苏科版九年级数学上册 2.2 圆的对称性 同步测试卷(无答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．2．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD 上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（）A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5 4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8B．10C．4D．45．如图所示一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．B．2m C．D．3m6．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（）A．4+B．9C．4D．67．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°8．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC ＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝．10．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．11．已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为cm．12．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC 的中点D，则AB的长为．13．⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝度．14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数．15．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝24，则OP的长是．16．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是（填序号）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．18．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．19．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．20．两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段，如图，是一个单心圆曲隧道的截面．若路面AB宽为10米，净高CD为7米，求圆的半径．21．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．22．如图，已知圆O上依次有A、B、C、D四个点，弧AD＝弧BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若BD＝5，求BF的长；（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∵AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴PB＝2，∴OP＝2，∴PC＝＝＝2，∴CD＝2PC＝4．故选：C．2．解：∵CD是直径，∴OC＝OD＝CD＝×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM＝＝1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC＝＝8，AD＝＝6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．3．解：当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根据勾股定理得：OM＝＝3，∴3≤OM≤5，故选：D．4．解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC＝＝＝4，故选：C．5．解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．6．解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC＝，在Rt△FEO中，OF＝，∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝4，则半圆O的半径是4．故选：C．7．解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，则AC垂直平分OQ，即AQ＝AO，OM⊥AC，∵OQ＝OA，∴OQ＝AQ＝OA，∴△AQO是等边三角形，∴∠AOQ＝60°，∵OQ⊥AC，OA＝OC，∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，∴∠AOC＝60°+60°＝120°，故选：A．8．解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，OC是半径，∴AE＝EB＝4，在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5．故答案为：5．10．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．11．解：过点O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，如图：∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，在Rt△OAE中，OE＝＝5，在Rt△OCF中，OF＝＝12，当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm．12．解：∵⊙O的半径为9cm，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD＝CD＝9＝3（cm），OC＝OD+CD＝6cm，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，连接OA，由勾股定理得：AC＝＝＝3，即AC＝BC＝3，∴AB＝AC+BC＝6，故答案为：6．13．解：连接OE，∵EF⊥AB，AC＝3BC，∴BC＝OC＝OA，∴∠OEF＝30°，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．故答案为：120．14．解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．15．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝5，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝5故答案为：5．16．解：在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴＝故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．三．解答题（共6小题，满分40分）17．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）∵＝，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．18．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．19．证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，∴AB⊥CD，∴＝，∵CF∥BD，∴∠AGF＝∠B，∴∠AGF＝∠F，∴AG＝AF．20．解：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5m，在Rt△OAD中，设半径OA＝R，OD＝CD﹣R＝7﹣R，∴OA2＝OD2+AD2，即R2＝（7﹣R）2+52，解得R＝，∴此隧道圆的半径OA是m．21．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．22．解：（1）连接AC，∵AB＝BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF＝AC，∵＝，∴＝，∴BD＝AC，∴BF＝BD＝；（2）解：存在．过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵＝，∴∠CAB＝∠DBA，由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG＝BD，∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．。

初中数学苏科版九年级上册 2.2 圆的对称性 同步测试一、单选题（共10题；共20分）1. 下列命题：(1)垂直于弦的直线平分弦；(2)平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦的直线必过圆心；(4)弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（ )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 如图，在⊙O 中，AB ⌢＝AC ⌢，∠A ＝40∘，则∠B 的度数是（ ）A.60∘B.40∘C.50∘D.70∘3. 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2:3:4，则这个扇形圆心角的度数为( )A.30∘，60∘，90∘B.60∘，120∘，180∘C.50∘，100∘，150∘D.80∘，120∘，160∘4. 如图，已知点A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 的五等分点，则∠BAD 的度数是（ ）A.36∘B.48∘C.72∘D.96∘5. 如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM:OD ＝3:5，则AB 的长为（ ）A.8B.12C.16D.2√916. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⌢是120∘，那么弦AB 的弦心距是（ ）A.5cmB.5√3cmC.10√3cmD.52√3cm 7. 如图，在⊙O 中AĈ=BD ̂，∠AOB =40∘，则∠COD 的度数（ ）A.20∘B.40∘C.50∘D.60∘ 8. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的直径为（ ）A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm9. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是（ ）A.AB =ADB.BC =CDC.AB ⌢= AD ⌢D.∠BCA =∠DCA10. 已知⊙O 的直径CD =10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB =8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A.2cm B.4cm C.2cm 或4cm D.2cm 或4cm二、填空题（共8题；共9分）过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，则弦AB 所对的圆心角的度数为________度。

第二章 2.2 圆的对称性一．选择题（共16小题）1．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．42．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m 3．（2019•台湾）如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB ＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.55．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°6．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，点C为半圆AB上一动点，以AC为边顺时针方向作正方形ACDE，点F为DE的中点，点G为的中点，连结FG，当点C从点B沿圆弧运动到点A时，线段FG的长（）A．一直变小，且极小值为0B．一直变小，且最大值为5C．先变大再变小，且极小值为0D．先变大再变小，且最大值为57．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，CD＝2，则AB长为（）A．3B．4C．6D．88．过三点A（1，﹣1），B（5，﹣1），C（3，4）的圆的圆心坐标为（）A．（3，）B．（3，）C．（4，）D．（4，）二．填空题（共6小题）9．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB ＝6，则弦AF的长度为．10．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为．11．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．12．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD ⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为三．解答题（共6小题）15．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．16．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．17．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF20．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC 的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD ＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．答案与解析一．选择题（共16小题）1．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．3．（2019•台湾）如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E 连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝67.5°，∴∠ABF＝123.25°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB ＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.5【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，∴OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OC＝，∵OA＝OE，AC＝CB，∴BE＝2OC＝3，故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．6．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，点C为半圆AB上一动点，以AC为边顺时针方向作正方形ACDE，点F为DE的中点，点G为的中点，连结FG，当点C从点B沿圆弧运动到点A时，线段FG的长（）A．一直变小，且极小值为0B．一直变小，且最大值为5C．先变大再变小，且极小值为0D．先变大再变小，且最大值为5【分析】①当点C在点B时，正方形的边长等于AB＝10，FO＝10，FG＝FO﹣OG＝10﹣5＝5；②当点C从点B沿圆弧向点A运动时，tan∠AFO＝为定值，点F在△OAF的外接圆上运动，当OF为直径时FG最长，此时∠OAF＝90°，由OA＝5，AF＝10，OF＝，可得GF＝OF﹣OG＝＞5③当点C运动到点A时，点C、点A、点G三点重合，FG为0．【解答】解：∵点F为DE的中点，点G为的中点，连接OG，与AC交于点H，因此O、G、F必在同一直线上，OF⊥AC，HA＝HC，连接AF．①当点C在点B时，正方形的边长等于AB＝10，FO＝10，FG＝FO﹣OG＝10﹣5＝5；②当点C从点B沿圆弧向点A运动时，∵tan∠AFO＝为定值，∴点F在△OAF的外接圆上运动，当OF为直径时FG最长，此时∠OAF＝90°，∵OA＝5，∴AF＝2OA＝10，OF＝，∴GF＝OF﹣OG＝＞5③当点C运动到点A时，点C、点A、点G三点重合，FG为0．综上，点C在点B时，线段FG的长为5，随着点C从点B沿圆弧向点A运动逐渐变大，AF⊥AB时最大，此时GF＝，再向右运动逐渐变小，运动到A时，FG为0．故选：C．【点评】本题考查了线段的最值，熟练运用垂径定理是解题的关键．7．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，CD＝2，则AB长为（）A．3B．4C．6D．8【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，CD＝2，∴OD＝5﹣2＝3．∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴BD＝＝＝4，∴AB＝2BD＝8．故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．过三点A（1，﹣1），B（5，﹣1），C（3，4）的圆的圆心坐标为（）A．（3，）B．（3，）C．（4，）D．（4，）【分析】根据垂径定理、三角形的外接圆的圆心的确定方法解答．【解答】解：∵点A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴AB的中点E的坐标为（3，﹣1），设△ABC外接圆的圆心为D，∵DA＝DC，点D在CE上，设D（3，y），∵CD＝AD，∴（4﹣y）2＝（3﹣1）2+（y+1）2，y＝，∴D（3，），故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．二．填空题（共6小题）9．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB ＝6，则弦AF的长度为．【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．10．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为30°．【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵AB是直径，＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD ⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝1＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是6．【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，∵AB＝10，AE＝1，∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，在Rt△COE中，CE＝＝3，∴CD＝2CE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．（2019•鼓楼区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH＝DH，DM＝EM，BN＝CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN＝DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．16．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理计算，得到答案；（2）根据直角三角形的性质求出OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．【分析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，根据角的平分线的性质得出OE＝OD＝OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME ＝ND，然后根据垂径定理即可证得结论；（2）根据角平分线的性质，得出OM＝ON＝OH，进一步证得四边形ONCH是正方形，证得OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，进而证得OH＝CD＝2，EF＝CD＝CG＝4，AC＝6，设BM＝BH＝x，则BC＝x+2，AB＝x+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．【解答】（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴RT△OME≌RT△OND（HL），∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF；（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．【点评】本题考查了角平分线的性质和垂径定理，熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF【分析】（1）证明△DAB∽△HAD，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）利用等角的余角相等，证明∠DEF＝∠DEF即可．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF．【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD ＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE＝CE+AC．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD ＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．【分析】首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案；（1）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2）根据阿基米德折弦定理得出CE＝BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；实践应用（1）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE＝CE+AC；故答案为：BE＝CE+AC；（2）∵AB＝AC，∴A是的中点，∵AE⊥CD，根据阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE，∵△BCD的周长为4+2，∴BD+CD+BC＝4+2，∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝4+2，∵BC＝2，∴CE＝2，在Rt△ACE中，∠ACD＝45°，∴AE＝CE＝2，∴AC＝4．【点评】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键．。

初中数学苏科版九年级上册 2.2 圆的对称性同步测试一、单选题1.下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在⊙O中，＝，⊙A＝40°，则⊙B的度数是（）A.60°B.40°C.50°D.70°3.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（）A.30°，60°，90°B.60°，120°，180°C.50°，100°，150°D.80°，120°，160°4.如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则⊙BAD的度数是（）A.36°B.48°C.72°D.96°5.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊙CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（）A.8B.12C.16D.26.已知⊙O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（）A.5cmB.cmC.cmD.cm7.如图，在⊙O中= ，⊙AOB=40°，则⊙COD的度数（）A.20°B.40°C.50°D.60°8.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分⊙BAD，则下列结论正确的是（）A.AB=ADB.BC=CDC.D.⊙BCA=⊙DCA10.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊙CD，垂足为M，则AC的长为（）A.2 cmB.4 cmC.2 cm或4 cmD.2 cm或4cm二、填空题11.过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．12.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________度。