5.2圆的对称性（2）--[ 教案]备课时间: 主备人:一、学习目标:1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理3、会运用垂径定理解决有关问题重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用二、知识准备：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
三、学习内容：提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
练习： 1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、给出几何语言例 1 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB相等吗？为什么？例 2如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB B⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
四、知识梳理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。
五、达标检测：1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
初三数学师生讲学稿执笔：审核：初三备课组课题：圆的对称性课型：新授课时间：教学目标：1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.2．过程与方法：经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3．情感态度与价值观：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.教学重点：垂径定理及其逆定理.教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.教学设计：一、预习检测1._____________________________________________________是轴对称图形.2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．则有AE=_____， _____= ， ____= ．4. AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________5. ⊙O直径为8，弦AB＝4 2 ，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。
6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5二、讲授新课同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。
这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形。
过圆心的任意一条直线都是对称轴．做一做AO BCDM按下面的步骤做一做:1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：1．通过第一步，我们可以得到什么?（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?（AM ＝BM ，BC ，AD =BD ，因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．）3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示，连接OA 、OB 得到等腰△ABC ，即OA=OB ，因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM ，又⊙O 关于直径CD 对称，所以点A 与点B 关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC重合AD 与BD 重合．因此AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD =BD ）4．在上述操作过程中，你会得出什么结论?垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：如上图，连接OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵ OA=OB ，OM=OM∴ Rt △OAM ≌Rt △OBM∴ AM=BM∴ 点A 和点B 关于CD 对称∵ ⊙O 关于直径CD 对称∴ 当圆沿着直径CD 对折时，点A 和点B 重合，AC 和BC 重合，AD 和BD 重合 ∴BC ， 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是直径于为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． A O B C D M例题讲解通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）拓展延伸1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( )(A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm随堂练习三、课堂小结1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．四、课后作业1．课本习题P93 1、2；2．复习本堂课内容。
苏科版九年级上册数学第2章对称图形——圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为5，AC=8，则sinB的值是（）A. B. C. D.2、如图，已知等边△ABC以BC为直径作圆交AB于D，交AC于E，若BC=2，则CD为（）A. B.2 C. D.13、如图，在⊙O中，弦AC=2 cm，C为⊙O上一点，且∠ABC=120°，则⊙O的直径为（）A.2cmB.4 cmC.4cmD.6cm4、如图， AB，CD是⊙O的两条弦，连接AD，BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°5、已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是cm2，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为A. B. C. D.6、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接 AC，AD,若∠ADC=55°，则∠CAB的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°7、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )cm.A.14或2B.14C.2D.68、如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A. B. C. D.πr 29、如图所示，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（）.A. B. C. D.10、如图，△ABC是圆O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分线，分别交圆O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（）A.90°B.60°C.45°D.30°11、如图所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是①AB的长等于圆内接正六边形的边长②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长③弧AC=弧CB ④∠BAC=30°( )A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③12、若一个扇形的半径是，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于（）A. B. C. D.13、如图,⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )A.2B.3C.4D.514、一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A.120°B.180°C.240°D.300°15、如图等腰三角形的顶角=45°，以AB为直径的半圆O与BC，AC相较于点D，E两点，则弧AE所对的圆心角的度数为（）A.40°B.50°C.90°D.100°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论正确的有________（填序号）①；②；③；④是的切线．17、如图，，，是上三点，若，的半径为2，则劣弧的长为________.18、如图，是的直径，点是上的一点，若，于点，则的长为________．19、如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为________.20、如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为________．21、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。
第二章 对称图形-圆 选择题训练1. 对圆的周长公式的说法正确的是（）A. r 是变量，2是常量B. C, r 是变量，2是常量C. r 是变量，2, C 是常量D. C 是变量，2, r 是常量2. 下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 如图，在半径为届的OO 中，弦与CD 交于点E, ZDEB^15° , AB=6, AE^l,则CD 的长是（）c. 2V114.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（亦），点0是这段弧所在圆的圆心，AB=40m, 点C 是忑的中点，点D 是AB 的中点，且CD= 10m,则这段弯路所在圆的半径为（）5.如图所示A 、B 、C 、D 四点在oo 上的位置，其中AD=180° ,且AB=BD. BC=CD-若 阿超在亦上取一点P,在気上取一点Q,使得ZAP2= 130° ,则下列叙述何者正确？B. 24mC. 30mD. 60m B. 2A /10A. Q点在庇上，且说〉无B. Q点在庇上，且说＜无C.。
点在亦上，且&＞血D. Q点在五L上，且&＜血6.如图，在矩形ABCD中，AD=2y[^B.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E, ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论：①是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC三瓦1P；④B P AI A B；⑤点F是△CMP外接圆的2 2A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7.如图，G）M的半径为2,圆心M的坐标为（3, 4）,点P是QM±的任意一点，PALPB, 且B4、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）若AABC 内接于半径为R 的OO,且ZA=60° ,连接OB 、OC,则边BC 的长为 9.如图，BC 是OO 的直径，A, D 是OO 上的两点，连接AB, AD, BD, 则ZABC 的度数是（）10.如图，AB 是OO 的直径，EF, EB 是G ）O 的弦，且EF=EB, EF 与AB 交于点C,连A. 20°B. 70°C. 30° D ・ 90° C. 6D. 88.如图,c.D.V3R若ZADB=70° ,E35° C. 40° D. 55°11.如图, AB, AC分别是OO的直径和弦，OD丄AC于点D, BC,且4B=10,B. 4C. 2^13D. 4.812.如图，在OO中, 忑所对的圆周角ZACB=50° ,若P为忑上一点，ZAOP=55° ,则ZPOB的度数为B. 45°C. 55°D・ 60°13.如图，A, B,D是OO上的点，则图中与ZA相等的角是（）D14.如图，四边形ABCD 内接于OO, AE 丄CB 交CB 的延长线于点E,若B4平分ZDBE, AZ)=5, CE=4l3,则 AE=(15.如图，AD 是OO 的直径，AB=CD ，若ZAOB=40° ,则圆周角ZBPC 的度数是（ ）16. 如图，CB 为OO 的切线，点B 为切点，CO 的延长线交OO 于点4,若ZA=25° ,则17. 如图，边长为2丁§的等边△ABC 的内切圆的半径为（A. ZBB. ZCC. ZDEBD. ZDB. 50°C. 60° D ・ 70°C. 35°D. 40°DA. 40°30°18. 如图，在RtAABC 中，ZC=90° , AC=4, BC=3,点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切,M, N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（20. 如图，在△4BC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的与AC 相切于 点 D, BD平分ZABC, AD=y[^0D, AB=12, CD 的长是（）21. 如图，PA, PB 分别与OO 相切于A 、B 两点，点C 为00上一点，连接AC 、BC,若ZP=50° ,则ZACB 的度数为（A. 1B- V3C. 2D. 2^319.如图，5ABC 内心为/, 连接A/并延长交A4BC 的外接圆于D,贝9线段D/与DB 的关C. DKDBD.不确定c. 3^3系是（B. DI>DB22.如图，PA. PB为圆0的切线，切点分别为A、B, PO交AB于点C, PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是（）A. PA = PBB. ZBPD=ZAPDC. ABLPDD. AB 平分 PD23.平面内,OO的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作OO的切线条数为（）A. 0条B. 1条C. 2条D.无数条24.如图，E4、PB是OO切线，A、B为切点，点C在OO上，且ZACB^55°,则ZAPB等于（）A. 55°B. 70°C. 110°D. 125°25.如图，已知OO上三点A, B, C,半径OC=l, ZABC=30° ,切线B4交OC延长线于点P,则PA的长为（）Ac. V2 D.26.如图，等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点0为圆心的圆分别与边AB, AC相切，则OO的半径为（）C. 4D. 4 - Js27.如图，AABC是OO的内接三角形, ZA=119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则ZP的度数为（C. 29°D. 61°28.如图，正六边形ABCDEF内接于连接BD 则ZCBD的度数是（）29.如图，已知正五边形ABCDE 内接于OO,连结BZ ）,则ZABD 的度数是（）30. 如图，已知OO 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM=2,则该圆的内接正三角形 ACE 的面积为（）32. 如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，140° , ZCAO=60° , OA=6,则 BC 的长C. 60°D. 90°B. 70°C. 72°D. 144°A. 2B. 431. 已知圆内接正三角形的面积为丁§, A. 2 B. 1则该圆的内接正六边形的边心距是（） D.亜B EA. 60°A. 12LB. 8KC. 2J31TD. 2it3333. 如图，点 A 、B, C, D 在OO 上，AB=AC, ZA=40° , BD//AC,若G)0 的半径为 2.则 图中阴影部分的面积是（）于点D,则阴影部分的面积是（）35.如图，直径为2c,"的圆在直线/上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）B.34.如图，在RtAABC 中,ZACB=90°D •等2,AC=BC=2近,以BC 为直径作半圆，交ABB37.如图，从一张腰长为90cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇 形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径39.如图物体由两个圆锥组成.其主视图中，ZA=90° , ZABC= 105° 侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为（为（B. 12cmC. 10cmD. 20cmA. 15cm 高fi=8,则圆锥的侧面积是（ C. 45nD. 60TC A. 2 D.A. 5TCB. 6nC. 20nD. 24TT 36.若扇形的圆心角为90° ,半径为6,则该扇形的弧长为（ A. In B. 2TI D ・6n ,若上面圆锥的参考答案1-10BBCABBCDAB 11-20CBDDBDABAA 21-30DDCBBAAACD 31-39BBBDACADD。
