专题1 集合及其运算-江苏十年高考解读(2009-2018)高三数学分类汇编解析版

2009年江苏省高考数学重点内容分类精析一．集合（集合及其表示A ；子集B ，交集、并集、补集B ） 1． 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}123,,Ma a a {}12,a a =的集合M 的个数是 22． 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,a b P ∈都有,,,aa b a b ab P b+-∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域，例如有理数Q 是数域。

有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数Q M ⊆，则数集M 必为数域；④数域必为无限集。

其正确的命题的序号是 ①④ （把你认为正确的命题的序号都填上）二．函数概念与基本初等函数Ⅰ（函数的概念B ；函数的基本性质B ） 3． 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是 [0，1] 4． 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,)f x y f x f y xy x y R +=++∈，()12f =，则()3f -等于 65． 设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值为 1516三．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数与对数B ；指数与对数的图象和性质B ；对数函数的图象和性质B ；幂函数A ；函数与方程A ；函数模型及其应用B ））6．则下列四个结论正确的是 ③ （填正确序号）①;a b c >> ②;b a c >> ③c a b >>； ④b c a >> 7．已知函数()()1212123,23(,,x p x p f x f x x R p p --==⋅∈为常当选），函数()f x 的定义为：对每一个给定的实数x ，()()()()()()()112212,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩若,若（1） 求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示） （2） 设,a b 是两个实数，满足a b <且()12,,p p a b ∈，若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -） 解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12323x p x p --≤，即123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i ）当1232p p log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再由111113,()3,p x x p x p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）1232p p log ->时，不妨设12,p p <，则213log 2p p ->，于是 当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =；当2x p ≥时，有312122122log 212()333333()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=从而 2()()f x f x = ； 当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+ ⑴ 显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间。

2009年江苏省高考数学重点内容分类精析一．集合（集合及其表示A ；子集B ，交集、并集、补集B ）1． 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}123,,M a a a {}12,a a =的集合M 的个数是 2 2． 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,a b P ∈都有,,,aa b a b ab P b+-∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域，例如有理数Q 是数域。

有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数Q M ⊆，则数集M 必为数域；④数域必为无限集。

其正确的命题的序号是 ①④ （把你认为正确的命题的序号都填上）二．函数概念与基本初等函数Ⅰ（函数的概念B ；函数的基本性质B ） 3． 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是 [0，1] 4． 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,)f x y f x f y xy x y R +=++∈，()12f =，则()3f -等于 65． 设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值为 1516三．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数与对数B ；指数与对数的图象和性质B ；对数函数的图象和性质B ；幂函数A ；函数与方程A ；函数模型及其应用B ））6．则下列四个结论正确的是 ③ （填正确序号）①;a b c >> ②;b a c >> ③c a b >>； ④b c a >> 7．已知函数()()1212123,23(,,x p x p f x f x x R p p --==⋅∈为常当选），函数()f x 的定义为：对每一个给定的实数x ，()()()()()()()112212,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩若,若（1） 求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示） （2） 设,a b 是两个实数，满足a b <且()12,,p p a b ∈，若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -） 解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12323x p x p --≤ ，即123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i ）当1232p p log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再由111113,()3,p x x p x p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）1232p p log ->时，不妨设12,p p <，则213log 2p p ->，于是 当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =；当2x p ≥时，有312122122log 212()333333()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=从而 2()()f x f x = ； 当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+ ⑴ 显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间。

【考情概览】年份 题号 考点 难度层次考查内容，方式，模型等 学科素养 2018 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2017 1 已知交集求参数 简单 交集的定义 数学计算 2016 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2015 1 集合的并集运算 简单 并集的定义 数学计算 2014 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2013 4 子集的个数一般子集的概念 数学计算 2012 1 集合的并集运算 简单 并集的定义 数学计算 2011 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2010 1 已知交集求参数 简单 交集的定义 数学计算 2009 无【命题规律】1. 常考集合间的运算：交集、并集、子集等．2．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解． 3．考题形式为填空题．【真题展示】1. 【2018江苏，1】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.3. 【2016江苏，1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.4. 【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算5. 【2014江苏，1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂= . 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.6. 【2013江苏，4】集合{－1,0,1}共有__________个子集． 【答案】8【解析】由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8..7. 【2012江苏，1】已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝__________. 【答案】{1,2,4,6}【解析】根据集合的并集运算法则得，A∪B＝{1,2,4,6}．8. 【2011江苏，1】已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ,则=⋂B A . 【答案】{}2,1-9. 【2010江苏，1】设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}， ∴由题意得a ＋2＝3，a ＝1.又由a 2＋4＝3无解，不符合题意； 经检验得：a ＝1.【对症下药】1. 集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2. 集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 3. 集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 4. 集合定义新情景的解决方法（出现在2016解答题20） 解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【考题预测】1.已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是_______【解析】∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．2.若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝_______ 【解析】当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.3.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为_______4.已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝_______【解析】因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语第1练 集合的关系与运算练习 理2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集个数是________．3．(2016·苏州调研)设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________. 4．(2016·南通、扬州、泰州二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为______．5．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为____________________________．6．(2016·厦门模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是________．7．(2016·苏北四市一模)已知集合A ＝{2＋a ，a }，B ＝{－1,1,3}，且A ⊆B ，那么实数a 的值是________．8．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{2,2a－1}，A ∩B ＝{1}，那么实数a 的值为________．9．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是____________．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，则a ＋b 的值为________．11．(2016·成都模拟)已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝{y |y ＝4x2，x ∈M }，则M ∩N ＝__________________.12．若集合A ＝{x |－1＜x ≤2}，B ＝{x |(x －a )(x －a ＋1)≥0}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是______________________． 13．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A ≥C B ，C B －C A ，C A ＜C B .若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________.14．设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．{1} 2.16 3.{2} 4.1 5．{x |x ≤－1或0＜x ＜1} 6.4 7．1解析 因为A ⊆B ，当a ＝1时，A ＝{1,3}⊆B .当a ＝－1,3时不合题意，所以a ＝1. 8．1解析 由题意知1∈B ，所以2a－1＝1，解得a ＝1. 9．[34，43)解析 A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 10．－7解析 由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4.∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7. 11．{x |12＜x ＜1}解析 对于集合M ，由x ＞x 2， 解得0＜x ＜1， ∴M ＝{x |0＜x ＜1}，∵0＜x ＜1，∴1＜4x＜4，∴12＜4x2＜2，∴N ＝{y |12＜y ＜2}，∴M ∩N ＝{x |12＜x ＜1}．12．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析 化简B ＝{x |x ≥a 或x ≤a －1}， 又A ∩B ＝A ，所以A ⊆B . 由数轴知a ≤－1或a －1≥2， 即a ≤－1或a ≥3.所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 13．3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ＞0，即a ＜－22或a ＞22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ＜0，即－22＜a ＜22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22＜a ＜0或0＜a ＜22时，C (B )＝2，不符合题意．所以S ＝{0，－22，22}．故C (S )＝3. 14．①②解析 ①正确，任取x ，y ∈S ，设x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23(a 1，b 1，a 2，b 2∈Z )，则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，其中a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z .即x ＋y ∈S .同理x －y ∈S ，xy ∈S .②正确，当x ＝y 时，0∈S .③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错误，设S ＝{0}⊆T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此正确命题为①②.。