人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)

≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()

A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B

4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。

定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长 关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何 种大小关系吗？
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。 3.掌握柯西不等式的应用.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
ac bd 2 ac bd .
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
对于任何实数a,b,c,d有不等式成立： a2 b2 c2 d 2 ac bd , a2 b2 c2 d 2 ac bd .
定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)

2 1 )＋ ( 2y) ]2 3 2 2 2 2 1 ［ 3x ＋ 2y ］[( ) 2＋ ( )2 ] 3 2 4 1 11 2 2 ＝ (3x ＋2y )( ＋ ) 6 ＝ 11. 3 2 6 所以 2x＋y 11，
【解析】1. 2x＋y ＝ [ 3x (
2


1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.
2.已知 a 1－b 2 b 1－a 2 1,求证：a2+b2=1.
【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使 用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变 换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待 求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以 考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯 西不等式等号成立的条件即可.
所以kmax=4. 答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量 n (cos x, 1 sin 2 x )， 形式可得： f x 3cos x 4 1 sin 2 x
32 42 cos2 x 1 sin 2 x 5 2.
当且仅当m∥n时上式取等号，此时，
b d b d
立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时