热传导方程扩散方程45页PPT

heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？
qi

3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
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14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t

qV

0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2

1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
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10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
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5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致

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1、 扩散方程的通解：（数学部分自学） 可得到
无限大物体扩散方程的通解式（3-11） －∞≤x≤∞ 半无限大的物体扩散方程通解，式（3-13）
0≤x≤∞ 2、 扩散方程的特解：（数学部分自学） 限定源：书P70（3-20）（3-21）式浓度分布 恒定源：（3-32）浓度分布
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x
2Dt
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四、两步扩散
由上述分析可见，恒定表面浓度的扩散，难于制作出低表 面浓度的深结；有限源扩散不能任意控制杂质总量，因而难于 制作出高表面浓度的浅结。为了同时满足对表面浓度、杂质总 量以及结深等的要求，实际生产中常采用两步扩散工艺：第一 步称为 预扩散 或 预淀积，在较低的温度下，采用恒定表面浓度 扩散方式在硅片表面扩散一层杂质原子，其分布为余误差函数， 目的在于控制扩散杂质总量；第二步称为 主扩散 或 再分布，将 表面已沉积杂质的硅片在较高温度下进行有限源扩散，以控制 扩散深度和表面浓度。
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The End
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3
Wi
4
1
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2
3
1
2
4
2、 替位式扩散机构
B、P、As、Sb、Al、Ga、Ge等杂质。替 位杂质：占据晶格位置的外来杂质。如 果替位杂质周围无空位，它必须要互相 换位（与晶格上的原子，如B、Si等）才 能实现往邻近晶格上运动
12 3
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替位模式
Ws
1
2
3
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填隙模式
4.2 扩散方程
例2、制造npn大功率管，功率为50-100W，频率 1 5 0 KHz， 击 穿 电 压 VB 为 8 0 0 V， 最 大 电 流 Imax为20A，电流放大系数β≥10-20，表面 电阻R 为100-150Ω/ □

2.2 两端固定的弦振动
定解问题是
utt a 2 u xx , 0 x l , t 0, t 0, u (0, t ) 0,u (l , t ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), 0 x l t
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a

解是
n at n at n u ( x, t ) an cos bn sin x sin l l l n 1
n bn ( x) sin xdx n a 0 l 2
l
2 l n an ( x) sin xdx l 0 l
2.2.1 两端固定的弦振动
2.1.2 无限长的弦的自由振动
由初始条件得
0, x at 0, x at 1 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a 0, x at 0, 1 x at 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a

则解是
3na 4na bn 2 2 cos cos 7 7 n a 2l
2.2.2 两端固定的弦振动 (l 1,a 1)

石棉、珍珠岩、矿渣棉等各类制品， 是电厂中广泛采用的隔热保温材料
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谢谢观看
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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第三节 辐射换热
特点 辐射换热与导热、对流换热的主要
不同点就是换热是物体（或物质）之间 不接触。
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第三节 辐射换热
现在研究外界热辐射的能量投射到某一物
体表面的情况。
单位时间内射到物体单位面积上
Ee
n
的总能量，称为投射辐射Ee。其
E r 中一部分被吸收，称为吸收辐射
Ea；一部分被物体反射出去，称
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5
第一节 导热
气体的导热：通过其处于杂乱无章运动中的分子间的 碰撞，进行能量的交换而实现导热。
固体的导热：主要是通过材料晶格的热振动波以及自 由电子的迁移来实现的。
液体的导热：在液体介电质中，热量的转移是依靠弹 性波的作用。
在金属内部则依靠自由电子的运动，而对于非金 属则主要通过晶格的热振动波进行热量的传递。
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6
第一节 导热
温度场（Temperature field） 某时刻空间所有各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数，即：
tf(x,y,z,)
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7
第一节 导热
如果物体内各点的温度在温度不随时间 而变，称为稳态温度场。
若物体内的温度分布随时间变化，则为 非稳态温度场。
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火电厂的生产过程和传热过程联系密切。 热量传递的基本方式有导热、对流换热和辐射

P 2 exp( S2 )
n
2N
令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；
N=at/l，Sl=x1
P 2l exp( x12 )
at 2lat
与
c(x1,t)
M exp(x12 )
4Dmt
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
2021/3/25
2021/3/25
授课：XXX
22
5
4
y2 (104 m2 )
3
2
1
2
y2 (102 m)
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
t(s)
t(s)
曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。当t>0.7s，线性关系良好。
Y2Y 1 2 .0 Y 0 2 .74 .3 8 2 .5 96 .0 1 4 0 m /s2 t 1 .00 .7 0 .3
D r(s 0 ,t) w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t A 1 t
s2 (s 0 ,t) s 0 2 w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t2 A 1 t2 d dts2s0 2(w i(s0,t)w i(s0,t))`1 2A 1
2021/3/25
授课：XXX
18
常数A1与s0的大小有关：
202而1/3按/25 t1/2增大，随后又按t-1/2授降课：低XXX
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例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测
不同时刻粒子的横向位移Y，Y2的统计值Y 2 及通过原点后的

.
7
.
8
2、声子热导
从晶格格波的声子理论可知，热传导过程 ------声子从高浓度区域到低浓度区域的扩散过程。
热阻：声子扩散过程中的各种散射。
根据气体热传导的经典分子动力学，热传导系数 λ ：
1 c l 3
cV：单位体积气体分子的比热------单位体积中声子的比热； v ：气体分子的运动速度------声子的运动速度； l：气体分子的平均自由程------声子的平均自由程。
热占一定份量，随着温度的上升，热导率略有增大（气体导热）
.
18
2、结构的影响
• 晶体结构越复杂，晶格振动偏离非线性越大，热导率越 低。 • 晶向不同，热传导系数也不一样，如：石墨、BN为层状 结构，层内比层间的大4倍，在空间技术中用于屏蔽材料。 • 多晶体与单晶体同一种物质多晶体的热导率总比单晶小。
—— 翻转过程（声子碰撞）
.

10
• 点缺陷的散射
散射强弱与点缺陷的大小和声子的波长相对大小有关。
点缺陷的大小是原子的大小：
在低温时，为长波，波长比点缺陷
大的多，估计 ： 波长 D a/T
犹如光线照射微粒一样，从雷利公
式知: 散射的几率 1/4 T4,平
均自由程与T4成反比.
在高温时，声子的波长和点缺陷大 小相近似，点缺陷引起的热阻与温 q 度无关。平均自由程为一常数。
➢ 非稳定传热（物体内各处的温度随时间而变化 ） 一个与外界无热交换，本身存在温度梯度的物体，随着时间的 推移温度梯度趋于零的过程，即存在热端温度不断降低和冷端 温度不断升高，最终达到一致的平衡温度。该物体内单位面积 上温度随时间的变化率为：
（ρ为密度，CP为恒压热容）
.

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Sp,ad( x)2
(30) (31) (32)
边界条件的处理
附加源项法的实质
– 边界节点消去法 – 不仅能用于内节点网格，也能用于外节点网格
实施方法：
– 计算附加源项：Sc,ad，Sp,ad – 把附加源项计入该控制容积中的源项中 – 令与边界节点对应的系数（aW）等于0
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特别提示
边界条件的处理是传热问题数值计算最重要的环节之一 元体能量平衡法的基础地位 尽可能采用外节点法划分网格 边界节点消去法
从图中可以清楚地看出这一点 即使 (x)2= (x)3
( x)1也不等于 ( x)2 所以要对第一个内部节点给予特别注意。
31
x=0 (x)1
(x)2
qB 1
2
3
边界条件的处理
注意：
(x)2
( x)3
例如，对于直角坐标系，对C点于VW2节（的点节左点2控控，1制）制面重面w合e与！，节即
a P T 2 a W T 1 a E T 3 b 2 与左边( 界重2合0 ！ )
(8)
边界条件的处理
整理后得到，
T1T2(xe)11 eqB1 2(x)1S
特点
二阶精度 不具有一般性 推导繁琐
(15)
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边界条件的处理
x=0
e
qB 1
e
(x)1
2
3
(x)2
二阶精度的Taylor级数展开法
d dT x x0d dT 2 xd d2T 2x2(x)1O [(x)1 2]
4.1.3 控制方程的离散化
– 将方程（1）两边通乘A（x），并对x从w到e积分：
ddxA(x)ddT xSA (x)0

1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u

g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n

g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：

2
F (x,t) C
2
u 进一步简化为： ( x , t ) t u ( x , t ) f ( x , t )
2
2、扩散方程
当流体内部的密度不均匀时，物体内部就会出现物质由 浓度大的地方向浓度低的地方扩散。
扩散运动满足粒子数守恒定律和Fick定律，Fick定律表 示为： j Du(x,t)
K u ( x , t )V t
2
2u ( x , t ) 2u ( x , t ) 2u ( x, t ) K V t 2 2 2 y z x
若热量无损耗，只造成了物体温度得变化，且物体为各 项同性介质，则：
Q C m u C V u ( x, t ) t t
考虑图中的小三维空间，根据Fourier定律，热流的分量：
jx K jy K jz K u x u y u z
则在dt时间内流入四方体内的热量为：
Q j x j x dx y z
j
y
j y dy x z

j z j z dz y x t
jx y z j y x z jz y x t
jy jx jz xyz xyz xyz t y z x
2 u ( x , t )t D u ( x , t ) F ( x , t )
另外，扩散方程可表示为： u(x,t) Du(x,t) F (x,t) t 或：
t u(x,t) q F (x,t)
2、扩散方程
1、热传导方程

f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数
D 为扩散系数
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第二节 初边值问题的分离变量法
11
定解问题
未知函数分离
泛定方程分离
边界条件分离 分离结果
12
分离结果的求解
空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出
13
典型问题的求解
分离结果的合成 再合成半通解 初始条件要求 系数的确定
例题2
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
18
过程小结
分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数
14
分 离 变 量 流 程 图
15
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
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第二类边界条件
定解问题
未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离
本征运动 半通解 初始条件要求
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典型问题的求解
第二章 热传导方程与扩散方程
❖ 热传导方程
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假 定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交 换，来研究物体内部温度的分布规律。
1
Fourier实验定律
注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，
2
3
由热量守恒定律，物体内部无热源时，
4
交换积分次序
5
若物体内部有热源，
6
Hale Waihona Puke 如果物体是均匀的，且各向同性的，则有 数学模型
其中： a2=k/Cρ， f (x,y,z,t)=f0/C， 二维的情形： 一维的情形：
7
❖ 定解条件
边界条件 给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体 表面的限制。 一般来有三种类型：

Ji Ci.Bi uxi
Ci单位体积中i组成质点数 Vi 质点移动平均速度
Ji
Ci.Bi C uii .C xi J＝－Di
Ci x
Di Ci.Bi C uii Bi lu nC i i
C iC N i( m 分 ) o lC 数 n i l lN n i
Di
Bi
ui lnNi
2021
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t x2 y2 z2
用途： 适用于不同性质的扩散体系； 可用于求解扩散质点浓度分布随时间和距离而变化的不稳 定扩散问题。
对二定律的评价： (1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数，但没有给出D与结构 的明确关系； (2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以外的一切影响扩散的 因素都包括在扩散系数之中，而未赋予其明确的物理意义； (3) 研究的是一种质点的扩散(自扩散)； (4) 着眼点不一样(仅从动力学方向考虑) C t
2、 离子晶体中的扩散
空位机制： 大部分离子晶体 如： MgO、NaCl、FeO、CoO
两种机制
间隙机制：只有少数开放型晶体中存在 如： CaF2、UO2中的 F－、O2－
应石含用量：不Ca能F超2在过玻5璃0％中，能否降则低加熔2点％，C2降a0F21低2 烧结温度，还可以起澄清剂作2用9 。长
例： CaCl2引入到KCl中，分析K＋的扩散，基质为 KCl KC lVK VC •l (本征)扩散 Ca2 C KlC lCK •aVK 2CClL(非本征 ) 扩散
2021
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理解：
Di BiRT (1L Lnn iiN )
1 Ln i
LnN i
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i

2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J dm 1
dt 4r2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
第二十页，课件共有135页
dmD4r2 dC
dt
dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 r1
dmdr C2
dtr2
C1
4DdC
由稳态扩散条件
J
a
H
J
g
H
JH aD aCgaalaC 1D laafaH a i faH 1 a
JH g Dg C2 lgCggaD lgg a fH gg a fH ig
C 1 C 2 分别为H在两相中的浓度;
a a 分别为H在两相中的活度; ag
f a f g 分别为H在两相中的活度系数;
第二十第五二十页五页，，课课件件共共有13有5页135页
x2 x1
ddm t dxCC12
DAdC
扩散物质的流量
d dm tx2x1D AC2C1
dmD AC 2C 1D AC 2C 1
dt
x2x1
l
l ：x1与x2两点间距离
第十第六十六页页，，课课件件共共有有1315页35页
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
ΔC 引起的电位差 U C K
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
两相层的厚度
a相的厚度为
la
g相的厚度为
lg
设扩散物质为氢 (H)，由于它在
a相与g相中具有一定的溶解度
aa
aa faC1
ag fg C2

其中 n 为边界 的法线方向
法向的正向为指向系统外
例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通
过，那里的边界条件就是
u 0 n
(dQ k u ds dt 0) n
又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自 由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位
在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随 时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而
改变，趋向于稳定状态。这时，ut 0 ，齐次的热传导方程便化为稳
定温度场的拉普拉斯方程。
热传导方程： ut a2 (uxx uyy uzz ) ut a22u 0
变为： 2u 0
)dydz
q1 x
dxdydz
将
q1
k
u x
kux 代入，得：
Q1
x
(kux
)dxdydz
x
(kux
)dxdydz
z
Q1 x (kux )dxdydz
如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间
的变化率为：
u Q1 (kux ) t dxdydz x
——一维扩散方程
O
A(x, y, z)
C(x, y dy, z dz)
§1.3 定解问题的提法
推导了三种不同类型偏微分方程
波动方程 热传导方程 Laplace方程
定解条件：初始条件和边界条件。 定解问题：偏微分方程和相应的定解条件
初值问题（ Cauchy(柯西)问题）：只有初始条件，没有边 界条件的定解问题
S
V
此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即