线段、角的轴对称性专题练习

2.4 线段、角的轴对称性一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．116．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（）A．B．2 C．D．37．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14 B．13 C．12 D．119．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABCC ．S △BCD =S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．40°D ．30°12．如图，在△ABC 中，AC=4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．814．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24° B．30° C．32° D．36°二、填空题15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=______．16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为______．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=______°．19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=______．20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=______．21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为______cm．22．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为______．23．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．2.4 线段、角的轴对称性参考答案与试题解析一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【考点】线段垂直平分线的性质；圆的认识；作图—基本作图．【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠ABC，∴甲正确；乙：如图2，∵AB=BP，∴∠BAP=∠APB，∵∠APC=∠BAP+∠B，∴∠APC≠2∠ABC，∴乙错误；故选C．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选：A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（）A．B．2 C．D．3【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】设BD=x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，则CD=4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．【解答】解：设BD=x，∵AB垂直平分线交AC于D，∴BD=AD=x，∵AC=4，∴CD=AC﹣AD=4﹣x，在△BCD中，根据勾股定理得x2=22+（4﹣x）2，解得x=．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，同时考查了勾股定理．7．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】应用题．【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A．【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是（ ）A ．∠C=2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD =S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．【分析】求出∠C 的度数即可判断A ；求出∠ABC 和∠ABD 的度数，求出∠DBC 的度数，即可判断B ；根据三角形面积即可判断C ；求出△DBC ∽△CAB ，得出BC 2=BC •AC ，求出AD=BC ，即可判断D ．【解答】解：A 、∵∠A =36°，AB=AC ，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A ，正确，B 、∵DO 是AB 垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD ，∴BD是∠ABC的角平分线，正确，C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，∴=，∴BC2=CD•AC，∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C，∴BC=BD，∵AD=BD，∴AD=BC，∴AD2=CD•AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70° B．80° C．40° D．30°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．8【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24° B．30° C．32° D．36°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．二、填空题15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= 7 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7．【点评】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．【解答】解：∵等腰△ABC的底角为72°，∴∠A=180°﹣72°×2=36°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．故答案为：36°．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= 15 °．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= 87 °．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为：87．【点评】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 6 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为m+n ．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，推出∠A=∠ABD=40°，求出∠ABC=∠C，推出AC=AB=m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC，代入求出即可．【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=40°，∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°，∴∠ABC=∠C，∴AC=AB=m，∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，故答案为：m+n．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．23．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为8 ．【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据平行四边形的性质，得知AO=OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE=EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．【解答】解：根据平行四边形的性质，∴AO=OC，∵OE⊥AC，∴OE为AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8，故答案为：8．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟记各性质与定理是解题的关键．。

两点，EC=4,ABC∆的周长为的垂直平分线分别交AC，AD，的对称点，线段MN分⊥，延长AE，BE，BE AE8.如图，D是ABC∆的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF 与AB的延长线交于点F，点O在AD上，AO COBC EF.=，//求证：（1）AB AC= ;（2）点O是ABC∆三边垂直平分线的交点.【知识点4】最值问题1.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ+PQ 的最小值是 ．5.如图，已知等边△ABC ，点D 为AC 的中点，BD=4，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为角平分线的性质知识点1 角平分线的性质1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论:①CD ED =;②AC BE AB +=;③BDE BAC ∠=∠; ④DA 平分CDE ∠.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若△ABC 的周长为41 cm ，边BC ＝17 cm ．AB<AC ，角平分线AD 将△ABC 的面积分成3：5的两部分，则AB ＝______cm ．3.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A.32B. 2C. 3D.不能确定的平分线BE，CD，平分BAC=;∠;③AP PC2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺的一边与射线OB重合，另一把直尺的一边与射线OA重合并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是BOA∠的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图，已知点P到,,AE AD BC的距离相等，下列说法:①点P在BAC∠的平分线上;②点P 在CBE∠，BCD∠，CBE∠的平分∠的平分线上;④点P是BAC∠的平分线上;③点P在BCD线的交点.其中所有正确的序号是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55.如图，已知射线OC上的任意一点到AOBD E F分别在边∠的两边的距离相等，点,,OC OA OB上，如果想要证明OE OF,,=，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能条件的序号 .①ODE ODF⊥.∠=∠;②OED OFD∠=∠; ③ED FD=;④EF OC6.如图，已知CE AB=.⊥，垂足分别为点,E F，BF交CE于点D，BD CD⊥，BF AC（1）求证：点D在BAC∠的平分线上;（2）若将条件“BD CD∠的平分线上”互换，成立吗?试说明=”与结论“点D在BAC理由.知识点3 角平分线的性质在生活中的应用1.如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．3. 如图，直线123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到4. 三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处3.如图，两条公路OA 和OB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有两个工厂C ，D ，现要在AOB ∠内部修建一个货站P ，使货站P 到两条公路的距离相等，且到两个工厂C ，D 的距离也相等，用尺规作出货站尸的位置.(要求:保留作图痕迹，不写作法)4.如图，三家公司A 、B 、C 准备共建一个污水处理站M ，使得该站到B 、C 两公司的距离相等，且使A 公司到污水处理站M 的管线最短，试确定污水处理站M 的位置．5.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04 线段、角的轴对称性考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P 在锐角 AOB ∠ 的内部，连接 OP ， 3OP = ，点P 关于 OA 、 OB 所在直线的对称点分别是 1P 、 2P ，则 1P 、 2P 两点之间的距离可能是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【完整解答】解：连接OP 1，OP 2，P 1P 2，∵点P 关于直线OA ，OB 的对称点分别是点P 1，P 2，∴OP 1=OP=3，OP=OP 2=3， OP 1+OP 2＞P 1P 2， 0＜P 1P 2＜6，所以A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意；故答案为：D.【思路引导】连接OP 1，OP 2，P 1P 2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP 1=OP=3，OP=OP 2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P 1P 2＜6，由此可得答案.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AB ⊥ 于点E ， 9ABC S = ， 2DE = ， 5AB = ，则 AC 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【完整解答】解：如图，过点D 作 DF ⊥AC ，DE AB ⊥ ， AD 是△ABC 的角平分线，∴DE DF =2=ABC ABD ACD S S S =+ ， 5AB = ， 9ABC S =1122ABC S AB DE AB DF ∴=⨯+⨯即 ()19252AC =⨯⨯+ 解得 4AC =故答案为：C.【思路引导】过点D 作DF ⊥AC 于点F ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF 的长，再利用ABC ABD ACD S S S =+可求出AC 的长.3．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【完整解答】解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，∵AC ＝BC ＝8，CD 是等腰三角形△ABC 底边上的中线，∴CD ⊥AB ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ＝DE ＝2，∴△BCE 的面积＝12×BC×EF ＝12×8×2=8.【思路引导】过点E 作EF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质可证得CD ⊥AB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF 的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.4．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC 中， 130BAC ∠=︒ ， AB ， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点E ，F ，与 AB ， AC 分别交于点D ，G ，则 EAF ∠ 的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A【完整解答】解：∵DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，∴EB=EA ，FA=FC ，∴∠BAE=∠B ，∠FAC=∠C ，∵△ABC 中，∠BAC=130°，∴∠B+∠C=50°，∴∠BAE+∠FAC=50°，∴∠EAF=∠BAC ﹣（∠BAE+∠FAC ）=80°.故答案为：A.【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB ，FA=FC ，利用等边对等角得∠BAE=∠B ，∠FAC=∠C ；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C 的度数；然后可用∠EAF=∠BAC ﹣（∠BAE+∠FAC ）计算可求解.5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在 ABC 中， AC BC = ， 30B ∠=︒ ，D 为 AB 的中点，P 为 CD 上一点，E 为 BC 延长线上一点，且 .PA PE = 有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒ ；②PAE 为等边三角形；③PD CE CP =- ；④.ABC AECP S S =四边形 其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②C ．①②④D ．③④【答案】C【完整解答】解：如图，连接BP ，∵AC ＝BC ，∠ABC ＝30°，点D 是AB 的中点，∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°，AD ＝BD ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝60°，∴CD 是AB 的中垂线，∴AP ＝BP ，而AP ＝PE ，∴AP ＝PB ＝PE∴∠PAB ＝∠PBA ，∠PEB ＝∠PBE ，∴∠PBA+∠PBE ＝∠PAB+∠PEB ，∴∠ABC ＝∠PAD+∠PEC ＝30°，故①正确；∵PA ＝PE ，∴∠PAE ＝∠PEA ，∵∠ABC ＝∠PAD+∠PEC ＝30°，∴∠PAE+∠PEA ＝ 18060120︒-︒=︒，60APE ∴∠=︒ 而 PA PE =，∴△PAE 是等边三角形，故②正确；如图，延长 PD 至 P ' ，使 PD P D ='，则点P 关于AB 的对称点为P′，连接P′A ， ∴AP ＝AP′，∠PAD ＝∠P′AD ，∵△PAE 是等边三角形，∴AE ＝AP ，∴AE ＝AP′，∵∠CAD ＝∠CAP+∠PAD ＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD ＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD ＝60°﹣∠PAC ，60EAC PAC ∴∠=︒-∠，∴∠P′AC ＝∠EAC ， ∵AC ＝AC ，∴△P′AC ≌△∠EAC （SAS ），∴CP′＝CE ，∴CE ＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD ， ∴2CE CP PD -= . 故③错误；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，∵CG ＝CP ，∠BCD ＝60°，∴△CPG 是等边三角形，∴∠CGP ＝∠PCG ＝60°，∴∠ECP ＝∠PGB ＝120°，且EP ＝PB ，∠PEB ＝∠PBE ，∴△PCE ≌△PGB （AAS ），∴CE ＝GB ，∴AC ＝BC ＝BG+CG ＝EC+CP ，∵∠ABC ＝30°，AF ⊥BE ，∴AF ＝12AB ＝AD ， ∵S △ACB ＝ 12 CB×AF ＝ 12 （EC+CP ）×AF ＝ 12 EC×AF+ 12 CP×AD ＝S 四边形AECP ， ∴S 四边形AECP ＝S △ABC .故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP ，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB ＝∠ABC ＝30°，AD ＝BD ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝60°，进而推出AP ＝BP ＝PE ，由等腰三角形的性质可得∠PAB ＝∠PBA ，∠PEB ＝∠PBE ，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA ＝120°，∠APE=60°，据此判断②；延长PD 至P′，使PD=P′D ，则点P 关于AB 的对称点为P′，连接P′A ，由等边三角形的性质可得AE ＝AP ，则AE ＝AP′，推出∠P′AC ＝∠EAC ，证明△P′AC ≌△∠EAC ，得到CP′＝CE=CP+2PD ，据此判断③；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，则△CPG 是等边三角形，则∠CGP ＝∠PCG ＝60°，证明△PCE ≌△PGB ，得到CE ＝GB ，推出AC ＝BC ＝EC+CP ，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF ＝12AB ＝AD ，据此不难判断④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，∴AC 垂直平分BB′，∴AB ＝AB′，∴∠BAC ＝∠B′AC ，∵AB ＝AD ，∴AD ＝AB′，又∵AE ⊥CD ，∴∠DAE ＝∠B'AE ，∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E 中，∠EB′O ＝180°−12α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α， ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α， 故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′，∠BAC ＝∠B′AC ，利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE ，由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB 交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F'，连接DF，DF'，则DE DF DF=='，'，∠DFF DF F∴∠='∠，BD平分ABC∠=∠，由图形的对称性可知：DFB DEBDE AB，40∠=︒，ABC∴∠=︒-︒=︒，DEB18040140∴∠=︒，140DFB当点F位于点F'处时，='，DF DF18014040DF B DFF ∴∠=∠='︒-︒='︒ ．故答案为：A ．【思路引导】以点D 为圆心， DE 长为半径画圆交 AB 于点F ，F ' ，连接 DF ，DF ' ，则 DE DF DF ==' ，由图形的对称性可知DFB DEB ∠=∠ ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F 位于点 F ' 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B 的度数.9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt △ABC 中，∠CBA ＝90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠MCB 的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE ⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA ＝45°；②AF ﹣CG ＝CA ；③DE ＝DC ；④CF ＝2CD+EG ；其中正确的有（ ）A ．②③B ．②④C ．①②③④D ．①③④【答案】C【完整解答】解：设∠GCD ＝x ，∠DAC ＝y ，根据三角形外角的性质可得：=2=2x y ADC x y ABC+∠⎧⎨+∠⎩ ， ∴1==452ADC ABC ∠∠︒ ，故①正确； 延长GD 与AC 相交于点P ，∵DE ⊥CF ，∴∠CDG ＝∠CDP ＝90°，∵CF 平分∠GCP ，∴∠GCD ＝∠PCD ，在△GCD 和△PCD 中，===GCD PCD CD CDCDG CDP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△GCD ≌△PCD （ASA ），∴CG ＝CP ，∵∠ADC ＝45°，∴∠ADP ＝∠ADF ，在△AFD 和△APD 中，===FAD PAD AD ADADF ADP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AFD ≌△APD （ASA ），∴AF ＝AP ，∴AF ﹣CG ＝CA ，故②正确；同理△ACD ≌△AED （ASA ），∴CD ＝DE ，故③正确；在DF 上截取DM ＝CD ，则DE 是CM 的垂直平分线， ∴CE ＝EM ，∵∠ECG ＝∠GCD ﹣45°，∠MEF ＝∠DEF ﹣45°，∴∠ECG ＝∠FEM ，∵EF ＝CP ，CP ＝CG ，∴EF ＝CG ，在△EMF 和△CEG 中，===EM CE FEM ECG EF CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴EMF CEG ≌ （SAS ）， ∴FM ＝GE ，∴CF ＝2CD+EG ，故④正确；故答案为：C.【思路引导】设∠GCD ＝x ，∠DAC ＝y ，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD 与AC 相交于点P ，根据角平分线的概念可得∠GCD ＝∠PCD ，证明△GCD ≌△PCD ，得到CG ＝CP ，进而证明△AFD ≌△APD ，得到AF ＝AP ，据此判断②；同理△ACD ≌△AED ，据此判断③；在DF 上截取DM=CD ，则DE 是CM 的垂直平分线，CE ＝EM ，易得∠ECG ＝∠FEM ，证明△EMF ≌△CEG ，得到FM ＝GE ，据此判断④.10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【完整解答】解：∵AD 平分 CAF ∠ ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE DF = ，在 Rt CDE 和 Rt BDF 中，BD CD DE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt CDE Rt BDF ≅ ，故①正确；∴CE AF = ，在 t ADE R 和 Rt ADF 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ，∴Rt ADE Rt ADF ≅ ， ∴AE AF = ，∴CE AB AF AB AE =+=+ ，故②正确；∵Rt CDE Rt BDF ≅ ，∴DBF DCE ∠=∠ ，又∵AOB DOC ∠=∠ ，∴∠BDC ＝∠BAC ，故③正确；∵AD 平分 CAF ∠ ，∴DAF DAE ∠=∠ ，∵BD CD = ，∴DBC DCB ∠=∠ ，∵180BAC DAF DAE ∠+∠+∠=︒ ， 180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ，∠BDC ＝∠BAC ， ∴DAF DAE DBC DCB ∠+∠=∠+∠ ，∴∠DAF ＝∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF ，根据HL 证明Rt CDE Rt BDF ≅，可得CE=AF ， DBF DCE ∠=∠ ，根据HL 证明Rt ADE Rt ADF ≅，可得AE AF =，从而得出CE AB AF AB AE =+=+，据此判断①②；在△AOB 和△DOC 中，DBF DCE ∠=∠，∠AOB=∠DOC ，可得∠BDC ＝∠BAC ，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB，从而得出∠DAF ＝∠CBD ，据此判断④.二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为.【答案】6【完整解答】解：如图，先标注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABE和△ACE中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴S△ABE＝S△ACE，在△BDF和△CDF中，BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，∴△BDF≌△CDF（SAS），∴S△BDF＝S△CDF，∴S△BEF＝S△CEF，∵S△ABC＝12BC•AD＝12×4×6＝12，∴S阴影＝12S△ABC＝6．故答案为：6.【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝12S△ABC，则可求得答案．12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：连接PC，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，BD=12BC=6∴BP=CP，22221068AD AB BD=-=-=∴EP+BP=EP+CP要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE ⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；∵1122ABCS AB CE CB AD=⋅=⋅，∴10CE=12×8解之：CE=9.6.故答案为：9.6.【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP 的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．【答案】4【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案为：4．【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为．【答案】4【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝3，∴CD＝3，∴BD＝BC−CD＝7−3＝4．故答案为：4．【思路引导】由角平分线的性质可得CD＝DE=3，利用BD＝BC−CD即可求解.15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 为△ABC 的角平分线，过点D 作直线l AB ，点P 为直线l 上的一个动点，若△BCD 的面积为16，BC ＝8，则AP 最小值为 ．【答案】4【完整解答】解：∵∠C ＝90°，△BCD 的面积为16，BC ＝8， ∴1162BC CD ⋅=，即4CD =， 作DE ⊥AB ，∵BD 为△ABC 的角平分线，∴4DE CD ==，∵直线l AB ，∴AP 最小值与DE 相等为4，故答案为：4．【思路引导】根据三角形的面积公式求出CD ，根据角平分线的性质求出DE ，根据垂线段最短解答即可。

1.到一条线段两端距离相等的点有个.2.如图,△ABC 中，DE垂直平分AC，与AC 交于E，与BC 交于D，∠C=150,∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.3.如图，△ABC 中，∠C=900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD:∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.4、如图，DE 是BC 的垂直平分线，如果△ACD 的周长为17cm，△ABC 的周长为25cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?5、如右图，在直线MN 上求作一点P ，使PA=PB6、已知：如图，AB =AC =12cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29cm ，求DC 的长.7、已知：在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8cm ，△ABE 的周长是14cm ，求AB 的长．D E B C AD E C AB1．线段的对称轴有条,是；2．线段的垂直平分线是的点的集合．3、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点4、如图,△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，∠C=150,∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.5、如图，△ABC 中，∠C=900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD=4：1，则∠B ＝_______.6、如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2,分别交OA 、OB 于点M 、N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为_________.7、如图，直线MN 表示河边，一牧民在点A 处放牧，现在要到河边去饮水，然后回到帐篷点B 处，问在何处饮水，才能使他所走的路最短？在图中作出表示饮水处的C 点。

第二章线段、角的轴对称性一．选择题（共10小题）1．（2016湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．22．（2016淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．603．（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．45．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（）A．24°B．30°C．32°D．42°7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（）①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（）A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对二．填空题（共6小题）11．（2016西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______．12．（2016遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度．13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______．14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为______．15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是______．16．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA 平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是______ （写序号）三．解答题（共5小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．19．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．20．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．（2016湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．2．（2016淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=ABDE=×15×4=30．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．3．（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．4【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（）A．24°B．30°C．32°D．42°【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．【解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，∴3∠ABP+24°+60°=180°，解得：∠ABP=32°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【分析】根据三角形周长求出AD+DC=12cm，根据线段垂直平分线求出AD=BD，求出BC=AD+DC，即可得出答案．【解答】解：∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+DC=12cm，∵AB的垂直平分线DE，∴BD=AD，∴BC=BD+DC=AD+DC=12cm，故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（）①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB 于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．【解答】解：∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，∴ON=OQ，OQ=OM，∴ON=OM=OQ，∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，∴O在∠ABC的角平分线上，即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；故选B．【点评】本题考查了三角形的角平分线性质和三角形的中线性质，主要考查学生的推理能力和辨析能力．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=．故选B．【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（）A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PC=PA，得到答案．【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PC=PA=6，故选：B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=2．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．12．（2016遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=35度．【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得∠A=∠C=35°，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，问题得解．【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键．13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是30．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30，故答案为：30．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为22cm．【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，∴AC=2AE=8cm，AD=DC，∵△ABD的周长为14cm，∴AB+AD+BD=14cm，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出AD=DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．16．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA 平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是①②④⑤（写序号）【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断①正确，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，判断②正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断④正确；根据同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判断⑤正确，并得到③错误．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，∴DA平分∠CDE，故②正确；BE+AC=BE+AE=AB，故④正确；∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠BDE，故⑤正确；∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，∴DE平分∠ADB错误，故③错误；综上所述，正确的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键．三．解答题（共5小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．【分析】（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）证明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．19．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE 即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周长为16cm求出OC 的长，进而得出结论．【解答】解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．20．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．【分析】由P为△ABC三边垂直平分线的交点，推出PA=PC=PB，由等腰三角形的性质证得∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCN=30°，由∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和即可推出结论．【解答】解：∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA=PC=PB，∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCN=30°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣2×20°﹣2×30°）=40°．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关键．21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系请说明理由．【分析】（1）由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；（2）由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEG中，由∠DEG=30°推出DE=2DG，即可推出结论．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF∴点A、D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．（2）答：AG=3DG．理由：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，∴∠DEG=30°∴DE=2DG，∴AD=4DG，∴AG=3DG．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DG．题目比较典型，综合性强．。

学案1.4 线段、角的轴对称性知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A 、一条线段B 、两条相交直线C 、有公共端点的两条相等的线段D 、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。

其中轴对称图形共有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A AD C DPO E B B E C4、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm.5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D CPA B6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。

（1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________；（2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。

7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

（1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。

应用与拓展8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C并说明理由。

B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如1 2 3图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。

2.4 线段、角的轴对称性（1）一、选择题1．下列命题正确的有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=AD，BC=BD，则（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm二、填空题4．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______°．5．已知：如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=______．6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______ cm．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：∠EBA=1：4，则∠A=______度，∠ABC=______度．8．底边AB=a的等腰三角形有______个，符合条件的顶点C在线段AB的______上．三、解答题9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．10．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．（1）若BC=13，求△AEG的周长．（2）若∠BAC=126°，求∠EAG的度数．参考答案一、A 解析：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图.⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解.故选A．2．B 解析：AC=AD，BC=BD.根据线段垂直平分线的性质可得：AB垂直平分CD.故选B．3．D 解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．故选D．二、4．15解析：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣50°）÷2=65°.∵DE为AB 的中垂线，∴AD=BD.∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=15°．5．120° 解析：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠C=∠B==30°，∵AC的垂直平分线交BC于D，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=120°．6．4解析：∵AB=AC=6cm，DE垂直且平分AB，∴BE=AE．∵△BCE的周长为10cm，BE+CE=AC=AB=6，∴BC=10﹣6=4（cm）．7．40 50解析：如图.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠EBA．∵∠CBE：∠EBA=1：4，∴可设∠CBE=x，则∠A=∠EBA=4x，∵∠C=90°，∴∠CBE+∠A+∠EBA=90°，即9x=90°，解得x=10°，∴∠A=4x=40°，∠ABC=5x=50°．8．无数垂直平分线解析：如图，作线段AB的垂直平分线，在该垂直平分线上任取两点M、N，则有MA=MB、NA=NB，即△MAB、△NAB均为等腰三角形，∴底边AB=a的等腰三角形有无数个，符合条件的顶点C在线段AB的垂直平分线上．三、9．解：∵AB的垂直平分线交AC于D点，∴DB=DA，∠2=∠A（设为α），∴∠BDC=∠2+∠A=2α；∵∠C=90°，∠1=2∠2，∴∠1+∠BDC=90°，即4α=90°，∴α=22.5°，即∠A=22.5°．10．证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC．11．解：∵C△ABC=18cm，∴AB+AC+BC=18cm． 2分∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，BD=BC 4分∵C△ABE=10cm，∴AB+AE+EB=AB+AC=10cm． 5分∴BC=C△ABC﹣C△ABE=8cm． 7分∴BD=BC=4cm． 8分12．解：（1）∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，BC=13，∴BE=AE，CG=AG，∴△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=13；（2）在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠1=∠B，同理可得∠2=∠C，又∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，∴2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，∴∠EAG=60°．2.4 线段、角的轴对称性（2）一、选择题1．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，有下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC的中点．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是______三角形．4．如图，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=______°．5．如图，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AC，则△ABD的周长是______．6．如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=______度．7．在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B 的度数是______．三、解答题8．（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．9．如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．10．如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且∠OBC=∠OCB，求证：AO⊥BC．11．已知：如图∠ABC=∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB=PC．参考答案1．D；2．B；3．直角；4．20；5．33；6．=；=；=；50；50；80；100；7．37.5°或67.5°；8．内部；斜边的中点；外部；9．10．11．。

线段和角的轴对称性1．如图所示，在△ABC 中P 为BC 上一点，PR ⊥BC ，垂足为R ，P S ⊥AC ，垂足为S ，AQ =PQ ，PR =P S ．下面三个结论：①A S=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△C S P 其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．关于线段的垂直平分线有以下说法，其中正确的说法有（）①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个3．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的角平分线交于点O ，AB =6cm ，BC =9cm ，△ABO 的面积为182cm ，则△BOC 的面积为（）2cm A ．27B ．54C ．272D ．1084．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ，则下列结论：①DE ＝DF ；②AD 平分∠BAC ；③AE ＝AD ；④AC －AB ＝2BE 中，正确的是（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．②③④第1题图第3题图第4题图5．如图，OC 平分AOB ∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥于D ，6cm PD =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为______cm ．6．如图，在ABC ∆中，7AB cm =，5BC cm =，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，点F 是DE 上的任意一点，则BCF ∆周长的最小值是________cm ．7．如图，在ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E 两点，并且相交于点F ，且70DFE ∠=︒，则DAE ∠的度数是_________．第5题图第6题图第7题图8．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是_________．第8题图第9题图第10题图9．如图，任意画一个∠A=60°的ABC ，再分别作ABC 的两条角平分线BE 和CD ，BE 和CD 交于点P ，连接AP ．有以下结论：①∠BPC ＝120°；②AP 平分∠BAC ；③PD ＝PE ；④BD ＋CE ＝BC ；⑤PBD PCE PBC S S S +=△△△．其中正确结论的序号是____________．10．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，9AC =，12BC =，15AB =，AD 是BAC ∠的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是_________．11．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于E ，点F 在AC 上，且DF BD =．(1)求证：BE CF =；(2)若20AB =，8AF =，求BE 的长．12．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．求证：(1)AD 平分∠BAC ；(2)AC =AB +2BE .13．如图，AD //BC ，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若2PE =，求两平行线AD 与BC 间的距离．参考答案1．A2．B3．A4．C5．66．127．40︒8．4360BOC BPC ∠=∠-︒9．①②③④⑤10．36511．(1)见解析;(2)612．(1)见解析;(2)见解析13．4。

第2章《轴对称图形》：2.4 线段、角的轴对称性（2）选择题1．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28° B．25° C．22.5° D．20°2．三角形三边垂直平分线的交点是三角形的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心（第1题）（第4题）3．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点4．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 2 ，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4（第5题）（第6题）（第7题）填空题6．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=度．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．8．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为 cm．（第8题）（第9题）（第10题）9．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．10．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=10cm，则△DEB的周长是 cm．11．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为 cm．12．如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是 cm．（第12题）（第14题）（第15题）13．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=8，则点D 到斜边AB的距离等于．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=6 cm，则点D到AB 的距离是 cm．16．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为．（第16题）（第17题）（第18题）17．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．18．如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AE C的度数是度．19．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．（第19题）（第20题）（第21题）20．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为 cm．21．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=35°，则∠CDB=度．22．如图，在Rt△A BC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．（第22题）（第23题）（第24题）23．△ABC中，∠BAC=100°，若DE、FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF=．24．如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么AC= ．25．如图，在△ABC中，AB=AC=12，EF为AC的中垂线，若EC=8，则BE的长为．26．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，交AC于D，连接BD，若∠ABD=50°，则∠C=度．（第25题）（第26题）27．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为．（第27题）（第28题）28．如图，在△ABC中，AB=AC=15cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E,△EBC 的周长是25cm，则BC的长 cm ．29．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC 的度数是°．答案：1．故选A．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°-∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．2．故选A．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段的垂直平分线的性质可知，三角形三边垂直平分线的交点到3个顶点的距离相等，所以是外心．解答：解：三角形三边垂直平分线的交点到3个顶点的距离相等，所以是外心．故选A．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．故选D．考点：线段垂直平分线的性质．分析：可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．解答：解：如图：∵OA=OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，∵OB=OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，∵OA=OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质；题目比较简单，只要熟知线段垂直平分线的性质即可．分别思考，两两满足条件是解答本题的关键．4．故选B．考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．5．故选B．考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质．分析：利用线段的垂直平分线的性质计算．解答：解：∵DE垂直平分AB∴∠B=∠DAE，BE=AE∵∠B=22.5°，∠C=90°∴∠AEC=∠CAE=45°∴AC=CE∴2AC2=AE2∴AC=2．故选B．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．填空题6．故答案为：60°．考点：角平分线的性质．分析：已知有点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的逆定理可知，可得OP为角的平分线，加上若∠POB=30°，答案可得．解答：解：∵点P到∠AOB两边的距离相等∴OP平分∠AOB∴∠AOB=2∠POB=60°．点评：此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；题目比较简单，从已知条件认真思考．7．故答案为：3cm．．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：已知给出了角平分线，求的是D点到直线AB的距离，根据点到直线的距离，再根据角平分线的性质即可求得．解答：解：由∠C=90°，AD平分∠CAB作DE⊥AB于E所以D点到直线AB的距离是DE的长由角平分线的性质可知DE=CD又BC=8cm，BD=5cm所以DE=CD=3cm．所以D点到直线AB的距离是3cm．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D点到直线AB的距离是CD的长是解决的关键．8．故答案为：4．考点：角平分线的性质．分析：要求点D到AB的距离利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知，只要求得D到AC的距离即可，而D到AC的距离就是CD的值，答案可得．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD是点D到AB的距离，∵CD=10-6=4，∴点D到AB的距离为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题前，要有分析过程，培养自己的分析能力．9．故填5．考点：角平分线的性质．分析：要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，知求出底上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故填5．点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．10．故填10．考点：角平分线的性质．分析：由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE=CD，AC=AE，加上BC=AC，三角形的周长为BE+BD+DE=BE+CB=AE+BE，于是周长可得．解答：解：CD=DE∵AC=BC∴∠B=45°∴DE=BE∵△DEB的周长=DB+DE+BE=AC+BE=AB=10．故填10．点评：本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和线段的和差关系求值．利用线段相等，进行线段的转移是解决本题的关键．11．故填6．考点：角平分线的性质．分析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．解答：解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，∴CD就是D到AB的距离，∵BD：DC=5：3，BC=16cm，∴CD=6，即D到AB的距离为6cm．故填6．点评：本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．利用线段相等学会线段的转移，利用相等的线段进行线段转移是一种很重要的方法，注意掌握．12．故填20．考点：角平分线的性质．分析：由已知条件，结合已知在图形上的位置，根据角平分线的性质可得M到AB的距离等于CM．解答：解：∵∠C=90°，AM平分∠CAB，∴M到AB的距离等于CM=20cm．故填20．点评：本题考查了角平分线的性质；注意题中隐含的条件：MC⊥AC的运用．本题比较简单，属于基础题．13．故填8．考点：角平分线的性质．分析：由已知条件开始思考，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8．解答：解：∵点D到斜边AB的距离等于CD∴D到斜边AB的距离为8．故填8．点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质就可，比较简单，属于基础题．14．故填6．考点：角平分线的性质．分析：首先由线段的比求得CD=6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离是．解答：解：∵BC=15，BD：DC=3：2∴CD=6∵∠C=90°AD平分∠BAC∴D到边AB的距离=CD=6．故填6．点评：此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．15．故填6．考点：角平分线的性质．分析：结合已知条件在图形上的位置，由角平分线的性质可得点D到AB的距离是6cm．解答：解：点D到AB的距离=CD=6cm．故填6．点评：此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．16．故填4．考点：角平分线的性质．分析：由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D 到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．解答：解：∵BC=10，BD=6∴CD=4∵∠C=90°，∠1=∠2∴点D到边AB的距离=CD=4．故填4．点评：此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．17．故答案为：60°．考点：线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由三角形的外角性质知∠ADC=∠BAD+∠B，又已知∠BAC=120°，根据三角形内角和定理易得∠B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知∠BAD=∠B，从而得解．解答：解：由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．故答案为：115°．考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．专题：计算题．分析：先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC=12×50°=25度，所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．解答：解：∵AD垂直且平分BC于点，∴BE=EC，∴∠DBE=∠DCE，又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，∴∠EBC=∠C=12×50°＝25°，∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，∴∠AEC=115°．点评：此题考查角的平分线、线段的垂直平分线及外角的相关知识，难度不大，19．故填19．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．解答：解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=12AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13---①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6----②把②代入①得L△ABC=13+6=19cm．△ABC的周长为19cm．故填19．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．20．故填38．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．解答：解：因为DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得△ADB为等腰三角形．所以AD=CD．又因为周长△ABD=AB+BD+AD=AB+BD+CD=26∴周长△ABC=AB+BD+CD+AC=26+2×6=38．故填38．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．21．故填70．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先利用三角形的内角和求出∠CBE的度数，再利用垂直平分线的性质求出∠DBC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠CDB=70度．解答：解：∵△ABC中，∠C=90°，A=35°∴∠CBE=180°-∠C-∠A=180°-90°-35°=55°∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∠A=∠DBE=35°，∴∠DBC=∠CBE-∠DBE=55°-35°=20°在△CDB中，∠C=90，∠DBC=20°，∠CDB=180°-∠C-∠DBC=180°-90°-20°=70°．∠CDB=70度．故填70．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．22．故填10．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据垂直平分线的性质计算．∠BCD=∠BCN-∠DCA．解答：解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，∴∠BCN=180°-∠B-∠A=180°-90°-40°=50°，∵DN是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∠A=∠DCA=40°，∠BCD=∠BCN-∠DCA=50°-40°=10°，∠BCD的度数是10度．故填10．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．23．故答案为：20°．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=80°，再根据线段垂直平分线的性质求出∠BAE+∠CAF=∠B+∠C，然后便不难求出∠EAF．解答：解：∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=180°-100°=80°，∵DE、FG分别垂直平分AB和AC，∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，∴∠BAE+∠CAF=80°，∴∠EAF=100°-80°=20°．故答案为：20°．点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质；得到∠BAE+∠CAF=∠B+∠C是正确解答本题的关键．24．故填12．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，结合△BDC 的周长为22，可得答案．解答：解：因为DE垂直且平分AB⇒△ADB是等腰三角形⇒AD=BD已知△BDC=BC+BD+CD=22，BC=10⇒AC=12．故填12．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．25．故填4．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到EA=8，做差后得到BE的长度．解答：解：∵△ABC中，AB=AC=12，EF为AC的中垂线∴EC=EA=8，BE=12-8=4．BE的长为4．故填4．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．26．故填65．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得出BD=AD，得到角相等，再根据三角形的内角和计算．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD，∠A=∠ABD=50°，∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A）=12（180°-50°）=65°，∠C=65°．故填65．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识及三角形内角和定理．得到∠A=∠ABD=50°是正确解答本题的关键．27．故填10．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，运用垂直平分线的性质得到线段相等，进行等量代换后可得三角形的周长．解答：解：∵BC边上的垂直平分线交AC于点D，∴BD=CD．∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+（AD+CD）=AB+AC=3+7=10．故填10．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．28．故填10．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线性质，得到线段相等，进行线段的等量代换后得到答案．解答：解：∵△ABC中，AB=AC=15cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴DE是AB的垂直平分线，EB=EA，∵△EBC的周长是25cm，即EB+EC+BC=25，EA+EC+BC=25，BC+AC=25，BC=25-AC=25-15=10．BC的长10cm．故填10．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．29．故填15．考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．分析：由已知条件，求出底角的度数，根据垂直平分线的性质计算可得答案．答：解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=（180°-50°）÷2=65°∵DE为AB的中垂线∴AD=BD∴∠ABD=∠A=50°∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．故填15．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理．解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等进而得到角相等．。

小学三年级数学轴对称图形专项练习一、填空。

1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。

2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。

3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。

4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。

5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。

6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图形就叫做___________，这条直线叫做________．7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段．8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，•请再写出三个这样的汉字：_________．9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴．10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴．11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为. 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。

二、选择题。

1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（）A、S B 、H C、P D、Q2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（）3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个5、下列图形中，对称轴最多的是（）。

A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形6、下面不是轴对称图形的是（）。

A、长方形B、平行四边形C、圆D、半圆7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。

AB、c8、图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是 ( )9、找出下面图形中是轴对称图形，并且有两条对称轴的是（）A．B．C．D．三、操作题：1、下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴。

2.4线段、角的轴对称性一．选择题1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（）A．22cm B．19cm C．13cm D．7cm2．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD 的周长为（）A．10B．15C．20D．253．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（）A．16B．13C．19D．105．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE ＝10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．27．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若P A＝2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°二．填空题1．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．2．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC和△ADE 的周长分别为30和6，则BC的长为．4．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD＝5，AB＝6，若△ACD的面积为10，则△ABC的面积为．5．已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝2，若S△ABD＝a，则S△ADC＝．（用a的代数式表示）6．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．二．解答题1．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠P AD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC长．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．4．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．5．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．6．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．。

数学八（上）《线段、角的轴对称性》练习1.在一张薄纸上任意化一个三角形ABC,用折纸的方法分别折出边AB和AC的垂直平分线了l1和l2，l2的交点为0.点O在边BC的垂直平分线上吗为什么（第1题答案）答案：点O在边BC的垂直平分线上，因为点O在AB、AC的垂直平分线上，所以OA=OB,OA=OC,理由是：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

由此得到OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上。

理由是：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

2.利用网络线画图：（1）在图①中，画线段PQ的垂直平分线；（2）在图②中，找一点O，使OA=OB=OC。

答案：2. （1）（2）○1（第2题答案）○2借助网络和全等三角形的知识，图○1中关键是找出M和点N ;图○2中要找的点O在垂直平分BC的网络线上。

3.任意画一个钝角三角形ABC（∠A＞90°）（1）用直尺和圆规分别作两边AB和AC的垂直平分线l1和l2（2）l1、l2的交点O到点B、C的距离是否相等答案：（1）（第3题答案）（2）OB=OC.4.（1）在一张薄纸上画△ABC及其两个外角（如图），用折纸的方法分别折出∠BAD和∠ABE的平分线，设两条折痕的交点为O;（2）用直尺和圆规∠C的平分线CF，如果你折纸和作图都十分准确，点O 应该在射线CF上，这是为什么(第4题) (第4题答案)答案：（1）略（2）因为点O分别在∠BAD和∠ABE的平分线上，所以点O到AD 的距离等于点O到AB的距离。

点O到BE 的距离等于点O到AB的距离，于是可得点O到AD、BE的距离相等、所以点O 在∠C的平分线上。

5.利用网格想作图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等;(2) 在射线AP上找一点Q，使QB = QC .（第5题）答案：图略。

（1）只有任意找一个A为顶点的格点正方形，过点A的对角线或其延长线与BC的交点就是点P;(2) 在以A为一个顶点、边长为5的正方形中，与点A 相对的顶点就是Q。