2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析

2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。

正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。

故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。

2012数二参考答案9、21xx e +； 10、4π； 11、0； 12、2x y =； 13、()1,0-； 14、27- 三、解答题15、解：（I ）()00011sin lim limlim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+-==-=+=+=（II ）()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x xx →→→+--⎛⎫⎛⎫-=--=+⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ ()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+⎛⎫== ⎪⎝⎭()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以k=1 16、解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=（17）解：1y x '=，设切点坐标(),ln o o x x ，切线方程为()1ln o o oy x x x x -=- 又切线过点(0,1)，所以2o x e =，故切线方程为211y x e =+ 切线与x 轴交点为B ()2,0e -所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰ 旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=---=+⎣⎦⎰ （18）解：()()1cos 014401d cos sin 1116cos sin 1cos 14415Dxy d d d t t dt πθπσθρθρθρρθθθθ+-= =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（19）解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1所以()212xx f x C e C e -=+把()212xx f x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。

2012年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 设3(),(1),t x f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dy dx ==＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数2cos y x x =+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)．0x →=＿＿＿＿＿＿. (4)． 21(1)dx x x +∞=+⎰＿＿＿＿＿＿. (5)． 由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．(1)． 当0x →时,sin x x -是2x 的( )．(A)． 低阶无穷小 (B)． 高阶无穷小(C)． 等价无穷小 (D)． 同阶但非等价的无穷小(2)． 设22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则( )． (A)． 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B)． 22(),0() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C)． 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D)． 22,0() , 0x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3)． 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限( )．(A)． 等于2 (B)． 等于0(C)． 为∞ (D)． 不存在但不为∞(4)． 设()f x 连续,220()()x F x f t dt =⎰,则()F x '等于( )．(A)． 4()f x (B)． 24()x f x(C)． 42()xf x (D)． 22()xf x(5)． 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为( )．(A)． 1sin x + (B)． 1sin x -(C)． 1cos x + (D)． 1cos x -三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)．(1)． 求123lim()6xx x x-→∞++. (2)． 设函数()y y x =由方程1y y xe -=所确定,求220x d y dx =的值.(3)．求3. (4)．求0π⎰.(5)． 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.四、(本题满分9分)．设21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31(2)f x dx -⎰.五、(本题满分9分)．求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解.六、(本题满分9分)．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.七、(本题满分9分)．求曲线y =的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)．已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有1212()()()f x x f x f x +<+成立.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：3(2)．【答案】6π(3)．【答案】：0 (4)．【答案】：1ln 22(5)．【答案】：12e - 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：(B)．(2)．【答案】：(D)．(3)．【答案】：(D)．(4)．【答案】：(C)．(5)．【答案】：(B)．(3)．【答案】：322(1)x C + 其中C 为任意常数.方法1：积分的凑分法结合分项法,有(4)．【答案】：1)(5)．【答案】：315y x =,其中C 为任意常数四、(本题满分9分)．分段函数的积分应六、(本题满分9分)．由于2ln(1)y x =-, 2222222(1),1,1(1)x x y y x x -+''=+=--2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-, 所以 221/21/2220012(1)11x x s dx dx x x +--==--⎰⎰1/21/21/22000211111112dx dx dx x x x ⎛⎫=-=+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰⎰ 1/20111ln ln 3122x x +⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭. 七、(本题满分9分)．过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为 1()2y t x t t -=-,化简即得 22xt y t =+. 面积 2014()2232x t S t x dx t t t ⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数 3/21/2111()222t S t t t t t---'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+.八、(本题满分9分)．证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是 1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,O 2即 1212()()()f x x f x f x +<+. 证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>. 令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+. 由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此, 11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>. 改x 为2x 即得证.。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线渐近线的条数 221
x x y x +=-( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和lim ()x f x b →∞=b 0lim ()x x f x →=∞斜渐近线（，为常数）。

lim[()()]0x f x ax b →∞
-+=,a b （iii ）注意：如果
（1）不存在；()lim x f x x
→∞（2），但不存在，可断定不存在斜渐近线。

()lim x f x a x
→∞=lim[()]x f x ax →∞-()f x 在本题中，函数的间断点只有.221
x x y x +=-1x =±由于，故是垂直渐近线.1
lim x y →=∞1x =1。

2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。

正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。

故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ） 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。

（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nx f x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。

（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。

反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。

2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .．．．x2x （ 1）曲线yx2 1 （A ） 0（C） 2渐近线的条数为（）（B） 1（D） 3（ 2）设函数 f ( x) (e x1)(e2 x2) (e nx n) ，其中 n 为正整数，则 f ' (0)（ A ）( 1)n 1(n 1)! （ B）（ C）( 1)n 1n! （ D）( 1)n ( n 1)! ( 1)n n!（3）设a n>0(n=1,2, )，S n=a1+a2+ a n，则数列(s n)有界是数列（a n）收敛的(A) 充分必要条件 .(B)充分非必要条件 .（C)必要非充分条件 .（D）即非充分地非必要条件.（ 4）设I kk e x2 sinxdx(k=1,2,3),则有 De（A）I1< I2 <I 3. (B) I2< I2< I3.(C) I1< I3 <I 1, (D) I1< I2< I3.（ 5）设函数f (x,y)可微，且对任意x,y都有f ( x, y)> 0,f ( x, y)<0,f(x1,y1)<f x y(x2,y2)成立的一个充分条件是(A) x1> x2, y1< y2. (B) x1> x2, y1>y1.(C) x1< x2, y1< y2. (D) x1< x2, y1> y2.（ 6）设区域 D 由曲线y sin x, x , y 1, 围成，则x5 y 1 dxdy ( )2(A)(B)2 (C) 2 (D)0 1 1 （7）设 1 0 ,21,3 1 , 41 其中 c 1, c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关c 1 c 2 c 3 c 4的是（ ）（A ） 1, 2 , 3 （B ） 1, 2 , 4（C ） 1, 3 , 4 （D ） 2, 3 , 41（8）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且P 1AP 1，P 1,2,3， 2Q 1 2, 2, 3 则Q 1AQ （ ）1 1（ A ） 2 （ B ） 11 22 2（ C ） 1 （ D ） 22 1二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 .．．．（ 9）设 y y( x) 是由方程 x 2 y 1 e y 所确定的隐函数，则 ________。