专题训练(六) 反比例函数图象与性质的综合应用► 应用一 求有关几何图形的面积1．2019·云南位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．如图6－ZT －1，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝3x (x ＞0)上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会( )图6－ZT －1A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小3．2019·昆明模拟如图6－ZT －2，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上，点B 在反比例函数y ＝4x 的图象上，且AB ∥x 轴，点C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为________．图6－ZT －24．2019·内江如图6－ZT －3，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x 上，且AB ∥x轴，则△OAB 的面积等于________．图6－ZT －35．2019·枣庄如图6－ZT －4，反比例函数y ＝2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为________．图6－ZT －4► 应用二 求反比例函数的解析式6．如图6－ZT －5，直线y ＝－x ＋3与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO ＝3BO ，则反比例函数的解析式为( )图6－ZT －5A ．y ＝4xB ．y ＝－4xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x7．如图6－ZT －6，反比例函数y ＝4x 的图象经过Rt △OAB 的顶点A ，D 为斜边OA 的中点，则过点D 的反比例函数的解析式为__________．图6－ZT －68．2019·昆明如图6－ZT －7，反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过A ，B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，连接AO ，BO ，BO 交AC 于点E ，若OC ＝CD ，四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为________．图6－ZT －79．2019·云南已知点A (a ，b )在双曲线y ＝5x 上，若a ，b 都是正整数，则图象经过B (a ，0)，C (0，b )两点的一次函数的解析式为____________．► 应用三 函数图象的综合10．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图6－ZT －8所示，则k ，b 的取值范围是( )图6－ZT －8A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＞0C ．k ＜0，b ＜0D ．k ＞0，b ＜011．已知k 1＜0＜k 2，则函数y ＝k 1x和y ＝k 2x －1的图象大致是( )图6－ZT －912．函数y ＝ax与y ＝ax 2(a ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )图6－ZT －1013．函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k (k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )图6－ZT －11► 应用四 反比例函数与方程或不等式的综合14．如图6－ZT －12，双曲线y ＝mx 与直线y ＝kx ＋b 相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1.根据图象信息可得关于x 的方程mx＝kx ＋b 的解为( )图6－ZT －12A ．－3，1B ．－3，3C ．－1，1D ．－1，315．2019·兰州如图6－ZT －13，反比例函数y ＝kx (x ＜0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式kx＜x ＋4(x ＜0)的解集为( )图6－ZT －13A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜016．2019·河池如图6－ZT －14，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于点A (－3，2)，B (2，n )．(1)求反比例函数y ＝kx 的解析式；(2)求一次函数y ＝ax ＋b 的解析式；(3)观察图象，直接写出不等式ax ＋b ＜kx的解集．图6－ZT －1417．2019·自贡如图6－ZT －15，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx ＝0的解；(3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx＜0的解集．图6－ZT －15教师详解详析1．B2．C [解析] 如图，连接OP .由于P 是双曲线上一动点， 则S △PBO ＝12×|3|＝32.当点P 的横坐标逐渐增大时，点P 的纵坐标逐渐减小，△POA 的OA 边上的高逐渐减小，∴△POA 的面积逐渐减小．∵S 四边形OAPB ＝S △PBO ＋S △POA ，∴四边形OAPB 的面积逐渐减小．故选C. 3．34.32 [解析] 设点A 的坐标为(a ，5a )． ∵AB ∥x 轴，∴点B 的纵坐标为5a .将y ＝5a 代入y ＝8x ，求得x ＝8a 5，∴AB ＝8a 5－a ＝3a 5，∴S △OAB ＝12·3a 5·5a ＝32.故答案为32.5．4 [解析] 设D (x ，y )，∵反比例函数y ＝2x的图象经过点D ，∴xy ＝2.∵D 为AB 的中点，∴B (x ，2y )，∴OA ＝x ，OC ＝2y ， ∴S 矩形OABC ＝OA ·OC ＝x ·2y ＝2xy ＝2×2＝4，故答案为4. 6．B [解析] ∵直线y ＝－x ＋3与y 轴交于点A ， ∴A (0，3)，即AO ＝3. ∵AO ＝3BO ，∴BO ＝1， ∴点C 的横坐标为－1. ∵点C 在直线y ＝－x ＋3上， ∴C (－1，4)，把点C (－1，4)的坐标代入y ＝k x ，得4＝k －1，∴k ＝－4，∴反比例函数的解析式为y ＝－4x .故选B.7．y ＝1x [解析] 设点A 的坐标为(x ，4x )．∵D 为斜边OA 的中点，∴D (x 2，2x )．设过点D 的反比例函数的解析式为y ＝m x .根据题意，得2x ＝m x 2，∴m ＝x 2·2x＝1，∴过点D 的反比例函数的解析式为y ＝1x .故答案为y ＝1x.8．－163 [解析] 设点B 的坐标为(a ，b )，则DO ＝－a ，BD ＝b .∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴， ∴BD ∥AC .∵OC ＝CD ，∴CE 是△BOD 的中位线， ∴CE ＝12BD ＝12b ，CD ＝12DO ＝－12a .∵四边形BDCE 的面积为2，∴12(BD ＋CE )·CD ＝2， 即12(b ＋12b )×(－12a )＝2， ∴ab ＝－163.将点B (a ，b )的坐标代入反比例函数解析式y ＝kx (k ≠0)中，得k ＝ab ＝－163.故答案为－163.9．y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 [解析] ∵点A (a ，b )在双曲线y ＝5x 上，∴ab ＝5.∵a ，b 都是正整数， ∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.设经过B (a ，0)，C (0，b )两点的一次函数的解析式为y ＝mx ＋n . ①当a ＝1，b ＝5时，由题意，得⎩⎨⎧m ＋n ＝0，n ＝5，解得⎩⎨⎧m ＝－5，n ＝5，∴y ＝－5x ＋5； ②当a ＝5，b ＝1时，由题意，得⎩⎨⎧5m ＋n ＝0，n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝1，∴y ＝－15x ＋1.则所求解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1.故答案为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1.10．C [解析] 由反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象可知k ＜0.由一次函数y ＝kx＋b 的图象可知b ＜0.故选C.11．C [解析] ∵k 2>0，b ＝－1＜0，∴直线过第一、三、四象限．∵k 1＜0，∴双曲线位于第二、四象限．故选C.12．D13．B [解析] 当k >0时，反比例函数y ＝kx 的图象经过第一、三象限，二次函数y ＝－kx 2＋k 的图象开口向下，与y 轴的交点在x 轴上方；当k <0时，反比例函数y ＝kx 的图象经过第二、四象限，二次函数y ＝－kx 2＋k 的图象开口向上，与y 轴的交点在x 轴下方．故选B.14．A [解析] ∵双曲线y ＝m x 经过点(1，3)，∴m ＝1×3＝3.∵双曲线y ＝mx 也经过点N ，点N 的纵坐标为－1，∴把y ＝－1代入y ＝3x 可得－1＝3x ，解得x ＝－3.∵双曲线y ＝mx 与直线y ＝kx ＋b 的交点的横坐标分别是－3，1，∴关于x 的方程mx ＝kx ＋b 的解为x 1＝－3，x 2＝1.故选A.15．B16．解：(1)把A (－3，2)代入反比例函数的解析式，得k ＝－6， 则反比例函数的解析式为y ＝－6x.(2)把B (2，n )代入反比例函数的解析式，得n ＝－3，即B (2，－3)． 把A (－3，2)与B (2，－3)代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧－3a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1.(3)∵A (－3，2)，B (2，－3)，∴结合图象得不等式ax ＋b ＜kx 的解集为－3＜x ＜0或x ＞2.17．解：(1)∵B (2，－4)在反比例函数y ＝mx 的图象上，∴m ＝－8，∴反比例函数的解析式为y ＝－8x.∵点A (－4，n )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴n ＝2，∴A (－4，2)．∵y ＝kx ＋b 的图象经过A (－4，2)，B (2，－4)，∴⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4， 解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.(2)∵A (－4，2)，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，∴方程kx ＋b －mx＝0的解是x 1＝－4，x 2＝2.(3)在y ＝－x －2中，当x ＝0时，y ＝－2.设直线y ＝－x －2与y 轴的交点为C ， ∴点C (0，－2)，∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋12×2×2＝6.(4)不等式kx ＋b －mx ＜0的解集为－4＜x ＜0或x ＞2.。
专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。
专题4：反比例函数与几何图形结合方法点睛反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．典例分析例1：（2022达州中考）如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P专题过关1.（2022西宁中考）如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．（1）求反比例函数解析式；（2）点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．2.（2022绵阳中考）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN3.（2022眉山中考）已知直线y x =与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与k y x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．4.（2022衡阳中考）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．A，B两点．5.（2022常德中考）如图，已知正比例函数1y x=与反比例函数2y的图象交于()2,2y y<时x的取值范围；（1）求2y的解析式并直接写出12（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．6.（2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．7.（2022大庆中考）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2022湘潭中考）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．9.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．10.（2022河南西华二模）如图，反比例函数(0)my x x=>的图象与一次函数y kx b =+的图象交于(14)B ，和(1)C n ，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式(0)mkx b x x+> 的解集；（3）将直线BC 向下平移5个单位长度得到直线l ，已知点P ，Q 分别为x 轴、直线l 上的动点，当PC PQ +的值最小时，请直接写出点P 的坐标．11.（2022河南西华一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点()2,3A ，()6,B a ，直线l ：y ＝mx ＋n 经过A ，B 两点，直线l 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）在y 轴上是否存在一点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形与△CDO 相似？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2022河南长垣一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1y x=（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ，且13BC OA =．AD ⊥y 轴于点D 、CE ⊥y 于点E ．（1）求证：△BCE ∽△OAD ；（2）求点A 和点C 的坐标；（3）求k 值．13.（2022河南虞城二模）如图，点A 为直线y ＝3x 上位于第一象限的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度到点C ，以AB ，BC 为边构造矩形ABCD ，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交CD 于点M ．（1）若B(1，0)，求点M 的坐标；（2）连接AM ，当AM ⊥OA 时，求点A 的坐标．14.（2022河南商城二模）如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B ，点P 在以点(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，OQ 长的最大值为32时．（1）试确定反比例函数ky x=的表达式．（2）C 与x 轴在点C 的左侧交于点M ，请直接写出劣弧MP 的长是___________．（sin 310.52︒≈，sin 400.64︒≈，sin530.8︒≈．）15.（2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE=ED ．（1）求这两个函数的解析式；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当PE-PA 的值最大时，求点P 的坐标．16.（2022河南西平一模）如图，一次函数11y k x b =+经过点()4,0A ，()0,4B ，与反比例函数()220k y x x=>的图象交于点()1,C n ，D 两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出当210k k x b x<+≤时x 的取值范围；（3）点P 在x 轴上，是否存在PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17.（2022河南天一大联考）如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y 2k x=的图象交于点A （m ，2），B （﹣1，4），与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）若点P 在y 轴上，且BP 12=OA ，请直接写出点P 的坐标．18.（2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数yk x（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．19.（2022河南虞城二模）如图，一次函数142y x=-+交反比例函数(0)ky xx=>于A，B两点，过点A作AC x⊥轴于点C，AOC△的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）D为y轴上一个动点，当DA DB+有最小值时，求点D的坐标．20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象经过点(2,3),(6,)A B a ，直线:l y mx n =+经过A ，B 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．（2）当直线l 向下平移b 个单位时，与(0)k y x x=>的图象有唯一交点，求b 的值．（3）若直线AB 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得ACQ 与CDO 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（2022南阳方城二模）如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠．（1）求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是______．22.（2022洛阳一模）如图，反比例函数()0k y k x =≠的图象与正比例函数32y x =-的图象相交于(),3A a ，B 两点．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）请直接写出不等式32k x x >-的解集；（3）已知AD x ∥轴，以AB 、AD 为边作菱形ABCD ，求菱形ABCD 的面积．23.（2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数()0n y n x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图像相交于点()1,A m ，()3,1B --两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出n kx b x+>的解集．（3）已知直线AB 与y 轴交于点C ，点(),0P t 是x 轴上一动点，作PQ ⊥x 轴交反比例函数图像于点Q ，当以C ，P ，Q ，O 为顶点的四边形的面积等于2时，求t 的值．24.（2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO 中，84AB BC ==，，点D 是边AB 的中点，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()2220y k x b k =+≠．（1）求反比例函数和直线DE 的解析式．（2）在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是_________．25.（2022周口扶沟一模）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x=（0x >）的图象交于点()1,A a ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为()2,0-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．26.（2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.27.（2022雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．（1）求m的值和点D的坐标；（2）求DF所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．28.（2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是(4,8)-，反比例函数(0)k y x x=<的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x 轴，交反比例函数的图象于点E ，求点E 的坐标．29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x ＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．31.（2022河南中考）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点()2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ∠，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．32.（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－134-12-14-01234…y (1)4324941140－4－243-－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接PA ，PB ．①求当n ＝3时，直线l 的解析式和△PAB 的面积；②直接用含．．．．n ．的代数式表示．．．．．．△PAB 的面积．33.（2022牡丹江中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD ，A 在y 轴的正半轴上，B ，C 在x 轴上，AD//BC ，BD 平分ABC ∠，交AO 于点E ，交AC 于点F ，CAO DBC ∠=∠．若OB ，OC 的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个根，且OB OC >．请解答下列问题：（1）求点B ，C 的坐标；（2）若反比例函数()0ky k x=≠图象的一支经过点D ，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M ，N （M 在N 的上方），使以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34.（2022驻马店六校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．35.（2022周口川汇区一模）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数ykx的图象经过点M，交BC于点N．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．36.（2022郑州外国语一模）如图，点()4,B a 是反比例函数()120y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求BDF 的面积；（3）设直线DE 的解析式为1y k x b =+，请结合图像直接写出不等式1kk x b x+<的解集______．37.（2022郑州二模）如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．38.（2022信阳三模）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数kyx=（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．（1）求OF的长；（2）求反比例函数的解析式；（3）将△OEF沿射线EB个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点（填“能”或“不能”）落在反比例函数kyx=（x＞0）的图上．39.（2022河南新野一模）如图，()()4,30P m m m ->是双曲线12y x =-上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线k y x=于E 、F 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若12BFBP =，求k 的值和EF 的长．40.（2022平顶山二模）如图，四边形ABCD，EFGH均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，EH∥AD．双曲线y=kx(x>0)的图象过点C(5，4)，交边GH于点P(103，a)．（1）填空：k=______，a=______；（2）求菱形EFGH的面积．41.（2022南阳卧龙一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点(3,4)B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，连接OB ，将OAB 向右平移，得到,'''''O A B O B 交双曲线于点(3,)C a a ．（1）求k ，a 的值；（2）求OAB 向右平移的距离；（3）连接,BC OC ，则OBC 的面积为____________．42.（2022洛阳伊川一模）如图，已知点()0,1A 在y 轴上，点()10B ,在x 轴上，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，此时反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象恰好经过点C ，D ．（1）直接写出点D 的坐标和反比例函数的表达式；（2）将正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转，当点C 的对应点C '落在x 轴上时，判断点D 的对应点D ′是否落在反比例函数k y x =的图象上，并说明理由．43.（2022洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为()1,2A ，()4,2B ，()7,5C ，曲线():0k G y x x=>．（1）求点D 的坐标；（2）当曲线G 经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值；（3）若曲线G 刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k 的取值范围是______．44.（2022河南林州一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 坐标为()2,4，点M 是AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过点M ，交CD 于点N ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若反比例函数图象上的一个动点(),P m n 在正方形ABCD 的内部（含边界），求POC △面积的最小值．45.（2022河南兰考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为(1,2),(4,2),(7,5)A B C ，曲线(0)k y k x=>．（1）当曲线经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值．（2）若曲线刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，求k 的取值范围．46.（2022河南兰考二模）如图，在矩形OABC 中，2AB =，4BC =，D 是AB 边的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，与BC 边交于点E ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，当△PDE 的周长最小时，直接写出△PDE 的面积．47.（2022河南滑县一模）如图，平行四边形OABC 的顶点A ，C 都在反比例函数y k x=（k ＞0）的图象上，已知点B 的坐标为（8，4），点C 的横坐标为2．（1）求反比例函数y k x=（k ＞0）的解析式；（2）求平行四边形OABC 的面积S ．48.（2022河南邓州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），反比例函数k y x =的图象经过了矩形的顶点B ，且1tan 2ABD ∠=．（1）求反比例函数表达式；（2）动手画直线OB ，记为y mx =，结合图象直接写出关于x 的不等式0k mx x ->的解集．。
反比例函数与几何图形结合1．如图，已知点A(5，0)，B(0，5)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD 的中点．(1)求直线AB的解析式；(2)如图，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝kx(k≠0)的解析式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，请说明理由．解：(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋b，把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝0b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5； (2)∵A (5，0)， ∴OA ＝5，当D 与A 重合时，则OE ＝OD －DE ＝5－2＝3， ∵∠EFD ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2， ∴F (3，2)，D (5，0)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (4，1)，∵点G 在y ＝kx 图象上， ∴k ＝4×1＝4，∴经过点G 的反比例函数的解析式为y ＝4x ；(3)设F (t ，－t ＋5)，则D 点横坐标为t ＋2，代入直线AB 的解析式可得y ＝－(t ＋2)＋5＝－t ＋3， ∴D (t ＋2，－t ＋3)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (t ＋1，－t ＋4)，若反比例函数图象同时过G 、F 点，则可得t (－t ＋5)＝(t ＋1)(－t ＋4)，解得t ＝2，此时F 点坐标为(2，3)，设经过F 、G 的反比例函数解析式为y ＝sx ，则s ＝2×3＝6， ∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，其函数解析式为y ＝6x .2. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A (－2，1)，点B (1，n )． (1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集；第2题图(3)如图，在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴，若点E (－a ，a )，当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，求a 的取值范围． 解：(1)∵点A (－2，1)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－2×1＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x ；∵点B (1，n )在反比例函数y ＝－2x 的图象上， ∴－2＝n ，即点B 的坐标为(1，－2)．将点A (－2，1)、B (1，－2)分别代入y ＝kx ＋b 中得：212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－1， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)∵－x －1－(－2x )＜0，∴－x －1＜－2x ，观察两函数图象，发现：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集为－2＜x ＜0或x ＞1； (3)过点O 、E 作直线OE ，如解图所示．第2题解图∵点E 的坐标为(－a ，a )， ∴直线OE 的解析式为y ＝－x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，∴点D 的坐标为(－a ＋1，a －1)， 代入直线y ＝－x ，得： a －1＝－(－a ＋1)， ∴点D 在直线OE 上．将y ＝－x 代入y ＝－2x (x ＜0)得： －x ＝－2x ，即x 2＝2， 解得x ＝－2或x ＝2(舍去)．∵曲线y ＝－2x (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点， ∴－a ≤－2≤－a ＋1，解得2≤a ≤2＋1.故当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，a 的取值范围为2≤a ≤2＋1.3. 如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．第3题图(1)填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围． 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x ；【解法提示】将B (3，1)分别代入y ＝－x ＋b 与y ＝kx 中，解得b ＝4，k ＝3，则一次函数的解析式为y ＝－x ＋4，反比例函数的解析式为y ＝3x .(2) 由(1)得3＝3m ，∴m ＝1，则A 点坐标为(1，3)．设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2， ∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2； 由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值，此时 S ＝－12×(1－2)2＋2＝32， ∴S 的取值范围是32 ≤ S ≤2.4. 如图，矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，且AB ＝3，BC ＝8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t 秒． (1)求反比例函数的解析式；第4题图(2)当t ＝1时，在y 轴上是否存在点D ，使△DEF 的周长最小？若存在，请求出△DEF 的周长最小值；若不存在，请说明理由；(3)在双曲线上是否存在一点M ，使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知点B 的坐标为(3，8)，且点B 在y ＝kx 上， ∴k ＝3×8＝24，∴反比例函数的解析式为y ＝24x ；(2)存在．t ＝1时，E (1，8)，F (3，6)，则EF ＝22， 如解图，延长EA 使A ′E ＝EA ，连接DE ′，E ′F ，则E ′F ＝25，C △DEF ＝DE ＋DF ＋EF ＝22＋DE ′＋DF ≥22＋E ′F ＝22＋25，∴C △DEF min ＝22＋25， 此时点D 为E ′F 与y 轴的交点，第4题解图∵E ′(－1，8)，F (3，6)，设直线E ′F 的解析式为：y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝83k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝152，∴直线E ′F 的解析式为：y ＝－12x ＋152，∴此时D (0，152)，即：y 轴上存在点D (0，152)，使△DEF 的周长最小，且最小值为22＋2 5.(3)存在，若四边形BEMF 为平行四边形，则有三种可能，已知E (t ，8)，F (3，8－2t )，0<t ≤3. ①BE ∥FM ，此时M 在F 右侧，M (248－2t，8－2t )， 又∵BE ＝FM ，∴3－t ＝248－2t －3，即t 2－10t ＋12＝0，解得t 1＝5－13，t 2＝5＋13(舍去)． ②BF ∥EM ，此时M 在E 正上方，M (t ，24t )， ∵ME ＝BF ，∴24t －8＝2t ，t 2＋4t －12＝0， 解得t 1＝2，t 2＝－6(舍去)．③EF ∥BM ，易知点M 一定不在反比例函数上， 故综上，t ＝2或5－13.5．在平面直角坐标系xOy 中，点B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB ＝60°，反比例函数y ＝kx (k ＞0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F . (1)若OA ＝10，求反比例函数的解析式； (2)若F 为BC 的中点，且S △AOF ＝243，求OA 的第5题图长及点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，在x 轴上是否存在一点P ，使得PF ＋P A 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥OB 于H ，第5题解图①∵∠AOB ＝60°，OA ＝10，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝53，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝5， ∴点A 的坐标为(5，53)， 将点A (5，53)代入y ＝kx ，得 53＝k5，解得k ＝253，∴反比例函数的解析式为y ＝253x ；(2)如解图①，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，设OA ＝a (a ＞0)， ∵∠AOB ＝60°，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝32a ，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝12a ， ∴S △AOH ＝12AH ·OH ＝12×32a ·12a ＝38a 2，∵S △AOF ＝243，∴S ▱AOBC ＝2S △AOF ＝483， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝14S ▱AOBC ＝123，∵BF ＝12BC ＝12OA ＝12a ，∠FBM ＝∠AOB ＝60°， ∴FM ＝BF ·sin ∠FBM ＝34a ，BM ＝BF ·cos ∠FBM ＝14a ， ∴S △BMF ＝12FM ·BM ＝12×34a ·14a ＝332a 2， ∴S △FOM ＝S △OBF ＋S △BMF ＝123＋332a 2， ∵点A ，F 都在y ＝kx 的图象上， ∴S △AOH ＝S △FOM ， 即38a 2＝123＋332a 2， 解得a ＝82，∴OA ＝82，∴OH ＝42，AH ＝3OH ＝3×42＝46，∵S▱AOBC＝OB·AH＝483，即OB·46＝483，解得OB＝62，∴AC＝OB＝62，∴C(102，46)；(3)存在．如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，连接AF′交x轴于点P，此时PF＋P A最小，第5题解图②由(2)可知，A(42，46)，FM＝34a＝26，BM＝14a＝22，∴OM＝62＋22＝82，∴点F的坐标为(82，26)，∴点F′的坐标为(82，－26)，设直线AF′的解析式为y＝mx＋n，将点A(42，46)，F′(82，－26)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧42m ＋n ＝4682m ＋n ＝－26， 解得⎩⎨⎧m ＝－332n ＝106， ∴y ＝－332x ＋106，令y ＝0，即－332x ＋106＝0， 解得x ＝2023，∴在x 轴上存在点P ，使得PF ＋P A 最小，点P 的坐标为(2023，0)．6．如图，反比例函数y ＝m x (x ＞0)与一次函数y ＝kx ＋63交于点C (2，43)，一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿OA 以相同的速度向点A 运动，运动时间为t 秒(0＜t ≤6)，以点P 为圆心，P A 为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ.第6题图(1)求m与k的值；(2)当t为何值时，点Q与点N重合；(3)若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．解：(1)将C(2，43)代入y＝mx中得，m＝83，将(2，33)代入y＝kx＋63中得，2k＋63＝43，∴k＝－3；(2)由(1)知，k＝－3，∴直线AB的解析式为y＝－3x＋63，∴A(6，0)，B(0，63)，∴AB＝12.∵AM是直径,∴∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠AOB.又∵∠MAN＝∠BAO，∴△MAN∽△BAO，∴ANAO＝MNBO＝AMAB.∵OQ＝AP＝t，AM＝2AP＝2t，OA＝6，OB＝63，AB＝12∴AN6＝MN63＝2t12,∴AN＝t，MN＝3t,∴ON＝OA－AN＝6－t.∵点Q与点N重合,∴ON＝OQ.即6－t＝t.∴t＝3;(3)①当0＜t ≤3时，QN ＝OA －OQ －AN ＝6－2t, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(6－2t )·3t ＝－3t 2＋33t ; ②当3＜t ≤6时，QN ＝OQ ＋NA －OA ＝t ＋t －6＝2t －6, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(2t －6)·3t ＝3t 2－33t ，即：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t 2＋33t （0＜t ≤3）3t 2－33t （3＜t ≤6）.。
