人教A版高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 同步练习(1)A卷

人教A版必修2《2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》练习卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若直线a和b异面，直线b和c异面，则直线a和c()A. 异面或相交B. 异面或平行C. 异面或平行或相交D. 相交或平行2.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．A. 2对B. 3对C. 6对D. 12对3.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直4.下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是()A. B.C. D.5.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，CC1=√2，则异面直线AC与BA1所成角的余弦值为()A. √306B. 23C. √63D. √666.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将三角形ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘9.已知两异面直线a，b的夹角是15°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为8°，那么这样的直线l有()A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.给定下列四个命题：(1)空间四边形的两条对角线是异面直线；(2)空间四边形ABCD中没有对角线；(3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面；(4)过直线外一点作该直线的垂线，有且只有一条；(5)两条直线互相垂直，则一定共面；(6)垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中正确的是______ ．11.已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面．下列说法正确的序号是______①若a⊥c，b⊥c，则a//b；②若a//α，b//α，则a//b；③若a//α，b⊥α，则a⊥b；④若a//b，a//α，则b//α；12.正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于______．13.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）14.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF//平面BDD1B1．15.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1．(1)求A1B与B1D1所成的角；(2)求AC与BD1所成的角．16.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF=√2，求AD，BC所成的角．17.在ABC−A1B1C1中，所有棱长均相等，且∠ABB1=60°，D为AC的中点，求证：(1)B1C//平面A1BD；(2)AB⊥B1C.18.如下图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=√2，DA⊥AC，DA⊥AB.若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．19.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属基础题．根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能平行，相交也可能是异面直线．解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查了异面直线的概念，画出图形进行分析．解：在正方体中没有与体对角线平行的棱，所以要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，所以与AC1异面的棱有：BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，所以长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.故选C．3.答案：A解析：解：如图，在正方体AC1中：∵A1B//D1C，∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线A1B与EF不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线A1B与EF不平行，故两直线相交．题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查四点共面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．在A、C中，均得到PS//QR，P、Q、R、S四点共面；在B中，过P，Q，R，S可作一六边形，P、Q、R、S四点共面；在D中，PS与SQ既不平行也不相交，P、Q、R、S四点不共面．解：在A图中，分别连接PS，QR，易证PS//QR，∴四点共面;在B图中，过P，Q，R，S可作一六边形，如图所示，∴四点共面;在C图中，分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴四点共面;在D图中，连接PS，RQ，易知PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D．5.答案：D解析：本题考查了异面直线的夹角，属于中档题．异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，在△BA1C1中，由余弦定理计算即可．解：如图，异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，在△BA 1C 1中，BA 1=√3,A 1C 1=√2,BC 1=√3，由余弦定理可得cos∠BA 1C =√3)2√2)2√3)22×√3×√2=√66， 故选：D ． 6.答案：C解析：本题考查了两条异面直线所成的角的求法，空间直线与直线的位置关系，难度中档.由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，由PB//CM 得∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角.解：由题意底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM//AD ，AD//BC ，PM =AD ，AD =BC ，∴四边形PBCM 是平行四边形，∴PB//CM ，∴∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角，设PA =AB =a ，在ΔACM 中，AM =√2a ，AC =√2a ，CM =√2a ，∴ΔACM是等边三角形，∴∠ACM=60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°.故选C．7.答案：C解析：本题考查两条异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养，由A1B//D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C.解：如下图所示，∵A1B//D1C，∴异面直线直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°，故选C．8.答案：C解析：本题考查异面直线所成的角，分析折叠后的图象的性质，然后作出异面直线所成的角即可求解．解：将三角形折成三棱锥如图所示，HG与IJ为一对异面直线，因为DF，AD与HG，IJ平行，所以∠ADF即为所求，又∠ADF=60°，因此，HG与IJ所成角为60°．故选C.9.答案：B解析：解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=15°，∠EPD=165°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为7.5°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为82.5°∵8°>7.5°，∴直线与a，b所成的角相等且等于8°有且只有2条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，故选：B．先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面EPD的射影为∠EPB的角平分线时，没有满足条件的直线．本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．10.答案：(1)解析：解：∵空间四边形不是平面图形，若其两条对角线是共面直线时，则四点共面，∴两条对角线是不共面，∴(1)正确；∵空间四边形ABCD中，其对角线是AD、BC，∴(2)错误；∵和两条异面直线都相交，且过同一点的两条直线，不是异面直线，∴(3)错误；∵过直线外一点作该直线的垂线，有无数条，∴(4)错误；∵两条直线互相垂直，可能是异面垂直，∴(5)错误；∵垂直于同一直线的两条直线的位置关系是异面、平行或相交，∴(6)错误．故答案是(1)．根据空间四边形的定义可判断(1)(2)是否正确；借助图象，和两条异面直线都相交的两条直线，若一个交点重合，则不是异面直线，由此判断(3)是否正确；根据直线与直线垂直，可以是异面垂直，判断(4)(5)(6)是否正确；本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了学生的空间想象能力．11.答案：③解析：本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题.根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．解：对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a//b不一定成立，故①错误；对于②，若a//α，b//α，则a，b的关系不确定，故②错误；对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a//a′，由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误．故答案为③．12.答案：√36解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，是中档题．取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，(a>0)，则EF=12AB=a，CE=CF=2a⋅sin60°=√3a，在△CEF中，cos∠CEF=CE2+EF2−CF2 2×CE×EF=√3a)22√3a)22×√3a×a =√36．故答案为：√36．13.答案：6解析：本题考查了异面直线，根据异面直线的概念可知与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，可得结果．解：如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．14.答案：证明：取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF//12B1C1，OF=12B1C1，∵BE//12B1C1，BE=12B1C1，∴OF//BE，OF=BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF//BO，∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D.解析：本题考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键，先证明四边形OFEB为平行四边形，可得EF//BO，利用线面平行的判定定理，即可证明EF//平面BB1D1D.15.答案：解：(1)如图，连结BD， A1D. ∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴DD1BB1, ∴DBB1D1为平行四边形，∴BD//B1D1， ∵A1B，BD， A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B=BD=A1D，即△A1BD是正三角形，∴∠A1BD=60°．∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°．(2)取DD1的中点E，连结EO，EA，EC．∵O为BD的中点，∴OE//BD1．∵∠EDA=90°=∠EDC，AD=DC，∴EA=EC.在等腰三角形EAC中，∵O是AC的中点，∴EO⊥AC，∴∠EOA=90°．∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角，∴AC与BD1所成的角为90°．解析：本题考查正方体中异面直线所成的角的求法以及直线与平面垂直的证明，属于基础题．(1)通过B1C1//BC，说明异面直线AC与B1C1所成角就是∠ACB，然后求解即可；(2)找出∠EOA，即可得．16.答案：解：取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD=2，∴EH//AD，EH=1．同理FH//BC，FH=1，∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF=√2，∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，∴∠EHF =90°，即AD ，BC 所成的角是90°．解析：本题考查异面直线所成的角，取BD 的中点H ，连接EH ，FH ，由中位线定理可知∠EHF 是异面直线AD ，BC 所成的角，再结合题意可求AD ，BC 所成的角．17.答案：证明：(1)连接AB 1和A 1B ，交于E ，连接DE ，由D ，E 分别为AC ，A 1B 的中点，可得DE//B 1C ，由DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，即有B 1C//平面A 1BD ；(2)取AB 中点O ，连接OC ，OB 1，则OB 1⊥AB ．在正△ABC 中，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵OB 1∩OC =O ，∴AB ⊥平面OB 1C ，∴AB ⊥B 1C .解析：(1)连接AB 1和A 1B ，交于E ，连接DE ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；(2)取AB 中点O ，连接OC ，OB 1，则OB 1⊥AB ，证明AB ⊥平面OB 1C ，即可证明AB ⊥B 1C .本题考查线面平行和线面垂直的判定，注意运用线面平行和线面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化，属于中档题．18.答案：解：取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF//CD ，∴∠BEF 为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt △EAB 中，AB =1，AE =12AD =12，∴BE =√52． 在Rt △AEF 中，AF =12AC =12，AE =12，∴EF =√22． 在Rt △ABF 中，AB =1，AF =12，∴BF =√52． 在等腰△EBF 中，cos∠FEB =12EF BE =√24√52=√1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为√1010．解析：本题考查求异面直线的夹角，属基础题．取AC的中点F，连接BF、EF，可证EF//CD，∴∠BEF为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．然后分别求得BE，EF的长度，由求解即可．19.答案：解：(1)如图，连接AC、AB1，∵多面体ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得AC//A1C1，由此得到∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角．又∵AB1=B1C=AC，可得△AB1C为正三角形，∴∠B1CA=60°，即A1C1与B1C所成角为60°．(2)如图，连接BD，∵AA1//CC1，且AA1=CC1，∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得AC//A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．又∵EF是△ABD的中位线，∴EF//BD．∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即A1C1与EF所成角的大小为90°．解析：(1)根据正方体的性质，证出AC//A1C1，由此得到∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角．然后在正三角形AB1C中加以计算，可得A1C1与B1C所成角的大小；(2)平行四边形AA1C1C中可得AC//A1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角，进而利用三角形中位线定理与正方形的性质，即可算出A1C1与EF所成角的大小．本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．。

人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步练习D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（）A . 60°B . 60°或120°C . 120°D . 以上结论都不对2. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条3. （2分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2．若二面角C－AB－C1的大小为60°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）下列命题中，正确的结论有（）①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=2AB=2，平面α过定点A，平面α∥平面A1BC，平面α∩平面ABC=m，平面α∩平面A1C1C=n，则m，n所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是________.8. （1分）若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.则一定成立的是________(填序号)．9. （1分） (2019高二上·安平月考) 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为________．10. （1分） (2017高二上·枣强期末) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．三、解答题 (共3题；共35分)11. （10分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.（1）求证： ||平面；（2）四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.12. （15分） (2018高二上·定远期中) 如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明：；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A组1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.答案:D2.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直解析:∵a∥b,∴a与c所成的角就是b与c所成的角,∵b⊥c,∴a⊥c.答案:C3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.图①图②答案:D5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形答案:D6.直线a,b不在平面α内,a,b在平面α内的射影是两条平行直线,则a,b的位置关系是.答案:平行或异面7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为. 解析:∵a∥OA,根据等角定理,又∵异面直线所成的角为锐角或直角,∴a与OB所成的角为60°.答案:60°8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角为.解析:如图,连接A1B,BC1,A1C1,则EF∥A1B,GH∥BC1,所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角.因为△A1BC1是等边三角形,所以A1B与BC1所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°.答案:60°9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明∠BGC=∠FD1E.证明:∵F为BB1的中点,∴BF=BB1.∵G为DD1的中点,∴D1G=DD1.又∵BB1 DD1,∴BF D1G.∴四边形D1GBF为平行四边形.∴D1F∥GB,同理D1E∥GC.又∵∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同,∴∠BGC=∠FD1E.10.空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解:取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG CD,GF AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.B组1.下列选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行解析:如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.答案:C3.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是()A.MN≥(AC+BD)B.MN≤(AC+BD)C.MN=(AC+BD)D.MN<(AC+BD)解析:取BC的中点Q,则MN<MQ+NQ=.答案:D4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.解析:由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:65.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.解析:取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.答案:90°6.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN ⊥CD,只有①③正确.答案:①③7.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;(2)求的值.(1)证明:∵AA'∩BB'=O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C',且,∴.8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)×a2(-x2+x)=a2.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.。

高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。

空间中直线与直线之间的位置关系．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．．理解平行公理(公理)和等角定理．(重点)．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)教材整理空间直线的位置关系阅读教材～“探究”以上的内容，完成下列问题．．异面直线()定义：把平面内的两条直线叫做异面直线．任何一个不同在()画法：(通常用平面衬托)图­­．空间两条直线的位置关系错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )()两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) ()过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )()和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )【解析】 ()错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．()正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．()错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．()错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．【答案】 ()× ()√ ()× ()×教材整理 公理及等角定理阅读教材“探究”以下至倒数第行的内容，完成下列问题．．公理平行线的传递性．这一性质叫做空间互相平行．文字表述：平行于同一条直线的两条直线.∥⇒符号表述：．等角定理相等或互补．，那么这两个角对应平行空间中如果两个角的两边分别已知∥，∥，若∠＝°，则∠等于( )．° ．°或°．°．以上结论都不对【解析】 因为∥，∥， 所以∠与∠相等或互补．因为∠＝°，所以∠＝°或°.【答案】教材整理 异面直线所成的角阅读教材下面的两个自然段至“探究”以上的内容，完成下列问题．．定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线′∥，′∥，我们把′与′所成的．)或夹角(叫做异面直线与所成的角)直角或(角锐 .≤°θ°<的取值范围：θ．异面直线所成的角.⊥时，与互相垂直，记作°＝θ．当如图­­，正方体­′′′′中异面直线′′与所成的角为．异面直线′与所成的角为．。

空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。

例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。

三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

人教A 版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面；④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外.其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，体积为2，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 3．1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，一个质点从A 出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i 段与第2i +所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）.问质点走完的第99段与第l 段所在的直线所成的角是（ ）A ．0︒B ．30°C ．60︒D ．90︒4．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβD ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所形成角的余弦值为A ．B ．C ．310D ．6． 空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是 ( ) A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）．A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥ 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AC ==与1BB 所成的角为30°，则1AA = （ ）A B ．3 C D9．已知正四棱锥S —ABCD E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为A ．π3B ．π6C ．π2D ．π410．已知矩形,ABCD 1,AB BC ==将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ） A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 11．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 12．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为线段AD 、BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒，将ABE ∆绕直线BE ，将CDF ∆绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 13．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④15．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝AA 1＝2，BC ＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角弦值为（ ）A B C D 16．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β．则m ∥n ；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 17．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝2CC 1，则BM 与AN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 19．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的正切值为（ ）A ．B ．13C ．3D 20．已知三条直线,,a b c 两两互相垂直，P 为空间中一个定点，则在过点P 的直线中，分别与,,a b c 所成的角都相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题21．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.22．在正方体1111ABCD A B C D -中, ,M N 分别为棱11C D ,1C C 的中点,则直线AM 与BN 所成角的余弦值为_____23．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若1AB =，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为___________.24．平面α//平面β，直线,m n αβ∈∈，点,,A m B n AB ∈∈与面α夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为____.25．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．26．已知四边形ABCD 、四边形ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角的度数为__________．27．在正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与11B D 所成的角等于___________. 28．在空间内，如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是_______.29．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a b ∥，b c ∥，则a c P ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a b ∥．其中正确的说法是______（填序号）．30．已知120AOB ∠=o ，直线a OA ∥，直线b OB ∥且a 与b 是异面直线，则a 与b 所成角的大小是__________.31．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、AB 、AD 的长分别为4cm 、5cm 、6cm ，则异面直线AD 和11A B 的距离是______cm .32．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与1AC 所成角的大小为________. 33．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．34．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．35．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直.以上四个结论中，正确的是______.36．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF GC ⊥；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；③BD MN P ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒.其中正确的是________(填序号)．37．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是____________.38．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）39．已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30°；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.40．四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________三、解答题41．在三棱锥P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两垂直，5PB =，6PC =，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB 、AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.42．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点.（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积.43．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成．（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.44．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点，（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .45．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F 为棱CD ，11C D 的中点（如图），棱长为2．（1）求证：1AE A F P ；（2）求AE 和1B C 所成角的余弦值．46．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ︒∠=∠=，BC AD ∥，12BC AD =，BE FA ∥，12BE FA =，G ，H 分别为F A ，FD 的中点.（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形.（2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,//,2AD AB AB DC AD DC AP ⊥===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）求二面角E AB P --的余弦值．48．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.49．如图所示的几何体P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ，PB ⊥AB ，平面ABCD ⊥平面P AB ，AC ∩BD ＝O ，E 为PD 的中点，G 为平面P AB 内任一点．(1)在平面P AB 内，过G 点是否存在直线l 使OE ∥l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A ，C ，E 三点的平面将几何体P —ABCD 截去三棱锥D —AEC ，求剩余几何体AECBP 的体积．50．如图，已知圆锥的顶点为P ，母线长为4，底面圆心为O ，半径为2．（1）求这个圆锥的体积；（2）设OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求异面直线PM与OB 所成角的正切值．参考答案1．C2．C3．D4．D5．C6．C7．C8．D9．A10．B11．D12．D13．C14．D15．C16．C17．D18．B19．B20．D212223．90024．45o；25．③④26．60︒27．60︒28．平行或异面29．①30．60o31．432．90o33．134．③④35．③④36．①②37．90°38．arccos5 39．无数40．341．arctan 242．（1）；（2）43.43．（14 （2）44．（1（2）见解析45．（1）见解析；（2）5． 46．（1）见解析（2）C ，D ，F ，E 四点共面.见解析47．（1）见解析；（2）2．48．（1）83；（2 49．（1）过G 点存在直线l 使OE ∥l ，详见解析（2）38a 350．（1；（2。

2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．答案：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是( )A．① B．②C．③ D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．答案：D3．下面空间图形画法错误的是( )解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．答案：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．答案：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M与l 的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.答案：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．答案：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.答案：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.同理，EF⊂平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．[能力提升](20分钟，40分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )A．六边形 B．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D. 答案：D12．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或413．如图所示，已知直线a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C .求证：直线a ，b ，c 和l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则a ，b ，l 都在平面α内，即b 在a ，l 确定的平面内．同理可证c 在a ，l 确定的平面内．∵过a 与l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B ，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF 綊12A 1B . 又因为A 1B 綊D 1C ，所以EF 綊12D 1C ， 所以E ，F ，D 1，C 四点共面，可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，所以据公理3可得P ∈DA ，即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EM AD,FM BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a ∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C 在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB 所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin 60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+]. 当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线. 由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法. (1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形, 所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,所以EH∥BD,且EH=BD. ①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.。

最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。

人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步测试共13 题一、单选题1、空间两个角α, β的两边分别对应平行，且α=60 °, 则β为( )A. 60 °B. 120 °C. 30 °D. 60 °或120 °2、在正方体ABCDA 1B1C1D1中，异面直线BA 1与CC1所成的角为( )A. 30 °B. 45 °C. 60 °D. 90 °3、如图所示，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，E ，F分别是AB ，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A. 30 °B. 45 °C. 60 °D. 90 °4、如图，在三棱锥SABC中，与AB异面的棱为( )A. BCB. SAC. SCD. SB5、三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A. 梯形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形6、在三棱锥ABCD中，AB ，BC ，CD的中点分别是P ，Q ，R ，且PQ＝2 ，QR=F ，PR＝3 ，那么异面直线AC和BD所成的角是( )A. 90 °B. 60 °C. 45 °D. 30 °二、填空题7、在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有对 .8、若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC = ∠B′A′C′ ；②∠ABC+∠A′B′C′＝180 °;③∠ACB = ∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′＝180 °.则一定成立的是(填序号) .9、已知正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，E为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 .10、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60 °角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD ，其中正确的是三、解答题11、如图，已知长方体的长和宽都是cm ，高是4 cm.(1) 求BC和A′C′所成的角的度数 .(2) 求AA′和BC′所成的角的度数 .12、在空间四边形ABCD中，AB＝CD ，AB与CD成30 °角，E ，F分别为BC ，AD的中点，求EF与AB所成的角 .13、若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值 .参考答案一、单选题1、【答案】D【解析】【解答】如图，∵空间两个角α, β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60Â °, ∴β=60Â °或120Â °. 故选：D .【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数 .2、【答案】B【解析】【解答】如图所示，在正方体ABCD-AB1C1D1 中，BB1//CC1 ，故就是异面直线BA1 与所成的角，由正方体的性质可知 ,故答案为：B.【分析】构建三角形，所求所求角，解三角形，即可得出答案。