数学2-2导学案

目录1.1.1 变化率问题 (1)1.3.1函数的单调性和导数 (15)1.3.2 函数的极值和导数 (17)1.3.3函数的最大（小）值与导数 (21)1.4.1生活中的优化问题举例 (23)1.5.1曲边梯形的面积 (25)1.6微积分基本定理 (32)1.7.1 定积分在几何中的应用 (34)2.1.1合情推理 (38)2.1.2演绎推理 (39)2.1.3综合法与分析法 (41)2.2.2反证法 (43)2. 3数学归纳法 (46)§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 (50)§3.1.2 复数的几何意义 (52)§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 (55)§3.2.2 复数代数形式的乘除运算 (59)第三章数系的扩充与复数的引入（复习课） (61)1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：平均变化率的概念.学习过程： 一、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课导入 (一)问题探究问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个―增量‖可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么? 三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy.hto解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、回顾总结1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.六、布置作业1、 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率（1）[1，1.01] (2)[0.9,1]2、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

3、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆hto4、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的体积增量()________________)(34)(432+∆+∆=∆R R R V ππ5、 求函数2x y =在,2,31=x 附近的平均变化率，取x ∆都为31，哪一点附近的平均变化率最大？1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 学习重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 学习难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景 (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0()4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆表示―当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-‖小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim .解:例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业1、若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A 、6B 、18C 、54D 、81 2、设函数)(x f 可导，则xf x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim 0=（ ）A 、)1(f 'B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 3、函数xx y 1+=在1=x 处的导数是______________4、已知自由下落物体的运动方程是221gt s =，(s 的单位是m,t 的单位是s)，求： （1）物体在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度； （2）物体在0t 时的瞬时速度；（3）物体在0t =2s 到s t 1.21=这段时间内的平均速度； （4）物体在s t 2=时的瞬时速度。

1.1.3 导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 学习重、难点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 难点：导数的几何意义 学习过程： 一、【复习回顾】1．平均变化率、割线的斜率2. 瞬时速度、导数二、【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？三、【合作探究】1.曲线的切线及切线的斜率 如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:3.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一.四、【例题精析】例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.解:变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.解:.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:m in ) 变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解: 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t0.4-0.7-1.4五、课堂小结1.曲线的切线定义.当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线2.导数的几何意义.函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆3.求曲线在一点处的切线的一般步骤 ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程六、课堂练习1.求曲线3)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.2.求曲线y x =在点(4,2)处的切线.七、课后作业1.求曲线2)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.2.求曲线y x =在点(4,2)处的切线.1.2.1几个常用函数的导数学习目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 学习重点，难点重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式学习过程： 一．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数及意义意义：0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数意义：1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数意义：2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数 5．函数y x =的导数6推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=二、例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。