课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是( )A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：(1)与两异面直线都垂直；(2)都相交.答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交,则直线a、b的位置关系是( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面,a∥l,则l与b相交或异面(如图).答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中,PA⊥BC,E、F分别为PC、AB的中点,若EF与PA、BC成的角分别为α、β,则α+β等于( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D,连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点,∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指( )①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α,b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相交,应选①④.答案：C8如图,已知不共面的直线a、b、c相交于O点,M、P是直线a上的两点,N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α,则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内,同理,可证C也在α内,与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误,故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”,正六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.解析：如图,若成异面直线,则必是底边与侧棱各取一条,在底面上任取一条,如AB其异面直线为PF,PE,PD,PC共4对,∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点,能够确定平面的个数是( )A.1B.4C.3D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面,则有三个；③在②的基础上,这三个点确定一个面,则有４个.选D.答案：D11已知:a 、b 是异面直线,a 上有两点A 、B,距离为8,b 上有两点C 、D,距离为6,BD 、AC 的中点分别为M 、N,且MN=5,求证：a ⊥b.证明：如图所示,连结BC,取BC 的中点P,连MP 、NP.在四边形ABCD 中,MP 是中位线,∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理,NP ∥AB 且NP=21AB=4,在△PMN 中,∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,∴a,b 所成的角为90°,∴a ⊥b.拓展探究12如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点,AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P 、Q 、R 三点共线.证明：(1)∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线,∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中,B 1D 1∥BD,∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面,即D 、B 、E 、F 四点共面.(2)正方体AC 1中,设A 1ACC 1确定的平面为α,又设平面DBFE 为β.∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.同理,P 点也是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ.故P 、Q 、R 三点共线.。
