会考复习专题八《直线与圆》1．直线1+=x y 的倾斜角是43)(πA 4)(πB 3)(πC 6)(πD 2．直线230x y ++=的斜率是 (A)12- (B)12(C)2- (D)2 3．若直线y =kx +2的斜率为2，则k = (A)-2 (B)2 (C)21- (D)21 4．直线y=x+2的斜率为.(A)-2 （B ）-1 (C)1 (D)25．圆x 2+y 2-4x +6y +3=0的圆心坐标是(A)(2, 3) (B)(-2, 3) (C)(2,-3) (D)( -2,-3)6．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,-(1,7．圆心坐标)2,2(，半径等于2的圆的方程是 2)2()2)((22=-+-y x A 2)2()2)((22=+++y x B2)2()2)((22=-+-y x C 2)2()2)((22=+++y x D8. 圆心在（ -2 ，0 ），半径长是3的圆的方程是(A) 3)2(22=+-y x （B ）3)2(22=++y x(C) 9)2(22=+-y x (D) 9)2(22=++y x9．已知直线023:1=--y mx l ，,034:2=-+y nx l 若21l l ⊥，则=mn(A)-12 （B ）3 (C) 4 (D) 1210．设圆C ：(x -5)2+(y -3)2=5，过圆心C 作直线l 与圆交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，若A 恰为线段BP 的中点，则直线l 的方程为(A)x -2y +1=0，x +2y -11=0(B)2x -y -7=0，2x +y -13=0 (C)x -3y +4=0，x +3y -14=0(D)3x -y -12=0，3x +y -18=011．已知点P(5，3)和圆C: 9)1(22=+-y x ，点A 为直线PC 与圆的一个交点（点A,P 在圆心C 的两侧），PB 为圆的一条切线，切点为B ，则∙= (A)58 （B ）532 (C) 564 (D) 5128 12．在平面直角坐标系内，对任意向量),(y x AB =，把绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=，叫做把点B 绕点A 逆时针旋转θ角得到点P.若直线l 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转3π后，得到的点的轨迹是直线013=++y x ，则直线l 的方程为(A) 012=+y （B ）01=+y (C) 0123=++y x (D) 013=+-y x13．正方形ABCD 的边长为2，E 是线段CD 的中点，F 是线段BE 上的动点，则⋅的取值范围是（A ）[-1,0]（B ）]54,1[- （C ）]1,54[- （D ）[0,1] 14．设P 是曲线331x x y -=上的一个动点，记P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ]4,0)[(πA )2,4)[(ππB ),43)[(ππC ),2(]4,0)[(πππ D 15．若直线022=-+y x ，与直线01=--y ax 垂直，则实数a 的取值为16．点(1,0)到直线x -2y -2=0的距离是 ．17．如图，圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴正半轴交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧），且|MN |=3.（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2=4相交于点A ，B ，连接AN ，BN .求证：∠ANM =∠BNM .(第17题)参考答案1、B2、A3、B4、C5、C6、D7、C8、D9、D10、 A11、 D12、 D13、 B14、 D15、16、17、。
专题八圆性质相关模型模型35 圆周角定理模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到有三个点均在圆上,且三点之间或与圆心连线构成角时,常考虑用圆周角定理求角度2.用模型题中往往会结合三角形的内角和求角度或者结合已知需要构造出角结论分析结论:12ACB AOB ∠=∠证明：如图,连接CO并延长交于⨀O点D，,2,2=2,2+212OA OB OCCAO ACO OCB OBC AOD ACO CAO ACO BOD OCB OBC OCB ACB AO ACB AO B AOD BOD ACO OC B B ∠=∠==∴∠=∠∠=∠∠=∠+∠=∠∠=∠+∠=∠∠∴∠=∠+∠=∠∠∴，，.满分技法圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如ACB ∠ 圆心角:顶点在圆心的角,如AOB ∠.模型拓展满分技法圆周角的概念中,顶点在圆上和两边都与圆相交,这两个条件必须同时具备,缺一不可.拓展延伸命题“等弧所对的圆周角相等”是假命题,说等弧的时候一定要加上前提条件“在同圆或等圆中”.典例小试例1如图,AC为⨀O的直径,点B为⨀O⨀O上一点, （⨀ACB是AB所对的圆周角,⨀A0B是AB所对的圆心角），连接OB，BC，若⨀AOB=82°,则⨀OBC的度数为（）A.41°B.49°C.33°D. 36°考什么?圆的基本性质,等腰三角形思路点拨解决圆周角定理及其推论有关的试题,常常会碰见等腰三角形,他可是帮助你解题的重要人物噢!例2（2021牡丹江）如图,点A ,B ,C 为⨀O 上的三点，（⨀BAC 是BC 所对的圆周角⨀BOC 是BC 所对的圆心角）⨀AOB =13⨀BOC ，⨀BOC =30°，则⨀AOC 的度数为（ ）A .100°B . 90°C .80°D . 60°考什么?圆的基本性质,角的关系转换例3 (2021鞍山)如图，AB 为⨀O 的直径，（直径所对的圆周角为90°,可考虑连接AD 构直角）C 、D 为⨀O 上的两点，若⨀ABD ＝54°（直角三角形两锐角互余），则⨀C （⨀C 和⨀BAD 都是BD 所对的圆周角）的度数为（ ）例4如图, ⨀A 经过平面直角坐标系的原点O （∠BOC 为直角可想到连接BC ,得到BC 是OA 的直径）,交x 轴于点B (3,0),交y 轴于点C ,点D 为第一象限内圆上一点，若sin ∠BDO =３５（∠BDO 和∠OCB 都是OB 所对的圆周角）,则点C 的坐标是（ ）A.(0,5)B. (0,4)C. (0,92) D. (0,3)考什么?平面直角坐标系中点的坐标特征,圆的基本性质,解直角三角形思路点拨利用圆周角定理的推论找到与已知角相等的角,再通过解直角三角形求解.实战实演1. 如图,在⨀O中，弦CD与直径AB相交于点E,连接OC，BD，若∠ABD=25°，∠AED=85°,则∠COB的度数为( )A.80°B. 100°C.120°D. 140°2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C和点D，则ADCtan= .3.如图，在Rt△ABC中，⨀ABC=90°，⨀A=32°.点B，C在⨀O上，边AB，AC分别交⨀O于D，E两点，点B是CD的中点，则⨀ABE= °.4.如图，AB为⨀O的弦，D，C为ACB的三等分点，BE//AC交DC的延长线于点E.(1)求证:四边形ABEC为平行四边形;(2)若BC=3，BE=5，求DE的长.模型36 相交弦定理模型展现基础模型相交弦定理怎么用?1．找模型圆中两条弦相交于一点2.用模型圆中两条弦交于圆内一点,考虑相交弦定理结论分析结论：EDECEBEA⋅=⋅证明：如图，连接AC，BD.⨀ ⨀AEC=⨀DEB，⨀A=⨀D，⨀ ⨀AEC⨀⨀DEB，⨀EBECECEA=，⨀ EDECEBEA⋅=⋅拓展延伸此定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法,因此可结合“专题九相似三角形”巩固学习.模型拓展典例小试例 如图，在⨀O 中，弦AB ⨀弦CD 于点E （点拨：垂直也是相交），连接AD ，BC ，若AD =CD =5，DE CE 41=（点拨：可分别求出CE 和DE ），则弦AB （点拨：AB =AE +BE ）的长为（ ）A .4B .313C .314D .5 考什么?勾股定理,相似三角形的判定及性质 思路点拨遇见相交弦,一找相似三角形,二找已知线段，三列比例关系即可求解.实战实演1.如图,⨀ABC 内接于一圆中,点D 是BC 的中点,连接AD 交BC 于点E ，若CE =1，BE =3，AE =BD 的长为 .2.如图,正方形ABCD内接于⨀O，点E是对角线BD上的点，连接AE并延长交劣弧BC于点F，若OE=EF=1，则DEBE的值为.模型37 切割线定理模型展现基础模型 割线定理切割线定理怎么用? 1.找模型圆中一条弦和一条切线所在直线交于一点.2.用模型⨀圆中两条弦所在直线交于圆外一点,考虑割线定理;⨀一条弦和一条切线交圆外一点,考虑切割线定理. 结论分析结论1:EC ED EA EB •=• 证明:方法一:如图⨀,连接AD , BC . ⨀⨀E =⨀E ,⨀A =⨀C , ⨀∆AED ⨀∆CEB , ⨀EBEDEC EA =⨀EC ED EA EB •=•方法二:如图⨀,连接BD ,AC . ⨀A ,B ,C ,D 是 O 上的四个点， ⨀⨀C +⨀ABD = 180°⨀⨀ABD +⨀DBE = 180° ⨀⨀C =⨀DBE , ⨀⨀E =⨀E , ⨀⨀EBD ⨀⨀ECA , ⨀EAED=EC EB ⨀EC ED EA EB •=•拓展延伸这两个定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法，因此可结合“专题九相似三角 形”巩固学习。
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
专题八 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x －3｜＝1； (2)|x －3｜≤4； (3)1＜|x －3｜≤4．例2 已知矩形ABCD 及同一平面上一点P ，求证：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量AB 的数量的最小值为( ) A ．21B ．0C ．41 D ．413．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，2，3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，3) 4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．x ＋3y ＋2＝0 D ．x －3y －2＝0 二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______． 6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______． 7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD 满足AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝AC 2＋BD 2．10．求证：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A (1，3)，B (4，5)，点P 在x 轴上，求|P A |＋｜PB ｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°． 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率⋅--=1212x x yy k 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)； 斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：);,(2121121121y y x x x x xx y y y y =/=/--=--一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或)0(222121=/=/B A B B A A (2)l 1与l 2平行⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C CB B A AC A C A B C C B B A B A 或或而(3)l 1与l 2重合⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212121222111C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2； l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2． 5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式⋅+++=2211||BA C By Ax d【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，【例题分析】例1(1)直线082=-+y x 的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．例6 如图，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) A ． B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______． 6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______． 7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______． 8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)． (1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程．11．已知点P 到两个定点M (－1，0)、N (1，0)距离的比为，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程． 5343-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+2§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域图8－3－1例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值； (2)z 2＝x －y 的最大值； (3)z 3＝x 2＋y 2的最小值； (4)的取值范围(x ≠1)．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4． (1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x 14-=x yz ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＜0或a ＞2 B ．a ＝0或a ＝2 C ．0＜a ＜2 D ．0≤a ≤2 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．B ．C ．D ．二、填空题5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______．7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤α⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 0059．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％()，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=%100⨯§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径．(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则 ＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切； ＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切；R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上；(3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2． )2,2(E D --21.422F E D -+⇔⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点．(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；(2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．3).1,62(练习8－4 一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______．6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______． 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．62251=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解；(2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．例2 已知P 为抛物线y ＝x 2＋1上一动点，A (2，3)，P 关于A 的对称点为点P ′，求动点P ′的轨迹方程．例3 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ ｜的比等于常数2．求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．例4 已知曲线C ：｜xy |＝1．(1)画出曲线C 的图象，并研究其对称性； (2)讨论圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与C 的交点情况．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y xF练习8－5 一、选择题1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．｜x |－y ＝0 D ．｜x ｜－|y |＝0 2．下列方程的曲线关于x ＝0对称的是( ) A ．x 2－x ＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．x －y ＝1 D ．x 2y ＋xy 2＝13．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x (x ≠2) C ．y ＝－x D ．y ＝－x (x ≠2) 4．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |(k ∈R ，k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题5．曲线x ＋y －7＝0与xy ＝10的交点坐标是______．6．曲线(x －2)2＋x (y －2)＝0关于点A (1，1)的对称曲线方程是______． 7．与直线和直线y ＝4距离相等的点的轨迹方程为______．8．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是______． 三、解答题9．已知两圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝9，C 2：x 2＋y 2＝16．圆C 过圆C 1，C 2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C 的方程．10．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3，1)，B 为曲线C 上任一点，点P 在线段AB 上且有｜BP ｜∶｜P A ｜＝1∶2，当B 在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．11．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，求动点Q的轨迹方程．013=+-y x§8－6 椭 圆【知识要点】1．椭圆定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离之和等于定长(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F 1F 2｜叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：(1)在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0； (2)椭圆的焦点总在长轴上；(3)在方程Ax 2＋By 2＝C 中，只要A 、B 、C 同号，且A ≠B 就是椭圆方程；(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式． 【复习要求】掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用 【例题分析】例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点；(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；(3)以边长为4的正△ABC 的顶点B 、C 为焦点，经过顶点A ．54例2 已知椭圆C 的方程为(1)求实数m 的取值范围； (2)若椭圆C 的离心率为，求实数m 的值．例3在平面直角坐标系xOy 中，A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足，设动点P 的轨迹为C ． (1)求轨迹C 的方程；(2)若C 上有一点M 满足∠AMB ＝30°，求△MAB 的面积．例4 如图8－6－1，已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线为l ，垂足B ，l 交MA 于点P ．则 (1)点B 曲轨迹方程是______； (2)点P 的轨迹方程是______．图8－6－1例5 已知直线l ：y ＝x ＋1与椭圆相交于A 、B 两点． (1)求AB 的中点坐标； (2)求｜AB ｜．例6 已知椭圆过点M (0，1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ． (1)若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；(2)设点，求的最大值． ,12822=-+m y x 21=e ,10||||=+12:22=+y x C 14:22=+y x C )21,0(N ||NB NA +练习8－6一、选择题1．已知F (c ，0)是椭圆的右焦点，设b ＝c ，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．22．如果方程x 2＋my 2＝2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．已知椭圆的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是|PF 1｜与｜PF 2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )A ．B ．C ．D ． 4．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆C 上任一点，记△PF 1F 2的内切圆为⊙M ，则点P 到⊙M 的切线长为( ) A ．B ．2C ．4D ．二、填空题5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______． 6．在平面α 内，有一条线段｜AB ｜＝4，P 为α 内一个动点，满足｜P A ｜＋｜PB ｜＝6．设M 为AB 的中点，则｜PM ｜的最大值为______，最小值为______．7．椭圆的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，则当时，点P 的横坐标的取值范围是______．8．设F 为椭圆的右焦点，A (4，4)，点P 为椭圆C 上任意一点，则｜PF ｜－｜P A ｜的最大值为______． 三、解答题9．已知△ABC 的两个顶点为B (－2，0)，C (2，0)，周长为12． (1)求顶点A 的轨迹方程； (2)若直线与点A 的轨迹交于M ，N 两点，求△BMN 的面积．10．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的－点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，求的值．11．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，A (0，5)，求｜P A ｜的最值．)0(1:2222>>=+b a by a x C 22221191622=+y x 1121622=+y x 13422=+y x 14322=+y x 11216:22=+y x C 32314922=+y x 021<⋅PF 1925:22=+y x C x y 21=14922=+y x ||||21PF PF§8－7 双曲线【知识要点】1．双曲线定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2｜叫做双曲线的焦距．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用． 【例题分析】例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为45.23x y ±=例2 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且则的||值等于______．例3 如图8－7－1，从双曲线的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点．设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|TF 1|＝_______；｜MO |－｜MT |_______．图8－7－1例4 已知点和，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2．记点C 的轨迹为W ． (1)求轨迹W 的方程；(2)设W 与直线y ＝x －2交于两点D ，E ，求线段DE 的长度．例5 如图8－7－2，△AOB 的顶点A 在射线l ：上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足｜AM |·｜MB ｜＝3．当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W ．图8－7－2(1)求轨迹W 的方程；(2)设P (m ，0)为x 轴正半轴上一点，求｜PM |的最小值f (m )．1422=-y x ,021=⋅PF PF 21PF PF ⋅125922=-y x )0,3(-A )0,3(B )0(3>=x x y练习8－7一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A ．B ．C ．D ． 2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．C ．D ．3．已知双曲线，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．bC ．D ．4．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且，则等于( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题5．设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F 1F 2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．6．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的方程______． 7．设双曲线x 2＋my 2＝1的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是______．8．设P 为双曲线上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若｜PF 1｜：｜PF 2｜＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为______．三、解答题9．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．112422=-y x 141222=-y x 161022=-y x 110622=-y x )2(12222>=-a y a x 3π3362332)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ab 22b a +1922=-y x 021=⋅PF ||21PF +10510252)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 191622=-y x )3,32(-A 11222=-y x )0,0(12222>>=-b a by a x10．如图8－7－3，已知双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C 的一个顶点A ′与点A 关于直线y ＝x 对称．设直线l 过点A ，斜率为k ．图8－7－3(1)求双曲线C 的方程；(2)当k ＝1时，在双曲线C 的上支上求点B ，使其与直线l的距离为11．设A 、B 是双曲线上的两点，点N (1，2)是线段AB 的中点． (1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么? )0,2(A .21222=-y x§8－8 抛物线【知识要点】1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：3．几点注意(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．【复习要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．【例题分析】例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．例2已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．(1)求抛物线C的方程；(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．例4已知抛物线C：y2＝4x，设B(3，0)，对C上的动点M，求｜BM｜的最小值．练习8－8 一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2 D ．y ＝－42．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为( ) A ．(a ，0)B ．(0，a )C ．D ．随a 的符号而定3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．34．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 二、填空题5．抛物线x 2＝－4y 的焦点坐标是______，准线方程是______． 6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得线段的中点坐标是______．7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则的最小值是______． 8．以抛物线y 2＝8x 上一点A 为圆心，经过坐标原点O ，且与直线x ＋2＝0相切的圆的方程是______． 三、解答题9．给定直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)．(1)当抛物线C 的焦点在直线l 上时，确定抛物线C 的方程； (2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标为8，直线BC 的方程为4x ＋y －40＝0，求△ABC 的重心的坐标．10．给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 与C 相交A 、B 两点，求以AB 为直径的圆的方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直y 轴于点B ，设OB 的中点为M ． (1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． )161,0(a3457582221y y§8－9 圆锥曲线综合问题【知识要点】1．在圆锥曲线的综合问题中，要关注数学思想与方法的渗透．(1)数形结合思想不是简单的画图，而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系． (2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部，它只是方程思想的一个重要形式． 2．直线与圆锥曲线．设直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0相交于点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．将直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0联立，得方程组，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，记为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1)应用判别式，则有①＞0有两个实数解(有两个交点)； ②＝0有一个实数解(有一个交点)； ③＜0没有实数解(没有交点)．对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时，还应注意到形的问题． (2)应用韦达定理，可得 在研究中点、弦长等问题时，利用韦达定理常可以使问题得到解决．3．会求简单的轨迹方程问题．4．关注解析几何与数列、向量等知识的综合，注意把握它们的内在联系． 【例题分析】例1 (1)平面内的直线l 与双曲线最多有______个交点；(2)若平面内与y 不平行的直线l 与双曲线不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎩⎨⎧==++0),(0y x f C By Ax ∆⇔∆⇔∆⇔⋅=-=+⋅ac x x a b x x B A B A ,)0,0(12222>>=-b a by a x 191622=-y x例2 已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN |＝4的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例3 已知椭圆的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线x＋y ＝0上，求直线AB 的方程．例4 已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．例5 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2，0)，且离心率(1)求椭圆的方程(用λ 表示)；(2)若存在过点A (1，0)的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ 的取值范围． 1222=+y x 10||=AB ).0(2>=λλe。
