天津市西青区2021届数学高二上学期期末教学质量检测试题

2021年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。

2020-2021学年天津西青区大寺中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“方程表示圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B2. 函数y=的导数为（）A. y′=B. y′=C. y′=D. y′=参考答案：D略3. 已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，坐标原点，若是的角平分线上的一点，且,则的取值范围是A．（0，3）B．（）C．（0，4）D．（0，）参考答案：D略4. 给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1D．0参考答案：C5. 在△ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为 ( ）A． 1 B． C． D． 2参考答案：A6. 以下关于排序的说法中，正确的是（）A．排序就是将数按从小到大的顺序排序B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮参考答案：C7. 经过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B. C. D.参考答案：C8. 直线与抛物线交于A、B两点且A、B的中点横坐标为2，则k的值为（）A、 B、 C、 D、参考答案：B9. 下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a 不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面，之间平行和垂直的位置关系的应用，根据相应的判定定理是解决本题的关键．10. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞） B．（0，2）C．（1，+∞） D．（0，1）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为．参考答案：﹣4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，∴﹣?（﹣k）=﹣1，解得k=﹣4故答案为：﹣412. 复数的虚部是参考答案：-213. 若函数是幂函数，则_________。

2021年高二上学期10月质检数学试卷含解析一、选择题1．数列，的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．若数列{an }满足a1=1，an+1﹣an=3（n∈N*），当an=298时，n=（）A．99 B．100 C．96 D．1013．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则（）A．sinA=5，sinB=11，sinC=13 B．a=5，b=11，c=13C．A：B：C=5：11：13 D．a：b：c=5：11：134．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A． B． C． D．或5．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90° C．45° D．30°6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣C．3+2 D．3﹣27．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2，a4是方程x2﹣2x﹣2=0的两个根，则S5=（）A． B．5 C．﹣D．﹣58．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log359．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）10．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A． B． C． D．二.填空题11．在△ABC中，若A=105°，C=30°，b=1，则c= ．12．在等差数列{a n}中，a n=3n﹣28，则S n取得最小值时的n= ．13．已知数列{a n}的各项均满足a1=3，a2=9，a n+1•a n﹣1=a n2（n≥2，n∈N）数列{a n}的通项公式a n= ．14．在300m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为m．15．若数列{b n}满足b1+4b2+9b3+…+n2b n=2n﹣1，则数列{b n}的通项公式为．三.解答题16．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．17．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．18．数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=x2﹣4x+2．（1）求实数x及数列{a n}的通项公式a n；（2）若{a n}是递增数列，将数列{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．19．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．20．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n， {b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．已知数列（a n}满足：a1=，a n+1=a n，数列{b n}满足nb n=a n（n∈N*）．（1）证明数列{b n}是等比数列，并求其通项公式：（2）求数列{a n}的前n项和S n（3）在（2）的条件下，若集合{n|≥λ，n∈N*}=∅．求实数λ的取值范围．xx学年山东省临沂十九中高二（上）10月质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．数列，的一个通项公式是（）A． B． C． D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．解答：解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴故选B点评：本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．2．若数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣a n=3（n∈N*），当a n=298时，n=（）A．99 B．100 C．96 D．101考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．解答：解：数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣a n=3（n∈N*），数列是等差数列，d=3，a n=298=1+3（n﹣1），解得n=100．故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则（）A．sinA=5，sinB=11，sinC=13 B．a=5，b=11，c=13C．A：B：C=5：11：13 D．a：b：c=5：11：13考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理推出a：b：c判断选项即可．解答：解：由正弦定理可知sinA=，sinB=，sinC=，sinA：sinB：sinC=：：=a：b：c=5：11：13，∴a：b：c=5：11：13．故选：D．点评：本题考查三角形中正弦定理的应用，考查计算能力．4．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A． B． C． D．或考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90° C．45° D．30°考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．解答：解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选C点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．6．（3分）（xx•湖北）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+ B．1﹣C．3+2 D．3﹣2考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．解答：解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2，a4是方程x2﹣2x﹣2=0的两个根，则S5=（）A． B．5 C．﹣D．﹣5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由韦达定理得a2+a4=2，由此能求出S5==5．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2，a4是方程x2﹣2x﹣2=0的两个根，∴a2+a4=2，∴S5==5．故选：B．点评：本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．解答：解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．9．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．10．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A． B． C． D．考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方；②每一行都有2n﹣1个项，由此可得结论．解答：解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．点评：本题考查学生利用数列的递推式解决数学问题的能力，会根据图形归纳总计得到一组数的规律，属于中档题．二.填空题11．在△ABC中，若A=105°，C=30°，b=1，则c= ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与C的度数求出B的度数，再由sinB，sinC，以及b的值，利用正弦定理即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，A=105°，C=30°，b=1，∴B=45°，利用正弦定理=得：c===．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12．在等差数列{a n}中，a n=3n﹣28，则S n取得最小值时的n= 9 ．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：令a n=3n﹣28≤0，解得n即可．解答：解：令a n=3n﹣28≤0，解得=，故当n=9时，S n取得最小值．故答案为9．点评：本题考查了等差数列的前n项和的性质，属于基础题．13．已知数列{a n}的各项均满足a1=3，a2=9，a n+1•a n﹣1=a n2（n≥2，n∈N）数列{a n}的通项公式a n= 3n．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n+1•a n﹣1=a n2（n≥2，n∈N），所以数列{a n}是等比数列，结合a1=3，q=3求数列{a n}的通项公式．解答：解：由已知得a n+1•a n﹣1=a n2（n≥2，n∈N），所以数列{a n}是等比数列．因为a1=3，a2=9，∴q=3，∴a n=3•3n﹣1=3n．故答案为：3n．点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，考查计算能力．14．在300m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为200 m．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意画出图形，在直角三角形ABC中，由AB，sin∠BAC与sin∠ACB，利用正弦定理求出BC的长，即为DE的长，在直角三角形ADE中，利用正弦定理求出AE的长，由AB﹣AE求出EB的长，即为塔高DC．解答：解：在Rt△ABC中，AB=300m，sin∠BAC=sin30°=，sin∠ACB=sin60°=，∴由正弦定理=，得：DE=BC==100m，在Rt△AED中，∠EAD=60°，∠ADE=30°，DE=100m，∴由正弦定理得：AE===100m，则塔高DC=EB=AB﹣AE=300﹣100=200m．故答案为：200．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．若数列{b n}满足b1+4b2+9b3+…+n2b n=2n﹣1，则数列{b n}的通项公式为bn= ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意得b1+4b2+9b3+…+n2b n=2n﹣1，推出b1+4b2+9b3+…+（n﹣1）2b n﹣1=2n﹣3（n ≥2），解得：n2b n=a n﹣a n﹣1=2（n≥2），求得b n，解答：解：∵b1+4b2+9b3+…+n2b n=2n﹣1 ①∴b1+4b2+9b3+…+（n﹣1）2b n﹣1=2n﹣3（n≥2），②①﹣②得：n2b n=2（n≥2），∴，又 b1=a1=1，∴b n=．故答案为：bn=．点评：本题主要考查数列的基本运算、等差数列的性质、数列通项公式等知识，考查学生方程思想的运用及推理论证能力，三.解答题16．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为点评：考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．17．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．解答：解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．（12分）点评：本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．18．数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=x2﹣4x+2．（1）求实数x及数列{a n}的通项公式a n；（2）若{a n}是递增数列，将数列{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意分别化简a1=f（x+1）、a3=f（x﹣1），再由等差中项的性质列出方程求出x的值，再求出a1、d的值，代入等差数列的通项公式化简即可；（2）由{a n}是递增数列得a n=2n﹣4，再求出b n==2n+1﹣4，由分组求和法、等比数列的前n 项和公式求出T n．解答：解：（1）由题意得，a1=f（x+1）=（x+1）2﹣4（x+1）+2=x2﹣2x﹣1，a3=f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+2=x2﹣6x+7，因为数列{a n}是等差数列，所以2a2=a1+a3，即x2﹣2x﹣1+（x2﹣6x+7）=0，则x2﹣4x+3=0，解得x=1或x=3，当x=1时，a1=﹣2，d=2，a n=2n﹣4，当x=3时，a1=2，d=﹣2，a n=﹣2n+4，（2）因为a n}是递增数列，所以a n=2n﹣4，则b n==2n+1﹣4，所以T n=22+23+…+2n+1﹣4n=﹣4n=2n+2﹣4n﹣4．点评：本题考查了等差中项的性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列求和的方法：分组求和法．19．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据正弦定理得：===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．解答：解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0∴2sinAcosB=sinA，即，得（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB∴7=a2+c2﹣ac又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac∴ac=3∴即点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理解决数学问题的能力，以及会利用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数的公式化简求值，本题是一道综合题，要求学生掌握的知识要全面．20．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题设条件建立方程组，解这个方程组得到d和q的值，从而求出a n与b n．（2）由S n=n（n+2），知，由此可求出的值．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n ﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．21．已知数列（a n}满足：a1=，a n+1=a n，数列{b n}满足nb n=a n（n∈N*）．（1）证明数列{b n}是等比数列，并求其通项公式：（2）求数列{a n}的前n项和S n（3）在（2）的条件下，若集合{n|≥λ，n∈N*}=∅．求实数λ的取值范围．考点：数列递推式；数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列，求出首项和公比即可求等比数列的通项公式．（2）由（1）可得a n=nb n=．利用“错位相减法”即可得到S n（3）由S n得|=，令，由题意可知：只需λ＞c nmax．利用c n+1﹣c n=．研究其单调性即可得出数列{c n}的最大项为c2或c3．即可得到实数λ的取值范围．解答：（1）证明：∵数列{b n}满足nb n=a n（n∈N*），得．由a n+1=a n，可得，∴．又，∴数列{b n}是等比数列，首项为，公比为，∴=．（2）解：由（1）可得a n=nb n=．∴S n=+…+，，∴=+…+﹣=﹣=，∴S n=2﹣．（3）由S n=2﹣，得|=，令，由题意可知：只需λ＞c nmax．∵c n+1﹣c n==．当n≥3时，c n＞c n+1，∴c3＞c4＞c5＞…，而c1＜c2=c3，∴数列{c n}的最大项为．∴实数λ的取值范围是．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的恒成立问题的等价转化、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．36902 9026 逦30374 76A6 皦25824 64E0 擠<21359 536F 卯21444 53C4 叄7m26717 685D 桝33415 8287 芇36540 8EBC 躼28419 6F03 漃32075 7D4B 絋%34223 85AF 薯。

天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题第I 卷（共％分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点A （2,—l,3）, 3（71,-1）,则线段AB 的中点坐标是（ ）C. (3,0,1)D. (―1 丄1)2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是（3•经过4（2,1）, B （0,—3）两点的直线方程为（ A. 2x-y-3 = 04.在等比数列｛陽｝中,為=24 , % = 6,则6 = <7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学箸作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人, 使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5 10 5 11 A. 一B. —C. 一D.—3366&已知F 为双曲线G 冷—亠=1（G >0, Z?>0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点,且 cr 垂直于皿•若直线AB 的倾斜角列，则Q 的离心率炉）A. (-1,0,2)A. x 2= 8yC.D. y2=_8xB.C. x-2y-3 = 0D. x+2y —3=0A. 12B.-12C.±12D. 155・焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为*,则该椭圆的标准方程为27B. 乂+ 二=116 4C. —+ /=146.已知圆方程为兀‘+ y ，-2x + 2y+ = 0 , 则实数加的取值范围是（A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. y/3B.2C. 3D. y/59.定义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA｝=3,则异面直线AC与之间的距离是()A.迈B. ◎C.迈D.-5 76 7第II卷(共84分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： x2 + /+2x + 8y-8 = 0,圆 C?： x2 + /-4x-4y-2 = 0 ,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .11.记S”为等差数列｛厲｝的前"项和，若\ = n2 (neN*),则购二___________________ •12.经过点人(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_________________ ■13.已知空间向=(1,0,1), ^=(2,-1,2),则向量5在向量&上的投影向量是_________________________ •14.已知数列｛"”｝的首项q=2,且满足“”+|=3冷+ 2(neN*)>贝“｛"”｝的前"项和S” = __________ •15.已知A, B两点坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，3M相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是4,则点M的轨迹方程为_________________ -三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知等比数列｛厲｝满足“2=6, 6®+佝=30.(I)求｛©｝通项公式：2(II)若a t>2f设化(W eN* X记数列｛®｝的前川项和为S“,求S-17.已知圆C与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线V二一尤上，求圆C的方程.18.如图，在四而体ABCD中，丄AC, AQ丄平而ABC，点M为棱A3的中点，AB = AC = 2,AD = y/3 ・（I）求直线3C与MD所成角的余弦值：（II）求平^ABD和平而BDC的夹角的余弦值.19.已知椭圆E：二+匚=1 （a>b>0）的焦距为2JJ，且离心率为迺.cr 次 2（I）求E的方程：（II）若直线y = l<x + l（k>〔）与E相交于人B两点，A/为£的左顶点，且满足％丄MB,求化220.已知等差数列匕｝的前"项和为S“，S4 = 4S2, a2n = 2a rl +1 （,? e N*）•（I）求｛©｝的通项公式；4M・b（H）设数列他｝满足勺+3$+…+ （2〃一1）化=n（m2）,记数列］（一1『——的前“项和为「 w "訂 + 1•求人・天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案第I 卷(共％分)一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点人(2,—1,3),C. (3,0,1)D. (―1 丄1)【答案】B2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是(【答案】D 3•经过4(2,1), B(0,—3)两点的直线方程为 A. 2x-y-3 = 0【答案】A4.在等比数列｛a n ｝中，a 4 = 24 9 «6 = 6,则①=<【答案】C【答案】C 7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学著作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5“ 10厂 5小 11则线段AB 的中点坐标是()A. (-1,0,2)A. x 2=SyB. x 2=C.D.『2=_&丫B.C. x-2y-3 = 0D. 兀+ 2.y — 3 = 0A. 12B.-12C.±12D. 155.焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为则该椭圆的标准方程为A . 乂+工=14 3° T6+T2=，【答案】A6.已知圆 方程为+ y 2—2x + 2y + m = 0 , 则实数加的取值范围是(A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. -B. —C. 一D.—3 3 6 6【答案】Ax2 y2&已知F为双曲线G —--r = l（G>o, /?>0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点,且（C Zr垂直于x轴•若直线AB的倾斜角为丄，则C的离心率为（）4A.命B.2C. 3D. y/5【答案】B9.泄义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA t =3,则异面直线AC与BG之间的距离是（）A.迈B. ◎C.逅D.-5 76 7【答案】D第II卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： F + y2+2x + 8y_8 = 0,圆 C2： x2 + y2-4x-4y-2 = 0,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .【答案】相交11.记»为等差数列｛%｝的前介项和,若S n=n2（neN*），则他= ____________________ •【答案】1712.经过点A（3,-1）,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 ______________ .2 2【答案】—=18 813.已知空间向量"=（1,0,1）, /?=（2,—1,2）,则向量乙在向量Q上的投影向量是______________ . 【答案】（2,0,2）14.已知数列匕｝的首项勺=2,且满足昭］=3^ + 2 （心2）,则｛%｝的前川项和S”= ___________ • 【答案】l(3n+,-3)-zz15. 已知A, B 两点 坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，相交于点M,且直线AM 的斜率与直 线的斜率的差是4,则点M 的轨迹方程为 ____________________ - 【答案】y = 4-x 2(XH ±2)三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知等比数列｛%｝满足«2=6, &勺+他=30. (I) 求｛©｝通项公式：2(II) 若q>2,设久=_" 5eN'),记数列｛仇｝的前川项和为S"求S“・【答案】(I)a …=2x3"-1或© =3x2"“；(II) S” =(“ —1)x2^+2.17. 已知圆C 与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线$二一X 上，求圆C 的方程. 【答案】(x + l)2+(y — l)2=5.18•如图，在四而体ABCD 中，丄AC ，AD 丄平而ABC,点M 为棱A3的中点，AB = AC = 2,【答案】(【)(II)迥.4 10(I )求E 的方程：(H)若直线y = kx + l (^>1)与E 相交于儿B 两点，M 为E 的左顶点，且满足％丄MB,求化【答案】(I )求直线与MD 所成角的余弦值; (II)求平而血和平而BDC 的夹角的余弦值.20.已知等差数列｛勺｝的前n项和为S”，S4=452, a2n=2a n + l (“!<)・(I )求｛%｝的通项公式：(II)设数列｛®｝满足勺+3仇+求：【答案】(I ) ^=2n-l： (II) 5丘2),记数列((-1)"也％In一2川 + 1 =，2“ + 2"2/1 + 1。