2.4 线段、角的轴对称性(1) 2

lQABP§线段，角的轴对称性（1）教学案主备人：赵廷尧自主学习问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 <问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗通过以上三个问题的解决你知道了什么 几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等）． "探究活动例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么变形:在例1的条件下：1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长；2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； %3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。

4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQA BC例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长D FC ·例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF．(【课堂练习】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.\§线段，角的轴对称性（1）达 标 自 测班级 学号 姓名自测内容1.线段垂直平分线上的点到 距离相等。

2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ．3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是 。

3.[2024苏州吴中区月考]在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：

(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为

半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于

AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相

如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，∵点Q在AB 的垂直平分线上，∴QA＝QB． ∴PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
A
∵三角形的两边之和大于第三边，
∴PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
A E B D C
3. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂 直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
C
D
A
E
B
4.如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连结P1P2, 分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm， 则△PMN的周长为_________________.
l
∵点P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA＝PB ．
P
或
∵PO⊥AB，OA=OB
∴PA＝PB ．
1 A
2 O
B
问题：到一条线段两端距离相等的点有
个.
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B O P
初中数学 八年级(上册)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
l 1 2 B

lO PB AB A 2.4线段、角的轴对称性 (1)班级 姓名 学号【学习目标】1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体会轴对称性的特征，发展空间观念。

2．探索证明线段的垂直平分线的性质。

3．运用线段的垂直平分线的性质解决相关问题。

【重点难点】重点：线段的轴对称性。

难点：线段的垂直平分线的性质及其应用。

【自主学习】读一读：课本P 51-P 52想一想:1．折纸使线段AB 两端点重合,并画出对称轴.2．对称轴上取一点P ，连接PA 、PB ，再沿对称轴对折，观察PA 、PB 有何数量关系？3．你能说明此结论的正确性吗？练一练： 利用网络画图中线段的垂直平分线【新知归纳】线段垂直平分线的性质：即：如图，∵直线l 是线段AB 的垂直平分线, 点P 在直线l 上∴ .【活动探究】例1.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, 求△BCE的周长。

例2.如图，点A、B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，A B'交m于点P．⑴A B'与AP+PB相等吗？为什么？⑵在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由．河流外婆家小孩家 【课堂检测】1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果∠ECD=55°，那么下 列说法错误的是（ ）A ．EC=EDB ．EF ⊥CDC ．∠D=55°D ．EC=CD3．如图，有一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。

小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。

问题（1）若他想到河边某一点去取水，使得所走的两段路程相等。

请你画出取水点P 的位置。

问题（2）若他想到河边某一点去取水，使得所走的路程最短。

请你画出取水点Q 的位置。

【课后巩固】1．如图1：AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形对数有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对2．如图2，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠A=50°，DE是AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD= °，∠DBC= °.3．如图3，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交BC于E，交AC于D．若△ABD周长为10，AC=7，则AB长是 .图1图2 图34．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于点O。