浙江省杭州地区(含周边)重点中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学答案

2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b22．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．1206．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．27．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．68．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且恒成立，则c+c2的值（）A．2 B．4 C．6 D．810．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=；若l1⊥l2，则实数m=．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=，数列{a n}的前n项和S n的最小值是．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是．17．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0，∴．因此B不正确．故选：B．2．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO=．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．【解答】解：tanα==tan，α∈[0，π），可得α=．故选：C．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．120【解答】解：∵，﹣S n=2S n，即S n+1=3S n．∴S n+1∴数列{S n}是等比数列，公比为3，首项为1．则S5=1×34=81．故选：A．6．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：联立，解得x=1，y=2．把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．∴m=﹣5﹣2n．∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．故选：A．7．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．6【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，∴≥，∴ab≥，∵+=3，∴2a+b=3ab，∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，∴（a+1）（b+2）的最小值是，故选：B．8．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1，若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a﹣1恒成立，即a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣，2）∪（1，+∞），故选：D．9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且+c2的值（）恒成立，则cA．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，a i+b i=ic i（i=1，2），∴l1过定点M（1，1），l2过定点N（2，2），又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，∵|MN|==，∴MN⊥l i（i=1，2）．又k MN=1．∴直线l1，l2的方程分别为：x+y=2，x+y=4，∴c1+c2=6，故选：C．10．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，所以，OD=，所以BO===OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=﹣3；若l1⊥l2，则实数m=﹣．【解答】解：当l1∥l2时m（m+2）﹣3×1=0，解得m=﹣3或m=1，当m=1时，两直线重合，故l1∥l2，则实数m=﹣3，当l1⊥l2，则m+3（2+m）=0，解得m=﹣，故答案为：．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6，数列{a n}的前n项和S n的最小值是﹣20．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有（a1+2d）2=a1（a1+3d），化为a1d=﹣4d2，解得a1=﹣8，a2=﹣8+2=﹣6；数列{a n}的前n项和S n=na1+n（n﹣1）d=﹣8n+n（n﹣1）=n2﹣9n=（n﹣）2﹣，当n=4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为30+6【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中：侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，AD=2，DC=3，CB=4，PD=4．则该几何体的体积V==．表面积S=×3+×=30+6．故答案为：，30+6．14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围3．【解答】解：作出不等式表示的平面区域如图，联立方程组解得：A（﹣1，﹣2），B（，﹣），C（0，1），则|AB|=，C到直线x﹣y﹣1=0的距离d=，∴；化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，∵z=ax+y在点处取到最大值，∴a≤﹣3，即a≥3．故答案为：．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l 1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【解答】解：直线l1：x+my﹣1=0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+=0即m（x﹣2）=y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）=0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤=2，当且仅当|PA|=|PB|=时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是2．【解答】解：设H，I分别为CC1、C1D1边上的中点，∵则平面A1BE∥平面B1HI又∵B1F∥面A1BE，∴F落在线段HI上，且∠B1FC1即为B1F与平面CDD1C1所成角，当F与H或I重合时，B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最小值2；故答案为：217．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：法一、取AE的中点H，连接HG，DH，∵G是线段BE的中点，∴HG∥AB，且HG=，∵四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，∴DF∥AB，且DF=，∴HG∥DF且HG=DF，∴四边形DFGH是平行四边形，得GF∥DH，∵GF⊄平面ADE，DH⊂平面ADE，∴GF∥平面ADE；解法二、取CE的中点H，连接FH，GH，∵G是线段BE的中点，∴GH∥BC，∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，则GH∥AD，∵GH⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴GH∥平面ADE，又∵F是线段CD上的中点，∴HF∥DE，∵HF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴HG∥平面ADE，∵GH∩/HF=H，∴平面FHG∥平面ADE，∵FG⊂平面FHG，∴GF∥平面ADE；（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∵CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE，∴点F到平面ABE的距离=点C到平面ABE的距离，∴V F=V C﹣ABE=V A﹣BCE=．﹣ABE19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．【解答】解：（Ⅰ）若直线l的纵、横截距为0，可得k=，直线l的方程为y=x；若截距不为0，由题意设直线方程是：+=1，代入P（6，4）得：+=1，解得：a=8，故l为：2x+y﹣16=0，则直线l的方程为2x﹣3y=0或2x+y﹣16=0；（Ⅱ）k=﹣1时，l的方程是：y﹣4=﹣（x﹣6），即x+y﹣10=0，M（6，0）关于y轴的对称点M''为（﹣6，0），M关于直线x+y=10的对称点为M'（a，b），由解得a=10，b=4，即有M'（10，4），由如图可得光线所经过的路程为MK+KN+NM=M'K+KN+NM''=M'M''==4．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x|x﹣1|﹣1=，当x≥1时，x2﹣x﹣1＜x﹣1，解得：1≤x＜2；当x＜1时，﹣x2+x﹣1＜x﹣1，解得x＜1且x≠0．∴不等式f（x）＜x﹣1的解集是{x|x＜0或0＜x＜2}．（II）由恒成立得：恒成立，∵x∈（0，1]，∴恒成立，即在x∈（0，1]恒成立．又当x=1时，x﹣取得最大值﹣，≥2=，当且仅当即x=时取等号，∴．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90°⇒CF⊥BC，⇒FC⊥面ABC，⇒AB⊥CF…（5分）（2）设，设BE=t，则ED=EA=2﹣t，取BC的中点H，连接HE，AH，又…（7分）又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2=+t2﹣t+，∴，∴点E是BD的中点，…（10分）HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA为所求角的线面角…（12分）…（14分）∴所以直线AE与平面ABC所成角为…（15分）．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．【解答】解：（I）∵，∴，∵，∴{a n}单调递增趋向正无穷，∴．（II），∴，∴==，为定值．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

浙江省2017-2018学年高二数学上学期考试试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ▲ ） .A (,0]-∞.B (,0)-∞.C [0,)+∞.D (0,)+∞2．下列函数既是奇函数，又在()0,+∞上为增函数的是（ ▲ ）.A 1y x = .B y x = .C 122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ().log 1D y x =+3．等比数列{}n a 的公比为q ，312,,2a a a 成等差数列，则q 值为（ ▲ ）.A 2.B 2.C 22+.D 1或124．计算：()()4839log 3log 3log 2log 2++=（ ▲ ）5.4A 5.2B .5C .15D5．y =[)0,+∞，则a 的取值范围是（ ▲ ）.A ()2,+∞ ()().,12,B -∞-+∞ .C []1,2- [].0,2D6．为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ▲ ）.3A π 2.3B π 4.3C π 5.3D π7．以方程012=++px x 的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p 的取值范围是（ ▲ ）.A 2-<p .B 2-≤p 或2≥p .C 2222<<-p .D 222-<<-p8．已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足()()1,3,3,1AC BD ==-，那么AB CD ⋅的取值范围是（ ▲ ）(.A - (].1,2B - [).2,0C - [].0,2D9．函数8sin 2,0()1(),022x x f x f x x π-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则函数4()()log h x f x x =-的零点个数为（ ▲ ） .A 2个 .B 3个 .C 4个 .D 5个 10．如图，在AOB∆中,90AOB ∠=︒，1,OA OB = 等边EFG ∆三个顶点分别在AOB ∆的三边上运动，则EFG ∆面积的最小值为（ ▲ ） .A 4 .B 9 .C 25.D 28第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan α= ▲ ，cos 2α= ▲ 12．不等式组2031x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域M 面积为 ▲ ，若点(),x y M ∈，则3x y -的最大值为 ▲13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1480,a S S >=，则12S = ▲ ；满足0n a >的n 最大整数是 ▲ ．14．已知扇形AOB半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是 ▲ ； PA PB 最小值是 ▲ ；15．已知0,0x y >>，且241x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ▲ ．16．若不等式组⎩⎨⎧<-≥-.08,09b x a x 的整数解的解集为{}1,2,3，则适合这个不等式组的整数a 、b 的所有有序数对),(b a 的个数是___▲____17．已知函数2()21f x ax x =++，若对任意,[()]0x R f f x ∈≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。

浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 1 / 19 浙江省2018学年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 直线x -y -1=0的倾斜角是（ ）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘2. 设点A （2，3，-4）在xOy 平面上的射影为B ，则|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（ ） A. √29 B. 5 C. 2√5 D. √133. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. m//α，n ⊂α⇒m//nB. m//α，m//β⇒α//βC. m ⊥α，n ⊂α⇒m ⊥nD. m ⊥n ，n ⊂α⇒m ⊥α5. 方程mx 2+（m +1）y 2=m （m +1）（m ∈R ）表示的曲线不可能是（ ）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线6. 如图，O 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是（ ）A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A 1C 17. 曲线C ：2x 2-3xy +2y 2=7（ ） A. 关于x 轴对称B. 关于直线y =x 对称，也关于直线y =−x 对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称，关于直线y =−x 不对称8. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. √2C. 3D. √39. 已知圆心C 在直线y =2x -4上的圆的半径为1，点A （0，3），若圆C 上存在点M ，使得|MA |=2|MO |（O 为坐标原点），则圆心C 的横坐标a 的最大值是（ ）A. 45B. 85C. 125D. 16510. 记min{a ，b }={b,a >b a,a≤b，已知矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE沿DE 翻折至△A 'DE （A '∉平面BCD ），记二面角A '-BC -D 为α，二面角A '-CD -E 为β，二面角A '-DE -C 为γ，二面角A '-BE -D 为θ，则min{α，β，γ，θ}=（ ）A. αB. βC. γD. θ二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11. 已知命题“若x ＞1，则x 2＞1”的逆否命题为______，逆否命题是______命题（填“真”或“假”）．12. 半径为2√3的球内接正方体的表面积为______；体积为______．13. 已知双曲线E 与双曲线x 24−y 29=1共渐近线且经过点P （2，3√5），则双曲线E 的标准方程为______，顶点坐标为______．14. 已知直线l 1：ax +y +3a -4=0和l 2：2x +（a -1）y +a =0，则原点到l 1的距离的最大值是：______，若l 1∥l 2，则a =______．15. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=√2，设点A 关于直线BD 1的对称点为P ，则点P 与点C 1之间的距离是______．16. 已知点A （-2，0），点P 是焦点为F 的抛物线y 2=8x 上任意一点，则|PA||PF|的取值范围是：______．17. 在三棱锥S -ABC 中，AB =AC =SB =SC =5，SA =4，BC =6，点M 在平面SBC 内，且AM =√13，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cosα的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知条件p ：“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”，条件q ：“实数m 满足（m -a ）（m -a -4）＜0”．（Ⅰ）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB =AP =1，BC =√3．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）求二面角D -AE -C 的余弦值．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 3/ 1920. 已知直线2x +y -4=0与圆C ：x 2+y 2-2mx -4m y =0（m ＞0）相交于点M 、N ，且|OM |=ON |（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若A （0，2），点P 、Q 分别是直线x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PA |+|PQ |的最小值及求得最小值时的点P 坐标．21. 如图（1）所示，平面多边形ABCDE 中，AE =ED =√2，AB =BD =√5，AD =2CD =2，且AD ⊥CD ，现沿直线AD 将△ADE 折起，得到四棱锥P -ABCD ，如图（2）所示． （Ⅰ）求证：PB ⊥AD ；（Ⅱ）在图（2）中，若直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为√64，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．22.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F1、F2，且C1与抛物线C2：y2=x的交点所在的直线经过F2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作平行直线m、n，若直线m与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，直线n与C1交于C，D两点，其中点A，D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 5 / 19答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x-y-1=0的方程可化为y=x-1，可得直线的斜率为1，故tanθ=1，（θ为直线的倾斜角），又0°≤θ＜180°，故可得θ=45°故选：B ．化方程为斜截式，易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．本题考查直线的倾斜角，和由直线的方程得出直线的斜率，属基础题． 2.【答案】D【解析】解：∵点A （2，3，-4）在xOy 平面上的射影为B，∴B （2，3，0），∴||==．故选：D ．根据点B 是A （2，3，-4）在xOy 坐标平面内的射影，所以A 与B 的横坐标和竖坐标相同，纵坐标为0，得到B 的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果． 本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．3.【答案】B【解析】 解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA 1-DCFD 1，截去的部分为三棱柱BB 1E-CC 1F ．故选：B．由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，从而可知，截去的部分为三棱柱．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，m∥α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故A错误；在B中，m∥α，m∥β⇒α与β相交或平行，故B错误；在C中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）中不含有x（或y）的一次项，∴方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）不可能表示抛物线，故选：A．根据方程mx2+（m+1）y2=m（m+1）（m∈R）中不含有x（或y）的一次项，即可得出结论．本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础．6.【答案】D【解析】浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）解：连接B1D1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体∴BB1⊥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1∵A1B1C1D1是正方形∴B1D1⊥A1C1∵B1D1、BB1是平面BB1D1D内的相交直线∴A1C1⊥平面BB1D1D∵B1O⊂平面BB1D1D∴A1C1⊥B1O故选：D．连接B1D1，根据正方体的性质，得到BB1⊥平面A1B1C1D1，从而有BB1⊥A1C1．再根据A1B1C1D1是正方形，得到B1D1⊥A1C1，结合B1D1、BB1是平面BB1D1D内的相交直线，得到A1C1⊥平面BB1D1D，可得A1C1⊥B1O，因此可得正确答案．本题给出正方体内的一条直线，让我们寻找与之垂直的直线，着重考查了空间中直线与直线之间的位置关系、线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由曲线C：2x2-3xy+2y2=7，将x换为-x，y换为-y，方程为2x2-3xy+2y2=7，即不变，可得曲线C关于原点对称；将x换为y，y换为x，可得2y2-3xy+2x2=7，即不变，7/ 19可得曲线C关于直线y=x对称；将x换为-y，y换为-x，可得2y2-3xy+2x2=7，即不变，可得曲线C关于直线y=-x对称；故选：B．分别将x换为-x，y换为-y，或x换为y，y换为x；，或x换为-y，y换为-x；考虑方程是否不变，即可得到结论．本题考查曲线的对称性的判断，注意运用替换思想，考查运算能力和推理能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意，F1（-c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M 的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：A．求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）解：∵圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，∴圆C的方程设为：（x-a）2+（y-（2a-4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：=2，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2-1|≤|CD|≤2+1，∴1≤≤3，即5a2-12a+8≥0，可得a∈R，由5a2-12a≤0，可得0≤a≤，圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]，故选：C．设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：当平面A′DE⊥平面ABCD时，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则平面BCD、BDE和平面CDE重合，它们的法向量为=（0，0，1），设AB=2AD=2，A′（，，），B （0，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，1，0），=（-），=（，-，-），=（），=（-9/ 19，-），记二面角A'-BC-D为α，二面角A'-CD-E为β，二面角A'-DE-C为γ，二面角A'-BE-D为θ，设平面A′BC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，-3），∴cosα===．设平面A′CD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，1），∴cosβ===．设平面A′DE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），∴cosγ==0．设平面A′BE的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，-1），∴cosθ===．∴α＜β=θ＜γ．∴min{α，β，γ，θ}=α．故选：A．当平面A′DE⊥平面ABCD时，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出min{α，β，γ，θ}．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）11 / 19本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 11.【答案】若x 2≤1，则x ≤1 真【解析】解：若x ＞1，则x 2＞1，则原命题为真命题，则逆否命题也为真命题， 逆否命题为：若x 2≤1，则x≤1， 故答案为：若x 2≤1，则x≤1，真根据逆否命题的定义进行求解，结合原命题和逆否命题为等价命题进行判断即可．本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．12.【答案】96 64【解析】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a ， 则=，解得a=4，∴半径为的球内接正方体的表面积为：S=6a 2=6×42=96， 体积为V=a 3=43=64． 故答案为：96，64． 设半径为的球内接正方体的棱长为a ，则=，解得a=4，由此能求出结果．本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．13.【答案】y 236−x 216=1 （0，±6） 【解析】解：根据题意，要求双曲线与双曲线=1共渐近线， 设要求双曲线的方程为双曲线=λ，（λ≠0）又由双曲线经过点P（2，3），则有=λ，即λ=-4，即双曲线的方程为=-4，其标准方程为：=1；顶点坐标为：（0，±6）故答案为：=1；（0，±6）．根据题意，根据要，双曲线与双曲线=1共渐近线，设要求双曲线的方程为双曲线=λ，（λ≠0）将P的坐标代入双曲线方程，解可得λ的值，即可得双曲线的方程，变形即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意有共同渐近线的双曲线方程的特点以及形式．14.【答案】5 2【解析】解：直线l1：ax+y+3a-4=0等价为a（x+3）+y-4=0，则直线过定点A（-3，4），当原点到l1的距离的最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|==5，若a=0，则两直线方程为y-4=0和2x-y=0，不满足直线平行，若a=1，则两直线方程为x+y-1=0和2x+1=0，不满足直线平行，当a≠0且a≠1时，若两直线平行，则=≠，由=得a2-a-2=0得a=2，或a=-1，当a=2时，≠，不成立，舍去，当a=2时，≠，成立，即a=2，故答案为：5，2直线l1过定点，利用点到直线的距离公式进行求解即可．根据直线平行的等价条件进行转化求解．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）本题主要考查直线平行的判断，以及点到直线距离的求解，根据含参直线过点求出定点坐标是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=，∴AD1=，D1C=2，∠AD1C1=90°，∵设点A关于直线BD1的对称点为P，∴在△AD1B中，∠AD1B=30°，∴∠PD1B=30°，AD1=PD1=，即∠PD1C1=30°，∵在△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°，∴根据余弦定理得出：C1P==1，故答案为：1．根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PD1C1中，D1C1=1，PD1=，∠PD1C1=30°根据条件运用余弦定理求解即可．本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．16.【答案】[1，√2]【解析】13/ 19解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，∵抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），点A（-2，0），∴=，设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，∴△=（4k2-8））2-16k4=0，∴k=±1，则∠PAF∈[0，]，∴∠MAP∈[]，即∈[1，]．故答案为：[1，]．过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得=，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】√1313【解析】解：取BC中点N，连结AN，SN，∵AB=AC=SB=SC=5，BC=6，∴AN=SN=4，∵SA=4，∴△SAN是等边三角形，∠ANS=60°．∵AN⊥BC，SN⊥BC，∴∠ANS为二面角A-BC-S的平面角．过A作AO⊥平面SBC，连结OM，则O为SN的中点，∴ON=SN=2，∵点M在平面SBC内，且AM=，∴AO==2，∴OM==1．∴M的轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆．以平面PBC内过O点平行于BC的直线为x轴，以PN为y轴，以OA为z轴建立空间直角坐标系如图．浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）15 / 19则A （0，0，2），B （-3，2，0），C （3，2，0），设M （x ，y ，0），则x 2+y 2=1． =（x ，y ，-2），=（6，0，0）．||=，||=6，=6x ．∴cosα===． ∴当x=1时，cosα取得最大值．故答案为：．取BC 中点N ，连结AN ，PN ，则可证△PAN 是等边三角形，过A 作平面PBC 的垂线AO ，则O 为PN 的中点，求出AO 的长，利用勾股定理可得出OM 的长，即M 的轨迹．以O 为坐标原点建立空间坐标系，设M 的坐标（x ，y ，0），求出的坐标，利用向量求出夹角，根据x ，y 的范围得出cosα的最大值．本题考查异面直线所成角的余弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）若p 为真命题，即：“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”，又x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0可化为：（x -2m ）2+y 2=-m 2-m +2，由“关于x ，y 的方程x 2+y 2-4mx +5m 2+m -2=0（m ∈R ）表示圆”， 则-m 2-m +2＞0， 解得：-2＜m ＜1，故答案为：（-2，1）；（Ⅱ）解不等式（m -a ）（m -a -4）＜0”． 得：a ＜m ＜a +4，由p 是q 的充分不必要条件，即：“-2＜m ＜1”是“a ＜m ＜a +4”的充分不必要条件， 可得：{a +4≥1a≤−2，即-3≤a ≤-2，即实数a 的取值范围为：-3≤a ≤-2， 故答案为：[-3，-2] 【解析】（Ⅰ）当p 为真命题时可得：-m 2-m+2＞0，解得：-2＜m ＜1，（Ⅱ）解不等式（m-a ）（m-a-4）＜0”．得：a ＜m ＜a+4，由p 是q 的充分不必要条件，可得：，即-3≤a≤-2，得解．本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题． 19.【答案】证明：（Ⅰ）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点． 连结BD ，交AC 于O ，由底面ABCD 为矩形，得O 为BD 中点， 连结OE ，则OE ∥PB ，∵PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC ．解：（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，√3，0），A （0，0，0），P （0，0，1），E （0，√32，12），C （1，√3，0），平面ADE 的法向量n⃗ =（1，0，0）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√32，12），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√3，0）， 设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =（-√3，1，-√3）， 设二面角D -AE -C 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=√217． ∴二面角D -AE -C 的余弦值为√217．【解析】（Ⅰ）连结BD ，交AC 于O ，连结OE ，则OE ∥PB ，由此能证明PB ∥平面AEC ． （Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）化圆C ：x 2+y 2-2mx -4m y =0（m ＞0）为(x −m)2+(y −2m )2=m 2+4m 2． 则圆心坐标为C （m ，2m ），浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版）17 / 19∵|OM |=|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线， 则直线OC 的斜率k =2mm=2m 2=12， ∴m =2或m =-2．∴圆心为C （2，1）或C （-2，-1），∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5或（x +2）2+（y +1）2=5，由于当圆方程为（x +2）2+（y +1）2=5时，直线2x +y -4=0到圆心的距离d ＞r ， 此时不满足直线与圆相交，故舍去， ∴圆C 的方程为（x -2）2+（y -1）2=5；（Ⅱ）点A （0，2）关于直线x +y +2=0的对称点为A ′（-4，-2）， 则|PA |+|PQ |=|PA ′|+|PQ |≥|A ′Q |， 又A ′到圆上点Q 的最短距离为|A ′C |-r =√(−6)2+32-√5=3√5-√5=2√5．∴|PA |+|PQ |的最小值为2√5，直线A ′C 的方程为y =12x ， 则直线A ′C 与直线x +y +2=0的交点P 的坐标为（-43，-23）． 【解析】（Ⅰ）根据直线2x+y-4=0与圆C 交于点M ，N ，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可求得圆C 的方程；（Ⅱ）求出点A （0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为A′（-4，-2），根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．本题考查直线和圆的方程的综合应用，考查计算能力，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，是中档题． 21.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，∵BA =BD ，EA =ED ，即PA =PD ， ∴OB ⊥AD 且OP ⊥AD ， ∴AD ⊥平面BOP ， ∴PB ⊥AD ．解：（2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B （2，0，0），C （1，1，0），A （0，-1，0），D （0，1，0），设P （a ，0，c ），则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1，0），AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0），AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（a ，1，c ）， 设平面PAD 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +y +cz =0，得n⃗ =（1，0，-ac ）， ∵直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为√64，∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√1+c2=√64， 解得a c=√33，∴tan ∠POB =60°，解得a =12，∴P （12，0，√32），AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，0），BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-32，0，32）， 设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =（1，1，√3）， 设直线AB 与平面PBC 所成角为θ，则直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值sinθ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=35．【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，证明OB ⊥AD 且OP ⊥AD ，推出AD ⊥平面BOP ，即可证明PB ⊥AD ．（Ⅱ）以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解PD 与平面PBC 所成角的正弦值即可．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）依题意得2c =4，则F 1（2，0）F 2（-2，0）；椭圆C 1与抛物线C 2的交点与x 轴垂直，则椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P(2，√2)， 于是2a =|PF 1|+|PF 2|=4√2，从而a =2√2． 又a 2=b 2+c 2，解得b =2 所以椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1．（Ⅱ）依题意，直线m 的斜率不为0，设直线m ：x =ty -2， 由{y 2=x x=ty−2，消去x 整理得y 2-ty +2=0，由△=（-t ）2-8＜0得t 2＜8． 由{x 2+2y 2=8x=ty−2，消去x 整理得（t 2+2）y 2-4ty -4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4tt 2+2，y 1y 2=−4t 2+2，浙江省2018年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题（解析版） 19 / 19所以|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2(t 2+1)t 2+2， m 与n 间的距离d =4√t 2+1（即点F 2到m 的距离），由椭圆的对称性知，四边形ABCD 为平行四边形， 故S AF 1F 2D =12S ABCD =12⋅4√2(t 2+1)t 2+2⋅4√t 2+1=8√2√t 2+1t 2+2， 令√t 2+1=s ∈[1，3)，则S AF 1F 2D =8√2√t2+1t 2+2=8√2s s 2+1=8√2s+1s∈(12√25，4√2]， 所以四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围为(12√25，4√2]． 【解析】（Ⅰ）依题意可得F 1F 2的坐标，由此可得椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为，由椭圆的定义可得a 的值，又由a 2=b 2+c 2，解得b 的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）依题意，分析直线的斜率不为0，可以设直线l ：x=ty-2，联立直线与抛物线的方程、直线与椭圆的方程可得关于t 的方程，进而设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系分析可得|AB|的长度以及F 2到直线l 距离d ，进而可以表示四边形AF 1F 2D 的面积，借助换元法分析可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．。

高二数学答案•第 2 页（共 3 页）
AB n
3
x
………………4 分

所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 即 a2n－1＝4n－3； 数列{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 即 a2n＝4n－1， 所以 an＝2n－1，即 an＋1－an＝2． 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 23． （本题满分 11 分） 解 （Ⅰ）设抛物线 Γ 的焦点为( ，0)，
3 ，OC＝ 5 ， 2 OE 15 所以 sin∠OCE＝ ． OC 10
因为 OE＝ （等体积转换求高亦可）
………………5 分
解法二 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 PAD⊥平面 ABCD，取 AD 中点 O，连接 PO， 则 PO⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－1，0)，B(2，0，0)， C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 3 )． 所以 AB 2,1,0 ，PD 0,1, 3 ， CD 2,0,0 ， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
＝sin2x－ 3 cos2x ＝2sin(2x－
π ) 3
………………5 分
π 所以 f ( ) ＝ 3 ； 3 （Ⅱ）所以函数 f (x)的最小正周期 T＝π，
因为 －
π π π ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 得 － ＋kπ＜x＜ ＋kπ， 12 12 π 5π 则函数的单调递增区间为(－ ＋kπ， ＋kπ)（k∈Z） ． 12 12 ………………4 分
21． （本题满分 10 分） 证明 （Ⅰ）因为 PC＝2 2 ，AD＝DC＝PD＝2， 所以 PD2＋DC2＝PC2， 所以 △PCD 是直角三角形． 所以 CD⊥PD， 又因为 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 APD．

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)注意事项：1.本卷考试时间90分，满分100分。

2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效。

不能使用计算器。

一．选择题1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p2．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||z =1z的虛部是（ ） A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-3．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间（1，2）上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a4．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥④若.,//βα⊥则m l 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）。

.A 1 .B .C.D 126．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于(球的表面积为24R S π=)（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π7．直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃8．若圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l对称，则l的方程是（ ）.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=9. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2 D ．[210．双曲线)0,(12222>=-b a a x b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于点M 、N ，则MN = （ ）A.)(222b a - B. )(222b a + C.a 2 D. a +b二．填空题 11．若复数()12im R m i-∈-在复平面上对应的点位于第一象限，则m 的取值范围是 。

2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球2．（4分）抛物线y＝x2的准线方程是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝D．y＝3．（4分）直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是（）A．﹣B．C．D．4．（4分）已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．（4分）两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（）A．两条平行直线B．两条相交的直线C．一条直线与直线外一个点D．一条直线6．（4分）l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3B．C．2D．7．（4分）一个结晶体的形状是平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是（）A．B．2C．D．8．（4分）已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在点（a＞0，b＞0），使∠F1AF2＝60°，且线段AF1的中点在y轴上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．29．（4分）已知直线l：x cosα+y sinα﹣1＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4相切，则满足条件的直线l有（）条A．1B．2C．3D．410．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段A1B1，CC1上两个动点且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．存在某个位置E，F，使BE⊥DFB．存在某个位置E，F，使EF∥平面A1BCD1C．三棱锥B1﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（6分）双曲线x2﹣＝1的焦距是；渐近线方程是．12．（6分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为；最长边的大小是．13．（6分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是；BD1与平面ADD1A1所成角的大小是．14．（6分）点P是抛物线x2＝4y上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是；距离最小时点P的坐标是．15．（4分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．16．（4分）矩形ABCD与ABEF所在平面相互垂直，AD＝AF＝AB，现将△ACD绕着直线AC旋转一周，则在旋转过程中，直线AD与BE所成角的取值范围是．17．（4分）若椭圆+＝1（t＞15）与双曲线﹣＝1在第一象限内有交点A，且双曲线左、右焦点分别是F1，F2，∠F1F2A＝120°，点P是椭圆上任意一点，则△PF1F2面积的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）已知直线l：ax﹣2y+1＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两个点．（1）求圆C的圆心与半径；（2）若|AB|＝2，求实数a的值．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．（1）求证：AF⊥CE；（2）求平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（14分）平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等．（1）求点P的轨迹方程C；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两个不同的点，若＝3，求直线l的方程．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，AB＝5，BC＝7，AC＝P A ＝8，∠P AC＝，G是△ABC重心，E是边PC上点，且＝λ．（1）当λ＝时，求证：EG∥平面P AB；（2）若PC与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2＝r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由圆锥的结构特征可知，直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是圆锥．故选：A．2．【解答】解：抛物线y＝x2即x2＝y，即有2p＝1，即p＝，可得准线方程为y＝﹣即y＝﹣．故选：B．3．【解答】解：直线x+3y+4＝0的斜率为﹣，∵tan＝﹣，∴直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是，故选：C．4．【解答】解：l⊥α，∵m∥l⇒m⊥α，m⊥α⇒m∥l，∴“m∥l”是“m⊥α”的充要条件．故选：C．5．【解答】解：在A中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，两条平行的棱A1B1和D1C1在底面ABCD上的射影是两条平行线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条平行线，故A错误；在B中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面的两条相交的对角线A1C1，B1D1在底面ABCD上的射影是两条相交的直线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条相交的直线，故B错误；在C中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱A1B1和CC1在底面ABCD上的射影是一条直线与直线外一个点，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是一条直线与直线外一个点，故C错误；在D中，当两直线在同一个平面上的射影是一条直线时，这两个直线平行或相交，∴两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是一条直线，故D正确．故选：D．6．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（﹣2，1），半径r＝2；若l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，则a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2≥2，即a2+b2的最小值是2；故选：C．7．【解答】解：∵＝++∴＝（++）2＝+++2•+2•+2•＝1+1+1+2×＝6，∴|AC1|＝＝．故选：D．8．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由AF1的中点在y轴上，可得A的横坐标为c，即有AF2⊥x轴，如图所示；令x＝c，可得y＝±b＝±，在直角三角形AF1F2中，∠F1AF2＝60°，可得tan∠F1AF2＝＝＝，即为，即e2﹣2e﹣＝0，e＞1，解得e＝，或e＝（不合题意，舍去）；∴双曲线的离心率是．故选：B．9．【解答】解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，满足条件的直线l即为圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4的公切线，∵圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4外切，∴这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，∴满足条件的直线l有3条．故选：C．10．【解答】解：可设EB1＝m，CF＝n，可得m2+1+（1﹣n）2＝，即m2+（1﹣n）2＝，过C作CH∥BE，交C1D1于H，若BE⊥DF，可得CH⊥DF，即有mn＝1，这与m，n小于1矛盾，故A不成立；连接EH，可得EH∥A1D1，连接FH，若FH∥CD1，即有C1H＝C1F，即m＝1﹣n，可得m＝＜1成立，此时平面EFHEF∥平面A1BCD1，可推出EF∥平面A1BCD1，故B成立；由V＝V＝h＝h••1•1＝h，h为E到平面BC1的距离，h在变化，可得三棱锥B1﹣BEF的体积在变化，故C错误；由A到直线EF的距离和B到直线EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：双曲线x2﹣＝1，可知a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线的焦距是4，渐近线方程为：y＝x．故答案为：4；y＝x．12．【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是长方体的一部分，是三棱锥P﹣ABC，几何体的体积为：＝，最长的棱长为PC＝＝，故答案为：；．13．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∵AA1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线AA1与BD1所成角（或所成角的补角），BD1＝＝2，AD1＝＝＝，∴cos∠B1BD1＝＝，∴∠B1BD1＝45°，∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是45°；∵AB⊥平面ADD1A1，∴∠BD1A是BD1与平面ADD1A1所成角，cos∠BD1A＝＝，∴∠BD1A＝30°，∴BD1与平面ADD1A1所成角的大小是30°．故答案为：45°，30°．14．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标（0，1）如右图，设点P（a，b）；则由图象可知，以点P为切点的直线与y＝x﹣2平行时，P到直线距离取得最小值，此时P到直线距离d＝＝，点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是：．由y′＝x＝1可得，x＝2，故点P（2，1）；故答案为：；（2，1）．15．【解答】解：∵，，是共面向量，∴存在实数m，n，使得＝m+n，∴，解得m＝﹣1，n＝1，x＝﹣2．故答案为：﹣2．16．【解答】解：∵AF∥BE∴∠F AD（或其补角）即为异面直线AD与BE所成的角，在初始位置，直线AD与BE所成角为，如图，当△ADC旋转至△AD′C的位置，即平面AD′C⊥平面ABCD时，AD与BE所成角最小，即∠F AD′，在矩形ABCD中，∵，∴∠DAC＝，即∠D′AC＝，∴∠F AD′＝，∴直线AD与BE所成角的取值范围为[]，故答案为：[]．17．【解答】解：由t+10＞t﹣15知椭圆的焦点在x轴上，又t+10﹣t+15＝25＝16+9，所以椭圆与双曲线有相同的焦点，c＝5．由于，所以．又|AF1|2＝+|AF2|2﹣2|F1F2||AF2|cos∠F1F2A，所以＝100+﹣2×10×（﹣4）×（﹣），所以＝10，所以t＝90，故椭圆的方程为：＝1．当P是椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且最大值为×10×5＝25．故答案为：25．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．【解答】解：（1）圆C的圆心为（1，0），半径r＝2，（2）令C到直l：ax﹣2y+1＝0的距离为d，则|AB|＝2，∴（）2＝4﹣（）2解得a＝．19．【解答】解：（1）由题知可以B为原点，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建系如图所示则有A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，0，1），F（1，1，2）故有：．由：知：CE⊥AF．（2）假设平面AEF的法向量为由，可得又平面ABC的法向量∴＝．即平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．【解答】解：（1）由抛物线定义知，点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，且p＝2，则其轨迹方程为C：y2＝4x；（2）设AB的方程：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y2﹣4ty﹣4＝0．y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，①，，由＝3，得（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2），则y1＝﹣3y2，②由①②，得，解得t＝．故所求直线l的方程是x＝，即y＝±（x﹣1）．21．【解答】解：（1）证明：由λ＝时，＝，又G是△ABC的重心，取AB边中点M，则M、G、C三点共线；且有＝＝，∴EG∥PM，又EG⊄平面P AB，PM⊂平面P AB，∴EG∥平面P AB；（2）△ABC中，由余弦定理知cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝；故由题意可以A为原点，AC为y轴，平面ABC为xoy平面建系如图所示；则A（0，0，0），B（，，0），C（0，8，0），P（0，﹣4，4）；∴＝（0，12，﹣4）；设E（x，y，z），＝λ，∴（x，y+4，z﹣4）＝λ（0，12，﹣4），∴E（0，12λ﹣4，（1﹣λ）4）；设平面ABE的法向量为＝（x，y，z），由，得；不妨设x＝1，得y＝﹣，z＝，∴＝（1，﹣，）；设PC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ＝＝|cos＜，＞|＝||＝||，令t＝，化简得：11t2﹣30t+19＝0，解得t＝1或t＝；由t＝1求得λ＝，由t＝求得λ＝；综上，λ＝或λ＝．22．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为＝1．（2）由题意：切线P A，PB斜率相反，且不为0，令P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．P A的方程：y﹣1＝k（x﹣），即y＝kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有＝﹣，解得x 1＝，代入y＝kx+（1﹣），得y1＝，同理，y2＝，∴AB的斜率k AB＝＝＝，故AB的斜率为定值．。

2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2

a
1f
x
a

0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，

2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．2．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc23．（3分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b4．（3分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．5．（3分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．（3分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．7．（3分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=08．（3分）已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．9．（3分）能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜110．（3分）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．11．（3分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 12．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．（4分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=，若，则a n=．14．（4分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．15．（4分）已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．16．（3分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x 的值是．17．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为．18．（3分）已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．【解答】解：由斜率公式可得：k==故选A2．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，正确；对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于D，c=0，不成立，故不正确；故选A．3．（3分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b，∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选：D．4．（3分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，5．（3分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C6．（3分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．7．（3分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选B．8．（3分）已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则==≥=，当且仅当b=2a=4（﹣1）时取等号．因此最小值为．故选：A．9．（3分）能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1【解答】解：对于B：S n=，=a1+，∵递增，∴d＞0，因此{a n}是递增数列．故选：B．10．（3分）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以a≠0，△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．11．（3分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．12．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．（4分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1，若，则a n=2n﹣1．【解答】解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．14．（4分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【解答】解：由题意|x﹣4|≤3，∴1≤x≤7，设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤，∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．15．（4分）已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．【解答】解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即=，故答案为：x+2y+1=0；．16．（3分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x 的值是．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．17．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），∴a＞0且=1，∴a=b＞0；∴＞0⇔，∴或，解得x＞2或x＜﹣1；∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．18．（3分）已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是②③．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|≥0，故f（x）＞0的解集是：{x|x＞0且x≠2}；（Ⅱ）由x|x﹣2|＜x，得：，或，解得：1＜x＜3，或x＜0，故不等式的解集是{x|1＜x＜3或x＜0}．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1，﹣4），…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴|EF|=4，=满足题意，∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分）②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4）到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分）=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，且，∴===﹣1．由，得{}是首项为﹣，公比为﹣1的等比数列，∴=﹣（﹣1）n，∴a n =．解：（Ⅱ）b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，取{n•2n﹣1}前n项和A n，{（﹣1）n•n}前n项和B n，则，2A n=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，则﹣A n=22+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=，∴，当n是奇数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+…+（﹣n）=﹣，当n是偶数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴T n =．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

13. 正方体 ABCD uuur r uuur r
A1B1C1D1 uuur r
中， M ，N rrr
分别为 AB uuuur
和
CuuCuur1
的中点
.
记
AB a ， AD b ， AA1 c ，用 a ，b，c 表示 MN ，则 MN
▲ ，异面直线 MN 和 BB1所成角的余弦值是
▲ .
14. 已知直线 l 与圆 M ：x2 y2 4 交于 A，B 两点 . 若线段 AB 的中点 为 P 1，1 ，则直线 l 的方程是 ▲ ，直线 l 被圆 M 所截得的弦长等于
B. 3，5，4
D1
C1
C. 3，4，5
D. 3， 4 ，5
A1
B1
5. 若圆 O1 ：x2
y2
2
1与圆 O2 ：x a
的取值范围是
2
y 2a 4 有公共点， 则实数 a
A.
3 5 ， 5 U 5 ，3 5
5
5
55
B.
3 5 ，3 5 55
D
C
y A
x
B
第 4题图
C.
5，
35 5
U
35 5
，
5
D.
5， 5
▲.
15. 抛物线 x2 y 的焦点为 F ，其准线与 y 轴的交点为 P . 若该抛物线 上的点 M 满足 MP 2 MF ，则点 M 的纵坐标为 ▲ .
第 12 题图
16. 如图，在四面体 D ABC 中， AD BD AC BC 5 ， AB DC 6. 若 M 为线段 AB 上
的动点 (不包含端点 )，则二面角 D MC B 的余弦值取值范围是

2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d 2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ27．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥38．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．30°9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2B．C．D．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为．13．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是．15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．故选：D．2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．故选：D．3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行，∴，解得a=4．∴a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的充要条件．故选：C．4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m⊥α，m⊥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β成立．②若m∥α，m⊥n，则n∥α或n与α相交，∴α不一定平行β，∴②错误．③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，若n∥β，则α不一定平行β，∴③错误．④若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n成立，∴④正确．故选：B．5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的四面体如右图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故选：B．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2【解答】解：设三棱锥D﹣ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=θ，∠DAO=θ1，∠MNE=θ2，DE=CE==，DC=2，∴cosθ==，AO=CO==，∴cosθ1===，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴θ2=90°．∴θ2≥θ≥θ1．故选：A．7．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥3【解答】解：不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，可得a≤|x﹣a2|+|x﹣2a|的最小值，由|x﹣a2|+|x﹣2a|≥|x﹣a2﹣x+2a|=|a2﹣2a|，当且仅当（x﹣a2）（x﹣2a）≤0，取得等号，则|a2﹣2a|≥a，即为a2﹣2a≥a或a2﹣2a≤﹣a，解得a≥3或a≤1，故选：A．8．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ） A ．150°B ．135°C ．120°D ．30°【解答】解：曲线y=为圆x 2+y 2=2的上半圆，由题意可得△AOB 的面积S=•OA•OB•sin ∠AOB=•••sin ∠AOB=sin ∠AOB ，当sin ∠AOB=1即∠AOB=90°时，△AOB 的面积取到最大值， 此时在RT △AOB 中易得O 到直线l 的距离OD=1， 在RT △POD 中，易得sin ∠OPD==，可得∠OPD=30°，∴直线l 的倾斜角为150° 故选：A ．9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解答】解：由题意得：△PEQ 周长取最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点点M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM=2，EN=，∠MEN=135°，∴MN==．∴△PEQ周长的最小值为．故选：B．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则有4+1﹣4×＞0，即＞0，解可得：a＜0或a＞，即a的取值范围为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为15．【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：由z=x+3y得到y=﹣+，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，由，解得B（3，4），所以z 的最大值为3+12=15；故答案为：1513．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN=a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN=a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．【解答】解：由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴c==2，不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4，∴|PF1|•|PF2|=6，②联立①②解得：|PF1|=1+，|PF2|=﹣1+，此时|PF1|+|PF2|=2，且|PF 1|+|PF2|＞2c=4，由如图可知，使△F1PF2为钝角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．故答案为：（4，2）∪（8，+∞）．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，则=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当（x+3y）=2（x﹣y）即x=，y=时等号成立，则的最小值是；故答案为：．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为8+2．【解答】解：设动点的坐标为（x，y），由平面内动点与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10，可得|x﹣1|+|y﹣1|+|x+1|+|y﹣1|+|x+1||y+1|+|x﹣1|+|y+1|=10，化为|x+1|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣1|=5，讨论可得x≥1，y≥1时，方程化为x+y=2.5；x≥1，﹣1＜y＜1时，即有x=1.5；x≥1，y≤﹣1，即有x﹣y=2.5；﹣1＜x＜1，y≥1时，方程化为y=1.5；﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1时，方程不成立；﹣1＜x＜1，y≤﹣1，即有y=﹣1.5；x≤﹣1，y≥1时，方程化为﹣x+y=2.5；x≤﹣1，﹣1＜y＜1时，即有x=﹣1.5；x ≤﹣1，y≤﹣1，即有﹣x﹣y=2.5．作出动点的轨迹可得：轨迹的长度为2×4+×4=8+2，故答案为：8+2．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点，直线l斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，圆心O（0，0）到直线的距离d==，∴弦长|AB|==2=．（Ⅱ）∵以OA，OB为邻边，作菱形OACB，OA=OB=2，点P（1，0），∴OP=1，连结OC，PC，由菱形的性质得：AB⊥OC，∴OP=PC=1，∴点C的轨迹是以P（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，且C与圆点O不重合，∴点C的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠0）．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1，∴=1，解得p=2．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为y2=4x，设直线CB的方程为：x=my+t，C（，y1），B（），直线与抛物线联立：，得：y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，…（5分）∵，，∴k OC•k OB===﹣1，则t=4，∴直线CB过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），…（7分）∴=﹣（）+16+y1y2=﹣16m2﹣16，∴||•||=16m2+16≥16，当且仅当m=0时，|PC|•|PB|取最小值16．…（10分）20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又CD⊥DE，BH∩DE=H，∴CD⊥平面DBE，∵BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE．…（4分）（Ⅱ）设BH=h，EH=k，过F作FG垂直ED于点G，∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得，∴，解得h=2，k=1，∴线段BH的长度为2．又∵BE=，∴HE=1，又F是DC中点，∴HF∥EC，∵HF⊄平面ABCE，EC⊂平面ABCE，∴HF∥平面ABCE．…（8分）解：（Ⅲ）延长BA交EF于点M，∵AE：BF=MA：MB=1：3，∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，∴点A到平面EFCD的距离为，而AF=，故直线AF与平面EFCD正弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1．…（4分）（Ⅱ）设抛物线在Q点的切线方程为y=kx+m，由，得3x2﹣2kx﹣2m=0，△=4k2+24m=0，∴k2=﹣6m，且﹣≤m＜0，①…（6分）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，|MN|=•|x1﹣x2|=•=•=4••，…（8分）点O 到切线距离d=，∴=2•，…（10分）令t==，∵t==在m ∈[﹣，0）上是减函数，∴0＜t ≤，在（0，]上递增，∴t=，即m=﹣时，S △MND 取最大值．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2017年杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一．选择题：（本大题共18小题，每小题3分，共54分）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分)19．（0,1）；y ＝－1 20．72 21．3031 22．34三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本题10分）解：（1）由已知得 cos α＝35，sin α＝45，所以 cos π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝10． …5分（2）因为 OP OQ ⋅＝2cos α＋12sin α，所以 21()cos sin 2f αααα+＝1π1sin(2)264α-+， 因为 π[0,]2α∈，所以ππ5π2[,]666α-∈-， 所以 π1sin(2)[,1]62α-∈-． 所以f (α)的值域是3[0,]4． …5分24．（本题10分）证明：（1）设AE 切圆于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ，则EM ＝EB ， 所以 | EA |＋| EB |＝| AM |=4（为定值）；…4分 （2）同理| F A |＋| FB |＝4，所以点 E ，F 均在椭圆22143x y +=上， 设直线EF 的方程为x ＝my ＋1（m ≠0），则Q (4，3m)，直线与椭圆方程联立得 (3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 因为 E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，所以 | EB |•| FQ |＝| BF |•| EQ |等价于－y 1•3m ＋y 1y 2＝y 2•3m －y 1y 2， 所以 2y 1y 2＝(y 1＋y 2)•3m（*） 因为 y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以（*）式成立，即 | EB |•| FQ |＝| BF |•| EQ |．…6分25．（本题10分）解：（1）因为f (x ) •g (x )＝a (x ＋b（x ∈[－1,1]）① 当b ＝0时，f (－x ) •g (－x )＝－f (－x )② 当b ＜0时，因为11112222f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-≠⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11112222f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-≠-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以 f (x ) •g (x ) 为非奇非偶函数．…4分 （2）当b ＝0时，任取x 1，x 2，满足－1＜x 1＜x 2＜1，则1＋x 1x 2＞0，(1－21x )(1－22x )＞0．因为 y (x 1)－y (x 2)＝12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--＜0， 所以y (x 1)＜y (x 2)，即函数在(－1，1)上单调递增．…3分 （3）h (x )＝|－ax 2－x ＋a －b |，对称轴x ＝－12a ≤－12． ① 当－1≤－12a ≤－12，即12≤a ≤1时， h (x )max ＝max{h (1)，h (－1)，h (－12a )}＝a ＋14a－b ＝2， 所以 a ＋b ＝2a ＋14a －2∈[－12，14]； ② －12a＜－1，即0＜a ＜12时， h (x )max ＝max{h (1)，h (－1)}＝1－b ＝2，所以 b ＝－1，所以 a ＋b ＝a －1∈(－1，－12)；综上 a ＋b ∈(－1，14]． …4分。

2017学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级数学学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是 A ．a b >B ．11a b a>- C ．11a b> D ．22a b >2．设l 是直线，,a b 是两个不同的平面，下列命题正确的是 A. 若l l ，a b P P ，则a b P B ．若l l ，a b ^P ，则a b ^ C ．若l ，a b a ^^，则l b PD ．若l ，a b a ^P ，则l b ^3．正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 4．直线22sin cos 055x y ππ+=的倾斜角α是A ．25π-B ．25πC ．35πD ．75π 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*111,2,()n n a a S n N +==?，则5S =A ．81B ．80C ．121D ．1206．若三条直线2,3,50y x x y mx ny =+=++=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为A BC ．D ．7．已知正实数,a b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是 A ．253B ．509C ．7D ．68．若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥+-∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．()1,0-C ．()(),10,+-∞-⋃∞D ．()(),21,-∞-⋃+∞9．设点(,)i i i P x y 在直线:i i i i l a x b y c +=上，若()(1,2)i i i i a b c i +==，且12PP ³立，则12c c +的值 A ．2B ．4C ．6D ．810．在四面体S ABC -中， ,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-，则该四面体外接球的表面积是 A．B ．24πC ．6πD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018学年杭州周边重点高二上期末一、选择题：每小题4分，共40分 1. 直线10x y --=的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒2. 设点()2,3,4A -在xoy 的平面上的射影为B ，则OB 等于（ ）AB ．5C． D3. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ） A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱4. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．,m n m n αα⊂⇒∥∥B ．,m m αβαβ⇒∥∥∥C ．,m n m n αα⊥⊂⇒⊥D ．,m n n m αα⊥⊂⇒⊥ 5. 方程()()()2211mx m y m m m R ++=+∈表示的曲线不可能是（ ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．直线6. 如图所示，O 为正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 中心，则下列直线中与1B O 垂直的是（ ）A ．1A DB ．1A AC ．11A DD ．11A C7. 曲线C ：222327x xy y -+=（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称，关于直线y x =-不对称俯视图侧视图正视图D 1C 1B 1A 1ODCBA8. 已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF （O 为坐标原点）为半径的圆上，则C 的离心率是（ ）AB ．3 CD ．29. 已知圆心C 在直线24y x =-上的圆的半径为1，点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使得2MA MO =（O 为坐标原点），则圆心C 的横坐标a 的最大值是（ ）A ．45B ．85C ．125D ．16510. 记{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至△A ′DE （A '∉平面BCD ），记二面角A BC D '--为α，二面角A CD E '--为β，二面角A DE C'--为γ，二面角A BE D '--为θ，则{}min ,,,αβγθ=（ ） A ．αB ．βC ．γD ．θ二、填空题：单空题4分，多空题6分，共36分11. 已知命题“若1x >，则21x >的逆否命题为 ，逆否命题是 命题（填“真”或“假”）. 12.半径为的球内接正方体的表面积为 ，体积为 ．13. 已知双曲线E 与双曲线22149x y -=共渐近线且经过点(P ，则双曲线E 的标准方程为 ；顶点坐标为 ．14. 已知直线1:340l ax y a ++-=和()2:210l x a y a +-+=，则原点到1l 的距离的最大值是 ；若12//l l ，则a = ．15. 长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =A 关于直线1BD 的对称点为P ，则点P 与点1C 之间的距离是 ．16. 已知点()2,0A -，点P 是焦点为F 的抛物线28y x =上任意一点，则PA PF的取值范围是 ．17. 在三棱锥S ABC -中，5AB AC SB SC ====，4SA =，6BC =，点M 在平面SBC 内，且AM ，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为 ． 三、解答题：5小题，共74分18. 已知条件p ：“关于x ，y 的方程2224520x y mx m m +-++-=()m R ∈表示圆”，条件q ：“实数m满足()(4)0m a m a ---<．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．A'ABCDEEDCBA19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，1AB AP ==，BC（1）证明：PB ∥平面AEC ； （2）求二面角D AE C --的余弦值．20. 已知直线240x y +-=与圆224:20C x y mx y m+--=()0m >相交于M 、N ，且=OM ON （O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若()0,2A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，求PA PQ +的最小值及求得最小值时的点P 坐标；PEDCAB21. 如图1所示，平面多边形ABCDE中，AE ED =AB BD =，22AD CD ==，且A D C D ⊥，现沿直线AD 将ADE △折起，得到四棱锥P ABCD -，如图2所示． （1）求证：PB AD ⊥；（2）在图2中，若直线BC 与平面PAD求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．22. 已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为4，左、右焦点分别为12F F 、，且1C 与抛物线2C ：2y x=交于点M N 、，直线MN 经过2F ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）分别过12F F 、作平行直线m n 、，若直线m 与1C 交于A B 、两点，与抛物线2C 无公共点，直线n 与1C 交于C D 、两点，其中点A D 、在x 轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围．图2图1PDCBAED C BA。

2017-2018学年浙江省杭州二中期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 集合A ={1，2，3，4}，B ={x |（x -1）（x -a ）＜0}，若集合A ∩B ={2，3，4}，则实数的范围是（ ） A. 4<a <5 B. 4≤a <5C C. 4<a ≤5 D. a >4 2. P 为三角形内部一点，m ，n ，k 为大于1的正实数，且满足m PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若S △PAB ，S △PAC ，S △PBC 分别表示△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积，则S △PAB ：S △PAC ：S △PBC 为（ ） A. k ：n ：m B. (k +1)：(n −1)：m C. 1m ：1n−1：1k+1D. k 2：n 2：m 23. 已知锐角α满足cos2α=cos(π4−α)，则sinαcosα等于（ ）A. 14B. −14C. √24D. −√244. 若e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是一组基底，向量m ⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则称（x ，y ）为向量m ⃗⃗⃗ 在基底e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 下的坐标，现已知向量a ⃗ 在基底p ⃗ =(1，−1)，q ⃗ =(2，1)下的坐标为（-2，1），则向量a ⃗ 在另一组基底m ⃗⃗⃗ =(−2，1)，n ⃗ =(−4，−1)下的坐标为（ ） A. (2,−1) B. (1,−2) C. (−1,2) D. (−2,1) 5. 下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（ ）A. y =sin(x +π2) B. y =1−2cos 22xC. y =|ln|x||D. y =|sin(π+x)|6. 函数f(x)=cosx +12log 2x 的零点个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 已知函数f （x ）={f(4−x),2<x <4|lnx|,0<x≤2若当方程f （x ）=m 有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）时，不等式x 12+x 22+x 32+x 42≥8（x 1+x 2+x 3+x 4）+k （x 3x 4-17x 1x 2）恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A. 112B. 2−√32C. 176D. 3√3−128. 将函数f(x)=2sin(2x +π6)的图象向左平移π12个单位，得到g （x ）的图象，若g （x 1）g（x 2）=-4，且x 1，x 2∈[-2π，2π]，则x 1-x 2的最大值为（ ） A.3π2B.5π2C.7π2D.9π29. 已知a =(19)13，b =log 913，c =319，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. c >b >a10. 已知函数f(x)={33+log 2x ，x ＞0f(x +12)，x ≤0则f （-2）=（ ）A. 13B. 3C. 19D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 设单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 对任意实数λ都有|e 1⃗⃗⃗ +12e 2⃗⃗⃗ |≤|e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2|，则向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为______．12. 函数f （x ）=|2x -12x +t |-t ，x ∈[0，1]，（t 为常数）的最大值为32，则t 的取值范围为______． 13. 设扇形的半径长为4cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______．14. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x +1）为奇函数．若f （-4）=1，则f （2018）=______． 15. 在△ABC 中，∠A 为钝角，AB =2，AC =3，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且2λ+3μ=1，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -x AC⃗⃗⃗⃗⃗ |（其中x 为实数）的最小值为1，则|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______ 16. 若f （sin2x ）=13sin x +13cos x +16，则f(120169)=______． 三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）17. 已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，P 为最高点，且△PMN 的面积为π2． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式并写出函数的对称轴方程； （Ⅱ）把函数y =f （x ）图象向右平移π12个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的1υ（纵坐标不变），得到函数y =g （x ）的图象，若函数y =g （x ）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．18. 已知△OAB 的顶点坐标为O （0，0），A （2，3），B （-2，-1），点P 的纵坐标为2，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点Q 是边AB 上一点，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP⃗⃗⃗⃗⃗ ． （Ⅰ）求点P 与点Q 的坐标；（Ⅱ）以OP ，OQ 为邻边构造平行四边形OPMQ ，（M 为平行四边形的顶点），若E ，F 分别在线段PM ，MQ 上，并且满足|PE||PM|=|MF||MQ|，试求OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．19.已知函数f（x）=cos（2x-π3）+2sin（x-π4）sin（x+π4）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[−π2，π2]上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且∠B=π6，∠A为锐角，f(A)=513，求cos C的值．20.已知函数f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）-x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}或B={x|a＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．根据集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}，集合A∩B={2，3，4}，那么B的范围a要大于4．即可得结论．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（k+1）：（n-1）：m．故选：B．利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力．3.【答案】A【解析】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（-2，1）+y（-4，-1）=（-2x-4y，x-y），则，解得，故选：A．通过向量的变换，求出向量，结合平面向量的基本定理转化求解即可．本题考查平面向量的基本定理的应用，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1-2cos22x=-cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1-2cos22x在区间[0，1]上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=|ln|x||，该函数为偶函数，且函数y=|ln|x||在区间[0，1]上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=|sin（π+x）|=|-sinx|=|sinx|，定义域为R，且|sin（-x）|=|-sinx|=|sinx|，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=|sin（π+x）|在区间[0，1]上单调递增，符合题意，故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及在区间[0，1]上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数奇偶性的判断方法．6.【答案】C【解析】解：令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=-cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=-cosx的图象，通过数形结合判断方程解的个数．本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力．7.【答案】A【解析】解：当2＜x＜4时，0＜4-x＜2，所以f（x）=f（4-x）=|ln（4-x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．求得2＜x＜4时f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，求得0＜m＜ln2，x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，运用数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得k的范围．本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和参数分离，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=-4，所以g（x1）=2，g（x2）=-2；或g（x1）=-2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[-2π，2π]，所以，，故选：C．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的对称中心，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1-x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．根据指数幂，对数的性质分别估算，a，b，c的大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据对数，指数幂的性质进行估算是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：当x≤0时，，则=．故选：D．当x≤0时，，则=f（），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．π11.【答案】23【解析】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π]，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．设单位向量的夹角为θ，对于任意实数λ都有成立，从而恒成立，进而，推导出，由此能求出向量的夹角．本题考查两个向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．，+∞）12.【答案】[−14【解析】解：设m=2x-．当x∈[0，1]，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）利用换元法，求解m=2x-的范围，对t进行讨论，求解最大值，可得其范围．本题主要考查函数最值的求解，换元法去绝对值，分类讨论是解决本题的关键．13.【答案】12【解析】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，则l=αr=4α，…①S=lr=2l=4，…②，由①②解得α=，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．根据扇形的弧长与面积公式，列方程组求得圆心角α的值．本题考查了扇形的弧长与面积公式的应用问题，是基础题．14.【答案】-1【解析】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（-x）=-f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（-x）=f（x），则有f（x）=-f（2+x），则f（x+4）=-f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（-2）=-f（-4）=-1；故答案为：-1．根据题意，分析可得f（-x）=-f（2+x），结合函数的奇偶性可得f（x）=-f（2+x），进而可得f（x+4）=-f （2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，据此分析可得f（2018）=f（-2）=-f（-4）=-1；即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析求出函数的周期．15.【答案】1（√6-√2）4【解析】解：在三角形ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，若|-x|（其中x为实数）的最小值为1，则|-x|2=x2||2-2x.+||2=9x2-12xcosA+4=9（x-cosA）2+4-4cos2A，当x=cosA时，|-x|min=1=4-4cos2A．即得4cos2A=3，所以cosA=±，又A为钝角，所以cosA=-．所以A=．又因为AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，所以||2=|λ+μ|2=λ2||2+2λμ.+μ2||2=4λ2+12μλcosA+9μ2=4λ2-6μλ+9μ2=（2λ+3μ）2-（6+12）μλ=1-（6+12）μλ．又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=14λ2+9μ2=1-12λμ，所以24λμ≤1，则λμ≤，所以||2=1-（6+12）μλ≥1-====所以||的最小值为．故答案为：或写作（-）．先由|-x|（其中x为实数）的最小值为1，可|-x|2=9x2-12xcosA+4=9+4-4 co s2A，所以当x═cosA时，得4-4cos2A=1，解得A=，又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=1再由||2=（λ+μ）2=4λ2-6μλ+9μ2=1-（6+12）λμ，且2λ+3μ=1，得λμ≤，所以||2=1-（6+12）λμ≥1-=，则得||的最小值为．本题考查平面向量的线性运算法则的灵活性，准确性，同时也考查了基本不等式的应用，该题目难度比较大，属于难题．16.【答案】-1或33【解析】解：令sinx+cosx=t ，则sin2x=t 2-1， f （t 2-1）=13t+16， 令 所以．故答案为：-1或33令sinx+cosx=t ，根据完全平方公式，可得sin2x=t 2-1，令，解得答案．本题考查的知识点是函数求值，三角函数化简求值，换元法，难度中档．17.【答案】解：（Ⅰ）由题设图象知，S △PMN =12|MN|⋅2=π2，可得：周期T =π， ∴ω=2πT=2．∵点(5π12，0)在函数图象上，∴Asin(2⋅5π12+φ)=0，即5π6+φ=π+2kπ，k ∈Z ， 又∵−π2＜φ＜π2， 从而φ=π6．A =2．故函数f （x ）的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)． 令2x +π6=kπ+π2，k ∈Z ，解得x =kπ2+π6，k ∈Z ，即为函数f （x ）图象的对称轴方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2sin(2x +π6)．函数y =f （x ）的图象向右平移π12个单位，得到y =2sin[2（x -π12）+π6）=2sin （2x ）， 然后将图象上点的横坐标变为原来的1υ（纵坐标不变），得到函数y =g （x ）=2sin （2υx ）， 要使得y =g （x ）在[0，5]内有5个函数值为2的点， 只需满足：（4+14）T ≤5≤（5+14）T ， 即：（4+14）2π2v ≤5≤（5+14）2π2v ， 解得：17π20≤υ＜21π20．【解析】（Ⅰ）利用三角形面积公式结合函数图象可求周期，利用周期公式可求ω，由点在函数图象上，结合范围，可求，可得函数f （x ）的解析式为，令，即可解得函数f （x ）图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用三角函数的变换，求出g （x ）函数的解析式，然后结合正弦函数的图象和性质，可求v 的值的范围．本题考查三角函数的变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，设点P （x 0，2）， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x 0，−3)， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知，-3x 0=2（-2-x 0）， 解得x 0=4；又点Q 是边AB 上一点，可设AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k ，−4k)， ∴Q 的坐标为（-4k +2，-4k +3）； 由OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得（-4k +2，-4k +3）•（2，-1）=0， 解得k =−14，所以Q 的坐标为（1，2）； （Ⅱ）设|PE||PM|=|MF||MQ|=λ，则0≤λ≤1， ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ） =（OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（1-λ）OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λOQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-8λ2-7λ+28，（0≤λ≤1）， 得OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[13，28]． 【解析】（Ⅰ）由题意设点P 的坐标，利用向量的坐标表示与共线定理求得点P ； 利用向量垂直时的数量积为0列方程求得Q 的坐标；（Ⅱ）根据平面向量的数量积运算与函数的性质，求得•的取值范围．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题． 19.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=cos （2x -π3）+2sin （x -π4）sin （x +π4） =12cos2x +√32sin2x +（sin x -cos x ）（sin x +cos x ）=12cos2x +√32sin2x +sin 2x -cos 2x =12cos2x +√32sin2x -cos2x =sin （2x -π6），令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ； 得−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，k ∈Z ，所以函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的增区间为[−π6，π3]； 令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ；得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ，k ∈Z ，所以函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的减区间为[π3，π2]和[−π2，−π6]； （Ⅱ）因为0＜A ＜π2，−π6≤2A −π6≤5π6，由f(A)=513得sin(2A −π6)=513＜12，0＜2A −π6＜π6，0＜A ＜π6， 所以cos(2A −π6)=1213， 因为A +C =5π6，2A +2C =5π3，2C =5π3−2A =3π2−(2A −π6)，所以cos2C =cos[3π2−(2A −π6)]=−sin(2A −π6)=−513， 所以cos 2C =1+cos2C2=413，又C 为钝角，所以cosC =−2√1313． 【解析】（Ⅰ）化函数f （x ）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性，即可求出f （x ）在区间上的增区间和减区间；（Ⅱ）根据题意，利用三角恒等变换，即可求得cosC 的值．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=-x |x -2|+1=x ，当x ≥2时，方程化简为：x 2-x -1=0，解得：x =1+√52或x =1−√52（舍去），当x ＜2时，方程化简为：x 2-3x +1=0，解得：x =3+√52（舍去），或x =3−√52，∴x =1+√52或x =3−√52．（Ⅱ）当f(x)={x 2−ax +1(x <a)−x 2+ax+1(x≥a)，作出示意图，注意到几个关键点的值：f(0)=f(a)=1，f(a2)=1−a 24，最值在f （1），f （2），f （a ）中取．当1＜a ≤3时，f （x ）在[1，a ]上递增，[a ，3]上递减，故f （x ）max =f （a ）=1； 当a ＞3时，f(x)在[1，a2]上递减，[a2，3]上递增，而(a2−1)−(3−a2)=a −4，故 若a ＜4，f （x ）max =f （3）=10-3a 若a ≥4，f （x ）max =f （1）=2-a综上：f(x)max ={1(1＜a ≤3)10−3a(3＜a ≤4)2−a(a ＞4)（Ⅲ）∵当x ∈（0，+∞）时，f （x ）max =1，故问题只需在给定的区间内（x ）≥-2恒成立， 由f(a2)=1−a 24，分两种情况讨论：当1−a 24＜−2时，即a ＞2√3时，M （a ）是方程x 2-ax +1=-2的较小根M(a)=a−√a2−122=√2∈(0，√3)当1−a 24≥−2时，即0＜a ≤2√3时，M （a ）是方程-x 2+ax +1=-2的较大根M(a)=a+√a 2+122∈(√3，√3+√6]综上M(a)={a−√a 2−122(a ＞2√3)a+√a 2+122(0＜a ≤2√3)，且M(a)∈(0，√3)∪(√3，√3+√6]．【解析】（Ⅰ）f （x ）=-x|x-2|+1=x ，通过x 与2的大小讨论，求解函数的零点即可． （Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值求解函数的最值的表达式即可．（Ⅲ）∵当x ∈（0，+∞）时，f （x ）max =1，故问题只需在给定的区间内（x ）≥-2恒成立，由，分两种情况讨论： 当时，当时，转化求解即可．本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于中档题．当x≥2时，方程化简为，。

2018年浙江省杭州市第七中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为，（1）求的值；（2）解关于的不等式：参考答案：（1）由题意知且和3是方程的两个根------3分------------------------------------------------------------6分------------------------------------------------------------7分（2）由（1）知不等式可化为 -------------------8分即 -------------------10分原不等式的解集为 ----------------12分2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点M（﹣6，6）；（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线开口向左或开口向上，进而分情况求出抛物线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，求出直线与坐标轴交点坐标，进而可得抛物线焦点的坐标，分别求出抛物线的方程，综合可得答案．【解答】解：（1）抛物线过点M（﹣6，6），则其开口向左或开口向上，若其开口向左，设其方程为y2=﹣2px，将M（﹣6，6）代入方程可得：62=﹣2p×（﹣6），解可得，p=3，此时其标准方程为：y2=﹣6x，若其开口向上，设其方程为x2=2py，将M（﹣6，6）代入方程可得：（﹣6）2=2p×6，解可得，p=3，此时其标准方程为：x2=6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=﹣6x或x2=6y；（2）根据题意，直线l：3x﹣2y﹣6=0与坐标轴交点为（2，0）和（0，﹣3）；则要求抛物线的焦点为（2，0）或（0，﹣3），若其焦点为（2，0），则其方程为y2=4x，若其焦点为（0，﹣3），则其方程为x2=﹣6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=4x或x2=﹣6y．3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A. 6B. 7C. 8D. 9参考答案：A分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以S n=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．4. “直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：C5. 已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确的结论有几个（）A．3 B．2C．1 D．0参考答案：A略6. 若命题“”为假，且“”为假，则（）A．或为假B．真C．假 D．不能判断的真假参考答案：C略7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－C． D．2参考答案：D8. 若曲线C：和直线只有一个公共点，那么的值为（）A．0或 B.0或 C.或 D.0或或参考答案：D9. 的值等于( )A． B． C． D．参考答案：D10. 设集合，，那么等于 ( )A . B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在R上为减函数，则 ks5*/u参考答案：12. 已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．参考答案：平行(或共线)13. 已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为参考答案：1614. （ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a= ．参考答案：±1【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数，再根据x2的系数为70，求得a的值．【解答】解：（ax﹣）8的展开式中的通项公式为 T r+1=?（﹣1）r?a8﹣r?，令8﹣=2，求得r=4，故x2的系数为?a4=70，则a=±1，故答案为：±1．15. 为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是▲．参考答案：略16. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b 的值为．参考答案：考点：解三角形．专题：计算题．分析：由c，cosC的值及a=2b，利用余弦定理即可列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．解答：解：由c=3，cosC=，a=2b，根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：5b2﹣2b2=9，即b2=3，所以b=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．17. 已知m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值为．参考答案：9【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由已知得=m+n﹣6=0，从而m+n=6，由此利用均值定理能求出mn的最大值．【解答】解：∵m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，∴=m+n﹣6=0，即m+n=6，∴mn≤（）2=9，当且仅当m=n=3时，取等号，∴mn的最大值为9．故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，共72分。