对数不等式解

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

中考数学解题技巧如何解决含有指数和对数的不等式组题不等式组是中考数学中常见的题型之一，而含有指数和对数的不等式组题则更加复杂和考验解题技巧。

本文将介绍一些解决这类题目的技巧和方法。

一、基础知识回顾在解决含有指数和对数的不等式组题之前，我们需要先回顾一些基础知识。

请注意，本文的重点是解题技巧而非对基础知识的讲解，因此只会进行简要回顾。

1. 指数规律- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$- $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$- $(a^m)^n = a^{mn}$- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$- $a^0 = 1$2. 对数规律- $\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$- $\log_a \left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$- $\log_a m^n = n \cdot \log_a m$- $\log_a 1 = 0$- $\log_a a = 1$二、解题技巧和方法当我们遇到含有指数和对数的不等式组题时，可以采用以下的解题技巧和方法。

1. 指数不等式组的解法对于形如 $a^x > b^x$ 或 $a^x < b^x$ 的指数不等式，我们可以利用取对数的方式来求解。

以 $a^x > b^x$ 为例，可以取对数得到 $\log_a(a^x) > \log_a(b^x)$，进一步化简为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。

根据指数函数和对数函数的单调性，我们可以得到解集为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。

当指数不等式组中存在多个不等式时，我们可以将每个不等式都转化为以指数为底的对数去掉指数，然后进行比较得出结果。

2. 对数不等式组的解法对于形如 $\log_a(x) > \log_a(y)$ 或 $\log_a(x) < \log_a(y)$ 的对数不等式，我们可以利用对数函数的单调性和对数规律来求解。

指、对数不等式的解法【知识要点】1． 化同底把指数不等式和对数不等式转化为代数不等式： （1）()()()()1()()01f xg x f x g x a aaf xg x a >>⎧>⇔⎨><<⎩；（2）当1a >时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩当01a <<时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩2． 通过换元法把指对数不等式转化为代数不等式： （1） 形如20x x Aa Ba C ++>的不等式可以换元x t a =。

（2） 形如2log log 0a a A x B x C ++>的不等式可以换元log a t x =。

3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，Na Na=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log Nlog M log N M log N log M log (MN)log a na a a a a a a Mn M【精选例题】例1．不等式组22|2|2log (1)1x x -<⎧⎨->⎩的解集为 ( )(A)； (B),2)； (C),4)； (D) (2,4)。

例2．解不等式 （1）2415210xx -+⋅-≤（2）2lg 4lg 30x x -+<。

例3．已知函数()log a f x x =满足2(3)(2)f a f a -<，求实数a 的取值范围。

【基础训练】1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=<，M N = （ ）.A ∅ .{|23}B x x << .{|02}C x x << .{|2}D x x <2．不等式2123139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______________。

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t 2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

指数不等式、对数不等式的解法·例题?例5-3-7? 解不等式：解? (1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注? 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8? 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解? [法一]? 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二]? 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注? 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解? 原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注? 解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解? 原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注? 解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11? 设a＞0且a≠1，解不等式解? 原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注? 解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12? 设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

一元对数不等式的解法简介本文将讨论一元对数不等式的解法。

一元对数不等式是含有对数函数的不等式，解法相较于一元代数不等式稍有不同。

在解一元对数不等式时，我们需要注意对数的定义域以及其性质。

解法步骤以下是解一元对数不等式的一般步骤：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此需要确保不等式中对数的底数大于0且不等于1。

2. 转化不等式：根据不等式的形式，可能需要对不等式进行化简或转化，以便更好地处理对数。

3. 解转化后的不等式：根据不等式的形式，可以采用以下几种方法解转化后的不等式：- 将不等式转化为对数形式，然后利用对数性质进行简化和求解。

- 对不等式两边同时取对数，然后用代数法解方程。

- 根据对数的单调性和不等式的性质，直接确定不等式的解集。

4. 检验解的有效性：对于解集中的每个解，需要检验其在原始不等式中是否满足，并排除不符合条件的解。

示例以下是一个解一元对数不等式的示例：问题：解不等式 $\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解不等式$\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解法：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此要求 $x-1 > 0$，即 $x > 1$。

2. 转化不等式：将不等式两边同时取指数得到 $2^{\log_2{(x-1)}} > 2^{\log_2{(x+1)}}$。

3. 解转化后的不等式：由于对数函数和指数函数是互反函数，因此可以简化为 $(x-1) > (x+1)$。

4. 解简化后的不等式：将不等式化简为 $-1 > 1$，此不等式显然不成立，因此原始不等式无解。

检验解的有效性：由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。

由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。

结论通过以上步骤，我们可以解一元对数不等式。

在解题过程中，我们需要充分理解对数的定义域和性质，以选择合适的解法和进行正确的运算。

对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。

这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。

极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。

对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。

对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。

在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。

例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。

具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。

总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。

通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。

高中数学中的指数对数不等式在高中数学中，指数和对数是重要的概念，而指数对数不等式则是指数和对数的应用之一。

本文将对高中数学中的指数对数不等式进行探讨和解析。

一、指数不等式指数不等式是指在指数运算中，不等号相连的不等式。

考虑以下两种情况：1. 指数大于1的情况当指数大于1时，指数函数随着底数的增大而增大。

因此，不等式中底数的大小关系会影响不等式的解。

对于形如a^x>b^x的不等式，其中a、b为正实数，且a>b。

我们可以将该不等式转化成x>logb(a)的形式。

因为指数函数和对数函数互为反函数，所以a^x>b^x等价于x>logb(a)。

举例说明，考虑不等式2^x>3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x>1。

2. 指数小于1的情况当指数小于1时，指数函数随着底数的增大而减小。

同样地，不等式中底数的大小关系也会对不等式的解产生影响。

对于形如a^x<b^x的不等式，其中a、b为正实数，且0<a<b。

我们可以将该不等式转化成x<logb(a)的形式。

同样地，这是由于指数函数和对数函数互为反函数所导致的。

举例说明，考虑不等式2^x<3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x<1。

二、对数不等式对数不等式是以对数形式表达的不等式。

对于形如loga(x)>loga(y)的不等式，其中a为正实数且a≠1，我们可以将该不等式转化为x>y。

同样地，对于形如loga(x)<loga(y)的不等式，我们可以将其转化为x<y。

举例说明，考虑不等式log2(x)>log2(y)。

根据对数的定义，该不等式可以转化为x>y。

三、指数对数不等式的综合应用除了单独研究指数和对数不等式，我们还可以将二者结合进行综合运用。

以下是一个例子：考虑不等式2^x<10log2(x)。