对数不等式解

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

例2.解不等式
log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10) 0
3 3
解：原不等式可以化为 log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10)
1 因为上不等式中所含的 以 为底的对数函数是减函 数， 3 所以以上不等式成立， 当且仅当 x 2 3 x 4 0 2 x 10 0 成立. x 2 3 x 4 2 x 10 解这个不等式组，得
2
2
Bu C 0
求使这个一元二次不等 式成立的u的范围，
使 loga x在这个范围的 x的值的集合 , 就是原不等式的解集。
指数式、对数式不等式的解法-----练习
解不等式： 1 ( 1) . 2
1 2
x 2 1
x 2 1
1 4
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起

中考数学解题技巧如何解决含有指数和对数的不等式组题不等式组是中考数学中常见的题型之一，而含有指数和对数的不等式组题则更加复杂和考验解题技巧。

本文将介绍一些解决这类题目的技巧和方法。

一、基础知识回顾在解决含有指数和对数的不等式组题之前，我们需要先回顾一些基础知识。

请注意，本文的重点是解题技巧而非对基础知识的讲解，因此只会进行简要回顾。

1. 指数规律- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$- $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$- $(a^m)^n = a^{mn}$- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$- $a^0 = 1$2. 对数规律- $\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$- $\log_a \left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$- $\log_a m^n = n \cdot \log_a m$- $\log_a 1 = 0$- $\log_a a = 1$二、解题技巧和方法当我们遇到含有指数和对数的不等式组题时，可以采用以下的解题技巧和方法。

1. 指数不等式组的解法对于形如 $a^x > b^x$ 或 $a^x < b^x$ 的指数不等式，我们可以利用取对数的方式来求解。

以 $a^x > b^x$ 为例，可以取对数得到 $\log_a(a^x) > \log_a(b^x)$，进一步化简为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。

根据指数函数和对数函数的单调性，我们可以得到解集为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。

当指数不等式组中存在多个不等式时，我们可以将每个不等式都转化为以指数为底的对数去掉指数，然后进行比较得出结果。

2. 对数不等式组的解法对于形如 $\log_a(x) > \log_a(y)$ 或 $\log_a(x) < \log_a(y)$ 的对数不等式，我们可以利用对数函数的单调性和对数规律来求解。

指、对数不等式的解法【知识要点】1． 化同底把指数不等式和对数不等式转化为代数不等式： （1）()()()()1()()01f xg x f x g x a aaf xg x a >>⎧>⇔⎨><<⎩；（2）当1a >时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩当01a <<时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩2． 通过换元法把指对数不等式转化为代数不等式： （1） 形如20x x Aa Ba C ++>的不等式可以换元x t a =。

（2） 形如2log log 0a a A x B x C ++>的不等式可以换元log a t x =。

3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，Na Na=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log Nlog M log N M log N log M log (MN)log a na a a a a a a Mn M【精选例题】例1．不等式组22|2|2log (1)1x x -<⎧⎨->⎩的解集为 ( )(A)； (B),2)； (C),4)； (D) (2,4)。

例2．解不等式 （1）2415210xx -+⋅-≤（2）2lg 4lg 30x x -+<。

例3．已知函数()log a f x x =满足2(3)(2)f a f a -<，求实数a 的取值范围。

【基础训练】1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=<，M N = （ ）.A ∅ .{|23}B x x << .{|02}C x x << .{|2}D x x <2．不等式2123139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______________。

对数不等式的解法 a>1时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
对数不等式的解法（0<a<1） 时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
河南省泌阳县职业教育中心 周祥松
指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代 数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
所以原不等式的解集为 x | 1 x 3
例2 ax22x ax4,(a 0且a 1)
解 (1)当a 1时，
(2)当 0 a 1时，
a x22x a x4
a x2 2x a x4
x2 2x x 4
x2 2x x 4
x2 3x 4 0
x2 3x 4 0
1
0
3x 2 x 1
x
2 3
x 1
x
3
2
2 x 3
3
2
所以原不等式的解集为：
x
|
2 3
x
3
2
例4 解不等式3x1 18 3x 29
解:原不等式可化为： 3 (3x )2 29 3x 18 0
(3x 9)(3 3x 2) 0
3x 9或 3x 2
3
x
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t 2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

指数不等式、对数不等式的解法·例题?例5-3-7? 解不等式：解? (1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注? 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8? 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解? [法一]? 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二]? 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注? 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解? 原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注? 解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解? 原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注? 解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11? 设a＞0且a≠1，解不等式解? 原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注? 解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12? 设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

一元对数不等式的解法简介本文将讨论一元对数不等式的解法。

一元对数不等式是含有对数函数的不等式，解法相较于一元代数不等式稍有不同。

在解一元对数不等式时，我们需要注意对数的定义域以及其性质。

解法步骤以下是解一元对数不等式的一般步骤：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此需要确保不等式中对数的底数大于0且不等于1。

2. 转化不等式：根据不等式的形式，可能需要对不等式进行化简或转化，以便更好地处理对数。

3. 解转化后的不等式：根据不等式的形式，可以采用以下几种方法解转化后的不等式：- 将不等式转化为对数形式，然后利用对数性质进行简化和求解。

- 对不等式两边同时取对数，然后用代数法解方程。

- 根据对数的单调性和不等式的性质，直接确定不等式的解集。

4. 检验解的有效性：对于解集中的每个解，需要检验其在原始不等式中是否满足，并排除不符合条件的解。

示例以下是一个解一元对数不等式的示例：问题：解不等式 $\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解不等式$\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解法：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此要求 $x-1 > 0$，即 $x > 1$。

2. 转化不等式：将不等式两边同时取指数得到 $2^{\log_2{(x-1)}} > 2^{\log_2{(x+1)}}$。

3. 解转化后的不等式：由于对数函数和指数函数是互反函数，因此可以简化为 $(x-1) > (x+1)$。

4. 解简化后的不等式：将不等式化简为 $-1 > 1$，此不等式显然不成立，因此原始不等式无解。

检验解的有效性：由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。

由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。

结论通过以上步骤，我们可以解一元对数不等式。

在解题过程中，我们需要充分理解对数的定义域和性质，以选择合适的解法和进行正确的运算。

对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。

这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。

极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。

对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。

对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。

在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。

例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。

具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。

总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。

通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。

高中数学中的指数对数不等式在高中数学中，指数和对数是重要的概念，而指数对数不等式则是指数和对数的应用之一。

本文将对高中数学中的指数对数不等式进行探讨和解析。

一、指数不等式指数不等式是指在指数运算中，不等号相连的不等式。

考虑以下两种情况：1. 指数大于1的情况当指数大于1时，指数函数随着底数的增大而增大。

因此，不等式中底数的大小关系会影响不等式的解。

对于形如a^x>b^x的不等式，其中a、b为正实数，且a>b。

我们可以将该不等式转化成x>logb(a)的形式。

因为指数函数和对数函数互为反函数，所以a^x>b^x等价于x>logb(a)。

举例说明，考虑不等式2^x>3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x>1。

2. 指数小于1的情况当指数小于1时，指数函数随着底数的增大而减小。

同样地，不等式中底数的大小关系也会对不等式的解产生影响。

对于形如a^x<b^x的不等式，其中a、b为正实数，且0<a<b。

我们可以将该不等式转化成x<logb(a)的形式。

同样地，这是由于指数函数和对数函数互为反函数所导致的。

举例说明，考虑不等式2^x<3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x<1。

二、对数不等式对数不等式是以对数形式表达的不等式。

对于形如loga(x)>loga(y)的不等式，其中a为正实数且a≠1，我们可以将该不等式转化为x>y。

同样地，对于形如loga(x)<loga(y)的不等式，我们可以将其转化为x<y。

举例说明，考虑不等式log2(x)>log2(y)。

根据对数的定义，该不等式可以转化为x>y。

三、指数对数不等式的综合应用除了单独研究指数和对数不等式，我们还可以将二者结合进行综合运用。

以下是一个例子：考虑不等式2^x<10log2(x)。

数学运算综合技巧巧妙解决指数对数函数不等式的运算数学中，指数和对数函数是非常重要的概念和工具。

它们在不等式解题中经常出现，对于解决这类问题，掌握一些巧妙的数学运算综合技巧是非常重要的。

本文将介绍一些解决指数对数函数不等式的运算技巧。

一、指数和对数函数回顾在开始介绍运算技巧之前，我们先回顾一下指数和对数函数的基本性质。

指数函数的一般形式为$f(x) = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。

对数函数的一般形式为$f(x) = log_a(x)$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。

指数和对数函数是互逆的，即$f^{-1}(x) = log_a(x)$，$a^{log_a(x)} = x$。

二、基本技巧1. 指数函数中的指数运算当指数函数中出现指数相乘或指数相除的情况时，我们可以利用指数运算的性质将其进行简化。

例如，对于指数函数$f(x) = 2^{3x} \cdot2^{2x}$，我们可以将其简化为$f(x) = 2^{3x+2x} = 2^{5x}$。

同样地，对于指数函数中的指数相除，也可以进行类似的运算。

2. 对数函数中的对数运算对于对数函数中的对数运算，我们可以利用对数运算的性质进行简化。

例如，对于对数函数$f(x) = log_a(x) + log_a(y)$，根据对数运算的性质，我们可以将其简化为$f(x) = log_a(xy)$。

同样地，对于对数函数中的对数相减，也可以进行类似的运算。

三、应用技巧1. 利用指数和对数函数性质重写不等式在解决指数对数函数不等式时，我们可以通过重写不等式的形式来简化计算。

例如，对于不等式$2^{3x} > 8$，我们可以将其重写为$2^{3x} > 2^3$，进而得到不等式$3x > 3$。

通过这种方式，我们可以将原始的指数不等式转化为更简单的形式，更容易求解。

2. 利用指数和对数函数的图像特点解不等式指数和对数函数的图像具有一些特点，我们可以利用这些特点来解决不等式。

指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x aaa f x g x a aa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0log ()log ()(1)()0;()()()0l og ()log ()(01)()0()()aa aa f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例题 例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x变式 .解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例2.解不等式154log<x.例3.如果x=3是不等式：2log (2)log (1)log 3a a a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.例4.解不等式：)10(log31log ≠<-<-a xx aa例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x a a a练习 1.不等式loglog221>x 的解集为……………………………………（ ）（A ）{x|x<2} （B ）{x|0<x<2} （C ）{x|1<x<2} （D ）{x|x>2} 2. （05辽宁卷）若011log 22<++aaa，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21( D ．)21,0(3. (05全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa a ax f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a-∞（D ）),3(log+∞a4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ） （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+5、不等式xx 283)31(2--> 的解集为 ；6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ；作业1．不等式1log 21<x的解集为（ ）A ．}41|{>x x B ．}1,41|{≠>x x x 且C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x2．不等式)1(1)12(1loglog---->x a x a 成立的充要条件 （ ）A ．1,2>>x aB ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x3．已知集合=⋂>-=<=N M x x N x Mxx则},0)1(log|{},33|{21322（ ）A ．)23,0( B ．)2,23( C ．)23,1( D ．(0,1) 4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围 （ ） A ．10<<a B ．10≤≤a C ．10><a a 或 D ．10≥≤a a 或5．对于22322)21(,ax axx R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围 （ ） A ．(0,1)B ．),43(+∞C ．)43,0( D ．)43,(-∞6．不等式)1(4)1(2log5log 2++->x x 的解集是____________________. 7．不等式1)11(log>-xa 的解集为_____________________.8．解下列不等式 ①2log)532()1(2>-++x x x ②0825421≥+⋅-+x x。

对数不等式和均值不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式之一，常常在高等数学中出现。

这两类不等式的性质和用途在很多数学问题中都起到了重要的作用，尤其是在优化理论、凸函数理论、概率统计等领域中。

首先我们来说说对数不等式。

对数不等式是指不等式的两边都取对数后形成的不等式，常见的对数不等式有如下几种形式：1. 若a>0，b>0，则a^b>b^a。

4. 若a>0，则\ln{(1+a)}<a。

对数不等式在数学中有很多应用，例如在高等代数、概率论、微积分等领域中都能见到其影子。

对数不等式在研究数学问题时可以简化问题的难度，有时也可以用来证明其他数学不等式。

接下来说说均值不等式。

均值不等式是数学中一类重要的不等式，其基本思想是对一组数进行加工处理，然后比较其大小关系。

常见的均值不等式有如下几种形式：1. 算术平均数不小于几何平均数，即AM\geq GM，其中AM表示算术平均数，GM 表示几何平均数。

3. 三者平均不小于谐均值，即(AM+GM+QM)/3\geq HM，其中HM 表示谐均值。

均值不等式在数学中也有很多应用，特别是在概率统计、优化理论等领域中。

通过均值不等式可以得到很多有用的结论，对于解决一些复杂的问题起到了非常关键的作用。

对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式，它们在数学分析、凸函数理论等领域中有很重要的作用。

研究这两种不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，解决实际问题中遇到的困难，也能够培养我们的数学思维和分析能力。

希望通过学习对数不等式和均值不等式，能够给我们带来更多的启发和收获。

【文章结束】。

第二篇示例：对数不等式和均值不等式是高等数学中的两个重要概念，它们在解决实际问题和证明数学定理中都有广泛的应用。

在本文中，我将分别介绍对数不等式和均值不等式，并探讨它们在数学领域的重要性和实际应用。

让我们来了解一下对数不等式的概念和特点。

对数不等式的解法：化同底或换元法若logaf(x)＜logag(x)．当a＞1时，原不等式化为当0＜a＜1时，原不等式化为．“分段函数型”不等式若f(x)＝解f(x)＞g(x)时，对x进行分段讨论或用图象法解．．含参数不等式的解法(1)若f(a)x>b，需对f(a)＞0，f(a)＝0，f(a)＜0进行讨论．(2)若f(a)x2＋bx＋c>0(<0)，则需分f(a)＝0与f(a)≠0来讨论．当f(a)≠0时，又需对判别式Δ分Δ＞0，Δ＝0和Δ＜0来讨论．在写出不等式的解集时有时需通过比较两根的大小来分类，最后确定出分类标准．(3)若对数或指数的底数中含有参数a，有时需对a＞1或0＜a＜1来讨论．(4)有些较复杂的含参数的不等式中对参数的分类标准极难把握，往往是在解题过程中发现的．例1 解不等式：(1)2x3－x2－15x＞0；(2)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0.[解答] (1)原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.由数轴标根法可得∴原不等式的解集为.(2)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3＞0?用数轴标根法可得∴原不等式的解集为{x|x＜－5，或－5＜x＜－4，或x＞2}．例2解不等式：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0.[解答] 由(x2－1)(x2－6x＋8)≥0可得①或②由①解得x≥4，或1≤x≤2，或x≤－1.由②得x∈，∴原不等式的解集为{x|x≤－1，或1≤x≤2，或x≥4}．[点评] 在解高次不等式时，有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．例3 已知：a>0，函数f(x)＝解不等式<1.[解答] ①当x≤0时，解<1，即解<1，即>0，不等式恒成立，即x≤0；②当x>0时，解<1，即解<1，即>0，因为a＋2>2，所以x>a＋2或x<2，即0<xa＋2.由①、②得原不等式的解集为{x|x<2，或x>a＋2}．[点评] 与分段函数有关的不等式问题，需要对每一段进行讨论，做到不重不漏．近年高考对分段函数的考查逐渐升温，从求值域到分段解析式到解分段函数的不等式等，这些问题都要引起我们的重视．[2010·长沙一中二模] 设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( ) A．(0,2)(3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(0,1)(2，＋∞) D．(0,2)A [解析] 当x0≥2时，>1，解得x0>3；当x0<2时，2x0>1，解得0<x0<0f(x)·g(x)0，(2x2－3x＋1)(3x2－7x＋2)>0或x<或<x2.∴原不等式的解集为∪∪(2，＋∞)．解法二：原不等式等价于>0(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.用序轴标根法，∴原不等式的解集为∪∪(2，＋∞)．例5 解关于x的不等式：≥1.[解答] 设t＝，原不等式等价于≥1≥0?≤0?≤t<2?≤<2?－2.[解答] 原不等式可以化为log2(2x－1)·[－1－log2(2x－1)]>－2，令log2(2x－1)＝t，则t(－1－t)>－2，即(t＋2)(t－1)<0，∴－2<t<x<log2(2x－1)<1.∴2－2<2x －1<2，得<2x2的解集为A，且3A.(1)求实数a的取值范围；(2)求集合A.(2)>2?－2>0>0，由(1)知a－2<0，所以>0<0.又由－2＝，当0＜a≤1时，>2，则集合A＝[解答] (1)3?A，当x＝3时，≤2，即≤2，a≤1，故a的取值范围是{a|a≤1}．当a＝0时，原不等式解集A为空集；当a＜0时，<2，则集合A＝.综上所述：当0＜a≤1时，集合A＝；当a＝0时，集合A为空集；当a＜0时，集合A ＝.[点评] 本题中第(1)问是解不等式的逆向性问题，应理解不等式的解的意义. 第(2)问是含参分式不等式的解法，先要等价转化为整式不等式，再就两根与2的大小分三种情况讨论．</t</x</x0</x。

对数不等式解法如下
含对数的不等式分两种情况：
（1）底数a＞1，y=log（a）（x）是增函数：例如log（5）（2x+1）＞2。

log（5）（2x+1）＞log（5）（25）。

2x+1＞25。

x＞12。

（2）底数0＜a＜1，y=log（a）（x）是减函数：例如log（0.5）（2x+1）＞2。

log（0.5）（2x+1）＞log（0.5）（0.25）。

0＜2x+1＜0.25。

-1＜2x＜-0.75。

-0.5＜x＜-0.375。

解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性。

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论。

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数。

教学目标
知识目标:1.熟练掌握解对数不等式的基本方法.
2.培养学生根据不等式的性质及对数函数的性质将对数 不等式转化成与之等价的不等式（组）的能力.
3.强化等价转化是解不等式的基本数学思想方法，提 高学生分析问题和解决问题的能力.
重点、难点
和关键
重点:对数不等式的同解变形.
难点：对数不等式的同解变形.
师：他说得很好!凡是研究函数问题，都要首先 考虑函数的定义域.
由于一元一次方程和一元二次方程的解集都是 有限集，通过检验就可以判定是否有增根，而不等 式的解集常常是无限集,不等价变形有可能使解集扩 大，然而乂无法检验•因此，把对数不等式转化为代数
1.
教学方法内容和过程
教学意图
时间
不等式的变换必须是等价变换.
标准教案
教师姓名:
学
:数学
科
第章：不等式
第节：解对数不等式
教研组长 审批签字
授课时数
2授课时间
授课班级
教材分析
解对数不等式的过程，始终贯穿着等价转化及函数的思 想，而分类讨论和换元法的使用会使复杂问题简单化,在教学 过程中，注意总结和渗透数学思想方法的作用及使用规律，可 以使学生的思维水平及运算能力不断提高.
3,=^＞3＜名＜
4.
匕(玄+2)>[0<龙<4
所以原不等式的解集为(3, 4)•
师：解对数不等式的关键步骤是考虑对数函数 的定义域.
(二)运用数学思想方法解对数不等式
师：如果把例1中的对数的底数换成a (a>0且a Hl)请同学思考，不等式该怎样求解？
生：根据对数函数的性质，分别对&>1或0<&
教学方法内容和过程

对数不等式证明
早些年，对数平均值不等式在导数大题里可谓风光一时，从2010年开始，很多年的高考题里总有一道两道导数大题可以利用对数均值不等式来解，但近些年这些题的具体应用已经渐渐淡化了。

具体的题目我们先不聊，今天只讲对数不等式的证明，以及从证明过程中我们可以得到哪些收获：
在学习不等式的时候，我们有过这个结论：对任意的正数a>b，均有：
即：平方平均值>算术平均值>几何平均值>调和平均值
如果我们引入了一个新的平均值－对数平均值：
则可以有以下对数平均值不等式链：
，
其中，标蓝部分即为著名的“A-L-G不等式”（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities），中文又称“对数均值不等式”，（在我们村，孩子们都叫它：“奥利给不等式”）
证明：（Ⅰ）
方法一：要证
，
只需证明
．
右侧上下同除b，即只要证明
，
令
，
只要证明
即可．
，
（Ⅱ）证明：。