35⨯=，所以乙地区用户满意度评分的中位数20.50.25701077.10.35m -=+⨯≈，乙地区的平均数2550.00510650.02010750.03510850.02510950.01510s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯77.5=，所以12m m <，12s s <.故选BC.3．答案：ABC解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)内的频率为10(0.010.015)0.25⨯+=，因此不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为10(0.010.0150.02)0.45⨯++=，在[70,80)内的频率为0.3，所以中位数为0.50.45701071.670.3-+⨯≈，故D 错误.故选ABC.4．答案：BCD解析：2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低,故A 错误;由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数,环比增长率的平均即招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，可得B 正确；对于C ，由招商引资后的年经济收入构成比例可知转移净收入与财产净收入的总和占比为33%，小对于D ，招商引资后的经营净收入为230%0.6a a ⨯=，招商引资前的经营净收入为30%0.3a a ⨯=，可得招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，即D 正确.故选：BD7．答案：AD解析：根据题中两组等高堆积条形图,可知服用药物的动物的患病比例低于未服用药物的动物的患病比例,所以正确;服用药物未患病的动物的频率明显大于未服用药物的,所以可以认为服用药物对预防该疾病有一定效果,所以B 不正确;在对药物的试验中,患病动物的数量占参与药物试验动物总数量的比例为100%204302000%60%⨯=+<,所以C 不正确;药物试验结果对应的等高堆积条形图显示未服用药与服用药动物的患病数量的差异较药物试验的大,所以药物比药物预防该种疾病的效果好,所以D 正确.故选:AD.8．答案：ACD解析：2021年10月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为0.5个百分点，9月份增速为7.1个百分点，比上月放缓6.6个百分点.故A 正确；2021年8月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米，故B 错误；2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为13.1%0.5%12.6%-=.故C 正确；2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，因为，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米，故D 正确.9．答案：AD解析：因为随机变量X 服从二项分布,则()114(1)122D X =⨯⨯-=,故A 正确；因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ,则对称轴为0μ=,1(10)[12(1)]0.352P X P X -<<=->=,故B 错误；7.5=,故C 错误；因为()(|)()()P AB P B A P B P A ==,所以()()()P AB P A P B =,所以事件A ,B 相互独立.故选：AD.10．答案：ABD解析：对于A,平均数1(9.19.39.49.69.81010)9.67=++++++=,故A 正确;对于B,出现次数最多5.131158.1⨯=90.4 3.6⨯=14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭的数为10,故B正确;对于C,70.8 5.6⨯=,第80百分位数为第6位,即10,故C错误;对于D,方差为正确.故选ABD.11．答案：BD解析：当m=123455++++==11066265n++++==,解得16n=,同理,当时,,,,,所以,,,,故选：BD．12．答案：ABD2222221(9.19.6)(9.39.6)(9.49.6)(9.69.6)(9.89.6)2(109.6)7⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦16-223)(26)12-= 8m=22b=-212a=2r=228s=12r r>2212s s<12b b>12a a<解析：对于A ，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，显然占比最大，故A 正确；对于B ，2020年我国新增电力装机中风电装机占比37.55%，火电装机占比29.53%，所以新增电力装机中风电装机数大于火电装机数，故B 正确；对于C ，虽然相对于2015年，2020年我国核电新增装机占比减少，但由于总装机数不确定，所以不能得出核电装机数减少的结论，故C 错误；对于D ，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，所以新能源装机占比不超过50%，但2020年我国风电和太阳能新增装机占比和为62.8%大于50%，所以2020年我国新增电力装机结构中清洁能源占比增加，故D 正确.故选ABD.13．答案：BC解析：对于选项A,B,C,设样本1x ,2x ,…,x 2,极差为M ,中位数为q ,则4ax =,224a s =,244s =,所以21s =,2a =±,当2a =时,样本11:2p x ,22x ,…,2n x ;样本12:21p x -,221x -,…,21n x -,可得样本1p 的平均数为24x =,样本2p 的平均数为213x -=,样本1p 和样本2p 的极差相等为2M ,方差也相等为4,故B,C 正确;选项D,设样本1p 的中位数为2q ,则样本2p 的中位数为21q -,故D 错误.当2a =-时,样本11:2p x -,22x -,…,2n x -;样本12:21p x -,221x -,…,21n x -,可得样本1p 的平均数为24x -=,样本2p 的平均数为215x -=-,样本1p 和样本2p 的极差相等为2M ,方差也相等为4,故B,C 正确;选项D,设样本1p 的中位数为,则样本的中位数为,故D 错误.故选:BC.14．答案：BC解析：15．答案：ABD解析：2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[)30,60内的学生人数占比为20%25%25%70%++=,A 正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了10%,假设2q -2p 21q -2022届初三学生人数为(0)a a >,则仰卧起坐一分钟的个数在[]60,80内的学生人数为0.2a ,2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[]60,80内的学生人数为()110%41%0.451,0.4510.2 2.2a a a a ⨯+⨯=>⨯,B 正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[)40,50内,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[)50,60内,C 错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占由表中数据，可知增长率为正，即D 正确.故选：BCD18．答案：AC解析：A 选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为30010%30⨯=，青年人人数为30060%180⨯=，中年人人数为()300110%60%90⨯--=，由图2可以看出青年人中女性人数为1804072⨯%=，中年人中女性人数为9030%27⨯=，其他人群中，女性人数为3070%21⨯=，0.4=，A 正确；B 选项，中年人中男性人数为9070%63⨯=，故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性0.21=，B 错误；C 选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为6:3:1，故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取3206631⨯=++名，C 正确；D 选项，从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件A ，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件B ，则()180n A =，()72n AB =，()()()720.4180n AB P B A n A ===，D 错误.19．答案：AC解析：平均数和中位数反映的是一组数据的平均水平，标准差和极差则体现了一组数据的离散程度.故选AC.20．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.。

(时间：40分钟)1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案 D解析随机抽样包括：简洁随机抽样，系统随机抽样和分层随机抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等．2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )A．54 B．90C．45 D．126答案 B解析依题意得33＋5＋7×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.3．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，接受系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为( )A．0210 B．0410C．0610 D．0810答案 B解析将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，选B.4．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟接受分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名老师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名老师，则从C学校中应抽取的人数为 ( ) A．10 B．12C．18 D．24答案 A解析依据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10.5．接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )A．7 B．9C．10 D．15答案 C解析接受系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，则k组的号码为30(k－1)＋9，令451≤30(k－1)＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个，故答案应选C.6．某校高一班级有900名同学，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该班级同学中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．答案25解析设男生抽取x人，则有45900＝x900－400，解得x＝25.7．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，接受系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若接受分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案37 20解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则40200＝x100，解得x＝20.8．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开头由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，依据下表，读出的第3个数是________．18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71答案 114解析 最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.9．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)由于样本容量与总体中的个体数的比是50＋150＋100＝50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2，所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2， 则抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．记大事D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D 包含的基本大事有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.10．某校进入高中数学竞赛复赛的同学中，高一班级有6人，高二班级有12人，高三班级有24人，现接受分层抽样的方法从这些同学中抽取7人进行采访．(1)求应从各班级分别抽取的人数；(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解． ①列出全部可能的抽取结果；②求抽取的2人均为高三班级同学的概率．解 (1)由于高一，高二，高三的人数比为6∶12∶24＝1∶2∶4，用分层抽样的方法从这些同学中抽取7人，则高一，高二，高三抽取的人数分别为1,2,4.(2)①若抽取的7人中高一同学记为a ，高二的两个同学记为b ，c ，高三的四个同学记为A ，B ，C ，D ，则抽取2人的结果是(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(b ，D )，(c ，A )，(c ，B )，(c ，C )，(c ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共21种．②抽取的2人均为高三班级同学的有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种． 则抽取的2人均为高三班级同学的概率P ＝621＝27.(时间：20分钟)11．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A ．23 C ．02 D ．17答案 C解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.12．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应当为 ( )A ．480B ．481C ．482D ．483 答案 C解析 依据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500，所以n ≤20，最大编号为7＋25×19＝482.13．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号挨次平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽的号码是________．答案 63解析 由题设知，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.14．某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n36×6＝n6，技术员人数为n36×12＝n3，技工人数为n36×18＝n2，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18. 当样本容量为(n＋1)时，总体容量剔除以后是35人，系统抽样的间隔为35n＋1，由于35n＋1必需是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.。

第九章 统 计第47讲 抽样的方法、用样本估计总体链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2.ABD【解析】由题得(a ＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a ＝0.005，得分在[40,60)之间的有(0.005＋0.035)×10×100＝40(人)，故A 正确；得分在[60,80)的概率为(0.030＋0.020)×10＝0.5，故B 正确；设中位数为x ，则(x －60)×0.03＋0.35＋0.05＝0.5，得x ≈63.3，故C 错误；D 正确．故选ABD.3. 120【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B 层中每个个体被抽到的概率都为112，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112，所以总体中的个体数为10÷112＝120. 4.n <m <x－【解析】 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m ＝5.5；又5出现次数最多，故n ＝5；x－＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，故n <m <x －.5.16 18【解析】因为x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5，所以1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝5，所以1n(3x 1＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n )＋1＝3×5＋1＝16，因为x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为2，所以3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的方差是32×2＝18.知识聚焦 1. (3) 随机数表法 4. (4) m x －＋a m 2s 2 研题型·融会贯通分类解析【答案】 (1) A (2) BC【解析】(1) 因为某班级有男生20人，女生30人，抽取了4名男生，6名女生，20 30＝46，则可能采用简单随机抽样，无论哪种抽样，每个学生被抽到的概率都是相同的，故选A.(2) 随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是12，其编号是奇数的概率也是12，所以回答问题1且回答是的人数为1 000×12×12＝250，所以回答第二个问题，且为是的人数为270－250＝20，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为20500＝4%.估计被调查者中约有1000×4%＝40人吸烟．故表述正确的是BC.【解答】(1) 因为样本容量为120，男女生人数比为11∶13，所以样本中男生人数为120×1124＝55，女生人数为120×1324＝65，所以女生满意的人数为65－20＝45.样本中满意的总人数为30＋45＝75，满意的频率为75120＝58，故估计该校高二年级学生对线上教育满意的人数为600×58＝375.(2)由(1)可知男生满意的人数为30，女生满意的人数为45.按照分层抽样原则，抽取的5名学生中有2名男生，3名女生，再从中抽取3名学生，恰有一名男生的概率为2×310＝35.【解答】(1) 由(m＋0.010＋0.015＋2×0.020＋0.030)×10＝1，得m＝0.005，故这些男志愿者中有5人不适合献血．由(0.005＋0.010＋2n＋0.020＋0.035)×10＝1，得n＝0.015，故这些女志愿者中有15人不适合献血．综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．(2) 设男志愿者收缩压的中位数为x (mmHg)，则110<x <120. 由0.015×10＋0.020×10＋(x －110)×0.030＝0.5，得x ＝115， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg)．(3) 95×0.05＋105×0.10＋115×0.15＋125×0.35＋135×0.20＋145×0.15＝125， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg)．(1) 【答案】 ABD 【解析】对于A ，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为f ＝1－10×(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.15，所以第三组[60,70)的频数为120×0.15＝18(人)，故A 正确；对于B ，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B 正确；对于C ，又根据频率分布直方图知，样本的平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73.5(分)，故C 错误；对于D ，因为(0.05＋0.15＋0.15)×10＝0.35<0.5，(0.05＋0.15＋0.15＋0.3)×10>0.5，所以中位数位于[70,80)上，所以中位数的估计值为70＋0.5－0.350.030＝75，故D 正确．(2) 【解答】小明属于“网课潜能生”理由如下：由频率分布直方图得， x－＝85×0.05＋95×0.1＋105×0.15＋115×0.3＋125×0.2＋135×0.15＋145×0.05＝116.5，s ＝15，x －－s ＝101.5，x －＋s ＝131.5，“网课潜能生”在101.5的左侧，“网课优等生”在131.5右侧． 故小明属于“网课潜能生”．【解答】由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x 1，x 2，…，x 6，B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y 1，y 2，y 3，y 4； 记样本的平均数为x －，样本的方差为s 2， 由题意可知，x－＝110[(x 1＋x 2＋…＋x 6)＋(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)]＝110(5×6＋5.5×4)＝5.2，(x i －5.2)2＝[(x i －5)－0.2]2＝(x i －5)2－2×0.2(x i －5)＋0.22，i ＝1,2，…，6，(y i －5.2)2＝[(y i －5.5)＋0.3]2＝(y i －5.5)2＋2×0.3(y i －5.5)＋0.32，i ＝1,2，…，4，s 2＝110[(x 1－5.2)2＋(x 2－5.2)2＋…＋(x 6－5.2)2＋(y 1－5.2)2＋…＋(y 4－5.2)2]＝110(2×6－0＋0.22×6＋0.25×4＋0＋0.32×4)＝13.610＝1.36，所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36.【解答】 机床甲的数据的平均数为x－甲＝10＋9.8＋10＋10.24＝10.机床乙的数据的平均数为x －乙＝10.1＋10＋9.9＋104＝10，机床甲的方差s 2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10.2－10)2＋(10－10)2]＝0.02，机床乙的方差s 2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005，因为x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，所以乙台机床生产的零件质量更符合要求． 课堂评价 1. A 2.AD【解析】对于A ，由频率分布直方图的性质得(a ＋0.02＋0.035＋0.025＋a )×10＝1，解得a ＝0.01，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得成绩落在[70,80)的考生人数最多，故B 错误；对于C ，由频率分布直方图得[50,70)的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，[70,80)的频率为0.035×10＝0.35，所以成绩的中位数位于[70,80)内，故C 错误；对于D ，成绩的平均分为x－＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝75.5，所以成绩的平均分落在[70,80)内，故D 正确．3.BD【解析】已知2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，设X ＝(x 1，x 2，x 3，…，x n )，由E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝7，得E (X )＝3，由D (2X ＋1)＝4D (X )＝4，D (X )＝1，又3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ，方差为b ，则a ＝E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝11，b ＝D (3X ＋2)＝9D (X )＝9.4. ax ＋by ＋cz ＋dw a ＋b ＋c ＋d第48讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. A 3. C 4. A【解析】画出利润率与人均销售额的散点图如图所示．由图可知利润率与人均销售额正相关，故选A.(第4题)5. 68【解析】由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，所以a ＝68.知识聚焦1. (2) 正相关 负相关2. (1) 距离的平方和最小3. (1) 相关关系 (3) 正相关 负相关 越强 几乎不存在线性相关关系 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) B (2) ABC【解析】 对于A ，是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；对于B ，是相关关系，也是正相关关系，符合题意； 对于C ，是相关关系，是负相关关系，不符合题意；对于D ，散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．(2)ABC 中，散点图中的点大致分布在一条直线附近，成带状分布，所以变量间具有线性相关关系；D 中，散点图中的点分布杂乱无章，不在一条直线附近，也不成带状分布，所以变量间不具有线性相关关系．D【解答】 (1) x －＝16＋17＋18＋19＋205＝18，y －＝168＋146＋120＋90＋565＝116，b ∧＝∑i ＝1nxiyi －n x －y－∑i ＝1nx2i －n x －2＝－28，a ∧＝y －－b ∧x －＝116－18×(－28)＝620，所以线性回归方程为y ＝－28x ＋620，因为b∧＝－28<0， 所以此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加一元，销量减少28公斤．(2) 设日利润为ω元，则ω＝(620－28x )(x －15)＝－28x 2＋1 040x －9 300，因为此函数图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为x ＝ 1 04056＝1847，所以当x ＝19时，ω取得最大值．即该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的销售价应定为每公斤19元．【解答】 (1) 散点图如图：(变式)(2) x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5.b ∧＝∑i ＝14xiyi －4x －y －∑i ＝14x2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝3.55＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以y 关于x 的线性回归方程为y∧＝0.7x ＋0.35. (3) 在y∧＝0.7x ＋0.35中，取x ＝9，可得y ∧＝0.7×9＋0.35＝6.65. 所以预测2020年捐赠的现金大约是6.65万元．【解答】(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2,3，…，16)的相关系数为r ＝∑i ＝116 (x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116 (x i －x －)2∑i ＝116 (i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)由于x－＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．【解答】 (1) 由已知，∑i ＝120y i ＝1 200，所以20个样区野生动物数量的平均数为120∑i ＝120y i ＝60， 所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.(2) 因为∑i ＝120(x i －x －)2＝80，∑i ＝120(y i －y －)2＝9 000，∑i ＝120(x i －x －)(y i －y －)＝800，所以r ＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2＝80080×9 000＝223≈0.94.(3)更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．课堂评价 1.B【解析】把x ＝5代入回归方程y ＝0.4x ＋1.2中，得y ＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为3.25＝0.64＝64%.2.D【解析】甲、乙、丙三组数据的线性相关系数分别为0.939，0.937，0.948，所以线性相关系数最大的丙组数据的线性相关性最强，线性相关系数最小的乙组数据的线性相关性最弱．3.D【解析】每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关．由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第6个月开始减少，所以AB C正确，D错误．4. D 【解析】根据题意知，丁同学的相关系数|r|＝0.87为最大，所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．5. ABC 【解析】对于A，身高极差小于20，臂展极差大于等于20，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就会长一些，故B正确；对于C，身高为190 cm，代入回归方程可得臂展等于189.65 cm，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10 cm的两人臂展的估计值相差11.6 cm，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误．故选ABC.第49讲数据分析——分类变量与列联表链教材·夯基固本激活思维1. C2. B3. C4. A研题型·融会贯通分类解析【解答】(1) 由已知，该校有女生400人，所以12＋m 20＋8＝400560，解得m＝8，所以n＝20＋8＋12＋8＝48.(2) 根据题意补全列联表如下：由表中数据，计算K2＝228×20×32×16＝35≈0.685 7<3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一天参加社区服务时间是否超过4 h与性别有关．【解答】 (1) 家长所打分数的平均值为X－＝180×(5×4＋6×8＋7×20＋8×24＋9×16＋10×8)＝395.(2) 填写列联表如下：K 2＝80×(18×8－242×38×48×32≈10.827>7.879，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．【解答】 (1) 根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：由列联表可知，K 2＝2100×100×80×120≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关．(2) 记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内(含3年)换车， 由表知P (A 1)＝10100＋20100＋45100＝0.75， P (A 2)＝15100＋35100＋40100＝0.90， 因为P (A 1)<P (A 2)，所以小李应选择A 型出租车．【解答】 (1) 根据列联表，知K 2＝ 1 000×(5×580－20×395)2(5＋395)×(20＋580)×(5＋20)×(395＋580)≈4.274>3.841，所以有95%的把握认为人们对新冠肺炎病毒的抵抗力与坚持参加体育锻炼有关． (2)根据列联表，在按照分层抽样抽取的5人中，恰有1人坚持体育锻炼，记坚持体育锻炼的1人为A ，其他4人记为b ，c ，d ，e ，从这5人中随机抽取2人，基本事件为Ab ，Ac ，A d ，Ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10种，其中含A 的基本事件为Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，共有4种，所以恰好有1人坚持体育锻炼的概率为P ＝410＝25.【解答】(1)根据频率分布直方图知，0.005×10＋0.005×10＋0.020×10＝0.3,0.3＋0.030×10＝0.6，所以中位数在第4组，设中位数为70＋x，则0.3＋0.030×x＝0.5，解得x≈6.7，所以中位数为70＋x＝76.7，即对此事关注的学生政治成绩的中位数估计值为76.7.(2) ①由50×25＝20，且20×(0.3＋0.1)＝8,30×(0.15＋0.05)＝6，补全列联表如下；②由表中数据，计算K2＝50×(8×24－6×12)220×30×14×36＝5021≈2.381<2.706，所以没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．【解答】(1) 由频率分布直方图可得合格率为0.02×10＋0.03×10＋0.02×10＋0.01×10＝0.8，所以高一年级这次知识竞赛的合格率为80%.设成绩的中位数是x，则(0.01＋0.01＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，则x＝731 3.(2) 由题意得2×2列联表如下：由表中数据得到K2＝2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝×(80×40－20×60)2100×100×140×60≈9.524>7.879，所以有99.5%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．课堂评价1. C 【解析】因为P(K2≥k0)＝0.01表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，所以有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．2. C 【解析】 根据表中数据得列联表如下：计算K 2＝100250×50×70×30＝21≈4.762＞3.841，对照附表知，有95%的把握认为“从事教育工作与性别有关”． 3. D【解析】 由列联表中数据，计算K 2＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20＝253≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”．。

第九章 统 计第47讲 抽样的方法、用样本估计总体1. A2. A3. A4. C 【解析】 对于选项A ：根据图表知识知纯直播占比51.8%，总人数为558 982，所以看纯直播的人数约为289 553，没有超过30万，故选项A 错误；对于选项B ：线上学习利用直播平台进行学习的学生占比约为17.0%＋5.4%＋14.9%＋51.8%＝89.1%，没有超过90%，故选项B 错误；对于选项C ：线上学习观看过录播视频的学生占比约为17.0%＋1.6%＋14.9%＋7.4%＝40.9%，超过40%，故选项C 正确；对于选项D ：使用过资源包的人数占比约为17.0%＋1.6%＋5.4%＋1.2%＝25.2%，超过25%，故选项D 错误．5.D【解析】由条形图知，甲射击成绩为4,4,4,4,4,6,6,6,6,6，所以甲的平均数是5，中位数是5，众数是4,6，方差是1；乙射击成绩为4,4,4,5,5,5,5,6,6,6，乙的平均数是5，中位数是5，众数是5，方差是0.6；丙射击成绩为3,3,3,4,5,5,6,7,7,7，丙的平均数是5，中位数是5，众数是3,7，方差是2.6；丁射击成绩为2,4,4,4,5,5,6,6,6,8，丁的平均数是5，中位数是5，众数是4,6，方差是2.4.所以它们的平均数相同，中位数相同，众数不完全相同，乙的方差最小． 6.D【解析】对于A ，由饼状图知，测试成绩前200名学生中A 校占46%，C 校占20%，所以前200名学生中A 校人数超过C 校人数的2倍，选项A 正确；对于B ，由条形图知，测试成绩前100名学生中，A 校人数约为25＋29＝54，所以A 校人数超过一半以上，选项B 正确；对于C ，由条形图知，测试成绩前151～200名学生中，A 校人数约为17人，所以C 校人数最多为33人，选项C 正确；对于D ，由条形图知，测试成绩前51～100名学生中，A 校人数约为25人，所以B 校人数最多是25人，A 校人数不一定比B 校多，选项D 错误．7.ABD【解析】 该组数据按从小到大的顺序排列为6,7,7,8,8,8,9,9,10，所以这组数据的众数为8，所以A 正确；平均数为x－＝19×(6＋7＋7＋8＋8＋8＋9＋9＋10)＝8，所以B 正确；这组数据的中位数是8，所以C 错误；这组数据的方差是s 2＝19×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋3×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝43，所以D 正确．8. AD 【解析】由频率分布直方图得通行时间在[38,47)对应的频率为1－(0.01＋0.02)×3＝0.91.因为通行时间在[38,47)的车辆有182台，所以n ＝1820.91＝200，故A 正确，B 错误； 通行时间在[35,38)的频率为0.02×3＝0.06，所以抽取的车辆中通行时间在[35,38)的车辆有0.06×200＝12台，故C 错误，D 正确．9.ABC【解析】选项A ，由图(1)可得10月份人均月收入增长率为2%，即A 正确；选项B,11月份人均月收入为1 428×(1＋1%)≈1 442元，即B 正确；选项C ，由图(1)、图(2)均可得12月份收入有下降，即C 正确； 选项D ，由图(2)可知该地人均月收入8月和9月一样，即D 错误． 10. 6 11.14 13.9【解析】根据图表知50位学生的考试成绩的中位数应该是第25位同学的成绩和第26位同学成绩的平均值，由图表可知为14，平均数为12×5＋13×10＋14×20＋15×1550＝13.9.12.6.8203【解析】 设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为x－，中位数为y ，则x－＝0.05×1＋0.1×3＋0.25×5＋0.3×7＋0.15×9＋0.1×11＋0.05×13＝6.8，设抽查人员利用“学习强国”时长的中位数为y ，则0.05＋0.1＋0.25＋0.15×(y －6)＝0.5，解得y ＝203，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为203.13. 【解答】 (1) 样本的频率分布表如下：(2)(第13题)(3)由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以90%分位数一定在区间[27.5,30.5)内，由27.5＋3×0.90－0.82 0.92－0.82＝29.9，可以估计样本的90%分位数为29.9.14. 【解答】(1)因为在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性均为样本容量总体中个体总数，所以甲同学被抽到的可能性为P＝1001 000＝110.(2) 由题意知，x＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390，所以估计该中学达到优秀线的人数为m＝160＋390×120－115120－90＝225.(3) 填表如下：(第14题)该学校本次考试数学平均分为x－＝11 000(60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×135)＝90，所以估计该学校本次考试的数学平均分为90分． 15. 【解答】 (1) 甲方案，y ＝100＋n ； 乙方案，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧150，n ≤55，10n －400，n>55，其中n ∈N *.(2) ①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为110(2×50＋3×54＋2×56＋2×58＋60)＝55，方差为0.2×(50－55)2＋0.3×(54－55)2＋0.2×(56－55)2＋0.2×(58－55)2＋0.1×(60－55)2＝9.8，所以由(1)中变量之间的关系，可以得出甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8. 乙方案中，日薪X 的平均数为110×(5×150＋160×2＋180×2＋200)＝163，方差为0.5×(150－163)2＋0.2×(160－163)2＋0.2×(180－163)2＋0.1×(200－163)2＝281.②答案一：选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．答案二：由①知X甲＜X 乙，但二者相差不大，且s 2甲＜s 2乙，即甲方案日薪收入波动较小，故选择甲方案．第48讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用1. D2. C 【解析】 由已知得x ＝22.5，y ＝160，则a∧＝160－4×22.5＝70，则y ∧＝4x ＋70.当x ＝24时，y∧＝4×24＋70＝166，故选C.3. A4. D5. C【解析】 由表中数据可知x －＝5，y －＝54，代入回归直线方程得a∧＝1.5，所以y∧＝10.5x ＋1.5，当x ＝20时，y ∧＝10.5×20＋1.5＝211.5.6.BCD【解析】线性回归直线是最能体现这组数据的变化趋势的直线，不一定经过样本数据中的点，故A 不正确，C 正确；线性回归直线一定经过样本中心点，故B 正确；线性相关系数r 满足|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小，故D 正确．7.ABD【解析】当所有样本点都在直线y ＝－2x ＋1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r ＝－1，所以A ，B 都错误；相关系数|r |值越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 正确；相关系数|r |值越小，则变量x 与y 的线性相关性越弱，D 错误．8. ABC 【解析】 结合图象，呈正相关，A ，B 正确；去掉“离群点” E 后，有b ∧2<b ∧1，可知C 正确；去掉“离群点”E 后，相关性越强，故R 2>R 21，D 错误． 9. 模型4 【解析】 模型4的相关指数最大，其拟合效果最好． 10. －111. 16 【解析】 由题意，x －＝1，设样本的中心点为(1，y －)， 又线性回归方程为y ∧＝－2x ＋4，则y －＝－2×1＋4＝2，所以∑i ＝18y i ＝8×2＝16.12. 【解答】 (1) 由表格数据知x －＝2＋3＋5＋64＝4，y －＝2.5＋3＋5＋5.54＝4，∑i ＝14x i y i ＝5＋9＋25＋33＝72，∑i ＝14x2i ＝4＋9＋25＋36＝74， 所以b ∧＝72－4×4×474－4×42＝0.8，a ∧＝y－－b ∧x－＝4－0.8×4＝0.8，所以所求的回归直线方程为y∧＝0.8x ＋0.8.(2) 由(1)知，y∧＝0.8x ＋0.8.当x ＝10时，y∧＝0.8×10＋0.8＝8.8.即预计加工10个零件需要8.8 h.13. 【解答】 (1) 由已知数据得，x －＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(1.4＋1.7＋2.0＋2.4＋2.8＋3.1＋3.5)＝16.97，∑i ＝17x i y i －7x －y －＝77.5－7×4×16.97＝9.9，i ＝17(x i －x －)2＝2×(32＋22＋12)＝27≈5.30，所以r ＝∑i ＝17 (x i －x －)(y i －y －)i ＝17(x i －x －)2·i ＝17(y i －y －)2≈9.95.3×1.88≈0.99.因为y 与x 的相关系数r 近似为0.99，说明它们的线性相关性相当强，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2) 由(1)得，b ∧＝∑i ＝17(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝17(x i －x －)2＝9.928≈0.35， a ∧＝y －－b ∧x －＝16.97－9.928×4＝1，所以y 关于x 的回归方程为y∧＝0.35x ＋1，2月10日，即x ＝10，代入回归方程得y ∧＝0.35×10＋1＝4.5.所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人．14. 【解答】 (1) 由散点图知，选择回归类型y ＝c ·x d 更适合．(2) 对y ＝c ·x d 两边取对数，得ln y ＝ln c ＋d ln x ，即v ＝ln c ＋dμ.由表中数据得μ －＝v －＝1.5，所以d ＝∑10i ＝1 (μi －u －)(v i －v －)∑10i ＝1 (μi －μ －)2＝∑10i ＝1μivi －10μ －v －∑10i ＝1μ2i －10μ －2＝13， ln c ＝v －－d μ －＝1.5－13×1.5＝1，所以c ＝e ，所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为y ＝e·x 13.(3) 由(2)知，z (x )＝27x 13－x ，所以z ′(x )＝9x －23－1，令z ′(x )＝9x －23－1＝0，得x ＝27，且当x ∈(0,27)时，z ′(x )>0，z (x )单调递增； 当x ∈(27，＋∞)时，z ′(x )<0，z (x )单调递减．所以当x ＝27千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为z (27)＝54(千万元)．答：要使该企业下一年的年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元研发费用．第49讲 数据分析——分类变量与列联表1. D 【解析】 在四幅图中，D 图中两个深色条高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．2.C【解析】当K 2>2.706时，有90%以上的把握说明A 与B 有关系，但当K 2≤2.706时，只能说明A 与B 是否有关系的理由不够充分，故选C.3.D【解析】根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．4. D【解析】因为K 2的观测值k ≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.5.C【解析】根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，所以K 2的观测值满足6.635<K 2<10.828，所以K 2可能为7.869.6. C 【解析】 根据题目所给数据得到2×2列联表如下：所以K 2＝255×45×75×25≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关”． 7.AD【解析】根据独立性检验原理知，当K 2的观测值k >3.841时，我们有以下结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关，即有95%的把握说A 与B 有关，所以选项A ，D 正确．8. CD 【解析】 由题意知，c ＋d ＝20，d ＝20－c ， 计算K 2＝50×[10(20－c )－20c ]230×20×(10＋c )(40－c )＝25(20－3c )23(10＋c )(40－c ).验证c ＝3时，K 2＝25×(20－9)23×13×37≈2.096<3.841，可信程度小于95%，A 不合题意；c ＝2时，K 2＝25×(20－6)23×12×38≈3.582<3.841，可信程度小于95%，B 不合题意；c ＝1时，K 2＝25×(20－3)23×11×39≈5.614>3.841，可信程度大于95%，C 满足题意；c ＝0时，K 2＝25×2023×10×40＝253≈8.333>3.841，可信程度大于95%，D 满足题意．9. AC 【解析】对于选项A ：因为参与调查的男女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A 正确；对于选项B ：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B 错误；对于选项C ：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：所以K2＝2110×90×100×100＝99≈50.505>6.635，所以有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，所以选项C正确；对于选项D：如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，所以选项D错误．10. 0.10 【解析】K2＝89×(24×26－31×8)2 55×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．11. 4.882 5% 【解析】由公式计算得K2≈4.882，因为k>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为5%.12. 【解答】 (1) 由统计数据填2×2列联表如下：计算观测值为K2＝250×50×80×20＝254＝6.25>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异．(2)由题意可知不支持“房产限购”的人中44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用a，b，c，d，e，f表示，44岁及以上抽取2人，分别用M，N表示．设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A，从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：ab，ac，ad，ae，af，aM，aN，bc，bd，be，bf，bM，bN，cd，ce，cf，cM，cN ，de，df，dM，dN，ef，eM，eN，fM，fN，MN，共28种，其中抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：aM，aN，bM，bN，cM，cN，dM，dN，eM，eN，fM，fN，共12种，所以P(A)＝37，即抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率为37.13. 【解答】 (1) 由题可知随机对1 000人做问卷调查，消费数据的组距为2000，可求得频率分布直方图纵轴上每组频率组距的数据，即3001 000×2 000＝0.00 015，4001 000×2 000＝0.0 002， 1801 000×2 000＝0.00 009，601 000×2 000＝0.00 003， 从而得出频率分布直方图如图所示：(第13题)由表格数据可得x －＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋7 000×0.06＋9 000×0.06＝3 360(元)，故本市居民此期间网络购物的消费平均值为3 360元． (2)由数据可知网购金额不超过4000元的有700×2001 000＝140(人)，超过4000元的有300×2001 000＝60(人)，可得列联表如下.11 / 11 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200×(75×35－65×25)2140×60×100×100＝5021≈2.381<3.841， 故在此期间没有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关．14. 【解答】 (1) 记A 1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”； A 2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B 1表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”或“一般”；B 2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；C 表示事件：甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”． 因为两个班级的评价相互独立，所以P (C )＝P (A 1B 1＋A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)，所以P (C )＝520×1020＋1020×220＝740. (2) 根据题意，填写列联表如下：计算得K 2＝40(5×220×20×33×7＝77≈1.558， 由于1.558<6.635，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．。

（时间：40分钟)1．根据如下样本数据:x 3 4 5 6 7 8y 4。

0 2。

5 －0.50.5 －2。

0 －3.0得到的回归方程为错误!＝bx ＋a ,则( ） A ．a >0,b 〉0 B ．a 〉0，b <0 C ．a 〈0，b >0 D ．a <0，b 〈0答案 B解析 由表中数据画出散点图,如图，由散点图可知b 〈0，a >0.2．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i ）（i ＝1,2，…，8），其回归直线方程是错误!＝错误!x ＋a ,且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6.则实数a 的值是( )A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D 。

错误!答案 B解析 依题意可知样本点的中心为错误!,则错误!＝错误!×错误!＋a ，解得a ＝错误!。

3．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5。

4 －0。

5 0.5b －0。

6得到的回归方程为y 就( ） A ．增加1。

4个单位 B ．减少1。

4个单位 C ．增加7.9个单位 D ．减少7。

9个单位答案 B 解析 依题意得a ＋b －25＝0.9,故a ＋b ＝6.5 ①,又样本点的中心为（5,0.9)，故0。

9＝5b ＋a ②,联立①②,解得b ＝－1。

4，a ＝7。

9，则错误!＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位,故选B 。

4．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量K 2的观测值k ≈4.892,参照附表，得到的正确结论是( )P (K 2≥k ） 0.10 0。

05 0。

025A ．有97。

5%B ．有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关"C ．在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关" 答案 C解析 因为K 2的观测值k ≈4。

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D解析 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，知当b ^>0时，y 与x 正相关；当b ^<0时，y 与x 负相关．∴①④一定错误．故选D.2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3 答案 A解析 易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A.3．(·辽宁沈阳二中一模)某考察团对全国10大城市居民人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66% 答案 A解析 由7.675＝0.66x ＋1.562，得x ≈9.262， 所以7.6759.262×100%≈83%.故选A.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为 ( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 答案 A解析 ∵x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，代入y ^＝0.7x ＋0.35，得y ^＝3.5，∴t ＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3.故选A.5．(·长春检测)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4 答案 A解析 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错误，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A.6．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D解析 D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，根据回归方程只能近似认为其体重为58.79 kg ，但不是绝对的．故D 不正确．故选D.7．(·湖南邵阳调研)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：组为( )A ．a ＝45，c ＝15B ．a ＝40，c ＝20C ．a ＝35，c ＝25D ．a ＝30，c ＝30 答案 A解析 根据2×2列联表与独立性检验可知， 当a a ＋10与c c ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大， 即a 、c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大，故选A.8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 由题意可知x －＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝132， y －＝90＋84＋83＋80＋75＋686＝80. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫132，80在直线y ^＝－4x ＋a 上，故a ＝106.所以回归方程为y ＝－4x ＋106.由线性规划知识可知，点(5,84)，(9,68)在直线y ＝－4x ＋106的左下方．故所求事件的概率P ＝26＝13.故选B. 9．(·安徽皖南一模)下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C ．在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小答案 D解析 回归直线过样本点的中心(x －，y －)，A 正确；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，B 正确；在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，C 正确；对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，因此D 不正确．故选D.10．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 x ＝216＝72，y ＝136，代入公式求得b ^＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，而b ′＝2，a ′＝－2，∴b ^<b ′，a ^>a ′，故选C.二、填空题11．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1ec 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程． 答案 ①②解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用y ＝c 1ec 2x 拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21＞R 22，故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．12．(·赣州模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i ＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，则实数b 的值为________．答案 57解析 令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t ＝∑6i ＝1x 2i6＝72，y ＝∑6i ＝1y i 6＝136，代入y ＝bt －13，得136＝b ×72－13，解得b ＝57.13．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)①p ∧(綈q )；②(綈p )∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s )； ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )． 答案 ①④解析 由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．所以p 真，q 假，r 假，s 假．由真值表知①④为真命题．14．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是________．①列联表中c 的值为30，b 的值为35； ②列联表中c 的值为15，b 的值为50；③根据列联表中的数据，若在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能认为“成绩与班级有关系”；④根据列联表中的数据，若在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”．答案 ③解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30， 成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45， ①②错误；根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.1＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩与班级有关系”．故③正确，④错误．B级三、解答题15．(·湖南百所重点中学诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润．月份1234利润y(单位：百万元)4466相关公式：b＝a ^＝y －－b ^x －.解 (1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元)， 第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)， 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．∴b ^＝54－4×2.5×530－4×2.52＝0.8，∴a ^＝5－2.5×0.8＝3，∴y ^＝0.8x ＋3，当x ＝8时，y ^＝0.8×8＋3＝9.4.∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元．16．(·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．。