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通信原理第二章

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第二章 通信基础
一 信号分类
（1） 确定信号和随机信号
确定信号：指的是信号的电压或电流幅值在任意时间的值都是确定的，确定信号的时域波形可以用明确的数学表达式来表达。

如某一电压信号t sin )t
(u 610=。

随机信号：指的是在信号实际发生之前的值是不确定的，这种信号的时域波形不能用确定性的数学表达式来表达，只能采用一定的数学手段如概率分布函数、概率密度函数、数学期望、方差或自相关函数等来间接描述。

这种随机过程的数学模型，对通信系统中的信号和噪声的分析是非常有用的。

（2）周期信号和非周期信号 周期信号：对于信号
)t (f ，若存在某一最小值T
，满足
+∞<<∞--=t )T t (f )t (f ，则称该函数为周期函数。

满足条件+∞<<∞--=t )T t (f )t (f 的最小T 值称为信号
)t (f 的周期。

非周期函数：如果满足
+∞<<∞--=t )T t (f )t (f 的T
值
不存在，则称为非周期函数。

（3） 能量信号和功率信号
在通信系统中，电信号的功率用归一化的功率值来表示。

归一化的功率值：是指假设电压或电流信号通过电阻为
Ω
1时获得的功率。

设电压或电流信号为
)t (f ，则归一化功
率为
)t (f )t (P 2
= 取一时间间隔T ，T 时间内的能量为：
dt )t (f E T
T T ⎰
-=22
2
在时间间隔T 内对应的平均功率为
dt )t (f T
T E P T
T T T ⎰
-==22
21
能量信号：当
)t (f 在无限长时间内能量有限且不为0时，该
信号被称为能量信号。

数学描述为：
dt )t (f lim E T T
T ⎰
-
∞→=22
2
实际应用中发送信号的能量多是有限的。

如非周期的确定信号是能量信号。

功率信号: 如果信号在整个时间域中都存在，其能量是无限的，我们称之为功率信号。

数学定义为：
dt )t (f T
lim
P T T T ⎰
-∞→=22
21
功率是能量传递的速率，它决定着发射机的电压和无线系统中必须考虑的电磁场强度。

一般周期型信号和随机信号都属于功率信号，通信系统中的信号和噪声的模型是随机信号，其能量也是无限的，因此属于功率信号。

信号的能量和功率在通信系统中是很重要的参数，该参数可以简化对各种信号和噪声的数学分析。

模拟信号多归类为功率信号，功率是一个有效的参数；功率不能用于描述数字信号，多采用码元能量（功率在码元持续时间上的积分）来描述数字信号波形的参数。

二 确定信号的频谱 （1）周期信号的频谱函数 对于信号
)t (f ， T
为该周期函数的周期。

周期信号的频谱
函数采用付氏级数方法进行分解。

表示为：
t
jn n n e
C )t (f Ω∑+∞
-∞
==
T
πΩ2=
其中：⎰
-Ω-=22
)(1T T t
jn n e
t f T C
其频谱函数（有时也称为从时域到频域的正变换）为：
⎰
--=
22
1T
T t
jn n e )t (f T
C Ω
从频域到时域称为反变换：
)t n cos(A
A e C )t (f n n n
t
jn n n
ϕΩΩ++==
∑∑+∞
-∞
=+∞
-∞
=0
从频谱函数可以看出，周期信号的频谱必定是离散的，为离散的幅频特性，幅度的大小为n C ，频率为Ωn 。

（2）非周期确定信号的频谱函数
非周期函数时，可以从周期函数的公式导出。

当信号的周期T
趋于无限大时，周期信号变成为非周期信号。

（推导略）
实质为傅立叶变换和反变换。

dt e )(F )t (f dt
e
)t (f )(F t j t
j ⎰
⎰
∞∞
-∞
∞
--=
=ωωωπ
ω21
（3）典型信号的傅里叶变换 a 单位冲激信号
单位冲激信号的时域表示式为
⎪⎭⎪
⎬⎫=⎩⎨⎧=∞≠=⎰∞
∞-1)(000)(dt t t t t δδ
其傅里叶变换式为
可见，单位冲激信号的频谱函数是常数1，它均匀分布于整个频率范围。

其波形和频谱如图所示。

b 正余弦的频谱变换
设某一信号为余弦信号，其时域表达式为：
t cos A )t (f c ω=，
2
t
j t j c c c e e A t cos A )t (f ωωω-+== 则其频谱函数为)]()([A )(F c c ωωδωωδπω-++=，频谱图
如下图所示。

正弦信号的时域表达式为：t sin A )t (f c
ω=， 因为
j
e
e
t sin A )t (f t
j t
j c c c 2ωωω--=
=
其频谱函数为)]()([j A )(F c c ωωδωωδπω--+=，频谱图如图所示。

从频谱图可以看出，正弦和余弦是单频率的信号，从信号分
ω 幅度
0 c
ω- c ω
πA -
πA
ω
幅度 0
c ω-
c ω
πjA - πjA
析的角度看，它是最“简单”的信号，因此正是基于此特点，在调制系统中，调制载波一般都选用正余弦信号。

C矩形脉冲信号
矩形脉冲信号的表达式为
其频谱函数
并有
三随机信号频谱的描述－频谱密度函数
从上面可知，确定信号的频谱可以用傅立叶级数和傅立叶变换来表示，对于随机信号，由于没有确定的数学表达式，因此上述的方法无法使用。

对于随机信号，其频谱函数可以用频谱密度函数来描述。

频谱密度函数是信号的能量或功率在频率上的分布特性。

可分为能量谱密度（Energy Density，ESD）和功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）。

能量谱密度函数是描述能量型的随机信号的频谱特性的，功率谱密度函数是描述功率型随机信号的频谱特性的。

（1）能量谱密度
能量谱密度主要描述能量型信号的频谱特性。

设能量信号)t (f 在区间()+∞∞-,上的总能量为E
，)t (f 的傅立叶变
换为)(F ω，根据帕塞瓦尔（Parseval ）定理可以分别在时域和频域表示出信号的能量：
df )f (F d )(F dt )t (f E 2
2
2
21
⎰
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-==
=ωωπ
令式中2
)f (F )f (E =
)f (E 即为)t (f 的能量谱密度（ESD ）。

)t (f 的总能
量为)f (E 的积分：
df )f (E d )(E E ⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-==
ωωπ
21
能量谱密度单位为焦耳/赫兹，它描述了单位带宽上的信号能量。

（2）功率谱密度
周期信号多为功率信号，设周期信号的周期为0T ，采用实值周期信号的帕塞瓦尔定理得到功率为：
222
21∑⎰
∞
+-∞
=-=
=
n n
T T C
dt )t (f T
P
其中，
n C 是周期信号傅立叶级数展开系数。

周期信号的
功率谱密度定义为：)nf f (C
)f (G n n
02-=
∑∞
+-∞
=δ
上式将周期信号
)t (f 的PSD 定义为加权冲激函数。

从式中可以看出，周期信号的功率谱密度是频率的离散函
数，功率信号的功率利用PSD 可以表示为：
df )f (G d )(G P ⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-==
ωωπ
21
若
)t (f 是非周期的功率型信号，可以在极限下表示PSD 。

非周期信号的功率谱密度函数的极限表示式为：
21)f (F T
)f (G T T lim ∞→=
其中)f (F T 为
)t (f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22T ,T 内的截断函数的傅立
叶变换。

由于通信系统中的信号和噪声是随机信号，其能量也是无限的，因此属于功率信号，其频谱特性用功率谱密度函数（PSD ）来表示。

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通信原理第2章-随机信号分析

通信原理第2章-随机信号分析


1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
《通信原理》第二章 通信系统概述

《通信原理》第二章 通信系统概述

1第一部分基本概念消息：有待于传输的语音、图象、符号、数字、图片等－－概率论意义上的“事件”。

消息带有需要送给收信者的信息。

消息以信号的形式在系统中进行传输。

信息：消息中包含的有意义内容。

信号：是消息的载荷者，与消息一一对应的东西。

模拟信号：代表消息的信号参量取值连续。

数字信号：代表消息的信号参量取值为离散的或有限个。

通信：利用电子等技术手段，借助电信号（含光信号）实现从一地向另一地进行消息的有效传递称为通信。

第二部分通信模型模模模模模模模模数字通信系统的一般模型模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模模·优点：·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗·抗抗抗抗抗抗抗抗抗·抗抗抗抗抗抗第三部分通信系统分类及通信方式按信道中所传信号特征分：模拟通信系统与数字通信系统。

按调制方式分：基带传输和频带传输。

按多地址方式分为：按多地址方式可分为频分多址通信（FDMA)、时分多址通信(TDMA)、码分多址(CDMA)、空分多址（SDMA ）通信等。

通信方式可分为单工通信、半双工通信及全双工通信三种。

第四部分 信息及其度量平均信息量定义：每个符号所含信息的平均值。

多进制时，设各符号出现的概率为：1,2,12,(),(),,()n n x x x P x P x P x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦L L 1()1nii P x ==∑且则平均信息量（信息源的熵）为：121222221()()[log ()]()[log ()]()[log ()]()g ()(/M M Mi i i H x P x P x P x P x P x P x P x lo P x ==-+-++-=-∑L 比特符号）当信源中每个符号独立等概出现时，可以证明，此时信息源的熵为最大值。

通信原理第二章

通信原理第二章


t
当 k 时，振幅 ， 波形的零点间隔 0， 故有 k
( t ) lim
k
t

Sa ( kt )
t
10
函数的性质
对f(t)的抽样：
f (t 0 )



f ( t ) ( t t 0 ) dt
函数是偶函数：
(t) ( t)
函数是单位阶跃函数的导数：

T 2
22
2.2 确知信号的性质

uncorrelated
互相关函数的性质 若对所有的 τ，R12(τ) = 0，表示 s1(t) 与 s2(t) 互不 相关； 与自相关函数不同，一般情况下，R12(τ) R21(τ)； 不难证明： R12(τ) = R21(–τ)； R12(0) = R21(0)； R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 与 s2(t) 在无时差时的 相关性，它的大小反映 s1(t) 与 s2(t) 的相似程度。

T 2
T 2
s(t ) s(t )dt

19
2.2 确知信号的性质

origin
自相关函数的性质 自相关函数为偶函数，即 R(τ) = R(–τ) 自相关函数在原点τ = 0 处取得最大值，即 R(0) ≥ | R(τ)| 对于能量信号，R(0) 表示信号的能量，即
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度
解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度 F()按式(2.2-10)计算，可以写为
F ( ) lim



/2
/2
cos 0 te
通信原理第2章 随机过程

通信原理第2章 随机过程

如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2