内蒙古赤峰二中高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)教案 新人教B版必修5

2.教学背景分析
1）教学内容分析
教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教B版）2.3.3,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
即：
解得：
当 时， 上式成立
小结：这个方法与哪个方法本质是相同的？
动手尝试，寻找规律，尝试化简
立方差公式
不能，再看几项
符合
分两种情况讨论
时，该数列为常数列， 显然成立。
转化为整式
消去了大量的中间项
预设1：后一项是前一项倍数的形式
预设2：错位之后能抵消的形式
不一定，由 的前几项和组成的
叠加
叠乘
叠加法行不通
构造辅助数列
将 看成 这个数列的通项，利用递推关系求通项公式
方程组法：
方程思想
叠加法
类比方法
正弦定理
利用合比定理
解决复杂问题从简单入手找规律，符合学生认知规律，自然引发学生思考
联想曾经学过的知识，发现规律
归纳猜想出一般结论
明确公式结构，对
进行分类讨论
揭示猜想的价值
分析证明方法，给学生搭建台阶
揭示错位相减法适用的问题类型
观察能力、推理论证的能力
总结提升，形成数学思维的模式
2
五布置作业
1.已知：等比数列 求前n项和
2.已知：数列 的通项公式 求前n项和
课后完成
后测，1题检测学生基本知识的掌握，2题反映学生对方法的理解
3.教学目标(含重、难点)

2.4 等比数列(1)教学目标：1通过实例理解等比数列的定义。

2．探索并掌握等比数列的通项公式，会解决已知n a 、1a 、q 、n 中的三个，求另外一个的问题。

3．培养学生的观察、归纳能力。

教学重点：1．等比数列的概念。

2．等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列"等比"特征的理解、掌握及应用。

教学方法：启发式、归纳法教学。

一．知识引入：1.问题探索：国王为什么不能兑现承诺国王为什么不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏承诺？印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么样的奖赏，大臣说："陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。

并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。

"国王认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了。

国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。

国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？计算结果是。

用等比数列求和公式，可以算出结果为。

即共有18，446，744，073，709，551，615粒麦子，结果按每35粒重1克估算，这些麦子共重5270亿吨，以当时的生产能力计算，这些麦子需要全世界所有耕地在两千年内才能生产出来。

如此巨大数量的麦子国王能拿得出来！2.观察下列数列，写出它们的一个通项公式和递推公式，并说出它们的共同特征： 1）国际象棋棋盘问题里的麦粒数的数列：1，2，4，8，…，6322）课本54页《庄子》中"一尺之棰"的论述3）某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，平均增长率为10％，近十年的国内生产总值分别是：2000，2000×1.1,2000×21.1，…，91.120004）某种汽车购入价是10万元，每年折旧率为15％，这辆车每年开始时的价值分别是：10，10×0.85, 285.010⨯,38510⨯,…。

教学目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．2.进一步理解等差数列的前n 项和公式的函数关系,能解决前n 项和的最值问题. 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式,最值的求解 教学难点:灵活应用求和公式解决问题. 教学方法:启发式教学法与讲练相结合 教学过程: 一.要点回顾1.等差数列的通项公式:2.等差数列的前n 项和公式:3.等差数列的前n 项和公式是关于项数n 的 函数,其解析式为:4.等差数列的通项公式和前n 项和公式中一共出现 个量,可以通过知 求 体现 思想。

5.等差数列}{n a 35=n S ,11=n a , 2=d 则=1a n =6. 在等差数列{}n a 中,已知488=S16812=S 求1a 和d ；二例题分析: 1求集合{}100,,7*<∈=m Nn n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。

【变式】求在1000以内的（小于等于1000）正整数中，能被2整除，但不能被6整除的所有正整数的个数，并求它们的和。

1．在等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，45610a a a ++=，求131415a a a ++【归纳】【推广】 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求前30项的和3．已知{}n a，{}n b 都成等差数列，且 51=a ，151=b，100100100=+b a 试求数列{}n nb a +的前100项之和100S ．4．一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。

解一：设首项为1a ，公差为d 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+⨯⨯++=⨯+1732225662256)(63542111212111da d d a d a 5=⇒d解二：⎪⎩⎪⎨⎧==+2732354奇偶偶奇S SS S⎩⎨⎧==⇒162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶 5=⇒d5．若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数。

人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修12.5 等比数列的前n 项和教案 A第1课时教学目标一、知识与技能掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.二、过程与方法经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.三、情感、态度与价值观在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和实事求是的精神. 教学重点和难点教学重点：等比数列的前n 项和公式推导.教学难点：灵活应用公式解决有关问题.教学关键：等比数列前n 项和公式的推导方法及公式的应用.教学突破方法：主要采用观察、归纳推理等教学方法，同时采用设计一题多解的教学手段进行公式推导教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深、由易到难分层次对本节课内容进行掌握. 教法与学法导航教学方法：启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合，使学生在“做数学”的过程中，掌握数学的概念和方法的本质.学习方法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题.教学准备教师准备：投影仪等多媒体.学生准备：等比数列的前n 项和的学案. 教学过程一、创设情境，导入新课 先复习引入：1. 等比数列的定义；2.等比数列的通项公式: 111(0)-=⋅⋅≠n n a a q a q ，11(0)-=⋅⋅≠m n m a a q a q ；教师备课系统──多媒体教案23．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （*N n ∈， q ≠0）n a ≠0 ； 4．性质：若m+n=p+q ，⋅=⋅m n p q a a a a .再引入问题：课本第55页“国王对国际象棋的发明者的奖励”.二、主题探究，合作交流 1．提出问题 ：例如：怎样求数列1，2，4，…262，263的各项和？即求以1为首项、2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：636264228421+++++= S . ①26463642216842+++++= S . ② 由②—①可得：126464-=S .这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. 2．怎样求等比数列前n 项的和？ 公式的推导方法一：一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 它的前n 项和是=n S n a a a a +++321.由⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-.,11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---.,1113121111212111nn n n n n q a qa q a q a q a qS q a q a q a q a a S n n q a a S q 11)1(-=-∴.∴当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1， ①或 qqa a S n n --=11. ②当q =1时，1na S n =.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3公式的推导方法二：由定义，q a a a a a a n n ====-12312 . 由等比的性质，q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132 .即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）.围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+， ⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）.“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决． 3．等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1， ①或 qqa a S n n --=11 . ②当q =1时，1na S n =.思考：什么时候用公式①；什么时候用公式②？答：当已知a 1、q 、n 时用公式①；当已知a 1、q 、a n 时，用公式②. 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才棋盘麦粒的问题. 由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12⨯--=6421-.教师备课系统──多媒体教案46421-这个数很大，超过了191.8410⨯.假定千粒麦子的质量为40g ，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨. 所以国王是不可能同意发明者的要求，国王不能实现他的诺言.三、实例分析，应用提高例1 求下列等比数列前8项的和．（1）21，41，81，…； （2）0,2431,2791<==q a a . 解：（1）由a 1=21， ,8,212141==÷=n q 得 .S 2562552112112188=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）可得由,2431,2791==a a 8272431q ⋅＝. 又由0<q ，可得31-=q .所以，8116403113112788=⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S . 评注:第（2）题已知a 1=27，n =8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q ，题设中要求q <0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可以为正数，又可以为负数.例2 某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000， ,30000,1.1%101==+=n S q 于是得到.300001.11)1.11(5000=--n 整理得.6.11.1=n两边取对数，得lg1.1lg1.6n =. 用计算器算得5≈n （年）.答:约5年内可以使总销售量达到30000台.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程，再用对数的知识解方程.例3 求数列, (16)14,813,412,211前n 项的和. 分析：显然这个数列的前n 项和可以分解成一个等差数列和一个等比数列的前n 项和的和.解：设 )21(813412211n n n S +++++= )21814121()321(n n ++++++++==2)1(+n n +211)21(121--⨯n=2)1(+n n +n 211-.练习：教材第58页练习第1、2、3题．四、小结1. 等比数列求和公式：当q = 1时，1na S n =；当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或qq a S n n --=1)1(1.2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．五、课堂作业 1. 阅读例3.2. 教材第61页习题2.5 A 组第1、2题.第2课时教学目标一、知识与技能1. 会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的S n 、a n 、a 1、n 、q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力.二、过程与方法 通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 三、情感、态度与价值观教师备课系统──多媒体教案6培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质. 教学重点和难点教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用公式解决问题.教学关键：等比数列性质的推导和应用.教学突破方法：采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.教法与学法导航教学方法：多媒体优化组合激励发现式教学模式 ，启发讲解、互动讨论、研究探索反馈评价等多种手段相结合.学习方法：引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究、交流. 教学准备教师准备；多媒体、实物投影仪等多媒体.学生准备：等差数列前n 项和公式、学案、教材等. 教学过程一、创设情境，导入新课1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==).1(1)1(),1(11q qq a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减、分类讨论、方程思想. 二、主题探究，合作交流1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？答:{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔，其中0,1,0=+≠≠B A q A . 练习：若在等比数列{a n }中，,13+⨯=n n m S 则实数m ＝ -1 .2．S n 为等比数列的前n 项和， 0≠n S ，则*232,(N ),k k k k k S S S S S k --∈，是等比数列．解：设等比数列{}n a 首项是1a ，公比为q ，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ∵此时，k k k k k S S S S S 232-=-==0.（例如：数列1，﹣1，1，﹣1，…是公比为﹣1的等比数列，46242S S S S S -=-=， S 2=0 ）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7②当q ≠－1或k 为奇数时，k S ＝k a a a a +++3210≠.k k S S -2＝)(321k ka a a a q +++0≠. k k S S 23-＝)(3212k ka a a a q +++0≠.⇒k k k k k S S S S S 232,,--（∈k +N ）成等比数列．评述：①注意公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件． 练习：①在等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= 70 . ②在等比数列中，S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = 63 .3．在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S q .练习：等比数列{a n }共2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = 2 .三、拓展创新，应用提高例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则q 的值为 -2 .解：n n n n S S S S -=-++212212121-=⇒-=⇒+=-⇒+++++q a a a a a n n n n n ．例2 在等差数列{a n }中，a 1=1，d=2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n .解:由题意a n =2n －1，故,132131-⨯==--n n n a bS n =b 1+b 2+…+b n =2（1+3+32+…+3n-1）－n =3n － n －1.例3 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0，1）？请说明理由．解：（1）已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n （n ∈N *）， ①教师备课系统──多媒体教案8当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8（n －1）（n ∈N *） ， ②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n （n ∈N *）．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－（－4）＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋（n －1）×2＝2n －6． 法一：由迭代法得：b n ＝b 1＋（b 2－b 1）＋（b 3－b 2）＋…＋（b n －b n －1） ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8） ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．法二：可用累加法， 即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， …b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8）＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f （k ）＝（k －72）2＋74－24－k 单调递增．且f （4）＝1，∴当k ≥4时，f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f （1）＝f （2）＝f （3）＝0，∴不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0，1）．例4 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=24，a 2=5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）试问a 11是数列{b n }的第几项；（3）是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5，∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋（n －1）×2＝2n ＋1.（2）依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023，人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修91023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．（3）依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ，a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，故在数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个， 即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010. 四、小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔，其中0,1,0=+≠≠B A q A . 2．S n 为等比数列的前n 项和，则232--n n n n n S S S S S ，，一定是等比数列. 3．在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则q S S =奇偶.五、课堂作业课本第61页习题2.5A 组第4、5、6题．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题. 二、过程与方法由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式. 三、情感、态度与价值观从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力. 教学重点和难点教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式. 学法与教学用具教学方法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题.教师备课系统──多媒体教案10教学用具：投影仪. 教学过程一、情景引入棋盘问题：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧.国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求.提出问题：国王应该给发明者多少粒麦粒呢？你认为国王有能力满足发明者的要求吗？62636412422S =+++++.二、新课教学问题解决：主要方法 （错位相减法）62636412422S =+++++， ① 636464224822S =+++++， ②②-①得 ：646421S =-. 备选方法一 （构造方程）62636412422S =+++++.616263646412(1222)12(2)S S =+++++=+-.解得：646421S =-. 备选方法二 （等比定理）6263616224822212422======，由等比定理得： 6263616224822212422+++++=+++++，即646364122S S -=-. 得到646421S =-. 反思问题: 264-1这个数很大，要生产这么多麦子，全世界要两千年.当国王明白这一情况时，他是不可能同意发明者的要求.为什么国王犯下如此错误，主要是他没有数学头脑，说明数学在实际生活中多么重要.说明：采用小组讨论方法解决这问题，充分肯定学生多种想法的基础上引导出错位相减法.公式推导： 问题1：把2改成q ，则2211n n n S q q q q --=+++++，如何化简？仿造上面的求和方法（主要讲错位相减法），等式两边应同乘以q ，即2211n n n S q q q q --=+++++， ① 221n n n n qS qq q q q --=+++++， ②人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11①-②得： (1)1n n q S q -=-. ③ （提问学生如何处理，提醒学生注意q 的取值）当1q =时， 由①得 n S n =；当1q ≠时， 由③得 11nn q S q-=- .说明：其他两种方法证明2211n n n S q q q q --=+++++作为课后作业.问题2：等比数列{}n a 前n 项的和呢? 对于一般等比数列{}n a ，它的前n 项的和是221123111112211(1)，----=++++=+++++=+++++n n n n n n S a a a a a a q a q a q a q a q q q q可得等比数列前n 项和公式111,(1)(1).(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩三、拓展提高例1 （1）已知在等比数列{}n a 中，12a =，3q =，求3S ； （2）求等比数列1，11111,,,,2482n 的前10项的和. 解：（1）332(13)26;13S ⨯-==- （2）1010111()110232,1251212q S ⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=∴==-. 例2 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在今后5年中每年比上一年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少（结果精确到万元）？ 解：每年的利税组成一个首项为1300a =，公比为1+10%q =的等比数列. 从今年起，第5年的利税为55561300(1+10%)300 1.1483a a q ===⨯≈（万元）， 这5年的利税为：教师备课系统──多媒体教案12552(1)1 1.1300 1.1201511 1.1a qSq--==⨯⨯≈--（万元）.答：从今年起第5年的利税约是483万元；这5年的总利税是2015万元。