人教A版高中数学必修2同步检测第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系基础过关练题组一空间两条直线的位置关系的判定1.(2019河南高一期末)三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对B.4对C.5对D.6对2.(2019四川成都经开区实验高中高二月考)若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面3.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,则下列说法正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线C.直线AM与BN是平行直线D.直线AM与DD1是异面直线题组二公理4及等角定理的应用4.(2020上海高二月考)下列命题中,正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.以上均有可能6.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是()A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为梯形7.(2019上海青浦第一中学高二期中)下列四个结论中假命题的序号是.①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②平行于同一直线的两直线平行;③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;④若直线a,b是异面直线,则与a,b都相交的两条直线是异面直线.8.如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.题组三异面直线所成的角9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2√2,则异面直线BD与AC所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(2020福建莆田第二十五中学高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是.能力提升练一、选择题1.(★★☆)a、b为异面直线是指①a∩b=⌀,且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊄平面α,且a∩b=⌀;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=⌀;④不存在平面α能使a⊂α且b⊂α成立.()A.①②③B.①③④C.②③D.①④2.(2019安徽高二期末,★★☆)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能3.(2019上海高三期末,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线的条数为()A.3B.4C.5D.64.(2018安徽阜阳一中开学测试,★★☆)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面5.(2020湖南邵阳高一期末,★★☆)如图是某个正方体的平面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在该正方体中,l1与l2()A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为60°D.相交且夹角为60°二、填空题6.(★★☆)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ 与RS是异面直线的图是(填序号).7.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.三、解答题8.(★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.9.(★★☆)正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a,E,F分别是SC,AB的中点,求直线EF和SA所成的角.答案全解全析基础过关练1.A如图,三棱锥A-BCD中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对,故选A.2.D因为两直线相交只有一个公共点,两直线平行或异面没有公共点,所以选D.3.BD∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.4.B由公理4及等角定理知,只有②④正确.5.D如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1可能平行、相交或异面.故选D.6.D由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由公理4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B 说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD ∽△MEQ,故C 说法正确;由三角形的中位线定理及公理4,知MQ ∥BD,MQ=12BD,NP ∥BD,NP=12BD,所以MQ NP,所以四边形MNPQ 为平行四边形,故D 说法不正确.故选D. 7.答案 ①④解析 对于①,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BC ⊥AB,AA 1⊥AB,但BC 与AA 1为异面直线,所以命题①是假命题;对于②,由平行公理可知命题②是真命题;对于③,将直线a 平移到b 的位置,由于b ⊥c,所以a ⊥c,故命题③是真命题;对于④,在直线a 上取点P,在直线b 上取点A,B,则PA,PB 都与a,b 相交,显然PA,PB 相交,故命题④是假命题. 故答案为①④.8.证明 (1)如图,连接AC,在△ACD 中, ∵M,N 分别是CD,AD 的中点, ∴MN 是△ACD 的中位线. ∴MN ∥AC,MN=12AC.由正方体的性质得AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1,且MN=12A 1C 1,∴MN ≠A 1C 1,易知NA 1与MC 1不平行,∴四边形MNA 1C 1是梯形.(2)由(1)可知MN∥A1C1.又ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.9.C如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=√2,所以∠BDE=60°,故选C.10.C如图,可补成一个正方体,所以AC1∥BD1,所以∠A1BD1(或其补角)即为BA1与AC1所成的角.又易知△A1BD1为正三角形,所以∠A1BD1=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角为60°.11.答案60°解析连接AD1,则AD1∥BC1,∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,∴∠CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.能力提升练一、选择题1.D②③中的a,b有可能平行,①④符合异面直线的定义.2.D由图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况,故选D.3.B在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线有AD1,AC,D1B1,B1C,共4条.故选B.4.D如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,则EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;由几何关系可得A1C1⊥BB1,A1C1⊥BD,则EF⊥BB1,EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.5.D 将平面展开图还原成正方体,如图所示,则B,C 两点重合,所以l 1与l 2相交,连接AD,则△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°.故选D.二、填空题6.答案 ③解析 ①②中PQ ∥RS,④中直线PQ 和RS 相交.7.答案 90°解析 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E,连接A 1E,则∠A 1ME(或其补角)即为异面直线A 1M 与DN 所成的角.设正方体的棱长为a,则A 1M=32a,ME=√54a,A 1E=√414a,所以A 1M 2+ME 2=A 1E 2.所以∠A 1ME=90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.三、解答题8.证明(1)因为在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,所以MM1 AA1.又因为AA1 BB1,所以MM1 BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥BM.易知四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角,所以∠BMC=∠B1M1C1.9.解析如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.在△SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,SA.∴FG∥SA,且FG=12于是异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角.a,在△SAB中,SA=SB=a,AF=FB=12a.∴SF⊥AB,且SF=√32同理可得CF⊥AB,且CF=√3a.2在△SFC中,SF=CF=√3a,SE=EC,2∴FE ⊥SC 且FE=√SF 2-SE 2=√22a. 在△SAB 中,FG 是中位线,∴FG=12SA=a 2. 在△SBC 中,GE 是中位线,∴GE=12BC=a 2. 在△EGF 中,FG 2+GE 2=a22=FE 2, ∴△EGF 是以∠FGE 为直角的等腰直角三角形,∴∠EFG=45°.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°.。

课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是( )A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：(1)与两异面直线都垂直；(2)都相交.答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交,则直线a、b的位置关系是( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面,a∥l,则l与b相交或异面(如图).答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中,PA⊥BC,E、F分别为PC、AB的中点,若EF与PA、BC成的角分别为α、β,则α+β等于( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D,连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点,∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指( )①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α,b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相交,应选①④.答案：C8如图,已知不共面的直线a、b、c相交于O点,M、P是直线a上的两点,N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α,则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内,同理,可证C也在α内,与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误,故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”,正六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.解析：如图,若成异面直线,则必是底边与侧棱各取一条,在底面上任取一条,如AB其异面直线为PF,PE,PD,PC共4对,∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点,能够确定平面的个数是( )A.1B.4C.3D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面,则有三个；③在②的基础上,这三个点确定一个面,则有４个.选D.答案：D11已知:a 、b 是异面直线,a 上有两点A 、B,距离为8,b 上有两点C 、D,距离为6,BD 、AC 的中点分别为M 、N,且MN=5,求证：a ⊥b.证明：如图所示,连结BC,取BC 的中点P,连MP 、NP.在四边形ABCD 中,MP 是中位线,∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理,NP ∥AB 且NP=21AB=4,在△PMN 中,∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,∴a,b 所成的角为90°,∴a ⊥b.拓展探究12如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点,AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P 、Q 、R 三点共线.证明：(1)∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线,∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中,B 1D 1∥BD,∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面,即D 、B 、E 、F 四点共面.(2)正方体AC 1中,设A 1ACC 1确定的平面为α,又设平面DBFE 为β.∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.同理,P 点也是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ.故P 、Q 、R 三点共线.。

A组1•分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（）A.异面C.相交解析：B.平行D.以上都有可能如图，在长方体ABCDM\B\C\D\中，直线AD{在平面AA X D X D中，直线BB』G分别在平面BBCC中，但4D\//BCMD\与BB X异面,又直线在平面ABCD中，显然AD^AB=A.答案:D2.若直线ci,b,c满足a//丄c,则Q与c的关系是（）A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直解析：Ta"b、.・.a与c所成的角就是b与c所成的角，：7?丄c,・：a_Lc.答案:C3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若厶0B=Z4OB\,且CM 〃。

向Q/与0向的方向相同，则下列结论中正确的是（）X.OB〃O\B\且方向相同B.OB//O\B\C.OB与05不平行D.OB与0B］不一定平行解析:如图①,ZAOB=ZAOB\,且OA//O\Ay.但OB与（隔不平行，故排除A,B;如图②, Z40B=Z4\0\B\,且OA//O}A},此时OB〃O\B\,故排除C.0——人a ~川图⑦0 A2 12 空间中直线与直线之间的位置关系Oi ------------- 4,答案:D5•空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边屮点，所组成的四边形是（）A.梯形 B.矩形C.平行四边形D.正方形答案:D6.直线a,b不在平面a内,在平面«内的射影是两条平行直线，则a,b的位置关系是__________ .答案:平行或异面7._________ 若（95=120°,直线a//OA,a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为.解析：：N〃CM,根据等角定理，又：•异面直线所成的角为锐角或直角，•：a与OB所成的角为60°答案：60。

8•在正方体ABCD-A}B}C}Dy中,E,F,G,H分别为44\,4B,BB\,B、C\的中点，则异血直线EF 与所成的角为______________________ .解析:如图，连接/iB/CiMiG,则EF//A\B,GH//BC\,所以//与所成的角即为与GH所成的角.因为是等边三角形，所以//与BG所成的角为60。

41．如图， 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90 ， AB 4 ， BC 4 ， BB1 3， M 、 N 分别是 B1C1 和 AC 的中点 .
（ 1）求异面直线 AB1与 C1N 所成的角； （ 2）求三棱锥 M C1CN 的体积 .
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42．斜三棱柱 ABC A B C 中 ,底面是边长为 a 的正三角形 ,侧棱长为 b ,侧棱 AA 与底 面相邻两边 AB ? AC 都成 45 角 ,求此三棱柱的侧面积和体积 . 43．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知它的底面边长为 10 ，高为 20 .
_________
29．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 B1C 与 AD1 所成的角的大小为
_________．
30 ．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是： 号）
________（选择正确的编
（ 1）平行；（ 2）相交；（ 3）异面；
31．在正四面体 ABCD 中， M ， N，P 分别为棱 AB， BC， BD 的中点，则异面直线 MN
AB 2BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为（
）
A ． 60
B ． 90
C． 105
D ． 75
4．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 , AB 1 , AD 2 , AA1 1 ,则异面直线 A1B1 与 AC1 所
成角的余弦值为 ( )
2
A．
3
B． 6 6
C． 6 3
1
D．
3
5．已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为( )
1
A．