初中几何练习题

初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。

本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。

证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。

由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。

所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。

2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。

证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。

代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。

开方可得AB = 13cm。

所以，AB = 13cm得证。

3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。

证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。

所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。

由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。

所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。

4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。

绝配角问题绝配关系一个角度的一半的余角和它本身之间的关系我们称之为绝配，例如之间就是绝配关系.总结来说：半角的余角和其本身称之为绝配.当然：ɑ和90°+21ɑ之间也可是绝配关系，因为90°-21ɑ和90°+21ɑ一般成对出现。

(邻补角的角平分线所形成的角度关系)若∠AOC=α，OD 平分∠COB 则∠BOD=∠COD=90°-21α(镜面角的形式出现)若∠BOC=α，∠DOB=∠COA 则∠BOD=∠COA=90°-21α（三角形外角平分线交点形成的角）△ABC 的外角平分线相交于一点F 若∠DAE=α，则BFC=90°-(1/2)α（等腰三角形顶角和底角的关系）AB=AC ，∠A=α则∠B=∠C=90°-21α思路：当α与90°-21α两个角共顶点且共边时；常见的绝配角关系顶角2ɑ180°-2ɑ90°+2ɑ90°-2ɑ底角90°-ɑɑ45°-ɑ45°+ɑ顶角60°+2ɑ60°-2ɑ120°+2ɑ120°-2ɑ底角60°-ɑ60°+ɑ30°-ɑ30°+ɑ例1如图，在正△ABC 中，D 在BC 延长线上，E 在AD 边上，且∠CAD=2∠DBE ，BE 、AC 交于点F 若CF=1，DE=2，则CD 的长为_________方法一：把∠ADB 看作顶角构等腰，在DB 上取一点G ，使DG=DE=2方法二：把∠ABD 看作顶角构等腰；在AD 上取一点G ，使DG=DC方法三：把∠ADB 看作顶角构等腰；在DB 上取一点G ，使DG=DA方法四：把∠AFB 看作底角构等腰；延长FA 至G ，使BG=FG方法五：把AFB 看作底角构等腰，延长AF 至G 点，连接EG ，使得FG=EG练习题1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 在AB 边上，CE 平分∠ACB ，且∠AEC=45°，若BD=6，CD=4，则BE 的长为______2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在△ABC 外，且∠ADB=90°-21∠BDC ；(1)求证：∠DBC=∠DAC(2)若∠ACD=60°，BD=5，CD=3，求AD 的长3.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 在AE 上，且AF=AD ，过点F 作FG ⊥FDFG 交AB 于点G ，若AG=2，EF=1，则FG 的长为______4.如图，在正△ABC 中，D 在BC 延长线上，E 在AD 边上，且∠DBE=21∠CAD ，BE 、AC 相交于点F,若CF=1，DE=2，则AB 的长为______5.如图△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 在CA 的延长线上，且∠BEC=90°+21∠ABC ，若AE=2，AD=7，则BC 的长为_______6.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 在BC 边上，且∠CAD=21∠B ，E 在AB 边上，且∠ADE=∠ADC,若CD=5，BE=12，则BD 的长为______7.如图，正方形ABCD 中，AF=5，BE=8，∠AFB=2∠BCE ，求AE8.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在BC 上，点E 在AC 上，∠ADC=2∠EBC ，若CD=mCE ，求ADCE 的值（用含m 的代数式表示）小明通过探究发现，将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得到△BCM ，再证出EM=BM ，问题就得到解决（1）请你根据小明的思路解决这个问题；参考小明解决问题的方法，解决下面的问题；（2）如图3，在等边△ABC 中，D 为边AB 上一点，E 为CD 上一点，∠EBC=2∠ACD ，F 为BE 上一点且∠FDE=60°，若EF=k BF,求DFDE 的值.（用含有k 的代数式表示）9.如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，DE ⊥AC 于点E ，∠ACB=90°，21∠EDC+∠BAC=45°AC=DE ，AB=6，CD=5，则线段DE 的长为______参考答案1.解：过点B 作BF ⊥AC 于点F ，设∠ACE=α则∠BAF=∠BAD=45°+α，AB=AB ，∠AFB=∠ADB=90°故△ABF ≌△ABD ，BF=6，得CF=10，设AD=x 则AC=10-x ,由勾股定理222)8(4x x -=+,解得x =3故AD=32.解：(1)将△ABD 沿AD 向右折叠，得到△ADE 则∠ADB=∠ADE ，故∠ADB+∠ADE+∠BDC=2∠ADB+∠BDC=180°，故点C 、D 、E 共线AE=AB ，而AB=AC ，故AC=AE ，得∠AEC=∠ACE 而∠AEC=∠ABD ，故∠ABD=∠ACD 故点A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠CAD=∠CBD(2)过A 作AF ⊥CE 于点F ，DF=BD=5，故CE=8，而∠ACD=60°，AC=AE ，故△ACE 为等边三角形AF=43，CF=1，AF=73.解：由已知易得点A 、D 、F 、G 共圆，并引入圆交CD 于点H 则AG=DH=2，连接AH 、FH ，并延长DF 交BC 于点Q 而△ADH ≌△AFH ，FH=DH=2，又EF=1，故tan ∠FHE=21故AD=AF=4，FH 2=FA ·FE ，得∠AHE=90°，故∠FHE=α，tan ∠AFI=34,FI=512,AG=516，故GI=56，得FG=5564.见前面解析；5.解：过点B 作BG ⊥CE 于点G ，在CG 延长线上取一点I 使GI=GE,设∠ACB=∠ABC=α则∠BEC=90°-α=∠BIA △AGB ≌△ADC ，AG=AD=7，AB=AI=12，BG=85，故BC=11426.解：在BC 延长线上取一点F ，使CF=CD ，设∠B=2α，则∠DAC=α，∠F=90°-α=∠FAB 作EG ⊥BC 于点G ，则∠EDB=∠EBD=2α设DG=x,BG=x,则AE=2x-2,EG||AC 得CG BG AE BE =，52-212+=x x x ,x =10,故BC=107.解：在DA 延长线上取一点G ，使FG=FB 设∠BCE=α，则∠AFB=2α，∠AGB=90°-α故△BCE ≌△ABG ，得AG=BE=8，GF=BF=13，故AB=128.解：（1）∠M=2α，∠MEB=∠MBE=90°-α得EM=BM ，设AD=x,则BD=x,MC=x-1,AC(^2)=x(^2)-m(^2),在△BCM 中，由勾股定理可得222)1(x m x =+-,212+=m x ,故12AD CE 2+=m (2)延长DG 至点M ，使DM=DC ，连接MB 、MC 作正△MNB 连接MN ∠ACD=∠MDN=α，∠EBC=2α，易证△ACD ≌△DNM ∠BED=∠BDE=60°+α,设BF=1，则EF=k ,BD=k +1而∠BFM=∠BMF=60°-α，故BM=1,故AB=k+2;而△DEF~△DGC ，GC EF ==DC DF DG DE ，故21DM DG DC DG DF DE ++===k k ，故21DF DE ++=k k 9.解：延长AC 至F 使CF=CD ，设∠BAC=α，则∠BAC=90°-2α∠F=∠CDF=α，CF=CD=5，而△FCG~△ABC 设AC=x ，则DF=35x ，故EF=34x ，△FDE~△ABC 得x =524。

【全国通用】初中几何正方形解答题专题突破练习（3）1．如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接,AE CE ．()1求证：AE CE =；()2如图，点P 是边CD 上的一点，且PE BD ⊥于,E 连接,BP O 为BP 的中点，连接EO ．若30PBC ∠=︒，求POE ∠的度数；()3在()2的条件下，若OE =CE 的长．2．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是CD 的中点，E 是边BC 上的一点，连接AE ，EF ，若AEF EAD ∠=∠，求AB 与BE 的比值．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向点D 运动，以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG ． （1）求证：AEB CGB △≌△；（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时有BEH BAE ∽？4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF AE⊥．（1）求证：BF AE=；（2）连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．5．如图1，已知点A(-1，0)，B(0，-2)，C为双曲线kyx=上一点，连结AC与y轴交于点E，且E为AC的中点，其坐标为(0，2)．（1）求k的值；（2）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是AF边上一动点，M是HT的中点，MN丄HT 交AB于N，当T在AF上运动时，∠TNH的大小是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．6．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．（1）（问题提出）如图∠，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．证明思路如下：△绕点A按顺时针方向旋转90°得到∠ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．第一步：如图∠，将ADN△≌△．第二步：证明AEM ANM请你按照证明思路写出完整．．的证明过程.（2）（初步思考）△和BCE．如图∠，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到DCG下列关于这两个三角形的结论：∠周长相等；∠面积相等；∠∠CBE=∠CDG．其中所有正确结论的序号是．（3）（深入研究）如图∠，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为．7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．（1）求证：DE ∠BF（2）若四边形DEBF 的面积为8，AE，则正方形边长为 ．8．如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合）．连结AG ，作DE∠AG 于点E ，BF∠AG 于点F ，BGAD＝K ． ∠求证：Rt∠BFG∠Rt∠DEA ；∠连结BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，求证：tan α＝Ktan β．∠设正方形ABCD 的边长为1，线段AG 与对角线BD 交于点H ，∠AHD 和四边形CDHG 的面积为S 1和S 2，求21S S 的最大值．9．如图 ，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 是边AD 上的一动点（与点,A D 不重合），CE 交BD 于点F ，连结AF .（1）求证：DAF DCF ≅；（2）当AE 的长度是多少时，AEF 是等腰三角形？（3）当点E 运动到AD 的中点时,连BE 结交AF 于点M ，连结CM ， 求证：∠BE AF ⊥；∠CB CM =．10．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，以DE 为边向外作正方形DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，连接AG ．（1）如图1，若AD ＝DE ＝2，当150ADG ∠︒＝时，求AG 的长；（2）如图2，正方形DEFG 绕点D 旋转的过程中，取AG 的中点M ，连接DM 、CE ，猜想：DM 和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．11．如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，,PE DC PF BC ⊥⊥，点,E F 分别是垂足. （1）求证：AP PC =；（2）若60,BAP PD ∠=︒=，求PC 的长.12．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ， 连结AM 、BD ．（1）AM 与BD 的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB 、DM ，若AC=4，BC=2，求AB 2+DM 2的值． 13．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．14．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．（1）如图∠，AF与BD的数量关系和位置关系分别为；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，∠如图∠，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．∠若AC=4，BC=22，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．15．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF∠DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝，CE＝2，求CG的长；16．以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，过点A 作AM BC ⊥于M ，延长MA 交EG 于点N ．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，AB AC =，易证：EN GN =；（2）如图2，90BAC ∠=︒；如图3，90BAC ∠≠︒，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 17．已知正方形ABCD ，点E 在射线BD 上．（1）如图1，若点E 在线段BD 上，F 在线段AD 上，且AE BF ⊥，垂足为H ，连接CE ． ∠求证：HF AFAH AB=； ∠求证：tan DEECD BE∠=； （2）如图2，点E 在BD 的延长线上，以AE 为斜边，作Rt AFE ，90AFE ∠=︒，AF EF =，若4=AD ，直接写出DF 的最小值．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且CE=CF ． （1）求证：BE=DF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？19．如图，正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，EF ∠AC 于点F ，点P 是AE 的中点．（1）求证：BP∠FP；（2）连接DF，求证：AE＝DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．（1）如图1，求证：AF∠DE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为，求正方形ABCD的面积．AC BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点21．如图，正方形ABCD的边长为,A作AM BE⊥于点M，交BD于点F．=；（1）求证：AF BE（2）求点E到BC边的距离．22．在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM∠BE交CD于F．（1）如图∠，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；（2）如图∠，求证：BM＝MF；（3）如图∠，连接BF，若点E为AD的中点，AB＝6，求BF的长．23．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC CF⊥，M为EF的中点．P为线段AD上一点，1AP=，连结PM．=；（1）求证：CE CF△为直角三角形时，求AE的长；（2）当PMF△的面积为________．（在横线上直接写（3）记BC边的中点为N，连结MN，若MN=PMF出答案）=，24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE CF 连接AE、DF，AE的延长线交DF于点M．（1）求证：AE DF=；⊥．（2）求证：AM DF25．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ．（2）如图1，在3×3方格纸中，A ，B ，C 在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC ，BD 是对角线，点D 在格点上．（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 上，AE ＝AF ＝CG 且∠DGC ＝∠DEG ，求证：四边形DEFG 是垂等四边形．（4）如图3，已知Rt∠ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝2，以AC 为边在AC 的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD 是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD 的面积．26．如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（问题发现）如图1所示，AE 与BF 的数量关系为________；（类比探究）如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为()030αα<<︒，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；（拓展延伸）若点F 为BC 的中点，且在正方形CFEG 的旋转过程中，有点A 、F 、G 在一条直线上，直接写出此时线段AG 的长度为________27．如图，P 为正方形ABCD 的边BC 上的一动点（P 不与B ，C 重合），连接AP ，过点B 作BQ AP ⊥交CD 于点Q ，将BCQ ∆沿着BQ 所在直线翻折得到∆BQE ，延长QE 交AB 的延长线于点M ．（1）探求AP 与BQ 的数量关系（2）若3AB =，2BP PC =，求QM 的长28．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF∠AE ，垂足为 F ．（1）求证：PFA ABE ∽△△；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与ABE △相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 是边DC 上的一点（与，C 不重合）连接AE ，将ADE 沿AE 所在的直线折叠得到AFE △，延长EF 交BC 于G ，作GH AG ⊥，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ． （1）求证：AG GH =（2）求证：CH 平分DCM ∠．30．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，作∠ACD 的平分线交AD 于F ，过F 作直线AC 的垂线交AC 于P ，交CD 的延长线于Q ，又过P 作AD 的平行线与直线CF 交于点E ，连接DE ，AE ，PD ，PB ．。

1. 任意三角形ABC 中，CD=31AC ，EC=43BC ，则三角形CDE 的面积占总面积的31 43=412. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。

3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。

（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。

4.如右图，三角形ABC 的面积是10，BE=2AB ，CD=3BC ，求三角形BDE 的面积。

5.如图，已知三角形ABC 的面积是1，延长AB 至D ，使BD=AB ，延长BC 至E ，使CE=2BC ，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

6.如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AE=ED，EF=2BF，求AEF 的面积。

7.如图，ABCD是个长方形，DEFG是个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AKF与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。

求三角形BEK的面积。

D8.如图，三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。

三角形ABC面积是500，求图中阴影部分的面积？9.如图，设正方形ABCD的面积为120，E、F分别为边AB、AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少？AB CDFEG10.在如图所示的三角形AGH中，三角形ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH的面积是多少平方厘米？A BC DE F G H11.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行于AC ，如果三角形AED 的面积为12平方厘米，，求三角形DCF 的面积。

D CA B E F12.已知正方形ABCD 的边长是5cm ，又EF=FG ，FD=DG ，求三角形ECG 的面积。

E B C GD AF13.正三角形ABC 的边长为12厘米，BD ，DE ，EF ，FG 四条线段把它的面积5等分，求AF ，FD ，DC ，AG ，GE ，EB 的长。