第1页 共16页七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案）1. 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是A. B. C. D2. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作( )A. 欧几里得B. 杨辉C. 费马D. 刘徽3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH ＝DH ；②CH ＝(√2＋1)EH ；③S △ENH S △EBH ＝EHEC.其中正确的是( )A. ①②③B. 只有②③C. 只有②D. 只有③4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )A. B. C. D.5. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图形是( )A. AB. BC. CD. D6. 图1所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.7. 如图1,图2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”,我们称之为环形密铺,但图4,图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:.8. 如图，n＋1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn＋1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn＝________.9. 有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B，D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE，C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE，C′F均落在DG上，点A，C′落在点A′处，点E，F落在点E′处，得折痕MN，QP.第3页 共16页这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .(1)请写出图①中一组相等的线段__________(写出一组即可)；(2)若这样折出的五边形DMNPQ (如图③)恰好是一个正五边形，当AB ＝a ，AD ＝b ，DM ＝m 时，有下列结论：①a 2－b 2＝2ab tan 18°； ②m ＝√a 2+b 2tan 18°；③b ＝m ＋a tan 18°； ④b ＝32m ＋m tan 18°其中，正确结论的序号是______(把你认为正确结论的序号都．填上). 10. 一个圆柱形的蛋糕，将它截三刀，能截出六块、七块或八块吗？若能，画出示意图；若不能，请说明理由.11. 图①的正方体切去一块，得到图②~⑤的几何体.(1)所得几何体各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?(2)举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少? (3)若面数记为f ，棱数记为e ，顶点数记为v ，则f , v , e 应满足什么关系?12. 有一副直角三角板，其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,另一个三角板的内角是30°,60°,90°.(1)将该副三角板按如图①所示方式放置，AB ⊥AD ，则∠CAE =________，BC 与AD 的位置关系是________；(2)在第1问的基础上，再拿一个内角为30°,60°,90°的直角三角板，按如图②所示方式放置，AC'边和AD 边部分重合，则AE 平分∠CAB′吗？请说明理由；(3)根据第1问和第2问的计算，请解决下列问题：如图③，∠BAG =90°，∠BAC =∠FAG =20°，将一个内角为45°,45°,90°的直角三角板的一直角边与AG 部分重合，锐角顶点与∠BAG 的顶点重合，AE 平分∠CAF 吗？请说明理由；(4)如果图③中的∠BAC =∠FAG =∠α(∠α是锐角)，其他条件不变，那么第3问中的结论还成立吗？只需回答成立或者不成立，不需要说明理由.13. 如图给出的正多边形的边长都是20 cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线表示，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)(1)将图①中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；(2)将图②中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；(3)将图③中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等.14. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题.四面体长方体正八面体正十二面体(1)根据上面的多面体模型，补全表格：顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是________；(2)一个多面体的顶点数比面数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x+y 的值.15. 在图中，对于四个平面图形①②③④，我们规定：如图形③，它的顶点为共5个，区域为△AED,△ABE,△BEC,△CED，共4个，边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA，共8条.①②③④(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：第5页 共16页(2)观察上表，请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系；(3)如果有一个平面图形满足第2问中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且从每一个顶点出发都有3条边，那么这个平面图形共有多少条边？16. 在多边形中，三角形是最基本的图形，而研究多边形一般是将多边形分割成三角形，那么一个八边形至少可以分割成多少个三角形？n 边形呢？17. 如图，P 是定长线段AB 上一点，C ,D 两点同时从P ,B 出发分别以1cm s ⁄和2 cm/s 的速度沿线段向左运动(C 在线段AP 处上，D 在线段BP 上).已知C ,D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC .(1)线段AP 与线段AB 的数量关系是________；(2)若Q 是线段AB 上一点，且AQ -BQ =PQ ，求证：AP =PQ .(3)若C ,D 运动5秒，恰好有CD =12AB ，此时C 点停止运动，D 点在线段BP 上继续运动， M ,N 分别是CD , PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB的值. 18. 已知在同一平面内,∠AOB =90°,∠AOC =60°. (1)∠COB = ;(2)如果OD 平分∠BOC ,OE 平分∠AOC ,那么∠DOE 的度数为 ;(3)试问在第2问的条件下,如果将题目中∠AOC =60°改成∠AOC =2α(α<45°),其他条件不变,你能求出∠DOE 的度数吗?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由.19. 先阅读下面的材料,然后解答问题:在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:如图所示,如果直线上有2台机床甲、乙,很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行,因为甲和乙到P 的距离之和等于A 1到A 2的距离.如图所示,如果直线上有3台机床甲、乙、丙,不难判断,供应站P 设在中间A 2处最合适,因为如果P设在A 2处,甲和丙到P 的距离之和恰好为A 1到A 3的距离,而如果把P 设在别处,例如D 处,那么甲和丙到P 的距离之和仍是A 1到A 3的距离,可是乙到P 的距离是从A 2到D 的这一段的长,这是多出来的,因此P 放在A 2处最合适.不难知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P 应设在第3台处.(1)有n (n >1)台机床时,P 应设在何处?(2)根据第1问的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.(3)变式:某公司员工分别住在离公路较近的A,B,C三个住宅区,其中A区有75人,B区有45人,C区有30人,A,B,C三区与公路的连接点分别为D,E,F,如图,且DE=100米,EF=200米,该公司的接送车打算在公路上只设一个停靠点,为使所有员工在公路上步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在.20. 如图,两个形状、大小完全相同的含有30°,60°角的三角尺如图①放置,PA,PB与直线MN重合,且三角尺PAC,三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转.(1)试说明:∠DPC=90°;(2)如图②,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;(3)如图③,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/秒,同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2°/秒,在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时,两三角尺都停止转动),以下两个结论:①∠CPD∠BPN为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.21. 已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(如图,A在B的左侧,C在D的左侧,且运动中D在B的右侧).(1)M,N分别是线段AC,BD的中点,若BC=4,求MN的长;(2)当线段CD运动到D点与B点重合时,P是线段AB的延长线上一点,下列两个结论:①PA+PBPC 是定值,②PA-PBPC是定值.其中有一个正确,请你选出正确的结论,并求出这个定值.22. 墙角处有由若干大小相同的小正方体堆成的如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、上面、右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走多少个小正方体?23. 已知C为直线AB上任意一点，M,N分别为AC,BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由.24. 已知直线AB上有点O，OD,OC是从点O出发的两条射线，∠AOD=42°，∠BOC=34°，求∠AOD 与∠BOC的角平分线的夹角的度数.25. 如图，射线OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°.(1)求∠MON的度数；(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由.26. 比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.27. 如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；(3)若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β(β为锐角)，其余条件不变，求∠MON的度数；(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？28. 根据所给图形解答问题.第7页共16页(1)如图1，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，OD,OE分别平分∠COB，∠AOC，求∠DOE的度数；(2)如图2，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；(3)如图3，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一条射线”，其他任何条件都不变，你能求出∠DOE的度数吗？说明理由.29. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来，这样的最短路线有几条？参考答案1. 【答案】B【解析】由图的特征可知B选项符合题意2. 【答案】A【解析】由常识可知选A.3. 【答案】B【解析】过点H作HM⊥BC于M.∵CE平分∠BCD.∴DH＝HM.在Rt△BMH中BH＞HM∴BH＞DH.故①不正确②③正确故选B.4. 【答案】B【解析】实际动手做一下，就可知几何体表面展开图是B.5. 【答案】D【解析】相反操作顺序展开，再利用对称性作图，可得D正确.6. 【答案】3√2+3√6【解析】本题考查平面展开图及最短路径问题,难度较大.将图②的几何体表面展开,根据“两点之间线段最短”得出结果.如图所示,蚂蚁爬行的最短距离即线段AB的长度,∵BC=BD,AC=AD,∴AB垂直平分线段CD,设垂足为点E,∵△BCD是等腰直角三角形,∴CD=√BC2+BD2=第9页 共16页√62+62=6√2(cm),∴BE =12CD =3√2(cm),∵AD ,AC ,CD 均为正方形的对角线,∴AD =AC =CD =6√2,即△ACD 是等边三角形,∴AE =AD sin 60°=6√2×√32=3√6, ∴AB =BE +AE =3√2+3√6(cm),∴蚂蚁爬行的最短距离为(3√2+3√6)cm.7. 【答案】正十二边形(答案不唯一)【解析】本题考查平面图形的镶嵌问题,属于较难题.由题意知,符合环形密铺的条件是各正多边形的重心到所围成的图形的重心距离要相等,即正多边形的重心在一个圆上,图中的④,⑤明显的不符合,正六边形符合,则正十二边形也符合.8. 【答案】3√34－12n+1√34【解析】当上底为1，腰为1，下底为2时，高为√1−14＝√32，上底与下底的比为1∶2，∴S △1＝14S △AN 1M 1＝2×√32×23×14×12＝√312， S 1＝12(1＋2)√32－√312＝3√34－√312＝2√33，S 1＝3√34－12×1+1√34，同理，由相似，S 2＝3√34－12×2+1√34，…，以此类推，S n ＝3√34－12n+1√34. 9.(1) 【答案】AD ＝C ′D (答案不唯一，也可以是AE ＝C ′F 等)【解析】图①中，AD ＝C ′D ，AE ＝C ′F ，DE ＝BE ，C ′F ＝CF 等 (2) 【答案】①②③【解析】延长MN ，则M 、N 、B 在一条直线上，∴∠MBA ＝18°， ∴AM AB ＝AMa＝tan 18°，∴AM ＝a tan 18°，又AD ＝AM ＋MD ，∴b ＝m ＋a tan 18°，延长线BM 至M ′，使DM ＝DM ′，∠DM ′M ＝∠DMM ′＝72°， ∴∠M ′DB ＝90° ∴DM ＝DM ′＝BD tan18°＝√a 2+b 2tan18°＝m .∴AE ＝b tan 18°，DE ＝BE ＝a －b tan 18°，AD ＝b .∴b 2＋b 2tan 2 18°＝a 2－2ab tan 18°＋b 2tan 18°，∴2ab tan 18°＝a2－b2.故①②③正确10. 【答案】垂直、平行于底面各截一刀，第三刀刚好过前两个截面的交线，如图1，可以截出六块(方法不唯一)；垂直、平行于底面各截一刀，第三刀不过前两个截面的交线，如图2，可以截出七块；垂直于底面交叉截两刀，再平行于底面横截一刀，如图3，可以截出八块.11.(1) 【答案】题图②有7个面、15条棱、10个顶点，题图③有7个面、14条棱、9个顶点，题图④有7个面、13条棱、8个顶点，题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点.(2) 【答案】例如：三棱锥被切去一块，如图所示，所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.(3) 【答案】由前两问可得到规律，f+v-e=2，所以f,v,e应满足的关系是f+v-e=2.12.(1) 【答案】15°；BC∥AD.(2) 【答案】AE平分∠CAB′，理由：易知∠EAB′=15°，由第1问知，∠CAE=15°，所以∠CAE=∠EAB′，所以AE平分∠CAB′.(3) 【答案】AE平分∠CAF，理由：因为∠GAE=45°，∠BAG=90°，所以∠BAE=45°，因为∠BAC=∠FAG=20°，所以∠CAE=25°，∠EAF=25°，即∠CAE=∠EAF，则AE平分∠CAF. (4) 【答案】成立.13.(1) 【答案】将图①中四个角上的4个小正方形剪下，拼成一个正方形，作为直四棱柱的一个底面.(2) 【答案】将图②中三个角上的3个四边形剪下，拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面.第11页 共16页(3) 【答案】将图③中五个角上的5个四边形剪下，拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面.14.(1) 【答案】6；6；V +F −E =2.(2) 【答案】12.(3) 【答案】这个多面体的面数为x +y ，棱数为24×32=36，根据V +F −E =2可得24+(x +y)−36=2，所以x +y =14. 15.(1) 【答案】①栏依次填入：4；6；3；②栏依次填入：6；9；4；④栏依次填入：10；15；6.(2) 【答案】顶点数+区域数-边数=1.(3) 【答案】设这个平面图形有n 个顶点.因为从每一个顶点出发都有3条边，所以它3n2有条边.根据上述数量关系，有n +9−3n 2=1，可得n =16.所以3n2=24，所以这个平面图形共有24条边.16. 【答案】(1)将八边形内一点与各个顶点相连，可把八边形分割成8个三角形(如图(1))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成n 个三角形；(2)从八边形边上一点出发，连接各个顶点，能分成7个三角形(如图(2))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −1)个三角形；(3)将八边形的一个顶点与同它不相邻的各顶点相连可以分割成6个三角形(如图(3))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −2)个三角形.综上所述，八边形至少可以分割成6个三角形，n 边形至少可以分割成(n −2)个三角形.17.(1) 【答案】 AB =3AP .(提示：因为PD =2AC,DB =2PC ，所以PB =PD +DB =2(AC +PC )=2AP ，AB = AP +PB ，所以AB =3AP )(2) 【答案】证明：如图，由题意得AQ>BQ，∴AQ=AP+PQ，又∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=BQ+PQ，∴AP=BQ.由第1问得，AP=13AB，∴PQ=AB−AP−BQ=13AB.∴AP=PQ.(3) 【答案】MNAB的值不变.当C点恰好停止运动时，有CD=12AB，∴AC+BD=12AB，∴AP−PC+BD=12AB，又∵AP=13AB，当C点恰好停止运动时，PC=1×5=5cm，BD=2×5=10cm，∴13AB−5+10=12AB，∴AB=30cm.∵M是CD的中点，N是PD的中点，∴MN=CD−MC−ND=CD−12CD−12PD=12(CD−PD)=12CP=52(cm)，∴MNAB =112.18.(1) 【答案】150°或30°(2) 【答案】45°(3) 【答案】能求出∠DOE的度数.当OC在∠AOB内部时,如图①,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°-2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°-α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC+∠COE=(45°-α)+α=45°;当OC在∠AOB外部时,如图②,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°+2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°+α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=(45°+α)-α=45°.综上所述,∠DOE=45°.第13页 共16页19.(1) 【答案】当n 为奇数时,P 应设在第n+12台处;当n 为偶数时,P 应设在第n 2台和第(n 2+1)台之间的任何地方.(2) 【答案】根据绝对值的几何意义,求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -617|的最小值就是在数轴上找出表示x 的点,使它到表示1,2,…,617各点的距离之和最小,根据问题(1)的结论知,当x =309时,原式的值最小.最小值是:|309-1|+|309-2|+|309-3|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-617|=308+307+306+…+1+1+2+…+308=308×309=95172. (3) 【答案】D 与E 两点之间(包括点D ,E )20.(1) 【答案】因为∠DPB =30°, ∠CPA =60°,所以∠DPC =180°-30°-60°=90°.(2) 【答案】设∠CPE =∠DPE =x ,∠CPF =y ,则∠APF =∠DPF =2x +y ,因为∠CPA =60°,所以y +2x +y =60°,所以x +y =30°,所以∠EPF =x +y =30°.(3) 【答案】①正确，②不正确.理由:设旋转时间为t 秒,则∠BPM =(2t )°,∠APN =(3t )°.所以∠BPN =180°-∠BPM =(180-2t )°,∠DPM =30°-∠BPM =(30-2t )°.所以∠CPD =180°-∠DPM -∠CPA -∠APN =(90-t )°,所以∠CPD ∠BPN =90-t 180-2t =12.21.(1) 【答案】如图①,因为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM=12AC =12(AB +BC)=8,DN =12BD =12(CD +BC )=5,所以MN =AD -AM -DN =9;如图②,困为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM =12AC =12(AB -BC )=4,DN =12BD =12(CD -BC )=1,所以MN =AD -AM -DN =9. (2) 【答案】①正确.因为PA+PB PC =(PC+AC)+(PC -CB)PC =2PC PC =2,所以PA+PBPC是定值2.22. 【答案】第1列最多可以搬走9个小正方体; 第2列最多可以搬走8个小正方体;第3列最多可以搬走3个小正方体;第4列最多可以搬走5个小正方体;第5列最多可以搬走2个小正方体,因为9+8+3+5+2=27(个),所以最多可以搬走27个小正方体.23. 【答案】因为M是线段AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是线段BC的中点，所以CN=12BC.分以下三种情况：①当点C在线段AB上时，如图1，则有MN=CM+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，则有MN=CM−CN=12AC−12BC=12(AC−BC)=12AB；③当点C在线段BA的延长线上时，如图3，则有MN=CN−CM=12BC−12AC=12(BC−AC)=12AB.综上所述，MN=12AB.24. 【答案】设∠AOD,∠BOC的角平分线分别为OE,OF.分两种情况讨论.①当射线OD和射线OC在直线AB的同侧时，由题意，得∠BOF=12∠BOC=17°，∠AOE=12∠AOD=21°，故∠EOF=180°−∠BOF−∠AOE=180°−17°−21°=142°；②当射线OD和射线OC在直线AB的异侧时，∠EOF=180°−∠AOE+∠BOF=180°−21°+17°=176°.综上所述，∠AOD与∠BOC的角平分线的夹角为142°或176°.25.(1) 【答案】因为∠NOC=12∠BOC，∠MOC=12∠AOC，所以∠MON=∠NOC+∠MOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB=45°.(2) 【答案】由第1问知，∠NOC+∠MOC是个定值，所以当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生改变，恒为45°.26. 【答案】①测量∠ABC=45°，∠DEF=65°，所以∠ABC<∠DEF.②如图，使∠ABC的一边BC与∠DEF的一边EF、顶点B与E分别重合，BA落在∠DEF的内部，所以∠ABC<∠DEF.27.(1) 【答案】因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，又因为∠AOB=90°，∠BOC=30°所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12(∠AOC−∠BOC)=12∠AOB=12×90°=45°.(2) 【答案】当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12α.(3) 【答案】当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12×90°=45°.(4) 【答案】∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关.28.(1) 【答案】因为∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=40°. 因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC=20°，∠COE=12∠AOC=20°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=40°.第15页共16页(2) 【答案】因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=12(∠BOC+∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.(3) 【答案】能.∠DOE=∠DOC−∠COE=12∠BOC−12∠AOC=12(∠BOC−∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.29. 【答案】欲求从A点到B点的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形.如图所示.在两点之间，走线段最短，因而沿着从A到B的虚线(如上图)走路程最短.在正方体中，像这样的最短路线一共有六条，如图所示.。
