高考一轮复习教案一(7)指数、对数不等式的解法(教师)

专题九 不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾 故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当 解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式一、引言指数与对数函数是高中数学中重要的内容之一，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本教案将重点介绍指数与对数函数的方程与不等式的求解方法和应用。

二、指数函数的方程与不等式1. 指数方程的求解指数方程是形如 a^x = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，b 为指数函数的值。

求解指数方程的一般步骤如下：步骤1：将指数方程转化为等价的对数方程。

对于 a^x = b，可写成loga(b) = x。

步骤2：求解对数方程，即求 loga(b) 的值。

2. 指数不等式的求解指数不等式是形如 a^x ＞ b 或 a^x ＜ b 的不等式，其中 a 和 b 是常数。

求解指数不等式的一般步骤如下：步骤1：将指数不等式转化为对数不等式。

对于 a^x ＞ b，可写成loga(b) ＜ x。

步骤2：求解对数不等式，即求 loga(b) 的值范围。

三、对数函数的方程与不等式1. 对数方程的求解对数方程是形如 loga(x) = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，x 为对数函数的自变量。

求解对数方程的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数方程转化为指数方程。

对于loga(x) = b，可写成 a^b = x。

步骤2：求解指数方程，即求 a^b 的值。

2. 对数不等式的求解对数不等式是形如 loga(x) ＞ b 或 loga(x) ＜ b 的不等式，其中 a 和b 是常数。

求解对数不等式的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数不等式转化为指数不等式。

对于loga(x) ＞ b，可写成 a^b ＜ x。

步骤2：求解指数不等式，即求 a^b 的值范围。

四、指数与对数函数方程与不等式的应用举例1. 人口增长模型根据人口增长的特点，可以建立指数函数方程来描述人口的增长情况。

通过求解指数函数方程，可以预测未来的人口数量。

高中数学指数对数解法教案
主题：指数对数解法
目标：学生能够掌握指数对数的基本概念和解法方法，能够灵活运用指数对数解决实际问题。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾指数对数的基本概念，回顾指数对数的性质和解法方法。

2. 提出一个简单的指数对数问题，让学生思考如何解决。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解指数的基本概念和规律，引导学生理解指数的含义和运算法则。

2. 讲解对数的基本概念和规律，引导学生理解对数的含义和运算法则。

三、练习（20分钟）
1. 给学生一些简单的练习题，让他们灵活运用指数对数的解法方法，解决问题。

2. 分组讨论解题思路，引导学生相互学习和交流。

四、拓展（10分钟）
1. 给学生一些挑战性的问题，让他们尝试用指数对数的解法方法解决。

2. 引导学生思考指数对数在现实生活中的应用，并讨论其重要性。

五、总结（5分钟）
1. 总结本节课学习的内容，强调指数对数的重要性和灵活运用方法。

2. 鼓励学生多加练习，加深对指数对数的理解和掌握。

教学反思：在教授指数对数解法的过程中，需要引导学生理解其基本概念和操作规律，同时要注重培养学生的思维能力和解题思路，让他们能够独立解决复杂的指数对数问题。

2019-2020年高三数学第一轮总复习指数式与对数式教案课题：指数式与对数式教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法． 教学过程：（一）主要知识：1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，，n 为偶数时，.2.分数指数幂与根式的互化：，3.指数式与对数式的互化：．4.对数的运算法则：（略）5.换底公式及换底性质：○1， ○2，○3， ○4. （二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2. 根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；3．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；4．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例1． 计算：（1）)0,0(3224>>⋅-b a ab b a（2）（3）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（4）；（5）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．例2．○1已知，求的值；○2已知，求；○3设，求.例3．已知，且，求的值．例4．设，，且，求的最小值．例5．（xx 上海春）方程()()()x x x ++-=-3log 1log 13log 443 的解是（四）高考回顾：考题1（xx 湖北文）若则下列结论中不正确的是 （ ）ab a b D a C a b B a b A b a b a b b a b a log log log log .,1).(log ,2log log .,1log log .2+>+<>+=⋅考题2（xx 上海）方程的解是考题3（xx 北京）方程lg(4x +2)=lg2x +lg3的解是考题4( 05全国卷III)若,则 ( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c考题5（xx 辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．考题6（xx 北京春）已知二次函数()a x x a x f log 42log )(2++⋅=的最大值是3，求的值。

高中数学指数对数教案一、教学目标：1. 了解指数和对数的定义和性质；2. 掌握指数和对数的运算方法；3. 能够应用指数和对数解决实际问题。

二、教学内容：1. 指数的概念与性质；2. 对数的概念与性质；3. 指数和对数的运算；4. 指数与对数的实际应用。

三、教学过程：1. 指数的概念与性质指数的定义：如果a是一个非零的实数，n是一个正整数，则a的n次方，记作a^n，表示n个a的乘积。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质：- a^m * a^n = a^(m+n)- a^m / a^n = a^(m-n)- (a^m)^n = a^(m*n)2. 对数的概念与性质对数的定义：如果a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正实数，则log_a(b) = c 表示a的c次方等于b。

其中，a称为底数，b称为真数，c称为对数。

对数的性质：- log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)- log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)- log_a(b^c) = c * log_a(b)3. 指数和对数的运算指数和对数的互为逆运算：- a^log_a(b) = b- log_a(a^b) = b指数和对数的换底公式：- log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)4. 指数与对数的实际应用通过实例分析指数和对数在实际问题中的应用，如利用指数和对数解决成本、增长、衰减等问题。

四、教学反馈：设置一些练习题，让学生进行练习并及时纠正错误。

可以在课堂上进行讨论和解答疑问，帮助学生确保掌握了知识。

五、作业布置：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

还可以布置一些应用题，让学生锻炼解决实际问题的能力。

六、教学总结：对本节课的重点内容进行总结，强调学生应该掌握的知识点。

鼓励学生勤加练习，加深理解，提高技能。

模块： 一、集合、命题、不等式 课题： 7、指数、对数不等式的解法 教学目标： 掌握指数、对数不等式的解法． 重难点： 指数、对数运算的应用．一、 知识要点注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分和两种情况解． 二、 例题精讲例1、解下列不等式（1）2lg 12x <； （2）649x xx+>； （3）2216230xx+-+<．例2、解下列不等式（1）()()122log 21log 222x x +-⋅-<； （2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且； （32112log x>+．例3、解下列关于x 的不等式（1）()3log 101a x a x a a x --⎛⎫<>≠ ⎪⎝⎭且；（2）()()2log 12101a x a a a ->->≠且．*例4、（1）解不等式2231037290x x +-⋅+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()()22log log 1a a y a x x b =⋅-+的最大值为32，最小值为0，求a b 、的值．三、 课堂练习1、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 2、22xx+≥的解集为 ．3、不等式0.5log 1xxx<的解集为 ． 412log 1x <-的解集为 ．5、对于11a -≤≤，使不等式2211122x axx a ++-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立的x 的取值范围是 ．6、不等式()222log 0x x ->的解集是 ． 四、课后作业 一、填空题 1、不等式21log 63x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集为 ． 2、函数y =的定义域是 ．3、不等式()()()2cos lg 2010,xx π>∈的解是 ．4、已知全集I R =，261|12x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}3|log 2B x x a =-<，当A B ⊆时，a 的取值范围是 ．5、不等式1402x->的解集为 ；若关于x 的不等式42x xa ->的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是 ．6、不等式2223122x axx a -+⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题7、已知关于x 的方程()4200x x a b c a ⋅+⋅+=≠中，常数a 和b 同号，而b 和c 异号．则下列结论中正确的是（ ） A 、此方程无实根 B 、此方程有两个互异的负实根C 、此方程有两个异号实根D 、此方程仅有一个实根8、若不等式220x ax a -+>对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t tt a a ++-<<的解为（ ） A 、12t <<B 、21t -<<C 、22t -<<D 、32t -<<9、若集合12|log 2,S x x x R ⎧⎫=>-∈⎨⎬⎩⎭，{}|2,T x x Z =<∈，则S T 中的元素个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个三、解答题10、解下列关于x 的不等式： （1）()()11241log 4log 1xxaa+-≥-（0a >且1a ≠）； （2）92log 2a xx x a>．11、（1）2121|13x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}3|log 32B x x a =-<； （2）(){}2|log 5832x A x x x =-+>，{}24|210B x x x a =--+≥， 当A B ⊆时，分别求a 的取值范围．12、已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式：()()()231212log 4log 12log 2log log 3n nn a a a a a x x x n x x a ----+-+->-。

高中数学备课教案指数与对数函数的不等式与方程教案：指数与对数函数的不等式与方程引言指数与对数函数是高中数学中重要的一部分内容。

掌握指数与对数函数的不等式与方程解法，对于学生理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本节课将重点介绍指数与对数函数的不等式与方程的解法及应用。

1. 指数与对数函数的基本特性说明：首先对指数与对数函数的基本特性进行简要介绍，让学生熟悉函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念。

2. 指数与对数函数的不等式2.1 指数函数的不等式说明：介绍指数函数不等式的基本解法，通过例题演示如何求解。

2.2 对数函数的不等式说明：讲解对数函数不等式的解法，引导学生理解对数函数不等式与指数函数不等式的关系。

3. 指数与对数函数的方程3.1 指数函数的方程说明：通过实例讲解指数函数方程的解法，帮助学生清晰地了解解方程的步骤和方法。

3.2 对数函数的方程说明：介绍对数函数方程的解法，重点讲解换底公式的应用。

4. 综合应用说明：结合实际问题，设计综合应用题，通过解答问题的过程帮助学生巩固所学的不等式与方程解法，并且培养学生的应用能力。

5. 拓展延伸说明：提供一些实际生活中与指数与对数函数相关的问题，鼓励学生进一步发散思维，探索更多的数学应用。

6. 总结与反思说明：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考所学的知识在实际问题中的应用。

7. 作业布置说明：布置一些相关的练习题，巩固学生对指数与对数函数的不等式与方程解法的掌握程度。

结语指数与对数函数的不等式与方程是高中数学的重要概念，对学生的数学学习和思维能力有着重要的影响。

通过本节课的学习，相信学生们能够进一步理解并掌握这一知识点。

希望同学们能够在课后的学习中不断巩固和拓展这一内容，并能运用所学知识解决更多的实际问题。

以上为高中数学备课教案《指数与对数函数的不等式与方程》的学习内容安排。

希望本节课能够帮助学生掌握指数与对数函数的不等式与方程解法，并能够灵活应用于实际问题中。

高三数学一轮复习教学计划（精选10篇）什么是教学安排？教学安排（课程安排）是课程设置的整体规划，它规定不同课程类型相互结构的方式，也规定了不同课程在管理学习方式的要求及其所占比例，同时，对学校的教学、生产劳动、课外活动等作出全面支配，详细规定了学校应设置的学科、课程开设的依次及课时安排，并对学期、学年、假期进行划分。

高三数学一轮复习教学安排（精选10篇）时间是箭，去来迅疾，为了以后教学质量不断提高，不如为接下来的教学做个教学安排吧。

信任写教学安排是一个让很多人都头痛的事情，下面是我收集整理的高三数学一轮复习教学安排（精选10篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习教学安排1一、指导思想：加强学习、更新观念，确立新课程标准的基本理念，坚决不移地实施以培育学生创新意识，探究意识和实践实力为重心的素养教化，转变教研理念，改进教研方法，优化教研模式，主动探究在新课程改革背景下中学数学教学工作新体系二、工作目标：本学期是高三一轮复习的主要时间，在本学期的教学活动中，老师要狠抓备课，坚持说课，多参与听评课活动，为学生基础学问的扎实驾驭做出自己的贡献。

三、工作措施：1、狠抓集体备课，深化教材探讨。

2、各数学老师仔细拟定教学安排和辅导学生安排。

在教学中，要特殊重视对学生的学习方法指导和良好习惯培育，激励学生大胆创新，不卑视、压制、挖苦学生。

3、抓好学习，更新观念，各老师留意学习2006届《考纲》，依据改变刚好驾驭教学方向，把握高考的命题特点。

4、探讨学情，盯紧层面生。

各老师要多与层面生交谈，了解其学习状态。

层面生的辅导与试卷的批改要刚好到位。

四、详细支配：本备课组重点探讨开放题，应用题教学中学生创新实力培育的探讨与探究。

紧扣考纲，立足双基，编织网络，夯实基础，总结规律，不断提高运算实力，逻辑思维实力，空间想象实力，学习实力，探究实力，创新实力。

高三数学一轮复习教学安排2一、数学的“双基”是指数学的基础学问、基本技能和数学思想方法。

指数与对数陈海军【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -； （2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____； （2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．4.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则18lg25=___－0.14_____(结果保留2位小数)． 5.（1）方程342115x -=的解集为_____16________；（2）方程32142568x x +-=⨯的解集为79； （3）方程1)3(lg lg =++x x 的解集为_____2____．【范例解读】例1.化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值； （2）若3log 41x =，求332222x xx x --++的值． 分析：先化简再求值．解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±； 又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x x x x ---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=； （2）由2log 3m =，得31log 2m=；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．例3.已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示．解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b +=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=．点评：三个方程三个未知数，消元法求解．例4.设a ，b ，c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++=；（2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a ，b ，c 的值． 分析：运用对数运算性质化简证明． （1）证明：左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=⋅ 2222()2log log 1a b c ab ab ab+-====右边． （2）解：由4log (1)1b c a ++=得30a b c -++=①；由82log ()3a b c +-=得4a b c +-=②； 又222a b c +=③；联立①②③得6a =，8b =，10c =．点评：证明恒等式问题一般由复杂到简单．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -．3．已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）． 5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7若正整数m 满足m m 102105121<<-，m =则155．)3010.02(lg ≈ 8若112511(,1)()11log log 33n n n Z +∈+∈，则n =_2___．9已知2lg lg lg 2x y x y -=+的值． 解：由已知得2lg()lg()2x y xy -=，∴2()2x y xy -=，即2260x xy y -+=，2()610x x y y ∴-⋅+=，解得：3x y =±02x y ->，0x >且0y >，0x y ∴>>，从而3x y =+1=． 11．已知11223x x-+=，求22332223x x x x --+-+-的值． 解：11223x x -+=，11222()9x x -∴+=，17x x -∴+=，2247x x -∴+=， 又331112222()(1)18x x x x x x ---+=+⋅-+=，223322233x x x x --+-∴=+-． 12．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．沁园春·雪北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。

高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式一、引言指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其方程与不等式的解法对于学生的数学素养提升具有重要意义。

本教案将重点介绍指数函数与对数函数的方程与不等式的基本概念、求解方法和相关应用。

二、指数函数的方程1. 指数函数方程的基本性质指数函数方程是以指数函数为未知数的方程，一般形式为\[a^x = b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

指数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得指数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 指数函数方程的解法（1）对数法：将指数形式转化为对数形式，通过对数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 指数函数方程的应用指数函数方程常见于各种科学问题中，如物质的自然衰变、人口增长问题等。

通过对指数函数方程的求解，能够帮助学生分析解决这些实际问题。

三、对数函数的方程1. 对数函数方程的基本性质对数函数方程是以对数函数为未知数的方程，一般形式为\(\log_a{x} = b\)其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

对数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得对数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 对数函数方程的解法（1）指数与对数互逆性质：将对数形式转化为指数形式，通过指数函数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 对数函数方程的应用对数函数方程常见于财务管理、生物科学等领域中，如利润的计算、酶的催化作用等。

通过对对数函数方程的求解，能够帮助学生应用数学解决实际问题。

四、指数函数的不等式1. 指数函数不等式的基本性质指数函数不等式是以指数函数为未知数的不等式，一般形式为\[a^x > b\]或\[a^x < b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。