集合的交与并运算

集合的交集与并集集合是数学中一个重要的概念，用于描述具有共同特征的对象的集合。

在集合论中，我们经常会用到两个基本的运算，即交集和并集。

交集是指由两个或多个集合中具有相同元素的元素组成的新的集合，而并集则是由两个或多个集合中所有的元素组成的新的集合。

本文将着重介绍集合的交集与并集，并探讨它们在数学中的应用。

1. 交集的定义与性质交集是指由两个或多个集合中共同元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的交集表示为A∩B。

交集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x同时属于集合A和集合B，则x属于A∩B。

交集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

即交换交集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

即交集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

即交集与并集满足分配律。

2. 并集的定义与性质并集是指由两个或多个集合中所有元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的并集表示为A∪B。

并集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x属于集合A或属于集合B，则x属于A∪B。

并集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

即交换并集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。

即并集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

即并集与交集满足分配律。

3. 交集与并集的应用交集和并集在数学中有广泛的应用，特别是在集合论、逻辑学、概率论等领域。

在集合论中，交集和并集是集合运算的基础。

通过交集和并集的组合运算，可以构建更复杂的集合关系，如补集、差集等。

在逻辑学中，交集和并集可以用来表示命题之间的联系。

如何计算集合的交集和并集在数学中，集合是由一组元素组成的。

而集合的交集和并集是集合运算中常见且重要的概念。

本文将详细介绍如何计算集合的交集和并集，并给出一些实际的例子来帮助读者更好地理解。

一、集合的交集集合的交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的新集合。

计算集合的交集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行交集运算的集合。

例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。

2. 然后，找出这两个集合中共有的元素。

在这个例子中，集合A和集合B的交集是{3, 4}，因为它们两个集合中都包含这两个元素。

3. 最后，将共有的元素组成一个新的集合，即为集合的交集。

在这个例子中，集合A和集合B的交集为{3, 4}。

需要注意的是，如果两个集合没有共有的元素，那么它们的交集将为空集。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，那么它们的交集为空集。

二、集合的并集集合的并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。

计算集合的并集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行并集运算的集合。

例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。

2. 然后，将这两个集合中的所有元素合并在一起。

在这个例子中，将集合A和集合B中的元素合并在一起得到{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

3. 最后，将合并后的元素组成一个新的集合，即为集合的并集。

在这个例子中，集合A和集合B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

需要注意的是，并集中不会重复出现相同的元素。

如果两个集合中有相同的元素，那么在并集中只会保留一个。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么它们的并集为{1, 2, 3, 4, 5}，而不是{1, 2, 3, 3, 4, 5}。

三、实际例子为了更好地理解集合的交集和并集的概念，我们来看一些实际的例子。

例子一：小明和小红是一所初中的学生，他们分别喜欢篮球和足球。

集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．之巴公井开创作
定理.设A,B,C为任意三个集合，Ω与Æ分别暗示全集和空集，则下面的运算法则成立：
(1) 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；
(2) 结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,
(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C）；
(3) 分配律: (A∩B) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),
(A∪B) ∩C =(A∩C) ∪(B∩C)；
(4) 摩根(Morgan)律: ，；
(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；
(6) 吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；
(7)0―1律: A∪Æ=A，A∩Ω=A，
A∪Ω=Ω，A∩Æ=Æ；
(8)互补律: , Æ；
(9) 重叠律: , .
证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．
例试证明等式
证.
＝Ω∩C＝C
对偶.定理的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把Æ换成Ω，同时把Ω换成Æ，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式．
例的对偶为；的对偶为；的对偶式是。

集合的交集与并集的求解在数学中，集合是由一组特定对象组成的集合，可以是数字、字母、词语等。

集合的交集和并集是集合运算中常见且重要的概念。

本文将详细介绍集合的交集和并集的定义及求解方法。

一、集合的交集集合的交集，指的是由两个或多个集合中共同拥有的元素组成的新集合。

我们可以使用符号“∩”表示集合的交集。

例如，对于集合A和集合B，它们的交集可以用符号表示为A∩B。

要求两个集合的交集，我们需要找到同时属于这两个集合的所有元素。

简单来说，就是找到A和B中共同的元素。

如果一个元素只属于A或只属于B，那么它就不属于A∩B。

求解集合的交集的方法如下：1. 遍历集合A中的每个元素。

2. 检查该元素是否也属于集合B。

3. 如果该元素同时属于集合B，则将其加入交集集合中。

举例来说，假设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={4, 5, 6, 7}，我们来求解它们的交集A∩B。

首先，遍历集合A中的每个元素，从1开始。

对于元素1，检查它是否也属于集合B，发现不属于。

然后，继续遍历集合A中的下一个元素2。

对于元素2，发现它也属于集合B。

因此，将元素2加入交集集合中。

接下来，继续遍历集合A中的下一个元素3。

元素3不属于集合B，所以不将其加入交集集合。

继续遍历集合A中的下一个元素4。

元素4同样属于集合B，将其加入交集集合。

最后，遍历集合A中的最后一个元素5。

元素5也属于集合B，将其加入交集集合。

经过以上步骤，我们得到交集A∩B={2, 4, 5}。

通过上述过程，我们可以看出，求解集合的交集就是找到两个集合中共同拥有的元素。

二、集合的并集集合的并集，指的是将两个或多个集合中的所有元素组合成一个新的集合。

我们可以使用符号“∪”表示集合的并集。

例如，对于集合A 和集合B，它们的并集可以用符号表示为A∪B。

求解集合的并集的方法如下：1. 将集合A中的所有元素放入新集合中。

2. 遍历集合B中的每个元素。

3. 检查该元素是否已经属于新集合。

集合间交、并、补的运算一、交集：交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。

（2)韦恩图表示为。

数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合。

由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x ∈A,且x∈B}。

交集越交越少。

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合{1，2，3} 和{2，3，4} 的交集为{2，3}。

数字9 不属于素数集合{2，3，5，7，11} 和奇数集合{1，3，5，7，9，11}的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B = ? ;。

例如集合{1，2} 和{3，4} 不相交，写作{1，2} ∩{3，4} = ? 。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。

例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。

交集运算满足结合律，即 A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。

若M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素A，x 属于A。

这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合{A，B，C} 的交集。

（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。

这一概念的符号有时候也会变化。

集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。

后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈I} 的交集。

这里I 非空，Ai 是一个i 属于I 的集合。

注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。

集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。

数学公式知识：集合运算的求交、并及其应用集合运算是一个非常重要的数学概念，它涉及到非常多的领域，如离散数学、图论、概率论等等。

其中，求交、并是最基本也是最常见的集合运算，在解决各种问题时都能起到非常重要的作用。

首先，我们来介绍一下集合及其运算的概念。

集合是一个由一些确定的元素所组成的整体，相同的元素只能出现一次。

例如，{1, 2, 3, 4, 5}就是一个集合，其中元素1、2、3、4、5只出现了一次。

集合中的元素可以是任何东西，比如数字、字母、其他集合等等。

接下来，我们来介绍一下集合的基本运算：求交、并。

求集合的交，就是找出两个或多个集合中所有相同的元素，合并成一个新的集合。

例如，假设有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，那么它们的交集就是{3, 4}，即A∩B={3,4}。

求集合的并，就是将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合，其中相同的元素只出现一次。

例如，A和B的并集就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，即A∪B={1,2,3,4,5,6}。

那么，集合运算的应用有哪些呢？其实，求交、并是我们在日常生活中经常会用到的，比如：1、在统计学中，我们需要求出某些事件同时发生的概率，这时就需要用到集合求交的运算。

例如，计算同一天内同时出现雷暴和雨天气的概率，在求概率公式中，我们需要计算这两个事件的交集。

2、在计算任务的进度时，我们经常会用到并集的运算。

例如，假如一个任务分为A、B、C三个子任务，每个子任务有各自的进度，当计算总进度时，我们需要将三个子任务的进度相加，即用并集的运算求出总任务的进度。

3、在计算求解某些数学问题时，我们也会用到求交、并的运算。

例如，计算公共因数、公因数的个数时，就需要用到求交、并的运算。

总之，集合与集合运算是日常生活中不可或缺的一部分，也是计算机科学、数学等领域中必不可少的基础知识。

在实际运用中，要灵活掌握求交、并的积极方法，并结合具体的场景进行应用，这样才能更好地解决问题。