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2.5等比数列的前n项和(一) 公开课一等奖课件

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《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q

等比数列的前n项和(第一课时)-PPT课件

等比数列的前n项和(第一课时)-PPT课件
2.5等比数列前n项和Sn
体验：
西游记后传
哈哈，我是 CEO了……
话说猪八戒自西天取经之后，便回到了高 家庄，成立了高家庄集团，自己也摇身一变成了 CEO，但是好景不长，他的公司因为经营不善 出现了资金短缺，于是他便想向师兄孙悟空借钱 。
2
第一天出１元入１００万元； 第二天出２元入１００万元; 第三天出4元入１０0万元；……
1 2
五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知
三求二”问题.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1
1 ,
1 ,
,L
;
248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
例1求下列等比数列前8项的和:
（1）1 2
,
1 4
,
1 8
,L
;
（2）a1＝27，a9＝
1 ，q 243
0.
解（：2）由a1
27 , a9
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 100 30 S30 1 2 22 23 229
3000(万元)
每天借入100万元， 连续一个月(30天)
1，2，22，…，229
第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
以上的数列求和就是我们本节课所要学的 等比数列前n项和Sn
②
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an
①
qSn= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1
②
① - ②得
错位相减法

(人教版)数学必修五：2.5《等比数列的前n项和(1)》ppt课件 公开课精品课件

(人教版)数学必修五：2.5《等比数列的前n项和(1)》ppt课件 公开课精品课件
第二章 2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同．从 签订合同之日起，在整整一个月 (30 天)中，小明第一天贷给小林 1 万元，第二天贷给小林 2 万元…… 以后每天比前一天多贷给小林 1 万元．而小林按这样的方式还贷： 小林第一天只需还 1 分钱，第二天还 2 分钱，第三天还 4 分 钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍．
(1)求数列的通项公式 an； (2)试比较 f(12)与 3 的大小，并说明理由．
[解析] (1)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn， f(1)＝n2，f(－1)＝n， ∴f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2， f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an＝n. 由题意，得na12＋an＝n2，n2d＝n. ∴a1＋an＝2n，d＝2，∴2a1＋(n－1)×2＝2n，∴a1＝1，∴ an＝2n－1.
() A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ [答案] D
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[解析] 由题意知 Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 为等比数列，即 X，Y－X，Z－Y 为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，整理得 Y2－XY＝ZX－X2， 即 Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选 D．
已知 a1＝27，a9＝2413，q<0，求这个等比数列前 5 项的和．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[分析] 出 S5.
[解析]
由 a1，a9 可求出 q，再用等比数列前 n 项和公式求 1

等比数列的前n项和(一) 省一等奖课件

等比数列的前n项和(一) 省一等奖课件

2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S 64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
即
∴当q≠1时， 或 ② ①
等比数列的前n项和公式的推导2
由定义, 由等比的性质,
即
∴当q≠1时， 或 ∴当q＝1时， ② ①
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1 ＝18446744073709551615
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
1 1 ( 2 ) a 1 2 .7 , q , a n . 3 90

2.5 等比数列的前n项和(精品课件)

2.5 等比数列的前n项和(精品课件)

an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和 公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等 比 数 列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的 性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项 和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和 为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天 的 2倍 ．
知识探究 等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q

2.5等比数列的前n项和ppt课件精品

2.5等比数列的前n项和ppt课件精品
[点评] 本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．
迁移变式2
一个等比数列的首项为1，项 数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为 170 ，求此数列的公比和项数． 解：设等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)，由已知，
1－q 1－q2 ＝85， a1＝1，q≠1，且有 2n q 1 － q 2 ＝170. 1 － q
答案：32
5．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，
且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an} 的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn， 证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R)， 由 a7＝a1q6＝1，得 a1＝q－6， 从而 a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1. 因为 a4，a5＋1，a6 成等差数列， 所以 a4＋a6＝2(a5＋1)． 即 q 3＋q 1＝2(q 2＋1)，q 1(q 2＋1)＝2(q 2＋1)．
3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2
＋ a3 ＋ a4 ＝－ 3 ，则 a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＋ a7 ＝ ( ) A. B. C. D.
a2＋a3＋a4 a21＋q＋q2 a2 1 解析：由 ＝ ＝ ＝q＝－ ， 2 a1＋a2＋a3 a11＋q＋q2 a1 1 又由 a1＋a2＋a3＝6， 且 q＝－ ， ∴a1＝8， 可得 a2＝a1q＝8×(－ 2 1 2)＝－4， a11－q7 11 ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ －8－(－4)＝ . 8 1－q
第2课时
等比数列前n项和的
性质
1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，

2.5.1等比数列前n项和(1) ppt

2.5.1等比数列前n项和(1) ppt

（错位相减法）
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
当q≠1时，
等比数列{an}前n项和
思考：等式(1) 两边除以q可否
推出公式？
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，
则得到一个首项为a1=
1 2
，公比q= 1 的等比 2
数列，
它的前n项和为
Sn
1 2
[1
1 2
n
]
1 1
1 (1)n 2
2
不论n取何值，
1
(
1
)n
总小于1，
2
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半， 永远也取不完。
例2．等比数列{an}的公比q=
1 2
，a8=1，求它
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an =？
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
（不完全归纳法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
Sn

《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件

《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件

直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和

高中数学必修五-等比数列的前n项和省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

高中数学必修五-等比数列的前n项和省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

二 错位相减法求数列的和
【例2】
已知数列{an}的首项a1＝
2 3
，an＋1＝
2an an＋1
，n＝
1,2，….
(1)证明：数列{a1n－1}是等比数列； (2)求数列{ann}的前n项和Sn.
【分析】 (1)可如下变形 an＋1＝a2n＋an1⇔an1＋1＝12·a1n＋12； (2)用错位相减法求数列的前n项和．
a1q2＝－12， a11＋q＋q2＝－9，
① ②
② ①得1＋qq＋ 2 q2＝34.
即q2＋4q＋4＝0，∴q＝－2.
3．求和Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1. 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，两式相减，得
自
我 校
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
na1
对
名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和 公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题． (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑 公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字 母时，要讨论．
【正解】 (1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a≠0时，1，a，a2，…an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． ∴当a≠1时，Sn＝1×11－－aan＋1＝1－1－ana＋1. 当a＝1时，Sn＝n＋1. 又当a＝0时，Sn＝1－1－ana＋1也成立．

2.5等比数列前n项和(共37张PPT,全课时) (1)

2.5等比数列前n项和(共37张PPT,全课时) (1)
06:58 7
如何求等比数列的Sn:
Sn a1 a2 a3 an1 an
错位相减法
n1
Sn a1 a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
①
n
qSn
a1q a1q a1q a1q
2 3
n1
a1q ②
n
①—② ，得 (1 q)Sn a1 0 0 a1q n (1 q)Sn a1 a1q
06:58
a1 1 q Sn 1 q

n

（q≠1）
8
等比数列前n项和公式的推导
a1 1 q Sn 1 q

n

（q≠1）
思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？
06:58 9
等比数列前n项和公式的推导
na1 (q 1) n S n a1 (1 q ) (q 1) 1 q
S 64 1 2 4 8
……
2 2
62
63
① 错 位 相 ② 减 法
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64 2 4 8 16+
……
2 63 2 64
由②- ①得： 64 S 64 2 1
=18446744073709551615≈1.84 10
06:58
Sn na1
12
例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 ,q 0 (1) , , , (2)a1 27, a9 243 2 4 8
1 1 所以当n 8时 ,q (1) 因为 a1 解： 2 2 8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 1 2 1 27 q 8
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讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64
②
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2.5 等比数列的 前n项和 (一)
主讲老师：陈震
复习引入
1. 等比数列的定义： 2. 等比数列通项公式：
a n a1 q
n 1
( a1 , q 0 )
( a1 , q 0 )
an am q
n m
复习引入
3. {an}成等比数列

4. 性质：
a n1 q ( n N , q 0) an
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 ) 64 S 64 2 1＝18446744073709551615
2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S 64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
②
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2
2 3
63
①
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S 64 1 2 2 2 2 ① 2 3 63 2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
2 3 63
2 S 64 2(1 2 2 2 2 )
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 )
2 3 63
即 2 S 64 2 2 2 2 3 2 63 2 64 由②－①可得：
2 3 63
②
64
2 S 64 S 64 ( 2 2 2 2 2 ) 2 3 63 (1 2 2 2 2 )
讲授新课
这种求和 请同学们考虑如何求出这个和？ 的方法,就 2 3 63 是错位相 S 64 1 2 2 2 2 ① 减法 2 3 63!
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
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这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
若m＋n＝p＋q，则am · an＝ap · aq.
复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么 要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒，第二个格子放 2 颗麦粒，第三个格子 放 4 颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他 的要求. 我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的 2 倍，共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：