2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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对于问题一，我们建立主成分和灰色关联度分析模型，分析附表和相关资料，先确立了北京市水资源短缺风险的风险因素主要包括自然因素，即降雨量和常住人口，和社会因素，即农业用水，工业用水，第三产业及生活其他用水，污水处理率，城市绿化覆盖率。
然后利用主成分分析得到个各个因子的贡献率，再利用灰色关联度分析，得到各个因子与缺水量的关联度的大小，基本与主成分分析一致，最后得到主要风险因子。
对于问题二，我们用综合评价的RSR 模型,对模型一所确定的主要风险因子做相应高优和低优指标处理，并对北京市水资源短缺进行风险等级划分。
最后对主要风险因子进行调控，来降低风险等级。
对于问题三，我们建立 模型，要对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，我们通过对主要风险因子进行预测，并对预测模型进行后验差检验，然后再用RSR 模型，给未来的两年划分风险等级。
对于问题四，我们通过分析上面的数据和查找相关资料，给北京市水行政主管部门写一份建议报告。
关键词：主成分分析 灰色关联度分析 RSR 模型 (1,1)GM 模型 后验差检验(1,1)GM一、问题重述新中国成立以来，党和政府领导全国人民进行了大规模的水利建设，取得了巨大成就，但水的问题仍然困扰着我国经济社会的发展。
《1998年中国水资源公报》中的数据表明：中国面临的水资源形势依然严峻。
水的问题已经成为制约我国绝大部分地区经济社会可持续发展的重要因素。
水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。
主要包括陆地上的地表水和地下水。
风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。
水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此可能产生相关的的损失。
北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，目前，北京水资源年均用水总量达36亿立方米，而年均水资源总量仅有21亿立方米，缺口达15亿立方米。
北京的年均水资源量平摊到每个人身上，甚至不足100立方米。
为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，为了维持到现在，北京用尽了各种方法，除了寻找多种水源“开源”，还通过调整用水结构、再生水利用等办法“节流”。
用三句话概括，就是农业用水负增长，工业用水零增长，生活用水适度增长。
附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。
北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。
政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。
利用这些资料和我们可获得的其他资料，讨论了以下问题：问题一：影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。
我们评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么。
问题二：建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。
并通过相关数据对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低。
问题三：建立预测模型，对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
问题四：以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
二、基本假设（1）用水量是农业用水，工业用水，第三产业及生活其他用水的总和。
模型的分析与建立均以北京市为基础。
（2）由于水资源的不稳定性，在计算中排除某一差异较大的数，对模型无影响。
模型的分析与建立均以北京市为基础。
（3）引起水资源短缺的因素除我们选择的7个因子外，其他的因子影响都很小，可以忽略不计。
（4）在一年时间内，各风险因子对北京市水资源短缺的影响是一定的。
（5）模型的分析与建立均以北京市为基础。
三、符号说明ρ：分辨率；r：矩阵相关系数；n: 评价对象；m: 评价指标排成；R: 各组数据的秩；W: 相应权重；α: 称为发展灰数；μ: 称为内生控制灰数四、问题分析对于问题一，我们建立的是用主成分和灰色关联度分析法对水资源短缺的风险因子进行综合评价。
通过收集资料和分析数据，得到影响水资源短缺风险因素，主要有社会因素和自然因素，社会因素又可以细分为农业用水，工业用水，第三产业及生活其他用水，污水处理率，城市绿化覆盖率。
自然因素可以细分为降雨量和常住人口。
主成分分析中得到每个因子在各个主成分中的贡献率，根据贡献率的大小提取主要因子。
然后再结合灰色关联度分析来求得各个因子与缺水量的关联度，对主成分分析中得到的主要风险因子进行检验。
对于问题二，基于问题一所确立的主要风险因子，和对低优指标相应处理，利用RSR 模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价。
根据WRSR 对应的概率单位值进行相应等级划分。
通过控制影响北京市水资源短缺的主要风险因子的权重，来改变风险等级。
对于问题三，我们用 模型，分别预测了未来两年主要风险因子，即污水处理率，农业用水，第三产业及生活其他用水，降雨量，常住人口，在利用问题二的RSR 模型，得到未来两年的风险等级。
对于问题四，通过对水资源短缺风险因子的分析，和相关的预测，我们可以采取一些措施，降低水资源短缺的风险等级。
五、模型的建立与求解问题一模型的建立与求解通过查找相关资料，得到影响水资源短缺风险因素，主要有社会因素即为农业用水，工业用水，第三产业及生活其他用水，污水处理率，城市绿化覆盖率。
和自然因素即降雨量和常住人口。
如图1所示。
(1,1)GM5.1.1主成分分析的研究原理在数据分析工作中，常常需要把很复杂的数据集简化，即将 个指标所构成的 维简化为一位系统。
主成分分析就是多个指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法。
在多指标（变量）研究中，往往由于变量个数太多，且彼此之间存在着一定的相关性，因而使得所观测的数据在一定程度上有信息的重叠。
当变量较多时，在高维空间中研究样本的分布规律就更复杂。
主成分分析采取一种降维的方法，找出几个综合因子尽可能地反映原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关，从而达到简化的目的。
化 覆 盖 率 图1风险因子分布p p主成分分析的计算步骤如下：设观测样本矩阵为（n 为样本数， 为变量数）：为使该样本集在降维中所引起的平方误差最小，必须进行两方面的工作：一是进行坐标变换，即用雅可比方法求解正交变换矩阵；二是选取()m m p <个主成分.将原始数据进行标准化处理，即对样本集中元素：作变换 （i=1,2，…，n ；k=1,2，…， ）作变换，即ik k ik k x x x s -=， 其中：n 为参与评价的指标个数。
主成分分析的明显特征是每个主分量依赖于测量初始变量所用的尺度，当尺度改变时，会得到不同的特征值。
克服这个困难的方法是对初始变量进行以上标准化处理，使其方差为1.计算样本矩阵的相关系数矩阵。
对应相关系数矩阵，计算特征值以及各个主成分的贡献率。
再把贡献率大的因子找出来，从而起到筛选的作用。
5.1.2 主成分分析法求解过程在附录1中给出了1979到2010年北京水资源短缺风险评价的原始数据，我们利用 将这些数据进行标准差标准化处理后计算其相关系数矩阵（见表1）表1 相关系数矩阵 pik x spssp再由相关系数矩阵计算特征值和各个主成分的贡献率和累积贡献率如表2，表3所示。
表2 特征值和贡献率和累积贡献率表3 成分矩阵由表2、3可以看出，第一、第二主成分的累计贡献率已达到了%，我们在第一和第二主成分中选择因子，各个因子系数的大小可以反映因子对主成分的贡献率，所以我们选择了农业用水，第三产业及生活其他用水，降雨量，城市绿化覆盖率，常住人口，作为水资源短缺的主要风险因子。
5.1.3 灰色关联度的原理和求解灰色关联度分析是分析系统中各因素关联的程度的方法，在计算关联度之前，需先计算关联系数。
关联系数：则关联系数定义为：其中：为第k 个点 和 的绝对误差；()()()j X j X i nj i )0(01ˆmin min -≤≤为两级最小差； ()()()j X j X i nj i )0(01ˆmax max -≤≤为两级最大差； 称为分辨率，0< <1,若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。
一般取 =。
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有的数据分别除以第一个数据。
利用上述方法，我们缺水量来衡量水资源短缺程度，所以把缺水量作为参考序列，各个因子作为比较序列，得到各个因子与缺水量的关联度r （如表4所示）。
表4 各因子关联度值根据关联度的大小，我们同样可以选择农业用水，第三产业及生活其他用水，降雨量，城市绿化率，常住人口。
)0(i X ()0ˆX p p pp5.1.4 结果说明用主成分分析评价影响水资源短缺的主要风险因子和用灰色关联度分析方法对影响水资源短缺的主要风险因子，其结果基本一致，说明对于北京水资源短缺的主要风险因子为农业用水，第三产业及生活其他用水，降雨量，城市绿化率，常住人口。
