函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案章节一：极值的概念与定义教学目标：1. 了解极值的概念；2. 掌握极值的定义；3. 能够判断函数的极值点。

教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的定义；3. 举例说明如何判断函数的极值点。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解极值的概念和定义；2. 利用图形和实际例子，让学生直观地理解极值点；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够准确判断函数的极值点。

教案章节二：导数与极值的关系教学目标：1. 了解导数与极值的关系；2. 掌握求函数极值的方法；3. 能够运用导数研究函数的极值问题。

教学内容：1. 讲解导数与极值的关系；2. 教授求函数极值的方法；3. 举例说明如何运用导数研究函数的极值问题。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解导数与极值的关系；2. 通过例题，教授求函数极值的方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够运用导数研究函数的极值问题。

教案章节三：一元函数的极值教学目标：1. 了解一元函数的极值；2. 掌握一元函数极值的判断方法；3. 能够求出一元函数的极值。

教学内容：1. 讲解一元函数的极值；2. 教授一元函数极值的判断方法；3. 举例说明如何求出一元函数的极值。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解一元函数的极值；2. 通过例题，教授一元函数极值的判断方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂练习；2. 学生能够准确判断一元函数的极值点；3. 学生能够求出一元函数的极值。

教案章节四：二元函数的极值教学目标：1. 了解二元函数的极值；2. 掌握二元函数极值的判断方法；3. 能够求出二元函数的极值。

教学内容：1. 讲解二元函数的极值；2. 教授二元函数极值的判断方法；3. 举例说明如何求出二元函数的极值。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解二元函数的极值；2. 通过例题，教授二元函数极值的判断方法；3. 进行课堂练习，巩固所学知识。

高中数学教案——函数的极值和导数一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式。

2. 学会利用导数判断函数的单调性，理解函数的极值概念。

3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决函数问题的能力。

二、教学内容：1. 导数的定义及几何意义2. 基本初等函数的导数公式3. 导数的计算法则4. 利用导数判断函数的单调性5. 函数的极值及其判定三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的计算法则、利用导数判断函数的单调性、函数的极值及其判定。

2. 难点：导数的应用，如何利用导数解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的定义及应用。

2. 利用多媒体课件，直观展示函数的导数与单调性、极值之间的关系。

3. 结合实际例子，让学生感受导数在解决实际问题中的重要性。

4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学过程：1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何判断函数的单调性、2. 讲解导数的定义：通过几何直观，解释导数的含义，引导学生理解导数表示函数在某点的瞬时变化率。

3. 学习基本初等函数的导数公式：讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。

4. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，举例说明。

5. 利用导数判断函数的单调性：引导学生利用导数符号判断函数的单调性，讲解“增函数”和“减函数”的概念。

6. 函数的极值及其判定：讲解极值的概念，举例说明如何利用导数判断函数的极值。

7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

8. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数单调性、极值方面的应用。

9. 拓展：引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理、经济学等。

10. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，检验学生对导数概念、基本初等函数的导数公式、导数计算法则、单调性和极值的理解和应用能力。

函数的极值与导数教案教案标题：函数的极值与导数教案目标：1. 了解函数的极值概念及其与导数的关系。

2. 掌握求函数极值的方法和应用。

3. 培养学生的分析和解决问题的能力。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾函数的概念和图像表示。

2. 提问：你们对函数的极值有什么了解？导入（10分钟）：1. 通过一个简单的例子引出函数的极值概念。

2. 解释函数的极大值和极小值的定义。

3. 引导学生思考函数极值与导数的关系。

讲解（15分钟）：1. 解释导数的定义和作用。

2. 介绍函数极值与导数的关系，即函数在极值点处的导数为0。

3. 解释为什么导数为0的点可能是极值点。

示范（15分钟）：1. 通过一个具体的例子演示如何求函数的极值。

2. 使用导数的方法计算极值点，并验证结果的正确性。

3. 强调求解极值时要注意区间的选择和边界条件。

练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生独立完成。

2. 鼓励学生尝试不同类型的函数和问题。

3. 提供适当的提示和指导。

总结（5分钟）：1. 回顾本课所学的内容，强调函数极值与导数的关系。

2. 概括求解函数极值的方法和步骤。

3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。

拓展（5分钟）：1. 提供一些拓展问题，让学生思考更复杂的情况。

2. 引导学生探索其他与函数极值相关的概念和应用。

教学辅助工具：1. 教材或课件，用于讲解和示范。

2. 白板或黑板，用于演示计算过程和解题思路。

3. 练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

教学评估：1. 在练习环节中观察学生的解题过程和答案。

2. 提供及时的反馈和指导，纠正学生的错误或不完整的理解。

3. 鼓励学生在课后继续思考和实践相关问题。

教案扩展：1. 可以引入更复杂的函数类型，如三角函数、指数函数等。

2. 可以探讨函数的凹凸性和拐点等相关概念。

3. 可以引导学生在实际问题中应用函数的极值概念，如最优化问题等。

导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[做一做]1．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．3．已知x＝3是函数f(x)＝a ln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．考点一__函数的极值问题(高频考点)____________函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[规律方法] 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．1.(1)已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．(2)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． ①求a 和b 的值；②设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．考点二__函数的最值问题______________________已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．方法思想——转化与化归思想求解曲线间交点问题已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．[名师点评] (1)本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点问题转化为证明方程f (x )－kx ＋2＝0只有一个根，分x ≤0和x >0两情况给予说明．(2)转化与化归原则：一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且 g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．课后作业1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6432．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >143. 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－235．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )7．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．8．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，求a 的取值范围．课后作业答案1解析：选′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．解析：选′(x )＝x 2－x ＋c .因为函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则方程x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14.3．解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值．4．解析：选A.由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.5．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1<x <0时，y ′＜0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 答案：－36． 解析：选C.由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.7．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（－a ）3－3a （－a ）＋b ＝6（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)． 答案：(－1，1)8．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1.。