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勾股定理 和勾股定理的逆定理及其运用

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勾股定理知识点：※勾股定理：直角三角形两条直角边(a,b)的平和等于斜边(c)的平方。

即：_______________。

※勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c（最长边）满足_______________，那么这个三角形是_______________。

※满足条件_______________的三个正整数，称为勾股数。

练习：1、常见的勾股数组有：（3，4，___）；（6，8，___）；（5，12，___）；（7，24，___）；（8，15，___）；（9，40，___）；（20，21，___）；……（这些勾股数组的_____数仍是勾股数）2、写出三组勾股数： . . .3、请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：，， .4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍5、小明的爸爸买了一部29英寸（74厘米）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小明认为指的是荧屏的长度 B．妈妈认为指的是荧屏的宽度C．爸爸认为指的是荧屏的周长 D．售货员认为指的是荧屏对角线的长度6、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，157、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，求AC的长。

8、△ABC中，∠C =90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,若a=8，c=17，则b=9、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A、100cmB、50cmC、140cmD、80cm10、由于风向改变，一帆船先向正西方航行80km ，然后向正南方航行150km ，此时它距离出发点 km 。

11、已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 km ．12、小明放学后先到书店买书再回家，已知书店在学校正西方300米，而小明家在学校正南方，小明家与学校的距离为400米，则小明从书店直路回到家共走了米13、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、40海里 B 、35海里 C 、30海里 D 、25海里14、在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝40，CB ＝9，M 、N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、915、在△ABC 中∠C=90°若a=24 c=30 则b= 。

若a=12 b=5 则c= 。

16、在等腰△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，则BC 边上高线AD 之长为 cm ．17、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为18、如图，直角三角形中未知边长是19、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？北 南 A 东20、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度。

（10分）21、如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b ．利用这个图试说明勾股定理．22、根据右图证明勾股定理。

23、请你用如图所示的四个这样的全等的直角三角形，它的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，设计一个拼图验证勾股定理。

(画出图形，并写出验证过程)24、斜边长为17cm ，一条直角边为15cm 的直角三角形的面积为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm25、做一个直角三角形的模板，一直角边长5cm ，斜边长13cm 做成这样的模板要 平方厘米的纸板。

26、如图所示，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．ababc cba27、如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90º，AB=3㎝，BC=4㎝，CD=12㎝，AD=13㎝， 求这块草坪的面积。

28、一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，︒=∠90B ，则木板的面积为（ ）A 、60B 、24C 、30D 、1229、一个三角形的三边的比为5：12：13，它的周长为60cm ，则它的面积是 120 cm 2。

30、直角三角形一直角边为cm 12，斜边长为cm 13，则它的面积为 30cm 2 .31、等腰三角形的腰长为10，底边长为12，求这个等腰三角形的面积。

48cm 232、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12 cm ，其中斜边上的高为（ C ）A 、6 cmB 、8.5 cmC 、1360 cmD 、1330cm33、如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm 和8cm ，则带阴影的正方形面积是 100 cm 2．34、一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ A ） A.斜边长为5 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为25 D ．三角形的面积为20ABCD35、三个正方形的面积如图，当B＝144、C＝169时，则A的值为（ D ）A、313B、144C、169D、2536、如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是33637、如图正方形ABGF和正方形CDEB的面积分别是100和36，则以AC为直径的半圆的面积是 8 。

38、如图所示，图中所的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形（不包括组合图形），若最大的正方形的边长为8cm，则正方形A、B、C、D 的面积之和为 64 cm239、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为______49_____cm2。

40、如图1-2，以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9和16，求以斜边为边长的正方形DEFG的面积。

25ACDB EFG1003641、如图正方形CDEF 的面积为169 AF=12，AB=4，∠FAC=90°，∠ABC=90°则BC= 3 。

42、如图所示，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食， 要爬行的最短路程（π取3）是（ B ）A ．12cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定43、如图,一圆柱高8cm,底面半径为6cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程是________________cm 。

44、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm45、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着正方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ）．（A ）3 （B ）5 （C ）2 （D ）1ABC DEFA BBA如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）46、已知：如图，观察图形回答下面问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个形．（3）如果点C是SA的中点，在C处有蜗牛想吃到的食品，恰好在A处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？若圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．47、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm ，BC=10 cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，请你求出CE 的长。

3cm48、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ B ） A 、2 cm B 、3 cm C 、4cm D 、5cm49、如图，矩形ABCD 中，AD=10，AB=6，将矩形沿AE 折叠，使D 点落在BC 边的点F 处，求EC 的长。

8/350、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ A ）A ．3cmB ．1330 cm tt C 、1360cm D ．9cm51、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是__12 m 。

52、如图，一架长 2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？(只列出方程即可）F E CB A53(1)、如图，AC ⊥CE ，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC=53(2)、生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的31时，则梯子比较稳定。

现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？54、如图,一梯子AB 长25m 顶端A 斜靠在墙AC 上,梯子底端离墙7m,则梯子的顶端离地面多远？如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动8m,则梯子的顶端下滑多远？（12分）ECD BA( 第13题)55、如图，一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶 m 。

56、印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 请用学过的数学知识回答这个问题．57、新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰ABC ，AC ＝BC ＝13米，AB ＝24米。

求AB 边上的高CD 的长度？ 58、有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺。

请求竹竿高与门高。

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勾股定理及逆定理的应用

勾股定理及逆定理的应用

勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。

知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。

例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。

求证∠EFA=90°。

【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。

例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。

【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。

勾股定理及其逆定理的综合运用

勾股定理及其逆定理的综合运用

a 2 b 2 c 2 338 10a 24b 26c
试判断△ABC的形状。
例2、已知：如图，四边形ABCD， AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5， AD=3。求：四边形ABCD的面积。
例3、已知：如图，在△ABC中， CD是AB边上的高，且CD.CD=AD·BD。 求证：△ABC是直角三角形。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形。
课后练习
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上
一点，且BD=DC，AC 2 AE 2 CE 2。 求证：AB 2 AE 2 C。E 2
4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，
课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足
(a b)(a2 b2 c 2) 0 ，则
△ABC是（ ） A三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c， 满足a：b：c=1：1： ，试判断 △ABC的形状。
3．已知：如图，四边形ABCD，
勾股定理及其逆定理 综合运用
学习目标：
1．进一步应用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理
解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定
定理之间关系的认识。
情境导入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档， 经常综合应用来解决一些难度较大 的题目。
例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、 ∠C的对边分别是a、b、c，且满足
ab=1，c= 14，试判定△ABC的形状。
AB=1，BC= 3，CD= 13，AD=3，
4
4
且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于D，且 CD 2 AD.BD 。 求证：△ABC中是直角三角形。
初二勾股定理逆定理公式

初二勾股定理逆定理公式

初二勾股定理逆定理公式1. 勾股定理勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它是由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出的。

勾股定理的公式表达如下：a^2 + b^2 = c^2其中 a、b、c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，满足该公式的三条边的比例关系。

2. 逆定理逆定理是勾股定理的一个重要推论，它在解决初中数学中一些几何问题时非常有用。

逆定理的公式表达如下：如果 a^2 + b^2 = c^2 成立，那么这三个数构成一个直角三角形。

逆定理的意义在于，当我们已知某个三角形的边长满足勾股定理的公式时，可以根据这个公式判断该三角形是否为直角三角形。

3. 应用示例为了更好地理解逆定理的应用，下面通过一个例子来说明。

例子：已知一个三角形的三边分别为 3、4 和 5，我们要判断这个三角形是否为直角三角形。

根据逆定理，我们可以将已知的三边长度代入勾股定理的公式中，并验证等式是否成立。

3^2 + 4^2 = 5^29 + 16 = 25计算结果符合等式，所以根据逆定理，我们可以得出结论，这个三角形是一个直角三角形。

4. 注意事项在应用逆定理时，需要注意以下几点：•应用逆定理时，必须满足勾股定理的公式，即 a^2 + b^2 = c^2，才能判断三角形是否为直角三角形。

•如果已知三边的长度满足 a^2 + b^2 = c^2，但等式的两边可能相差一个数的误差，这时我们可以使用近似值来验证等式是否成立。

•在进行计算时，应注意数值的精确性，尽量避免精度误差带来的影响。

5. 总结初二勾股定理逆定理公式是初中数学中重要的概念之一，在几何学习中有着广泛的应用。

逆定理可以帮助我们判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形，为解决几何问题提供了便利。

在应用逆定理时，我们应注意勾股定理公式的条件和计算的精确性，以得出准确的结论。

希望通过本文的介绍，您对初二勾股定理逆定理公式有了更深入的理解和应用。

勾股定理与函数

勾股定理与函数

勾股定理与函数勾股定理知识点：1、勾股定理及逆定理：△ABC 中　∠C＝Rt∠a 2＋b 2=c 2⇔2、勾股定理及逆定理的应用（1）作已知线段a 的，， ……倍235（2）计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 （3）证明线段的平方关系等。

3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式（1）罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

（2）如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k （3）如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K （4）如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。

简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，经典提高习题：1．如图所示，在中,,且,Rt ABC ∆90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒3BD =,求的长.4CE =DE2．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

4 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。

E5如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?6 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5AB7、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。