高中数学第一章计数原理1.2.1排列第二课时排列习题课学案含解析新人教A版选修20

第二课时排列(习题课)1．两个计数原理有何区别？略2．排列与排列数有何不同？略有5每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？从5个不同的课题中选3个，由3个学习兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此有A35＝5×4×3＝60种不同的安排方法．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．答案：153(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端．(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其他位置，有A44种站法，所以共有A36·A44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A22种站法，其余5人全排列，有A55种站法．故共有A22·A55＝240种不同站法．1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置上，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成：第1步，安排3名主力队员有A33种排法；第2步，安排另2名队员有A27种排法，所以共有A33·A27＝252种不同的出场安排．答案：2523名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男、女各不相邻．(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)3名男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．1．元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看做一个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆绑元素的内部排列．2．元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．3．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题，应遵循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法”．7人站成一排．求：(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有A22种排法．故共有A66·A22＝1 440种排法．(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A77种排法．甲、乙两人相邻有A22·A66种排法，故共有A77－A22·A66＝3 600种甲、乙不相邻的排法．法二(插空法)：将其余5人排列，有A55种排法.5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A55·A26＝3 600种排法．(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55·A33＝720种排法．(4)(插空法)将其余4人排好，有A44种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法．故共有A44·A35＝1 440种排法．1.探究数字排列问题数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重从附加限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位数；(2)六位奇数．(1)(间接法)：0,1,2,3,4,5六个数字共能形成A66种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成A66－A55＝600个没有重复数字的六位数．(2)法一(位置分析法)：①从个位入手：个位数排奇数，即从1,3,5中选1个有A13种方法，首位数在排除0及个位数余下的4位数字中选1个有A14种方法，余下的数字可在其他位置全排列有A44种方法，由分步乘法计数原理知，共有A13·A14·A44＝288个不同的六位奇数．②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行．第1类，首位排奇数，有A13种选择，再个位排奇数有A12种方法，其余位置全排列有A44种．则共有A13·A12·A44＝144种方法．第2类，首位排非0偶数，共有A12·A13·A44＝144种方法．根据分类加法计数原理，共有144＋144＝288个六位奇数．法二(元素分析法)：0不在两端有A14种排法．从1,3,5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有A14·A13·A44＝288个六位奇数．排数字问题常见的解题方法(1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．(2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．(3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．(4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．在本例条件下，试求：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第1类，0在个位时，有A35个；第2类，2在个位时，首位上的数字从1,3,4,5中选定1个(A14种)，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第3类，4在个位时，与第2类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理可知：共有A35＋2A14·A24＝156个无重复数字的四位偶数．(2)可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有A45个；第2类，个位上为5的五位数有A14·A34个，故共有A45＋A14·A34＝216个无重复数字且为5的倍数的五位数．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240解析：选C 由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A．1 440种 B．960种C．720种 D．480种解析：选B 从5名志愿者中选2人排在两端有A25种排法，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人排有A44种排法，共有A25·A22·A44＝960种不同的排法．3．(广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：A240＝40×39＝1 560.答案：1 5604．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A24＝3×12＝36种选法．答案：365．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起拍合影照(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．一、选择题1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种解析：选A 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A 24种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A 23种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A 22种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A 24＋A 23＋A 22＝20种不同的安排方法．2．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A ．1 800B ．3 600C ．4 320D ．5 040解析：选B 利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A 55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A 26种排法，所以共有A 55·A 26＝3 600种排法．3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A ．324B ．328C ．360D ．648解析：选B 若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A 29种排法；若个位数不是0, 先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A 29＋256＝328.4．直线Ax ＋By ＝0的系数A ，B 可以在0,1,2,3,5,7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有( )A ．30条B ．23条C ．22条D ．14条 解析：选B 当A ＝B ≠0时，表示同一直线x ＋y ＝0；当A ＝0，B ≠0时，表示直线y ＝0；当A ≠0，B ＝0时，表示直线x ＝0；当A ≠0，B ≠0，A ≠B 时有A 25条直线，故共有1＋1＋1＋A 25＝23条直线．5．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有( )A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个 解析：选B 个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有12A 15A 55＝300个． 二、填空题6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A26＝30种情形．答案：307．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________．(用数字作答)解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A13种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A14种安排方法；其余4节课无约束条件，有A44种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A14·A44＝288.答案：2888．用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个．(用数字作答)解析：把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有A22种排列方法，它们与另外2个数之间又有A55种排列方法．根据分步乘法计数原理知，共有A22A22A22A55＝8×120＝960个八位数．答案：960三、解答题9．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？解：法一(分类法)：分两类：第1类，化学被选上，有A13·A35种排法；第2类，化学不被选上，有A45种排法．故共有A13·A35＋A45＝300种不同的安排方法．法二(分步法)：第1步，第四节有A15种排法；第2步，其余三节有A35种排法，故共有A15·A35＝300种不同的安排方法．法三(间接法)：从6门课中选4门课有A46种排法，而化学排第四节有A35种排法，故共有A46－A35＝300种不同的安排方法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．11．用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的排列？(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数．解：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得到偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六位数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752.敬请批评指正。