大学物理贝塞尔方程的解

第8章 贝塞尔函数本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.8．1 贝塞尔方程的求解在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x 表示自变量，y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0,d y dy x x x n y dx dx++-= (8.1) 其中n 为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现2n 的项，所以在讨论时，不妨暂先假定0n >．设方程(8.1)有一个级数解，其形式为2012()c k k y x a a x a x a x =+++++c k k k a x ∞+==∑， 00,a ≠ (8.2)其中常数c 和(1,2,3)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(8.1)来确定.将(8.2)及其导数代入(8.1)后得{}220()(1)()()0.c kkk c k c k c k xn a x ∞+=⎡⎤++-+++-=⎣⎦∑ 化简后写成()}{22221220122()1()0,cc c kk k k c n a x c n a xc k n a a x ∞++-=⎡⎤⎡⎤-++-++-+=⎣⎦⎣⎦∑要使上式成为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得下列各式：2202212221()0;2[(1)]0;3[()]0(2,3,).k k a c n a c n c k n a a k --=+-=+-+==由 1得c n =±，代入 2得10a =.现暂取c n =，代入3得24.(2)k k a a k n k --=+因为10a =，由4知13570,a a a a =====而246,,,a a a 都可以用0a 表示，即2,2(22)a a n -=+4,24(22)(24)a a n n =⋅++6,246(22)(24)(26)a a n n n -=⋅⋅+++………………………………………………2(1)2462(22)(24)(22)mm a a m n n n m =-⋅⋅+++2(1).2!(1)(2)()m ma m n n n m -=+++由此知(8.2)的一般项为202(1),2!(1)(2)()n mmma x m n n n m +-+++0a 是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把0a 取作012(1)n a n =Γ+，这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式()(1)(1)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化，这样选0a 后，一般项的系数就整齐了221(1).2!(1)mm n ma m n m +=-Γ++ (8.3) 以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解2120(1)(0).2!(1)n mmn mm x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数，记作220()(1)(0).2!(1)n mmn n mm x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ (8.4)至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解().n J x当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,).2!()!n mmn n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑ (8.5)取c n =-时，用同样方法可得(8.1)式另一特解220()(1)(1,2,).2!(1)!n mmn n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ (8.6)比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把n 换成n -，即可得到(8.6)式，因此不论n 是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为()()n n y AJ x BJ x -=+ (8.7)其中,A B 为两个任意常数.当然，在n 不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中取,csc ,A ctgn B n ππ==-则得到(8.1)的一个特解()()csc ()n n n Y x ctgn J x n J x ππ-=-()cos ()sin n n J x n J x n ππ--=(n ≠ 整数） (8.8)显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成()().n n y AJ x BY x =+ (8.7)’由(8.8)式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数.8．2 当n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定，当n 为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的，事实上，我们不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），则在(8.6)中，1(1)n m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-时均为零，这时级数从m N =起才开始出现非零项，于是(8.6)可以写成22()(1)2!(1)N mmN N mm Nx J x m N m -+∞--+==-Γ-++∑ 2424(1)2!2(1)!2(2)!2!N N N N N N N x x x N N N ++++⎧⎫⎪=--++⎨⎬++⎪⎭⎩ (1)().N N J x =-即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解.取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当n 为整数时(8.8)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)’的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义. 在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos ()()limsin n n J x a J x Y x αααπαπ-→-= （n =整数）. （8.9）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限是"0"形式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅A.Ⅱ.萨波洛夫斯基著《特殊函数》，魏执权等译，中国工业出版社出版），最后得到210020(1)2212()()ln ,2(!)1m mm m k x x Y x J x c m k ππ∞-==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+- ⎪+⎝⎭∑∑ 21021(1)!()()ln 2!2n mn n m m x n m x Y x J x c m ππ-+-=--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑211000(1)1112(1,2,3,),!()!11n mmn m m m k k x n m n m k k π+∞+--===⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+= ⎪+++⎝⎭∑∑∑ (8.10) 其中111lim 1ln 0.5772,23n c n n →∞⎛⎫=++++-= ⎪⎝⎭称为欧拉常数.根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷大）.综合上面所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为()()n n y AJ x BY x =+，其中,A B 为任意常数，n 为任意实数.8．3 贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式.首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系. 在(8.5)中令0n =及1n =得：246024262()122(2!)2(3!)x x x J x =+-+222(1)2(!)kk x kk +-+3571357()222!22!3!23!4!x x x x J x =-+-+⋅⋅⋅2121(1)2!(1)!k kk x k k +++-++取出第一个级数的第2k +项求导数，得[][]22211222222(22)(1)(1)2(1)!2(1)!k k k k k k d x k x dx k k ++++++-=--++ 2121(1).2!(1)!k kk x k k ++=--+这个式子正好是1()J x 中含21k x +这一项的负值，且知0()J x 的第一项导数为零，故得关系式1()().dJ x J x dx =- (8.11) 将1()J x 乘以x 并求导数，又得24221321[()](1)222!2!(1)!k kk d d x x x xJ x dx dx k k ++⎡⎤=-++-+⎢⎥⋅+⎣⎦321222(1)22(!)k kk x x x k +=-++-+222221(1).22(!)kkk x x x k ⎡⎤=-++-+⎢⎥⎣⎦即10[()]().dxJ x xJ x dx= (8.12) 以上结果可以推广，现将()n J x 乘以nx 求导数，得2220[()](1)2!(1)n m n mn n m m d d x x J x dx dx m n m +∞+==-Γ++∑ 2121(1)2!()n m n mn m m x x m n m +-∞+-==-Γ+∑ 1(),n n x J x -=即1[()]().nn n n d x J x x J x dx-= (8.13) 同理可得1[()]().nn n n d x J x x J x dx--+=- (8.14) 将(8.13)和(8.14)两式展开，并经过化简，则分别得'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x -+=及'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x --=-将这两式相减及相加，分别得到112()()(),n n nJ x J x nJ x x -++=(8.15) 11()()2().n n n J x J x J x -+'-= (8.16)以上几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用.特别值得一提的是，应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，则利用此表和(8.15)，即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值.第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式.1111'11()(),[()](),2()()(),()()2().n nn n n n n n n n n n n n d x Y x x Y x dx d x Y x x Y x dxnY x Y x Y x x Y x Y x Y x ---+-+-+⎧⎡⎤=⎣⎦⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪-=⎩ (8.17) 作为递推公式的一个应用，我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数，先计算1122(),().J x Jx -由(8.4)可得122102(1)(),32!2m mm x J x m m +∞=-⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭∑而 13135(21)1222m m m +⋅⋅+⎛⎫⎛⎫Γ+=Γ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=从而21102(1)().(21)!m m J x x x m ∞+=-=+ (8.18) 同理，可求得12().J x x -=(8.19) 利用递推公式(8.15)得到31122211()()()cos sin J x J x J x x x x x -⎫=-=-+⎪⎭321sin d x x dx x ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭321sin d x x dx x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 同理可得32321cos ().d x J x x dx x -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭一般言之，有1212121()21sin()(1);1cos().nnnnnnd xJ xx dx xd xJ xx dx x+++-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(8.20) 从(8.20)可能看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数.8．4 贝塞尔函数的零点与模值贝塞尔方程的固有值与固有函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时，为了将一个函数按贝塞尔函数展开，需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值.6.4.1 贝塞尔函数的零点第一类贝塞尔函数()nJ x的零点的几个重要结论：1()nJ x有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点是对称分布着的.因而()nJ x必有无穷多个正的零点；2()nJ x的零点与1()nJ x+的零点是彼此相间分布的，即()nJ x的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个1()nJ x+的零点；图8-13以()nmμ表示()nJ x的正零点，则当()()1n nm mmμμ+-→∞时无限地接近于π，即()nJ x几乎是以π2为周期的周期函数.()J x与1()J x的图形见图8-1.为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来，并列成表格.下表给出了()(0,1,2,,5)n J x n =的前9个正零点)9,,2,1()( =m n m μ的近似值.6.4.2 贝塞尔函数的模值所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分()2n am nJ r rdr a μ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的平方根，其中()n m μ是()n J x 的正零点，a 为一正常数.为了计算这个积分，以1()R r ，2()R r 分别表示下列函数()1()n m n R r J r a μ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2()n R r J r α= α(为任意参数）.则1()R r ，2()R r 分别满足方程2()2110,n m dR d n r r R dr dr a r μ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦22220.dR d n r r R dr dr r α⎡⎤⎡⎤+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以2()R r 乘第一个方程减去以1()R r 乘第二个方程，然后对r 从0到a 积分，得}{()2''12211200()()[()()()()]0.n a a m rR r R r dr r R r R r R r R r a μα⎡⎤⎛⎫-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 由此可得()();()()20()2()().n n n am n n m m n n n m J a J rJ r J r dr aa μαμμαμα⎛⎫=-⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰当()n maμα→时，上式右端是"0"型，利用洛必塔法则计算这个极限，得 ()()()222'()2()10.22n an n m n n m n m a a rJ r dr J J a μμμ-⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭⎰这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到.8．5 贝塞尔方程的边值问题在7.1中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.() 自然边界条件 222()()()0,0;(8.21)()0,(8.22)(0)()(8.23)r a r R r rR r r n R r r a R r R λ=⎧'''++-=<<⎪⎪=⎨⎪<∞⎪⎩方程(8.21)的通解为)()),n nR r AJ BY =+由条件(8.23)可得 0B =，即()),n R r AJ =利用条件(8.22)得)0,n J =应该是()n J x 的零点，以表示()()()12,,,,()n n n m n J x μμμ的正零点，则方程(8.21)的固有值为2()()n n m ma μλ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1,2,m =），与这些固有值相对应的边值问题（8.21）—（8.23）的固有函数是()().n m m n R r J r a μ⎛⎫= ⎪⎝⎭根据施特姆-刘维尔理论，()(1,2,3,)m R r m =关于权函数()r r ρ=是正交的，即()()00().(8.24)n n am k n n J r J r rdr m k a a μμ⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰同时，下述展开定理成立：任何一个下两次可微的函数()f r ，若在0r =处有界，而且在r a =处等于零，则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶-贝塞尔级数：()(),n m m n m a f r A J r a μ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （8.25）其中系数m A 可用下述方法确定：在展开式(8.25)的两端同乘以(),n mn rJ r aμ⎛⎫⎪⎝⎭并对r 从0到a 积分，由正交关系式(8.24)得()()20().n n aa m mn m n f r J r rdr A rJ r dr a a μμ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到()()2'()2().[]2n am n m n n m f r J r rdra A a J μμ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰（8.26） 下面我们举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程.例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为21r -，其中r 是圆盘内任一点的极半径，求圆内温度分布规律.解 根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：22222120;0;1.r t u uu a tx y u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩采用极坐标系，并考虑到定解条件与θ无关，所以温度u 只能是,r t 的函数，于是上述问题可写为2221201;(8.27)0;(8.28)1.(8.29)r t u u u a tr r r u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩此外，由物理意义，还有条件令 (,)()(),u r t R r T t = 代入方程(8.27)得21,RT a R R T r ⎛⎫''''=+ ⎪⎝⎭或 21,R R T r a T Rλ'''+'==由此得22''0,r R rR r R λ+-= (8.30)2'0.T a T λ-= (8.31)方程(8.31)的解为2()a t T t Ce λ=，因为t →+∞，时0,u →λ只能小于零，令2λβ=-则22().a t T t Ce β-=此时方程(8.30)的通解为1020()()().R r C J r C Y r ββ=+由(,)u r t 的有界性，可知20C =，再由(8.28)得0()0J β=，即β是0()J x 的零点，以n α表示0()J x 的正零点，则(1,2,3,),nn βα==综合以上结果可得0()(),n n R r J r α=22().n a t n n T t C e α-=从而 220(,)().n a tn n n u r t C eJ r αα-=利用叠加原理，可得原问题的解为2201(,)().n a t n n n n u r t C e J r αα∞-==∑由条件(8.29)2011().n n n r C J r α∞=-=∑从而120202(1)()[()]n n n C r rJ r dr J αα=-'⎰1130020012()(),[()]n n n rJ r dr r J r dr J ααα⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因 10[()()]()[()()],n n n n n d r J r r J r d r ααααα=即 10()(),n n n rJ r d rJ r dr ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故得111100()()().n n n nnrJ r J rJ r dr ααααα==⎰另外11320000()()n n n rJ r r J r dr r d ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1312110()2()n n n r J r r J r dr αααα=-⎰121122220()()2()2(),n n n n nnnnJ J J r J r αααααααα=-=-从而 22214().()n n n n J C J ααα= 所以，所求定解问题的解为222022114()(,)(),()n a tn n n n nJ u r t J r e J ααααα∞-==∑(8.32) 其中n α是0()J r 的正零点. 例2 求下列定解问题22222022001,0;(8.33)0;(8.34)0,1.(8.35)r r R t t u u u a r R tr r r u u r u r u t R ====⎧⎛⎫∂∂∂=+<<⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=<+∞⎨∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩的解.解 用分离变量法来解，令(,)()(),u r t R r T t =采用例1中同样的运算，可以得到1020()()(),R r C J r C Y r ββ=+ (8.36) 34()cos sin .T t C t C t αβαβ=+ (8.37)由(,)u r t 在0r =处的有界性，可知20,C =即10()().R r C J r β= (8.38)再根据边界条件(8.34)中第一式，得'10'()()0,R R C J R ββ==因1C β不能为零，故有0()0.J R β'=利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得1()0,J R β=即R β是1()J x 的正零点，以(1)(1)(1)(1)123,,,,n μμμμ表示1()J x 的所有正零点，则(1)(1,2,3,),nR n βμ==即 (1).nRμβ= (8.39)将(8.39)分别代入(8.38),(8.37)，得(1)0(),nn R r J r Rμ⎛⎫=⎪⎝⎭(1)(1)()cossin.nnn n n T t C t D t R Rαμαμ=+从而 (1)(1)(1)0(,)cos sin ,n nn n n n u r t C t D t J r R R R αμαμμ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用叠加原理可得原定解问题的解为(1)(1)(1)01(,)cos sin ,n nn n n n n u r t C t D t J r R R R αμαμμ∞=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑将条件(8.35)代入上式得(1)010,nn n C J r R μ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ (8.40)(1)2(1)0211.n n n n a r D J r R R R μμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.41)由(8.40)得 0(1,2,3,);n C n ==由(8.41)并利用下面的结果（见习题八第14题）：如果(1)n μ是1()J x 的正零点，则(1)222(1)'(1)2(1)00100()()(),22Rn n n n R R rJ r dr J J J R μμμμ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰得到(1)20(1)2(1)2002(1)()R n n n n r D rJ r dr RJ R R μαμμ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (1)2(1)32(1)(1)3(1)004()4,()()()()n n n n n RJ R J J μαμμαμμ==- 所以最后得到定解问题的解为(1)(1)0(1)3(1)1041(,)sin .()()n n n n n Ru r t tJ r J R Rαμμαμμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.42)习 题 八1、当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围.2、写出01(),(),()(n J x J x J x n 是正整数）的组数表示式的前5项.3、证明21(0)0,n J -=其中1,2,3,n =.4、0()?dJ ax dx=.5、1[()?.dxJ ax dx= 6、证明()n y J ax =为方程2222'''()0x y xy a x n y ++-=的解. 7、证明321()cos sin ;2J x x x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦52233()1sin()cos().J x x x x x ππ⎤⎛⎫=--+- ⎪⎥⎝⎭⎦8、试证1232()y x J x =是方程22''(2)0.x y x y +-=的一个解.9、试证()n y xJ x =是方程222'''(1)0x y xy x n y -++-=的一个解.10、设(1,2,3,)i i λ=是方程1()0J x =的正根，将函数()0(01)f x x =<<展开成贝塞尔函数)((11x J λ=的级数. 11、设(1,2,3,)i a i =是0()0J x =的正根，将函数2()(01)f x x x =<<展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数. 12、设(1,2,3,)i a i =是方程0(2)0J x =的正根，将函数1,01,1(),120,12x f x x x <<⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数.13、把定义在[0,]a 上的函数展开成贝塞尔函数0i a J x a ⎛⎫⎪⎝⎭的级数，其中i a 是0()J x 正零点. 14、若1(1,2,3,)i λ=是1()J x 正零点，证明200200,,(),.2Ri i i j i xJ x J x dx R R R J i j λλλ≠⎧⎛⎫⎪⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎰[提示：可仿照8.4中推导贝塞尔函数模值的方法来证明.] 15、利用递推公式证明（1）'''2001()()();J x J x J x x =-（2）''''300()3()4()0.J x J x J x ++=16、试证1221()()(1)()(1)().nn n n o o ox Jx dx x J x n x J x n x J x dx --=+---⎰⎰17、试解下列圆柱区域的边值问题：在圆柱内0,u ∆=在圆柱侧面0a u ρ==，在下底00z u ==，在上底.z h u A ==18、解下列定解问题：22222220001;1,0;.,0.t t R u u u a tu u R t u u ρρρρρρ====⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪<∞=⎪⎪⎩若上述方程换成非齐次的，即2222211u u uB a t ρρρ∂∂∂+-=-∂∂∂ （B 为常数）， 而所有定解条件均为零，试求其解.。

第8章 贝塞尔函数本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.8．1 贝塞尔方程的求解在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x 表示自变量，y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0,d y dy x x x n y dx dx++-= (8.1) 其中n 为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现2n 的项，所以在讨论时，不妨暂先假定0n >．设方程(8.1)有一个级数解，其形式为2012()c k k y x a a x a x a x =+++++c k k k a x ∞+==∑， 00,a ≠ (8.2)其中常数c 和(1,2,3)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(8.1)来确定.将(8.2)及其导数代入(8.1)后得{}220()(1)()()0.c kk k c k c k c k xn a x ∞+=⎡⎤++-+++-=⎣⎦∑化简后写成()}{22221220122()1()0,cc c kk k k c n a x c n a xc k n a a x ∞++-=⎡⎤⎡⎤-++-++-+=⎣⎦⎣⎦∑ 要使上式成为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得下列各式：2202212221()0;2[(1)]0;3[()]0(2,3,).k k a c n a c n c k n a a k --=+-=+-+==由 1得c n =±，代入2得10a =.现暂取c n =，代入 3得24.(2)k k a a k n k --=+因为10a =，由 4知13570,a a a a =====而246,,,a a a 都可以用0a 表示，即2,2(22)a a n -=+4,24(22)(24)a a n n =⋅++6,246(22)(24)(26)a a n n n -=⋅⋅+++………………………………………………2(1)2462(22)(24)(22)mm a a m n n n m =-⋅⋅+++2(1).2!(1)(2)()m ma m n n n m -=+++由此知(8.2)的一般项为202(1),2!(1)(2)()n mmma x m n n n m +-+++0a 是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把0a 取作012(1)n a n =Γ+，这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式()(1)(1)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化，这样选0a 后，一般项的系数就整齐了221(1).2!(1)mm n ma m n m +=-Γ++ (8.3) 以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解2120(1)(0).2!(1)n mmn mm x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数，记作220()(1)(0).2!(1)n mmn n mm x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ (8.4)至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解().n J x当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,).2!()!n mmn n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑ (8.5)取c n =-时，用同样方法可得(8.1)式另一特解220()(1)(1,2,).2!(1)!n mmn n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ (8.6)比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把n 换成n -，即可得到(8.6)式，因此不论n 是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为()()n n y AJ x BJ x -=+ (8.7)其中,A B 为两个任意常数.当然，在n 不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中取,csc ,A ctgn B n ππ==-则得到(8.1)的一个特解()()csc ()n n n Y x ctgn J x n J x ππ-=-()cos ()sin n n J x n J x n ππ--=(n ≠ 整数） (8.8)显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成()().n n y AJ x BY x =+ (8.7)’由(8.8)式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数.8．2 当n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定，当n 为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的，事实上，我们不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），则在(8.6)中，1(1)n m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-时均为零，这时级数从m N =起才开始出现非零项，于是(8.6)可以写成22()(1)2!(1)N mmN N m m Nx J x m N m -+∞--+==-Γ-++∑2424(1)2!2(1)!2(2)!2!NN N N N N N xx x N N N ++++⎧⎫⎪=--++⎨⎬++⎪⎭⎩ (1)().N N J x =-即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解.取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当n 为整数时(8.8)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)’的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义. 在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos ()()limsin n n J x a J x Y x αααπαπ-→-= （n =整数）. （8.9）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()nn n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限是"0"形式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅A.Ⅱ.萨波洛夫斯基著《特殊函数》，魏执权等译，中国工业出版社出版），最后得到210020(1)2212()()ln ,2(!)1m mm m k x x Y x J x c m k ππ∞-==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+- ⎪+⎝⎭∑∑ 21021(1)!()()ln 2!2n mn n m m x n m x Y x J x c m ππ-+-=--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑211000(1)1112(1,2,3,),!()!11n mmn m m m k k x n m n m k k π+∞+--===⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+= ⎪+++⎝⎭∑∑∑ (8.10) 其中111lim 1ln 0.5772,23n c n n →∞⎛⎫=++++-= ⎪⎝⎭称为欧拉常数.根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷大）.综合上面所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为()()n n y AJ x BY x =+，其中,A B 为任意常数，n 为任意实数.8．3 贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式.首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系. 在(8.5)中令0n =及1n =得：246024262()122(2!)2(3!)x x x J x =+-+222(1)2(!)kk x kk +-+3571357()222!22!3!23!4!x x x x J x =-+-+⋅⋅⋅2121(1)2!(1)!k kk x k k +++-++取出第一个级数的第2k +项求导数，得[][]22211222222(22)(1)(1)2(1)!2(1)!k k k k k k d x k x dx k k ++++++-=--++ 2121(1).2!(1)!k kk x k k ++=--+ 这个式子正好是1()J x 中含21k x +这一项的负值，且知0()J x 的第一项导数为零，故得关系式1()().dJ x J x dx =- (8.11) 将1()J x 乘以x 并求导数，又得24221321[()](1)222!2!(1)!k kk d d x x x xJ x dx dx k k ++⎡⎤=-++-+⎢⎥⋅+⎣⎦321222(1)22(!)k kk x x x k +=-++-+222221(1).22(!)kkk x x x k ⎡⎤=-++-+⎢⎥⎣⎦即10[()]().dxJ x xJ x dx= (8.12) 以上结果可以推广，现将()n J x 乘以nx 求导数，得2220[()](1)2!(1)n m n mn n m m d d x x J x dx dx m n m +∞+==-Γ++∑ 21210(1)2!()n m n mn m m x x m n m +-∞+-==-Γ+∑1(),n n x J x -=即1[()]().nn n n d x J x x J x dx-= (8.13) 同理可得1[()]().nn n n d x J x x J x dx--+=- (8.14) 将(8.13)和(8.14)两式展开，并经过化简，则分别得'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x -+=及'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x --=-将这两式相减及相加，分别得到112()()(),n n nJ x J x nJ x x -++=(8.15) 11()()2().n n n J x J x J x -+'-= (8.16)以上几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用.特别值得一提的是，应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，则利用此表和(8.15)，即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值.第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式.1111'11()(),[()](),2()()(),()()2().n nn n n n n n n n n n n n d x Y x x Y x dx d x Y x x Y x dxnY x Y x Y x x Y x Y x Y x ---+-+-+⎧⎡⎤=⎣⎦⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪-=⎩ (8.17) 作为递推公式的一个应用，我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数，先计算1122(),().J x Jx -由(8.4)可得122102(1)(),32!2m mm x J x m m +∞=-⎛⎫=⎪⎛⎫⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭∑而 13135(21)1222m m m +⋅⋅+⎛⎫⎛⎫Γ+=Γ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12m +=从而21102(1)().(21)!m m J x x x m∞+=-=+ (8.18) 同理，可求得12().J x x -=(8.19) 利用递推公式(8.15)得到31122211()()()cos sin J x J x J x x x x x -⎫=-=-+⎪⎭ 321sin d x x x dx x ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭321sin d x x x dx x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 同理可得32321cos ().d x J x x x dx x -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 一般言之，有1212121()221sin ()(1);21cos ().nn n n nn n d x J x xx dx x d x Jx xx dx x ππ+++-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(8.20)从(8.20)可能看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数.8．4 贝塞尔函数的零点与模值贝塞尔方程的固有值与固有函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时，为了将一个函数按贝塞尔函数展开，需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值. 6.4.1 贝塞尔函数的零点第一类贝塞尔函数()n J x 的零点的几个重要结论：1()n J x 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x 轴上关于原点是对称分布着的.因而()n J x 必有无穷多个正的零点；2()n J x 的零点与1()n J x +的零点是彼此相间分布的，即()n J x 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个1()n J x +的零点；图8-13以()n m μ表示()n J x 的正零点，则当()()1n n m m m μμ+-→∞时无限地接近于π，即()n J x 几乎是以π2为周期的周期函数. 0()J x 与1()J x 的图形见图8-1.为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来，并列成表格.下表给出了()(0,1,2,,5)n J x n =的前9个正零点)9,,2,1()( =m n mμ的近似值.6.4.2 贝塞尔函数的模值所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分()20n am n J r rdr a μ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的平方根，其中()n m μ是()n J x 的正零点，a 为一正常数.为了计算这个积分，以1()R r ，2()R r 分别表示下列函数()1()n mn R r J r aμ⎛⎫=⎪⎝⎭， ()2()n R r J r α= α(为任意参数）.则1()R r ，2()R r 分别满足方程2()2110,n m dR d n r r R dr dr a r μ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦22220.dR d n r r R dr dr r α⎡⎤⎡⎤+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以2()R r 乘第一个方程减去以1()R r 乘第二个方程，然后对r 从0到a 积分，得}{()2''12211200()()[()()()()]0.n a a m rR r R r dr r R r R r R r R r a μα⎡⎤⎛⎫-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 由此可得()();()()20()2()().n n n am n n m m n n n m J a J rJ r J r dr aa μαμμαμα⎛⎫=-⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰当()n maμα→时，上式右端是"0"型，利用洛必塔法则计算这个极限，得 ()()()222'()2()10.22n an n m n n m n m a a rJ r dr J J a μμμ-⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭⎰这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到.8．5 贝塞尔方程的边值问题在7.1中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.() 自然边界条件 222()()()0,0;(8.21)()0,(8.22)(0)()(8.23)r a r R r rR r r n R r r a R r R λ=⎧'''++-=<<⎪⎪=⎨⎪<∞⎪⎩方程(8.21)的通解为)()),n nR r AJ BY =+由条件(8.23)可得 0B =，即()),n R r AJ =利用条件(8.22)得)0,n J =应该是()n J x 的零点，以表示()()()12,,,,()n n n m n J x μμμ的正零点，则方程(8.21)的固有值为2()()n n m ma μλ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1,2,m =），与这些固有值相对应的边值问题（8.21）—（8.23）的固有函数是()().n mm n R r J r aμ⎛⎫=⎪⎝⎭根据施特姆-刘维尔理论，()(1,2,3,)m R r m =关于权函数()r r ρ=是正交的，即()()0().(8.24)n n am k n n J r J r rdr m k a a μμ⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰同时，下述展开定理成立：任何一个下两次可微的函数()f r ，若在0r =处有界，而且在r a =处等于零，则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶-贝塞尔级数：()(),n mm n m a f r A J r aμ∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑ （8.25） 其中系数m A 可用下述方法确定：在展开式(8.25)的两端同乘以(),n mn rJ r aμ⎛⎫⎪⎝⎭并对r 从0到a 积分，由正交关系式(8.24)得()()20().n n aa mmn m n f r J r rdr A rJ r dr a aμμ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到()()02'()2().[]2n am n m n n m f r J r rdra A a J μμ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰（8.26） 下面我们举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程.例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为21r -，其中r 是圆盘内任一点的极半径，求圆内温度分布规律.解 根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：22222120;0;1.r t u uu a tx y u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩采用极坐标系，并考虑到定解条件与θ无关，所以温度u 只能是,r t 的函数，于是上述问题可写为2221201;(8.27)0;(8.28)1.(8.29)r t u u u a tr r r u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩此外，由物理意义，还有条件令 (,)()(),u r t R r T t = 代入方程(8.27)得21,RT a R R T r ⎛⎫''''=+ ⎪⎝⎭或 21,R R T r a T Rλ'''+'==由此得22''0,r R rR r R λ+-= (8.30)2'0.T a T λ-= (8.31)方程(8.31)的解为2()a t T t Ce λ=，因为t →+∞，时0,u →λ只能小于零，令2λβ=-则22().a t T t Ce β-=此时方程(8.30)的通解为1020()()().R r C J r C Y r ββ=+由(,)u r t 的有界性，可知20C =，再由(8.28)得0()0J β=，即β是0()J x 的零点，以n α表示0()J x 的正零点，则(1,2,3,),nn βα==综合以上结果可得0()(),n n R r J r α=22().n a t n n T t C e α-=从而 220(,)().n a tn n n u r t C eJ r αα-=利用叠加原理，可得原问题的解为2201(,)().n a t n n n n u r t C e J r αα∞-==∑由条件(8.29)2011().n n n r C J r α∞=-=∑从而120202(1)()[()]n n n C r rJ r dr J αα=-'⎰1130020012()(),[()]n n n rJ r dr r J r dr J ααα⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因 10[()()]()[()()],n n n n n d r J r r J r d r ααααα= 即 10()(),n n n rJ r d rJ r dr ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故得111100()()().n n n nnrJ r J rJ r dr ααααα==⎰另外11320000()()n n n rJ r r J r dr r d ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1312110()2()n n nr J r r J r dr αααα=-⎰121122220()()2()2(),n n n n nnnnJ J J r J r αααααααα=-=-从而 22214().()n n n n J C J ααα= 所以，所求定解问题的解为222022114()(,)(),()n a tn n n n nJ u r t J r e J ααααα∞-==∑(8.32) 其中n α是0()J r 的正零点. 例2 求下列定解问题22222022001,0;(8.33)0;(8.34)0,1.(8.35)r r R t t u u u a r R tr r r u u r u r u t R ====⎧⎛⎫∂∂∂=+<<⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=<+∞⎨∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩的解.解 用分离变量法来解，令(,)()(),u r t R r T t =采用例1中同样的运算，可以得到1020()()(),R r C J r C Y r ββ=+ (8.36) 34()cos sin .T t C t C t αβαβ=+ (8.37)由(,)u r t 在0r =处的有界性，可知20,C =即10()().R r C J r β= (8.38)再根据边界条件(8.34)中第一式，得'10'()()0,R R C J R ββ==因1C β不能为零，故有0()0.J R β'=利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得1()0,J R β=即R β是1()J x 的正零点，以(1)(1)(1)(1)123,,,,n μμμμ表示1()J x 的所有正零点，则(1)(1,2,3,),nR n βμ==即 (1).nRμβ= (8.39)将(8.39)分别代入(8.38),(8.37)，得(1)0(),nn R r J r Rμ⎛⎫=⎪⎝⎭(1)(1)()cossin.nnn n n T t C t D t R Rαμαμ=+从而 (1)(1)(1)0(,)cos sin,n nn n n n u r t C t D t J r R R R αμαμμ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用叠加原理可得原定解问题的解为(1)(1)(1)01(,)cos sin,n nn n n n n u r t C t D t J r R R Rαμαμμ∞=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 将条件(8.35)代入上式得(1)010,nn n C J r R μ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ (8.40)(1)2(1)0211.n n n n a r D J r R R R μμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.41)由(8.40)得 0(1,2,3,);n C n ==由(8.41)并利用下面的结果（见习题八第14题）：如果(1)n μ是1()J x 的正零点，则(1)222(1)'(1)2(1)00100()()(),22Rn n n n R R rJ r dr J J J R μμμμ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰得到(1)20(1)2(1)2002(1)()R n n n n r D rJ r dr RJ R R μαμμ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (1)2(1)32(1)(1)3(1)004()4,()()()()n n n n n RJ R J J μαμμαμμ==- 所以最后得到定解问题的解为(1)(1)0(1)3(1)1041(,)sin .()()n n n n n Ru r t tJ r J R Rαμμαμμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.42)习 题 八1、当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围.2、写出01(),(),()(n J x J x J x n 是正整数）的组数表示式的前5项.3、证明21(0)0,n J -=其中1,2,3,n =.4、0()?dJ ax dx=.5、1[()?.dxJ ax dx= 6、证明()n y J ax =为方程2222'''()0x y xy a x n y ++-=的解. 7、证明321()cos sin ;2J x x x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦52233()1sin()cos().J x x x x x ππ⎤⎛⎫=--+- ⎪⎥⎝⎭⎦8、试证1232()y x J x =是方程22''(2)0.x y x y +-=的一个解.9、试证()n y xJ x =是方程222'''(1)0x y xy x n y -++-=的一个解.10、设(1,2,3,)i i λ=是方程1()0J x =的正根，将函数()0(01)f x x =<<展开成贝塞尔函数)((11x J λ=的级数. 11、设(1,2,3,)i a i =是0()0J x =的正根，将函数2()(01)f x x x =<<展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数. 12、设(1,2,3,)i a i =是方程0(2)0J x =的正根，将函数1,01,1(),120,12x f x x x <<⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数.13、把定义在[0,]a 上的函数展开成贝塞尔函数0i a J x a ⎛⎫⎪⎝⎭的级数，其中i a 是0()J x 正零点. 14、若1(1,2,3,)i λ=是1()J x 正零点，证明200200,,(),.2Ri i i j i xJ x J x dx R R R J i j λλλ≠⎧⎛⎫⎪⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎰[提示：可仿照8.4中推导贝塞尔函数模值的方法来证明.] 15、利用递推公式证明（1）'''2001()()();J x J x J x x=-（2）''''300()3()4()0.J x J x J x ++=16、试证1221()()(1)()(1)().nn n n o o ox Jx dx x J x n x J x n x J x dx --=+---⎰⎰17、试解下列圆柱区域的边值问题：在圆柱内0,u ∆=在圆柱侧面0a u ρ==，在下底00z u ==，在上底.z h u A ==18、解下列定解问题：22222220001;1,0;.,0.t t R u u u a t u u R t u u ρρρρρρ====⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪<∞=⎪⎪⎩若上述方程换成非齐次的，即2222211u u u B a t ρρρ∂∂∂+-=-∂∂∂ （B 为常数）， 而所有定解条件均为零，试求其解.。

第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:222'''()0x y xy x n y ++-=其中，n 为任意实数。

当n>0时，取级数解c k k k y a x ∞+==∑有120'()''()(1)c k c k k k k k y a c k xy a c k c k x ∞∞+-+-===+=++-∑∑代入原式，222222012{[()(1)()]}()[(1)]0k kk k a c k c k c k aa x a c a a c n x ∞-=++-++-++-++-=∑有222201222()0[(1)]0[()]0k k a c n a c n a c k n a --=+-=+-+=得1,0c n a =±=，取c=n, 有222()k k a a n k n -=+-定理：212200,1,...(1)!2!()!m m mma m n a m n m +==-=+ 取022!na n =得22(1)2!()!mmn m a m n m +-=+有一个特解220(1)()2!()!mn m n n m m y J x x m n m ∞++=-==+∑取c=-n, 得另一个特解2220(1)()2!()!m n mn n m m x y J x m n m -+∞--+=-==-+∑称J n (x)为第一类Bessel 函数。

当n 不为整数x-->0时，有J n (x)-->0, J -n (x)-->∞, 则J n (x)-与J -n (x)不相关。

由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n 不为整数，Bessel 方程的通解为()()n n y aJ x bJ x -=+由级数收敛差别法，有22211limlim 04()m m m m a a m n m R→∞→∞-===+ 式中R 为收敛半径，可知R=∞,则J n (x)与J -n (x)的收敛范围为0<|x|<∞ 定义：当n 为整数时，J n (x)-称为整数阶Bessel 函数 例计算J 0(1)的前三项和。

第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。

)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。

●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。

●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。

另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。

●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。

此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。

例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。

贝塞尔方程解贝塞尔方程是一种用于描述曲线的数学方程。

它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔于19世纪提出，并广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。

贝塞尔方程的一般形式可以表示为：B(t) = ∑(i=0 to n) (P(i) * B(i, n, t))其中，B(t)是曲线上的点，P(i)是控制点，n是控制点的数量，B(i, n, t)是贝塞尔基函数。

贝塞尔基函数是贝塞尔方程的核心，它决定了曲线的形状。

贝塞尔基函数的定义如下：B(i, n, t) = C(n, i) * t^i * (1 - t)^(n-i)其中，C(n, i)是组合数，表示从n个元素中选取i个元素的组合方式数量。

t是一个介于0和1之间的参数，决定了曲线上的点的位置。

贝塞尔方程的求解过程可以通过递归的方式实现。

具体步骤如下：1. 初始化一个空的点集合。

2. 对于每个参数t，计算贝塞尔基函数的值。

3. 将每个控制点与对应的贝塞尔基函数的值相乘，并将结果相加得到曲线上的点。

4. 将计算得到的点添加到点集合中。

5. 重复步骤2到4，直到遍历完所有的参数t。

6. 返回点集合作为贝塞尔曲线的解。

贝塞尔方程的优点之一是能够通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。

这使得它在计算机图形学中得到了广泛的应用。

例如，贝塞尔曲线可以用来绘制平滑的曲线、创建复杂的路径、生成自然的形状等。

除了在计算机图形学领域，贝塞尔方程还在计算机辅助设计中得到了广泛应用。

在CAD软件中，设计师可以通过调整控制点的位置来创建出各种形状的曲线和曲面。

这使得设计师能够更加灵活地表达自己的创意，并且能够更加高效地完成设计工作。

贝塞尔方程还可以用于图像编辑软件中的图像变形功能。

通过调整控制点的位置，用户可以对图像进行自由变形，实现各种有趣的效果。

例如，可以将一张人脸图像的嘴巴部分拉长，使其看起来更加夸张有趣。

贝塞尔方程是一种用于描述曲线的数学方程，具有广泛的应用价值。

它不仅在计算机图形学和计算机辅助设计中得到了应用，还被广泛用于图像编辑、动画制作等领域。

贝塞尔公式的分解计算过程
首先呢，我们得知道贝塞尔公式是用来干嘛的。

它主要是在处理数据的不确定度之类的问题上发挥作用的。

那怎么开始计算呢？
我们先得有一组数据，这组数据可不能是随随便便找来的哦。

我觉得吧，这组数据最好是经过认真测量或者收集得来的。

然后呢，我们要计算这组数据的平均值。

这一步很基础，但也很重要！就像盖房子打地基一样，要是平均值算错了，后面可就全乱套了。

计算平均值嘛，就是把所有的数据加起来，再除以数据的个数，这个大家应该都知道的吧？
接下来呢，就是要计算每个数据与平均值的差值。

这一步可得小心点喽！我刚开始做的时候，就老是在这一步出错呢。

差值算出来后要把这些差值进行平方。

为啥要平方呢？这是为了避免差值有正有负，加起来互相抵消了，这样就不能准确反映数据的离散程度啦。

然后呢，把这些平方后的差值加起来。

这时候你可能会想，这么做有啥意义呢？其实啊，这样做是为了得到一个总的偏差的衡量值。

不过呢，这还不是最终结果哦。

再然后呢，我们要除以（n - 1），这里的n就是数据的个数。

哎这一步可别弄错了哈。

我觉得这一步可以更灵活地去理解，其实就是为了得到一个更准确的、考虑到样本数量的偏差值。

题目： 贝塞尔函数及其应用院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学 学 生： 朱潇翔、 张文涛、 邹明明、樊元、狄震指导教师： 岳宗敏摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式目录一、起源 (1)（一）贝塞尔函数的提出 (1)（二）贝塞尔方程的引出 (1)二、贝塞尔函数的基本概念 (4)（一）贝塞尔函数的定义 (4)1. 第一类贝塞尔函数 (5)2. 第二类贝塞尔函数 (7)3. 第三类贝塞尔函数 (10)4. 虚宗量的贝塞尔函数 (10)（二）贝塞尔函数的递推公式 (11)（三）半奇数阶贝塞尔函数 (13)（四）贝塞尔函数的零点 (14)（五）贝塞尔函数的振荡特性 (16)三、 Fourier-Bessel级数 (16)（一）傅里叶-贝塞尔级数的定义 (16)（二）将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (17)四、贝塞尔函数的应用 (24)（一）贝塞尔函数在光学中的应用 (24)（二）贝塞尔函数在调频制中的应用 (26)附录 (30)一、起源（一）贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。

在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。

贝塞尔方程量子线边界下的解析解
贝塞尔方程量子线边界下的解析解是由贝塞尔方程来求解。

贝塞尔方程的定义如下：贝塞尔方程： \frac{\partial^2 \psi(z)}{\partial z^2}+[E-V(z)]\psi(z)=0 其中，E为能量，V(z)为位势函数，z为一维坐标。

当V(z)=0时，贝塞尔方程变为一般态的贝塞尔方程： \frac{\partial^2 \psi(z)}{\partial z^2}+E\psi(z)=0 此时，贝塞尔方程的解析解为： \psi(z)=A\cos{(kz)}+B\sin{(kz)} 其中，A、B为常数，k=\sqrt{2mE/\hbar^2}。

当V(z)≠0时，贝塞尔方程变为受力的贝塞尔方程：\frac{\partial^2 \psi(z)}{\partial z^2}+[E-V(z)]\psi(z)=0 此时，贝塞尔方程的解析解为： \psi(z)=C_1 e^{-k_1z}+C_2e^{k_2z} 其中，C1和C2为常数，
k1=\sqrt{2m(V(z)-E)/\hbar^2}, k2=\sqrt{2m(V(z)+E)/\hbar^2}。

当V(z)有边界时，贝塞尔方程的解析解可以通过求解边界条件得到。

在贝塞尔方程量子线边界下，边界条件为：当z=z_1时，\psi(z_1)=0 当z=z_2时，\psi(z_2)=0 此时，贝塞尔方程的解析解为： \psi(z)=A\sin{[k(z-z_1)]}+B\sin{[k(z-z_2)]} 其中，A、B为常数，k=\sqrt{2mE/\hbar^2}。

第十七章 贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。

17.1 贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：()02'''2=-++y v x xy y x修正贝塞尔方程：()022'''2=+++y v x xy y x当v 不是整数时，贝塞尔方程通解是：()()()x BJ x AJ x y v v -+=当v 是整数m 时，由于()()()x J x J m mm1-=-，因此其通解为()()()x BY x AJ x y m m +=17.1.1 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数()x J v 的级数形式为()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=∑及()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+-∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-Γ-=∑式中Γ是伽马函数。

当v 是整数时()∞=++-Γ1k v （k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m （整数）时，上述级数实际上是从k=m 开始的，即()()[]km kk v x m k k x J 202!!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑填空：()()()x J x J m mm--=1当x 很小时，保留级数中头几项，可得()()x v x x J vv +Γ⎪⎭⎫⎝⎛≈12()⋯---≠,3,2,1v特别是()100=J ，()00=m J ()⋯=,3,2,1m当x 很大时 ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈-2324cos 2x v x x x J v οπππ17.1.2 第二类贝塞尔函数定义：()()()ππv x J x J v x Y v v v sin cos --=；注意，()()()x Y x Y n nn 1-=-性质：当x 很小时，保留级数中头几项，可得：()()kv x Y vv Γ⎪⎭⎫⎝⎛-≈ππ21()0≠v ；()xx Y ln 20π≈()0=v当x很大时，其近似为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈24sin 2πππv x x x Y v第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：()()()()x iY x J x H v v v +=1()()()()x iY x J x H v v v -=2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成: ()()()21v v BH AH x y += 。