2019-2020学年杭州市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年浙江省绍兴市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6} 2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣86．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝；＝．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝，a1a2a3a4a5a6＝．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6}【分析】先求出∁U A，由此能求出（∁U A）∪B．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，∴∁U A＝{4，5，6}，（∁U A）∪B＝{4，5，6}．故选：C．2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x【分析】由双曲线的性质及方程直接可得双曲线的渐近线的方程．解：由双曲线x2﹣＝1方程可得渐近线方程为：x＝，即y＝x，故选：B．3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据两向量共线的坐标表示，列方程求出x的值．解：向量＝（x，1），＝（2，﹣3），若∥，则﹣3x﹣1×2＝0，解得x＝﹣．故选：A．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．解：∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣，故选：A．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣8【分析】先作出不等式组表示的可行域，结合目标函数中z的几何意义可求z取得最小值的位置，即可求解．解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x﹣3y＝z，可得y＝x﹣z，则﹣z表示直线y＝x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线L：y＝x﹣z，显然当平行直线过点C时，z取得最小值为；⇒C（4，4）；故2x﹣3y的最小值为：2×4﹣3×4＝﹣4．故选：C．6．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立，若a＞|b|，当b≥0，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b，成立，即必要性成立，故“a＞b”是“a＞|b|”必要不充分条件，故选：B．7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a的符号，结合函数的奇偶性，分别求出a的值，进行判断即可．解：当a＝0时，f（x）＝e x x2，此时对应图象A，当a＞0时，f（x）＝（e x+ae﹣x）x2，若函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x＝e x+ae﹣x，得a＝1，此时f（x）＝（e x+e﹣x）x2，此时对应图象为C，若函数为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝﹣（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x ＝﹣e x﹣ae﹣x，得a＝﹣1，此时f（x）＝（e x﹣e﹣x）x2，由f（x）＝0，得x＝0，当x＞0时，f（x）＞0，此时对应图象为B，D一定不成立，故选：D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增【分析】可取a1＝﹣1，公比q＝，可判断A；取b1＝﹣8，公差d＝2，可判断B；取a n＝1，可判断C；由单调性的定义和恒成立思想可判断D．解：若a1＝﹣1，公比q＝，可得a n＝﹣（）n﹣1在n∈N*时递增，但{na n}不递增，比如a1＝﹣1，2a2＝﹣1，即a1＝2a2，故A错误；若b1＝﹣8，公差d＝2，则b n＝2n﹣10在n∈N*时递增，但{nb n}不递增，比如b1＝﹣8，2b2＝﹣12，即有b1＞2b2，故B错误；若a n＝1，即na n＝n在n∈N*时递增，但{a n}不递增，故C错误；若数列{nb n}递增，即有（n+1）b n+1﹣nb n＝n（b n+1﹣b n）+b n+1＞0恒成立，则b n+1﹣b n＞0，即数列{b n}递增，故D正确．故选：D．9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】设||＝x（x＞0），则＝，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值．解：设||＝x（x＞0），则＝．又＝．cosθ＝＝＞0．则cos2θ＝＝＝＝．∵x＞0，∴x2+1＞1，则0＜＜1，∴当时，，有最大值为＝，∴cos2θ＝有最小值为，又cosθ＞0，∴cosθ的最小值是．故选：D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直【分析】由已知可得CD′⊥AD′，然后逐一分析A，B，C选项，可知使A成立的D′的位置存在，使B与C成立的D′的位置不存在，从而得答案．解：对于A，CD′⊥AD′，若直线AB与直线CD'垂直，由AB∩AD′＝A，则CD′⊥平面AD′B，可得CD′⊥D′B，由BC＝3，CD′＝1，则需BD，此时三角形ABD′存在，故A正确；对于B，取AC中点O，连接BO，∵AB＝BC，则BO⊥AC，若直线AC与直线BD'垂直，又BO∩BD′＝B，可得AC⊥平面BOD′，则AC⊥OD′，得CD′＝AD′，与已知矛盾，故B错误；对于C，CD′⊥AD′，直线BC与直线AD'垂直，由CD′∩BC＝C，可得AD′⊥平面BCD′，则AD′⊥BD′，由AB＝3，AD，则需BD′＝，此时△BCD′不存在，故C错误；由A正确，可知D错误．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝2；＝4．【分析】利用对数的运算性质进行计算即可得解．解：lg2+lg50＝lg（2×50）＝lg100＝2．＝＝4．故答案为：2，4．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝32，a1a2a3a4a5a6＝239．【分析】利用等比数列通项公式先求出公比，由此能求出结果．解：∵{a n}是等比数列，a1＝＝4，∴＝8，∴a3＝4×8＝32．∴a1a2a3a4a5a6＝＝＝（）6×815＝239．故答案为：32，239．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．【分析】由已知利用正弦定理即可解得AC的值，根据余弦定理可得25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB的值，由正弦定理可得sin C的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值．解：∵在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，∴由正弦定理，可得AC＝＝＝，∵在△ABC中，由余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，可得12＝（）2+AB2﹣2××AB×cos120°，整理可得：25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB＝，负值舍去，∴由正弦定理，可得sin C＝＝＝，∴cos C＝＝＝．故答案为：，．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是4【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．再由棱柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．∴该几何体的体积V＝．故答案为：4．15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．【分析】利用已知的三点求出经过该圆的方程，进一步求出结果．解：设经过A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，所以：，解得，所以圆的方程为：，转换为圆的标准式为：．所以a＝，b＝﹣，r＝，故a﹣2b＝．故答案为：16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是（0，）．【分析】由椭圆的方程可得左焦点F的坐标，设M的坐标，由M满足，可得M的坐标，进而求出直线MF的斜率的表达式，平方，换元，求导可得函数的单调性，进而求出斜率的取值范围．解：由题意的方程可得左焦点F（﹣c，0），设M（x，y），因为，所以（x，y﹣b）＝2（a﹣x，﹣y），所以可得x＝，y＝，即M（，），所以直线FM的斜率为：k＝＝＝所以k2＝＝，令x＝e∈（0，1），令f（x）＝，x∈（0，1），则f'（x）＝＝＜0恒成立，所以f（x）∈（0，），即k∈（0，）．故答案为：（0，）．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是[1，]．【分析】先运用绝对值不等式的性质化简，可得﹣≤a n﹣≤，变形得﹣≤﹣≤，进一步求出a1的取值范围．解：，可得﹣≤a n﹣≤，两边同除以2n，可得﹣≤﹣≤，所以﹣≤﹣≤，﹣≤﹣≤，…，﹣≤﹣≤，以上几个式子相加可得﹣（++…+）≤﹣≤++…+，即﹣（++…+）+≤≤++…++，所以﹣2（++…+）+≤a1≤2（++…+）+，所以﹣+≤a1≤+，所以﹣1+≤a1≤1+，所以1≤a1≤，故答案为：[1，]．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．解：（1）f（x）＝x＝sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2≤2sin（2x+）≤2，﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点F，连结EF，推导出EF∥BD1，由此能证明BD1∥平面ACE．（2）取AD中点O，连结A1O，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，BD，交于点F，连结EF，∵底面ABCD是菱形，∴F是BD中点，∵E为DD1的中点．∴EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．（2）解：取AD中点O，连结A1O，CO，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．∴A1O⊥平面ABCD，CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，设A1A＝A1D＝AD＝AC＝2，则A（0，﹣1，0），C（，0，0），A1（0，0，），D（0，1，0），E（0，，），＝（0，1，﹣），＝（，1，0），＝（0，，），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，5），设直线A1D与平面ACE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线A1D与平面ACE所成角的正弦值为．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再求a n与S n；（2）首先证明＜1+（﹣），再由数列的分组求和，以及裂项相消法求和，化简整理即可得证．解：（1）等差数列{a n}中，设公差为d，，解得，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，S n＝2n+•2＝n2+n．（2）证明：＜1+（﹣）⇔1+（﹣）＜1+（﹣）2+（﹣）⇔（﹣）2＞0显然成立，则b n＝＝＝＜1+（﹣），所以b1+b2+b3+…+b n＝+++…+＜[1+（1﹣）]+{1+（﹣）]+…[1+（﹣）]＝n+（1﹣+﹣+…+﹣）＝n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．【分析】（1）由题意将M的坐标代入求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）因为直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，及点N到直线AB的距离d，求出△ABN的面积的表达式，因为A，C，N三点共线所以直线AC，AN的斜率相等，可得C的坐标与A，B的坐标的关系，同理可得D的坐标与A，B的关系，求出|CD|的表达式，再求出直线CD的方程，求出N到直线CD的距离，进而求出△CDN的面积的表达式，求出的表达式，将两根之和及两根之积代入可得面积之比为定值．解：（1）因为抛物线y2＝2px过点M（1，1），所以1＝2p•1，所以2p＝1，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程x＝m（y﹣1）+4，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣my+m﹣4＝0，则y1+y2＝m，y1y2＝m﹣4，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|，N到直线AB的距离d＝＝，所以S△ABN＝d＝|y1﹣y2|，设C（x3，y3），D（x4，y4），则y32＝x3，y42＝x4，因为A，N，C三点共线，k AC＝k AN，即＝＝，k AN＝＝，所以＝，解得y3＝，若y1＝，则y3＝﹣；y1＝﹣，y3＝均适合此式，同理y4＝，所以|CD|＝＝＝|y3﹣y4|•，同理可得k CD＝，直线CD的方程为y﹣y3＝（x﹣y32），整理可得：x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，所以N到直线CD的距离d'＝，所以S△CDN＝|CD|•d'＝|y3﹣y4|•|2﹣（y3+y4）+y3y4|，因为y3﹣y4＝﹣＝，2﹣（y3+y4）+y3y4＝2﹣（+）+•＝，所以S△CDN＝|y1﹣y2|•，所以＝＝＝＝＝＝9，所以为定值9．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用f（0）＝0求得a值，再验证函数为奇函数即可；（2）分类讨论，x≥a时，化简可得y无零点；x＜a，且x≥0时也无零点；因此只有x ＜a且x＜0时有零点，此时一元二次方程有实数解，转化为关于|x|的方程则有正实数解，得到a的范围，在此范围内求得方程的解|x|，根据题意，t≤|x|max，则答案可求．解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）＝﹣a|﹣a|＝0，即a＝0，此时f（x）＝x|x|是奇函数，故a＝0；（2）∵a∈[﹣1，1]，x≥a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝＞0，此时函数y无零点；x＜a，若a＞0，则当0≤x＜a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2﹣2ax+2＝x2﹣a2+2＞0，函数y无零点；∴函数零点在x＜a且a＜0时取得，此时函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2+2ax+2＝x2+4ax+2﹣a2．由x2+4ax+2﹣a2＝0，得|x|2﹣4a|x|+2﹣a2＝0．此时△＝16a2﹣4（2﹣a2）≥0，即，则．由于|x|≥0，∴a＞0，得．|x|＝．要使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，只需t≤，即t．∴实数t的取值范围是（﹣∞，2+]．。

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2} 2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）23．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α110．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2二、填空题（共7小题）.11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为，渐近线方程为12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是，表面积是．13．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝，展开式中的常数项为．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝，c＝．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有种摆法．（结果用数字作答）16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合，∴A＝{x|x≤2}，B＝{x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）2【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案．解：∵i（1﹣i）＝1+i；i（1+i）2＝i•2i＝﹣2；i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝1﹣i；（1+i）2＝﹣2i．∴运算结果为纯虚数的是D．故选：D．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．解：对于A，若m⊥α，n⊥β，则α⊥β，错误，因为当m与n平行时，有α∥β；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，可得m与n平行、相交或异面，只有m与n平行时，再由n ⊥β，可得m⊥β，故D错误．∴正确的命题是C．故选：C．5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用k的几何意义，即可得到结论．解：作出x，y满足对应的平面区域如图：y＝k（x﹣1）过定点P（1，0），由交点A（，），由图象可知当直线经过点A（，）时，直线的斜率最小，此时k＝＝﹣7，由解得B（0，1）当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k＝﹣1，∴k的取值范围是：[﹣7，﹣1]故选：B．6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数【分析】直接利用三角函数的性质周期性和奇偶性的应用求出结果．解：由于函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，所以：当x＝2kπ时，f（2kπ）＝cos[2kπ+sin（4kπ）]＝1，故选项A正确．根据关系式f（x+2kπ）＝f（x）＝cos[（x+2kπ）+sin（2x+4kπ）]＝cos（x+sin2x），故函数的周期为2kπ，所以函数为周期函数，故选项B正确．当x＝时，f（）＝cos（+sinπ）＝0≠1，故选项C错误．根据函数的关系式：f（﹣x）＝f（x）所以函数为偶函数，故选项D正确．故选：C．7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b c A．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη【分析】根据随机变量ξ，η的分布列，根据数学期望和方差的计算公式，代入数值，根据已知c＞a，即可得结论．解：Eξ＝1×a+2×b+3×c＝a+2b+3c，Eη＝3×a+2×b+1×c＝3a+2b+c，Eξ﹣Eη＝2（c﹣a），∵c＞a，∴2（c﹣a）＞0，即Eξ＞Eη．由ξ+η＝4，所以Dξ＝D（4﹣η）＝Dη．故选：B．8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（m，n），m，n＞0，由向量的加减运算和数量积性质可得|OP|＝c，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，求得P的坐标，以及直线PF的斜率k，求得圆C 的圆心和半径r，由直线和圆相切的条件：d＝r，化简整理可得a，c的方程，解方程可得所求离心率．解：设P（m，n），m，n＞0，由，即（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，则|OP|＝|OF|＝c，由m2+n2＝c2，+＝1，解得m＝，n＝，又F（0，c），可得直线PF的斜率k＝＝，设直线PF的方程为y＝kx+c，由题意可得CQ⊥PF，圆C：的圆心C（0，c），半径为，由直线和圆相切可得＝，可得k2＝，即有（）2＝，结合b2＝a2﹣c2，化为5a4﹣14a2c2+9c4＝0，即为（5a2﹣9c2）（a2﹣c2）＝0，可得5a2＝9c2，或a2＝c2，由e＝，且0＜e＜1，可得e＝．故选：B．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α1【分析】设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，由PA＜PB ＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，得到当AC＝BC时，h1＜h2，由正弦函数性质可得α2＜α3．解：由题意设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，∵三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，∴当AC＝BC时，h1＜h2，∴sinα3＝，sinα2＝，∵α2，α3都是锐角，∴α2＜α3．故选：C．10．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2【分析】先假设b＝0时的特殊情况，再分a≤ln，ln＜a≤0及a＞0三种情况讨论，分别得出M，N的值，再结合选项运用排除法得解．解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为2，渐近线方程为x±y＝0．【分析】将双曲线的方程化为标准形式可得a，b的值，进而求出c的值，即求出焦距2c的值，并且求出渐近线的方程．解：双曲线x2﹣2y2＝2的标准方程为：﹣y2＝1，所以可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2+b2＝2+1＝3，解得c＝，所以焦距2c＝2，渐近线的方程为：＝±y，即x±＝0，故答案分别为：2，x±＝0．12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是6，表面积是．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱体．如图所示：所以：．+＝16+2．故答案为：6；16+213．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝6，展开式中的常数项为1215．【分析】先利用二项式系数和的公式求出n的值，然后利用通项法求出常数项．解：易知展开式中各项二项式系数之和为：2n＝64，解得n＝6．故该二项式为，其通项为：＝，当k＝2时，可得常数项为：．故答案为：6，1215．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝﹣，c＝6．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sin C≠0，可求得cos A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由已知正弦定理可得＝，整理可得sin B，在△ABD中，由正弦定理可得BD的值，由余弦定理可得AB2﹣2AB﹣24＝0，即可解得AB的值．解：∵，∴由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴sin A cos C﹣sin C＝sin A cos C+sin C cos A，可得：﹣sin C＝sin C cos A，∵sin C≠0，∴可得cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝，∵∠BAC的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，可得c＝2b，∴在△ABD中，由正弦定理可得＝，可得BD＝2CD＝，在△ADC中，由正弦定理可得，可得CD＝＝，∴＝，整理可得：tan B＝，可得sin B＝，∴在△ABD中，由正弦定理＝，可得BD＝＝＝2，∵由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos，可得（2）2＝22+AB2﹣2×2×AB ×，整理可得：AB2﹣2AB﹣24＝0，∴解得AB＝6，或﹣4（舍去）．故答案为：﹣，6．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有60种摆法．（结果用数字作答）【分析】分两类，可把完全相同的物理书4本看做1本，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，根据分类计数原理可得．解：第一类，可把完全相同的物理书4本看做1本，和语文、数学、英语书，全排即可，故有A44＝24种，第二类，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，把语文、数学、英语排好，将每两本物理书插入到所形成的空中，即有A33A42＝36种，根据分类计数原理可得共有24+36＝60种，故答案为：60．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为3﹣2．【分析】由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和性质：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，化简整理为S3，S6的关系式，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n＞0，若1，S3，S6成等差数列，可得2S3＝1+S6，再由S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，可得（S6﹣S3）2＝S3（S9﹣S6），化为S9﹣S3＝﹣S6，则＝﹣＝﹣＝3﹣（+）≤3﹣2＝3﹣2，当且仅当S6＝S3，上式取得等号，则的最大值为3﹣2，故答案为：3﹣2．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．【分析】由且，设，，且x0≠0，y0≠0，，由向量等式可得，再由＝，可得，．则答案可求．解：∵且，∴设，，且x0≠0，y0≠0，．由，得，即，即．又，∴．则，可得，即．∵＝，∴，．∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．【分析】（1）展开后利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，利用复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；（2）由，得，再由＝＝，展开二倍角的余弦求解．解：（Ⅰ）由，得＝＝．令，解得．∴f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）由题意，得，∴＝＝＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD中点E，连接PE、BE，推导出AD⊥PE，AD⊥BE，从而AD⊥面PBE，由此能证明AD⊥BP．（Ⅱ）法一：推导出面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，则BM ⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，则∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由此能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．法二：AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．解：（Ⅰ）解：取AD中点E，连接PE、BE，∵△ADP是等腰直角三角形，且，∴AD⊥PE且AD＝2，∵AB＝2且∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，又BE∩PE＝E，∴AD⊥面PBE，∴AD⊥BP．（Ⅱ）解法一：∵AD⊥面PEB，AD⊂面PEB，∴面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，∴BM⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，∴∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由题意得，，∴，又∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，AB＝2CD＝2，∴，∴，即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为．解法二：∵AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示，则，∵，∴，∵面ADP⊥面PEB，∠PEB＝150°，∴，则，，设平面ADP的法向量为，则，取z＝3，得，∴直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：【分析】（Ⅰ）由已知利用递推式可得a n+1+a n＝12n+6，a n+2﹣a n＝12，可得{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，令n＝1，2，可得a1，a2的值，分类讨论即可求解其通项公式；（Ⅱ）法一，可得左边＝；法二：①当n＝1时，左边＝，右边＝成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，则当n＝k+1时，转化为，由于是成立的，即可得证．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴a n+1+a n＝12n+6，…………………………∴a n+2+a n+1＝12（n+1）+6，两式相减可得：a n+2﹣a n＝12，…………………………∴{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，中令n＝1，得a1＝6，令n＝2，可得：，∴a2k﹣1＝a1+12（k﹣1）＝12k﹣6＝6（2k﹣1），a2k＝a2+12（k﹣1）＝12k＝6•2k………………………………综上所述可得：a n＝6n，………………………………（Ⅱ）（法一：放缩裂项法）b n＝6n+4，………………∴＝………………………………………法二：数学归纳法（结合分析法、放缩法等）证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，所以不等式成立．……………②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即，则当n＝k+1时，，只需证明：，即只要证明：……………………………即证：，∵是成立的所以n＝k+1时，不等式成立．根据①②知原不等式对于任意n∈N*成立．…………………21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．【分析】（Ⅰ）可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），求得焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，由中点坐标公式可得MG，MH的中点坐标，代入抛物线的方程，结合二次方程的韦达定理和判别式大于0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，由三角形的面积公式和函数的单调性，求得面积的最大值，即可点到所求M的坐标．解：（Ⅰ）由题意可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），焦点，准线方程为x＝﹣，则，解得p＝2，则抛物线C的标准方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，则由MG的中点（+t1﹣4，）在抛物线上，可得（）2＝4（（+t1﹣4），整理可得t12+（2y0﹣16）t1+64﹣y02＝0，同理可得t22+（2y0﹣16）t2+64﹣y02＝0，则t1，t2为方程t2+（2y0﹣16）t+64﹣y02＝0的两根，且t1，t2≥0，所以，解得﹣8≤y0＜0，弦长|GH|＝|t1﹣t2|＝＝2，M到GH的距离d＝＝，可得△MGH的面积为S＝d•|GH|＝•（2y02﹣16y0+64），可令r＝，由2y02﹣16y0＝2（y0﹣4）2﹣32在[﹣8，0）递减，可得2y02﹣16y0∈（0，256]，即r∈（0，16]，设f（r）＝（r3+64r），可得f（r）在r∈（0，16]上单调递增，则当r＝16时面积最大，此时点M（16，﹣8）．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．（2）求出函数的定义域，不等式对x∈[1，+∞）恒成立，证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，方法一：令，g（a）是减函数，令φ（x）＝，x≥1；利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解a的取值范围．方法二：令，利用函数的导数，判断导函数的符号，说明g（x）递增，然后求解a的取值范围．【解答】（1）解：a＝﹣1时，函数的定义域为（1，+∞），＝．令f'（x）＞0，则x＞3，f'（x）＜0，则1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）递减，（3，+∞）递增，∴f（x）min＝f（3）＝4﹣ln2．（2）解：函数的定义域不等式对x∈[1，+∞）恒成立，故a∈（﹣1，1]又令x＝1，则，，∵为减函数，且h（1）＝1﹣ln2，∴a≤1，故a∈（﹣1，1]．下面证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即证恒成立，方法一：令，则g（a）是减函数，故，令φ（x）＝，x≥1；当x＞1时，，∵，故φ'（x）＞0，故φ（x）在x≥1是递增，∴φ（x）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．方法二：令，g'（x）＝，≥＝＝，故g（x）递增，，令，则φ（a）递减，故φ（a）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．。

杭州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20003．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种4．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()2log 3a f =，()4log 5b f =，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c满足（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种 B ．15种C ．10种D ．4种6．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -7．在三棱锥P-ABC 中，PB BC =，3PA AC ==，2PC =，若过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．23C ．23D ．2238．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16- B ．16C ．4-D ．49．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．12010．平面α 与平面β 平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行C ．直线a α⊂ ，直线b β⊂ ，且//,//a b βαD ．直线//,//a a αβ ，且直线a 不在平面α内，也不在平面β内11．若函数()()32ln f x x f x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．1-C ．27D ．27-12．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． 14．用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=L ，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为_______．15．若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是______．16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。