广东省佛山一中2017-2018学年高二上学期第二次段考试题(12月)数学(理)Word版含答案

广东佛山一中2017-2018高二数学12月段考试题（文科含答案）佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二级数学（文）科试题命题人：徐锦城陈诗茵审题人：董国强一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.点关于平面的对称点为，则点关于轴的对称点的坐标是()A.（1,1，-1）B.（-1，-1，-1）C.（-1，-1，1）D.（1，-1,1）2.已知命题:圆的面积是；命题:若平面平面,直线,则；则（）A.为真命题B.为真命题C.为真命题D.为假命题3.直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）5.设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（）A.B.C.D.6.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，7.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线为，且双曲线过点，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.8.设圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（）A．B．C．D．9.如图，长方体长AB=5㎝，宽BC=4㎝，高=3㎝，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点处觅食，则最短路径为（）A.B.C.D.10.已知、分别是椭圆的左、右焦点,在直线上有一点,使且,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.11.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是12.设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知条件,条件,且是的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________直线与直线分别交于两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率为_________．15.已知是直线上的动点，是圆的切线，为切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为__________．16.如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若，则的值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)已知直线，为坐标原点.（1）求经过定点的坐标；（2）设与两坐标轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值，并求此时m的值.18.(12分)如图所示，正三棱柱中，、分别是、的中点．（1）证明：平面平面；（2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥的体积．19.(12分)已知命题:方程的一个根大于1，一个根小于1；命题:函数在上是减函数，若为真，为假，求的取值范围.20.(12分)已知圆C=0（1）已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.21.(12分)已知是椭圆两个焦点,且椭圆经过点.（1）求此椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且,求的面积；（3）若四边形是椭圆的内接矩形，求矩形面积的最大值.22.(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线：，使得成立?若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二级数学（文）科答案一、选择题（每小题5分，共60分）BCABACBACBAB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.15.16.6三、解答题（共6小题，共70分）17.（本题10分）解：（1）法一：直线方程可化为2分故直线恒过定点3分法二：当时，直线方程可化为当时，直线方程为故直线恒过定点（2）解法一：依题意得，直线斜率存在且m0，则有8分当且仅当，即时取等号，此时面积有最小值为1210分解法二：设直线的方程为则，由此可得，，当且仅当，即时取等号，所以，此时18.（本题12分）解：（1）因为三棱柱是正三棱柱，所以面，1分又，所以，2分又是正三角形的边的中点，所以，3分又因为，4分因此平面，而平面，所以平面平面．6分（2），，，10分由第（1）问，可知平面，所以．12分19.（本题12分）解：设，方程的一个根大于1，一个根小于1，，（2分）即，，……………………4分又函数在上是减函数，…………（6分）解得或，…………（8分）又因为为真，为假，所以p,q必有一真一假，…………（10分）（1）当p真，q假时，的取值范围为；…………（11分）（2）当p假，q真时，的取值范围为或.…………（12分）20.（本题12分）（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.1分∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径，3分即=.4分∴或5分所求切线方程为：或………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合故直线.8分当直线斜率存在时，设直线方程为，即由已知得，圆心到直线的距离为1，.9分则，.11分直线方程为综上，直线方程为，.12分21.（本题12分）解：（1）由题意得，解得2分所以椭圆方程为3分（2）设，由椭圆定义知m+n=64分在中由余弦定理的，由得6分7分（3）如图，由对称性知，，设令，则10分，当时，即时取得最大值为12分22.（本题12分）解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得所以．所以椭圆的标准方程是．3分（2）存在直线，使得成立．.4分理由如下：由得5分化简得．设，，则.7分若成立，即，等价于．所以即9分亦即化简得10分将代入中，得解得.11分又由，，从而，或．所以实数的取值范围是12分。

佛山一中2017届高二上学期第二次段考数学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题2．在空间直角坐标系O-xyz 中，点（1，2，1）关于平面y O z 对称点的坐标为（ ） A.（-1，-2，1） B.（-1，2，1） C.（1，-2，-1） D.（1，2，-1）3.已知圆M ：x 2+y 2-2ay =0（a ＞0）截直线x +y =0所得线段的长度是2， 则圆M 与圆N ：（x -1）2+（y -1）2=1的位置关系是（ ）A..内切B.相交C.外切D.相离4.四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件是 （ ） Ａ.各侧面都是正三角形 Ｂ.底面是正方形，各侧面都是等腰三角形 Ｃ.各侧面是全等的等腰三角形Ｄ.底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形5. 6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 不充分不必要条件6. 如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C 在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A. B. C. D.7.已知A （2，2）、B （-1，3），若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ）A.α≥B. ≤α＜ 或＜α≤C.-1≤α≤1D. ≤α≤8.曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512) B ．(512，＋∞)C ．(512，34]D ．(13，34]9. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1上的一个动点，平面BED 1交棱AA 1于点F ．则下列命题中假命题是（ ）A.存在点E ，使得A 1C 1∥平面BED 1FB.存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1FC.对于任意的点E ，平面A 1C 1D ⊥平面BED 1FD.对于任意的点E ，四棱锥B 1-BED 1F 的体积均不变10.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为（ ）A.5B.4C.2D.111. 若平面α,β满足βα⊥，l =βα ,α∈P ，l P ∉，则下列命题中是假命题的为A.过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面βC.过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内12、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，a 与b 的夹角为60 ，则直线 021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置是（ ） A 相切 B 相交 C 相离 D 随βα,的值而定二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．下列说法错误的是 。

2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220p x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝为（ ） A ．2000,220x x x ∃∈++>R B ．2000,220x x x ∃∉++>RC ．2,220x x x ∀∈++≥RD ．2,220x x x ∀∈++>R2．“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A ．1310 B ．135 C ．72 D ．2354．已知抛物线()220y px p =>上点()4,M m 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x = 5．直线2320x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．2320x y ++=B ．2320x y +-=C ．2320x y --=D ．2320x y -+=6．已知双曲线一条渐近线方程为43y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134x y -= B ．22134y x -= C ．221169x y -= D ．221169y x -= 7．若圆()221:11C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 等于（ ）A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝90y m -+=与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．⎡--⎣B ．4⎡---⎣C ．4⎡---⎣D ．⎡-⎣10．已知椭圆22:1189x y E +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于,A B 两点.若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为135°，则直线l 的方程为（ ）A ．30x -=B ．30x -=C ．30x y --=D ．230x y --=11．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 C ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点()1,1且与直线3420x y ++=垂直的直线方程 ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =，1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．16．P 是双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为()1,2A -，()0,1B -，()4,1C . （Ⅰ）求顶点D 的坐标； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18．已知A 为圆()22:436x y Γ-+=上的动点，B 的坐标为()2,0-，P 在线段AB 上，满足12BPAP =. （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点()1,3-的直线l 与C 交于,M N 两点，且MN =l 的方程.19．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为2，E 为1CC 中点.（Ⅰ）求证：11AC ∥平面1BED ；（Ⅱ）若60DAB ∠=︒，求平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.20．已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，且过点(3,. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x ∥轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆、ACD ∆、PBC ∆均为等边三角形，AB BC ⊥. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知椭圆Γ的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中A B 、关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.2017~2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题1-5：DACBA 6-10：DCCAD 11、12：BB二、填空题13．4310x y --= 14．3122π+15．4π 16．5 三、解答题17．解：(Ⅰ)如图，设AC BD M =I ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又()1,2A -，()4,1C ，所以33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又()0,1B -，所以顶点D 的坐标为()3,4.(Ⅱ)依题意可得111402BC k +==-， 故直线BC 的方程为112y x =-，即220x y --=，又BC ==点A 到直线BC的距离d ==. 所以四边形ABCD的面积14S BC d ===. 18．解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，依题意得2AP PB =uu u r uu r，即()()00,22,x x y y x y --=---，所以()00222x x x y y y-=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得00343x x y y =+⎧⎨=⎩， 又()2200436x y -+=，所以229936x y +=，即224x y +=又0AP ≠，所以点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)因为直线l 与曲线C 交于,M N两点，且MN =， 所以原点O 到直线l的距离1d ==.若l 斜率不存在，直线l 的方程为1x =-，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=， 则原点O 到直线l的距离1d ==，解得43k =-，此时直线l 的方程为4350x y +-=所以直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.19．解：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO . 因为11AA CC ∥，所以11ACC A 是平行四边形，故11AC AC ∥. 又OF 是1BDD ∆的中位线，故112OF DD ∥，所以OF EC ∥， 所以四边形OCEF 为平行四边形. 所以OC EF ∥，所以11AC EF ∥，又11AC ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ， 所以11AC ∥平面1BED.(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,1,0B，()E ，()10,1,2D -，()1,1BE =-uur，()10,2,2BD =-uuu r ，设平面1BED 的法向量()1,,n x y z =u r，则11100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uuu r，即0220y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得0x z y=⎧⎨=⎩，令1y =，得()10,1,1n =u r，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u r，所以121212cos ,2n n n n n n ⋅===u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.20．解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，所以(223p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)点,,A Q O 共线，理由如下：设直线:l y kx m =+，联立24y xy kx m⎧=⎨=+⎩得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k=， 则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k=，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.21．解：(Ⅰ)因为AB CB =，AD CD =，BD 为公共边， 所以ABD CBD ∆≅∆，所以ABD CBD ∠=∠，又AB BC =， 所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点. 又PA PC =，所以PO AC ⊥，又AB BC ⊥，所以OA OB OC ==，结合PA PB =， 可得Rt Rt POA POB ∆≅∆， 所以90POB POA ∠=∠=︒， 即PO OB ⊥，又OA OB O =I ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥. 又PO AC O =I ，所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，不妨设1OA =，易得1OP =，OD ， 则()0,0,1P ，()1,0,0B -，()0,1,0C，)D， 所以()0,1,1PC =-uu u r ，()1,1,0BC =uu u r，)1,0CD =-uu u r，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur ，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y z y =-⎧⎨=⎩， 令1y =得()1,1,1n =-r，设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n CD n CD n CD θ⋅==r uu u r r uu u r r uu ur 36==， 所以CD 与平面PBC22．解：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得2c =，122a PF PF =+==，所以a =222b ac =-，故椭圆Γ的标准方程为221106x y +=. (Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且OC OA =，显然直线AB 的斜率存在且不为0， 设AB 方程为y kx =，则OC 的方程为1y x k =-，联立方程223530y kx x y =⎧⎨+=⎩， 解得223053x k =+，2223053k y k =+，所以OA ==同理可得OC ==又OC OA ==化简得23k =-无实数解， 所以ABC ∆不可能为正三角形.。

2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02+2x0+2>0B. ∃x0∉R，x02+2x0+2>0C. ∀x∈R，x2+2x+2≥0D. ∀x∈R，x2+2x+2>02.“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.两条平行直线3x＋4y−12=0与ax＋8y＋11=0间的距离为（）A. 1310B. 135C. 72D. 2354.已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A. x=−4B. x=−2C. x=2D. x=45.直线2x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A. 2x+3y+2=0B. 2x+3y−2=0C. 2x−3y−2=0D. 2x−3y+2=06.已知双曲线的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线方程可以是（）A. x23−y24=1 B. y23−x24=1 C. x216−y29=1 D. y216−x29=17.若圆C1：(x−1)2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+8y+m=0相切，则m等于()A. 16B. 7C. −4或16D. 7或168.已知曲线C的方程为x225−k +y2k−9=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)9.若直线√3x-y+m=0与曲线y=√4−(x−3)2有公共点，则m的取值范围是（）A. [−5√3,4−3√3]B. [−4−3√3,4−3√3]C. [−4−3√3,−5√3]D. [−5√3,−√3]10.已知椭圆E：x218+y29=1的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A. x−√2y−3=0B. x+√2y−3=0C. x−y−3=0D. x−2y−3=011.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=12AD=2，则异面直线PE，CD所成的角为（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘12.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A. √2B. 2C. √5D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程______．14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biēnào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=√2，BC=CD=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为______．16.P为双曲线x2-y215=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（-1，2），B（0，-1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．18.已知A为圆F：（x-4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（-2，0），P在线段AB上，满足|BP||AP|=1 2．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（-1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2√3，求直线l的方程．19.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．20.已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2√3）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．22.已知椭圆F的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），且经过点P（52，−32）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：D．运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△≥0，解得a范围．即可判断出关系．【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4-4a≥0，解得a≤1．∴“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题.先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果.【解答】解：直线3x+4y-12=0，即直线6x+8y-24=0，根据直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，故两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，故选C.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，关键是分析得到点M到准线的距离为6．根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，利用抛物线的定义可得|4-（-）|=6，解可得-=-2，即可得抛物线的准线方程．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=2px，则其准线为x=-，又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，则有|4-（-）|=6，解可得-=-2，即抛物线的准线方程为x=-2；故选B.5.【答案】A【解析】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，-y），将直线2x-3y+2=0中的x不变，y换为-y，可得2x+3y+2=0．故选：A．由点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，-y），即可得到所求对称的直线方程．本题考查直线关于直线的对称问题解法，注意特殊直线的代换方法，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为-=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于B，双曲线的方程为-=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于C，双曲线的方程为-=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于D，双曲线的方程为-=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项，求出选项中双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了两圆的位置关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．根据两圆内切时两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，两圆外切时两圆的圆心距等于半径之和，列方程求出m的值．【解答】解：圆C1：（x-1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x2+y2-8x+8y+m=0化为（x-4）2+（y+4）2=32-m，表示以（4，-4）为圆心，半径等于的圆；由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|-1|，解得m=-4．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，解得m=16，综上，m的值为-4或16．故选C．8.【答案】C【解析】解：由25-k=k-9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p是假命题，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，即，得k＜9，即命题q是真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】此题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想．准确判断出曲线方程为半圆且根据题意画出图形是解本题的关键．显然曲线有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值；当直线过（5，0）时，把（5，0）代入直线方程求出m的值，根据两次求出的m的值写出满足题意m的范围即可【解答】解：显然曲线可化为.表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r，，解得：或（舍去），当直线过（5，0）时，代入得：，解得：，则满足题意的m的范围是，故选A.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．由已知椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），结合已知利用“点差法”求得直线l的斜率，代入直线方程点斜式得答案．【解答】解：由椭圆E：，得a2=18，b2=9，则c=，∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即，∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y-0=（x-3），即x-2y-3=0．故选D．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以A为原点，AD为x轴，AB 为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PE，CD所成的角．【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），=（-2，1，-2），=（2，-2，0），设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=45°，∴异面直线PE，CD所成的角为45°．故选B．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，主要是离心率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为ab，求出A的坐标，代入圆的方程，结合离心率公式，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD的面积为ab，∴2x•=ab，∴x=a，将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，∴双曲线的离心率e====2，故选B．13.【答案】4x-3y-1=0【解析】【分析】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0，把点（1，1）代入可得m，即可得出．【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0，把点（1，1）代入可得：4-3+m=0，解得m=-1．∴要求的直线方程为：4x-3y-1=0．故答案为4x-3y-1=0．π14.【答案】12+32【解析】解：由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，∴该几何体的体积：V==12+．故答案为：．由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、长方体及圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．15.【答案】4π【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新宝定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三棱锥A-BCD的外接球的半径：R==，由此能求出三棱锥A-BCD的外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，∴三棱锥A-BCD的外接球的半径：R====1，∴三棱锥A-BCD的外接球的表面积为：S=4πR2=4π．故答案为4π．16.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质以及平面几何等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最大值．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（-4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为（|PF 1|+2）-（|PF 2|-1）=|PF 1|-|PF 2|+3=5．故答案为5．17.【答案】解：（Ⅰ）如图，设AC ∩BD =M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，又A （-1，2），C （4，1）．∴M (32，32)， 又B （0，-1），所以顶点D 的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得k BC =−1−10−4=12，故直线BC 的方程为y =12x -1，即x -2y -2=0，又|BC |=√(4−0)2+(−1−1)2=2√5，点A 到直线BC 的距离d =|−1−2×2−2|√12+(−2)2=7√55． 所以四边形ABCD 的面积S =|BC |•d =2√5×7√55=14． 【解析】本题考查了平行四边形的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、四边形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，利用中点坐标公式可得M ，进而得到D 的坐标．（Ⅱ）依题意可得k BC ，可得点斜式可得直线BC 的方程，利用两点之间的距离公式可得：|BC|．利用点到直线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离d ，即可得出．18.【答案】解：（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x 0，y 0），依题意得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x -x 0，y -y 0）=2（-2-x ，-y ），所以{y −y 0=−2y x−x 0=2(−2−x)，解得{y 0=3y x 0=3x+4， 又：（x 0-4）2+y 02=36，即x 2+y 2=4．又|AP |≠0，所以点P 的轨迹C 的方程为x 2+y 2=4．（x ≠-2）．（Ⅱ）因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且|MN |=2√3，所以原点O 到直线l 的距离d =√4−3=1．若l 斜率不存在，直线l 的方程为x =-1，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为y -3=k （x +1），即kx -y +k +3=0，则原点O 到直线l 的距离d =|k+3|√1+k 2=1，解得k =-43，此时直线l 的方程为4x +3y -5=0所以直线l 的方程为4x +3y -5=0或x =-1．【解析】（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x 0，y 0），可得，又：（x 0-4）2+y 02=36，即x 2+y 2=4．即可求出， （Ⅱ）若l 斜率不存在，直线l 的方程为x=-1，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为y-3=k （x+1），即kx-y+k+3=0，根据点到直线的距离公式即可求出本题考查了点的轨迹方程以及直线和圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，取BD 1 的中点F ，连结EF ，FO ．∵AA 1∥CC 1，且AA 1=CC 1，∴ACC 1A 1 是平行四边形，故A 1C 1∥AC ．又OF 是△BDD 1 的中位线，∴OF ∥DD 1，OF =12DD 1，则OF ∥EC ，OF =EC ， ∴四边形OCEF 为平行四边形．∴OC ∥EF ，则A 1C 1∥EF ，又A 1C 1⊄平面BED 1，EF ⊂平面BED 1，∴A 1C 1∥平面BED 1；（Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，则B （0，1，0），E （−√3，0，1），D 1（0，-1，2），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3，−1，1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，2)，设平面BED 1 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x −y +z =0n ⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =1，得n ⃗ =(0，1，1)， 显然平面ABCD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0，0，1)，∴cos ＜n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1√2×1=√22， ∴平面BED 1 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．（Ⅰ）连结AC 交BD 于O ，取BD 1 的中点F ，连结EF ，FO ．由已知可得ACC 1A 1 是平行四边形，故A 1C 1∥AC ．再由三角形中位线定理可得OF ∥DD 1，OF=，则OF ∥EC ，OF=EC ，即四边形OCEF 为平行四边形．得到A 1C 1∥EF ，由线面平行的判定可得A 1C 1∥平面BED 1；（Ⅱ）以O 为原点，建立空间直角坐标系O-xyz 如图所示，由已知求得所用点的坐标，求出平面BED 1的法向量与平面ABCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BED 1与平面ABCD 所成锐二面角的大小． 20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2=2px （p ＞0）， ∴(2√3)2=2p ×3，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ；（Ⅱ）点A ，Q ，O 共线，理由如下：设直线l ：y =kx +m ，联立{y =kx +m y 2=4x ，得k 2x 2+（2km -4）x +m 2=0．①由△=（2km -4）2-4m 2k 2=16（1-mk ）=0，得m =1k ， 则直线l ：y =kx +1k ，得P （0，1k ），B （14k 2，1k ），又P 关于点B 的对称点为Q ，故Q （12k 2，1k ），此时，①可化为k 2x 2−2x +1k 2=0，解得x =1k 2，∴y =kx +1k =2k ，即A （1k 2，2k ），∴k OA =k OQ =2k ，即点A 、Q 、O 共线．【解析】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了点关于点的对称点的求法，是中档题．（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2=2px （p ＞0），把已知点的坐标代入可得p 值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m ，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求得m=，可得直线l ：y=kx+，得P （0，），B （，），再求出Q 的坐标，由斜率的关系可得点A ，Q ，O 是否共线．21.【答案】（Ⅰ）证明：因为AB =CB ，AD =CD ，BD 为公共边，所以△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD =∠CBD ，又AB =CB ，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又PA =PC ，所以PO ⊥AC ，又AB ⊥BC ，所以OA =OB =OC ，结合PA =PB ，可得Rt △POA ≌Rt △POB ，所以∠POB =∠POA =90°，即PO ⊥OB ，又OA ∩OB =O ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BD ．又PO ∩AC =O ，所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，不妨设OA =1，易得OP =1，OD =√3， 则P （0，0，1），B （-1，0，0），C （0，1，0），D （√3，0，0），所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−1，0)，设平面PBC 的法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，得n ⃗ =(−1，1，1)， 设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3+12×√3=3+√36， 所以CD 与平面PBC 所成角的正弦值为3+√36．【解析】 本题考查了线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．（Ⅰ）由△ABD ≌△CBD ，可得∠ABD=∠CBD ，AC ⊥BD ，即可得PO ⊥AC ，即PO ⊥OB ，又PO ⊥BD ．即可证得BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）以O 为原点，建立空间直角坐标系O-xyz 如图所示，求出平面PBC 的法向量为，则sinθ=|cos |=||==，即可．22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆F 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）， 依题意得c =2，2a =|PF 1|+|PF 2|=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10， ∴a =√10，则b 2=a 2-c 2=6，故椭圆F 的标准方程为x 210+y 26=1； （Ⅱ）若△ABC 为正三角形，则AB ⊥OC 且|OC |=√3|OA |，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y =kx ，则OC 的方程为y =-1k x ，联立{3x 2+5y 2=30y=kx ，解得x 2=305k 2+3，y 2=30k 25k 2+3， ∴|OA |=√x 2+y 2=√30(1+k 2)5k 2+3， 同理可得|OC |=√30(1+1k 2)5×1k 2+3=√30(k 2+1)3k 2+5．又|OC |=√3|OA |，∴√30(k2+1)3k 2+5=√3√30(k2+1)5k 2+3， 化简得：k 2=-3，k 无实数解，∴△ABC 不可能为正三角形．【解析】本题考查利用椭圆定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程并得到c ，再由定义求得a ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）若△ABC 为正三角形，则AB ⊥OC 且|OC|=|OA|，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y=kx ，则OC 的方程为y=-，分别联立直线方程与椭圆方程，求出A ，C 的坐标，得到|OC|与|OA|，代入|OC|=|OA|，得到k 2=-3，k 无实数解，说明△ABC 不可能为正三角形．。