第4讲 定积分的概念与微积分基本定理1

第四节 定积分与微积分基本定理高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．[知识梳理]1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f(x)d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质3．微积分基本定理4．定积分的几何和物理应用[辨识巧记]1．两个结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．2．两个性质函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若⎠⎛ab f (x )d x <0，则由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√[解析] ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－1(－x )d x ＋⎠⎛1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0－1＋12x 210＝12＋12＝1.[答案] A3．(选修2－2P 65A 组T 5改编)曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )A.16B.13C.56D.23[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S＝⎠⎛－1 0[x －(x 2＋2x )]d x＝⎠⎛－10(－x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2⎪⎪⎪－1＝16. [答案] A4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 [解析] 如图，[答案] C5．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.[解析] 令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹为半圆，⎠⎛416－x 2d x 表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.[答案] 4π考点一 定积分的计算【例1】 计算下列定积分： (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(2)⎠⎛02(x －1)d x ； (3)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；[思路引导] 定理法→数形结合法→性质 [解]微积分基本定理求定积分的注意点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．(4)若被积函数具有明确的几何意义或奇偶性，可利用定积分的几何意义和性质求解．[对点训练]计算下列定积分： (1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ；[解]考点二 利用定积分求图形的面积【例2】 (1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________． (3)曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．[思路引导] 作出图形→求交点→转化为定积分 [解析][答案] (1)D (2)136 (3)3－22利用定积分求平面图形面积的4个步骤[对点训练]1．(2018·河北张家口质检)如图，由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是()[解析][答案] C2．曲线y ＝sin x 在[0,2π]上与x 轴围成的封闭图形的面积为________．[解析] S ＝⎠⎛0πsin x d x －∫2ππsin x d x ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.[答案] 4考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25 ln5B ．8＋25 ln 113 C ．4＋25 ln5D ．4＋50 ln2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 JD ．2 3 J[解析] (1)令v (t )＝0，即7－3t ＋251＋t ＝0，化简为3t 2－4t －32＝0.又∵t >0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)， 所以s ＝⎠⎛4v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪4＝7×4－32×42＋25ln5＝4＋25 ln5，故选C. (2)W ＝⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －x 33| 21＝433(J)．[答案] (1)C (2)C定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[对点训练]1．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．[解析] 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为[答案]3422.一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在1 2s～6 s间的运动路程为________．[解析]由图可知，[答案]494m课后跟踪训练(十九)基础巩固练一、选择题[解析][答案] C[解析]a ＝－1.故选A. [答案] A3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76[解析] ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋1＝43.故选A. [答案] A4．(2018·武汉武昌区调研)物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是( )A ．120 mB ．130 mC ．140 mD ．150 m[解析] 设t 秒后两物体相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10t d t ＝5，即t 3＋t －5t 2＝5，(t 2＋1)(t －5)＝0，t ＝5(s)，此时物体A 离出发地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )| 50＝53＋5＝130 (m)．[答案] B5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163 D ．6[解析] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 4＝23×8－12×16＋2×4＝163. [答案] C 二、填空题6．(2019·湖南省长沙市高三统一模拟)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.[解析][答案] π[解析][答案]π－2 4[解析][答案]4 3三、解答题9．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．[解]建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝254，抛物线方程为x2＝252y，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛5⎝⎛⎭⎪⎫2－225x2d x＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.10.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．[解]S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－⎠⎛t x2d x＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2,1－t面积，即S2＝⎠⎛t1x2d x－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.能力提升练[解析][答案] D12．(2019·宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3 C.353 D.323 [解析][答案] D13．(2019·福建师大附中期中)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x＝________.[解析] 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则f (x )＝x 2＋2c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ＝c ，解得c ＝－13，所以⎠⎛1f (x )d x ＝－13.[答案] －1314．学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？[解] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2(－1≤x ≤1)．则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.于是抛物线方程为y ＝2x 2，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±22，由此知水面宽为2米．(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切．设切点P (t,2t 2)(0<t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12t ，2. 记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋t 2＋12t ≥2，当且仅当t ＝12t ，即t ＝22时等号成立，所以改挖后的沟底宽为22米时，所挖的土最少．拓展延伸练15．(2019·安徽淮北质检)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)．根据图形的对称性和定积分的几何意义可得，所求图形的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪20＝83. [答案] C16．(2018·四川绵阳期中)如图，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则k ＝________.[解析] 因为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16，所以∫1－k 0[(x －x 2)－kx ]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪1－k 0＝(1－k )36＝112，所以(1－k )3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.[答案] 1－342。

①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积分 0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以10
1－x2dx＝π4.
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2．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲 边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方 的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分 的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2.∫e12x＋1xdx＝(
)
A．e2－2
B．e－1
其原函数
是什么?
C．e2
D．e＋1
解析：
∫e12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|e1＝e2.
积分上下限
答案： C
与分段函数
3．设 f(x)＝2xx2
x x
的定义域
，则
1 −1
������(������)dx
23.
答案：
1－
3 2
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返回
解析： 由图象可知 A＝1，T2＝23π－－π3＝π，所以 ω＝1，
f(x)＝sinx－π6.图中其与 x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的
面积为
π 6
0
－sin������－π6dx＝cosx－π6｜0π6 ＝1－
b
么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x
b
＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.

【训练 2】 (1)由曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝π2 所
围成的平面图形的面积是( )
A.1
π
22
B. 4
C. 3
D.2 2－2
(2)(2016·日照模拟)如图，由两条曲线 y＝－x2，y＝－14x2 及直
线 y＝－1 所围成的平面图形的面积为________.
解析
＝3＋2f′(1)，解得 f′(1)＝－3.所以 f(x)＝x3－3x2.
故2f(x)dx＝2(x3－3x2)dx＝
0
0
x44－x320＝－4.
答案 (1)B (2)－4
考点二 运用定积分求平面图形的面积 【例 2】 (1)(2015·唐山质检)已知曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝
－13x 所围成图形的面积为 S，则 S＝________. (2)已知曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面 积为43，则 k＝________. 解析 (1)由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1，1)；
第4讲 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分 基本定理的含义.
知识梳理
1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区 间分成n份，分点为： a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b. 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取 一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋ f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn. 在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小， 设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.

定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。