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11.1.3 多面体与棱柱11.1.4 棱锥与棱台A级必备知识基础练1.下列四种说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.下列说法正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱3.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )A.12 cmB.13 cmC.√61 cmD.15 cm4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A.1∶1B.1∶√2C.1∶√3D.1∶25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别为棱AB,B1B,C1D1的中点,过点M,N,Q作该正方体的截面,则所得截面的形状是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形6.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm 和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为.7.若A={四棱柱},B={平行六面体},C={直平行六面体},D={正方体},E={正四棱柱},F={长方体},则它们之间的包含关系为.8.已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为4,则这个棱锥的斜高为,高为.9.如图,M是棱长为2 cm 的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.10.若一正四棱台的上底面、下底面边长分别为2,4,其表面积为80,求该四棱台的高.B级关键能力提升练11.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )12.(北京高一阶段练习)一个正方体的六个面上分别有字母A,B,C,D,E,F,如下图所示是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是( )图①图②A.BB.EC.FD.E或F13.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )A.8(6+6√2+√3)B.6(8+8√2+√3)C.8(6+6√3+√2)D.6(8+8√3+√2)14.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有条.15.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,则其表面积为.C级学科素养创新练16.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?11.1.3 多面体与棱柱11.1.4 棱锥与棱台1.A ①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.2.B 对于A,如图①所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故A不正确;对于B,由棱柱的定义可知正确;对于C,分成的两部分不一定是棱柱,故C不正确;对于D,如图②所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱.图①图②3.C 将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6cm,宽等于5cm,由勾股定理d=√62+52=√61cm.4.C 设正方体的棱长为a,则三棱锥D1-AB1C的棱长均为√2a,∴S D1-AB1C =4×12×(√2a)2×sin60°=2√3a2,S正方体=6a2,S D1-AB1CS正方体=2√3a26a2=1∶√3.故选C.5.D 如图所示,E,F,H分别为棱AD,DD1,B1C1的中点,M,N,Q确定平面α,NH ∥MQ且N∈α,故NH⊂α,Q∈α,H∈α,故QH⊂α.同理可得FQ⊂α,EF⊂α,EM⊂α,故截面为六边形.故选D.6.1 012 cm2由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=√132-(18-82)2=12(cm),所以S侧=4×12×(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),则正四棱台的表面积为S=624+64+324=1012(cm2).7.D⫋E⫋F⫋C⫋B⫋A8.2√32√2如图所示,由题意知,正四棱锥底面边长为4,又侧棱长为4,所以侧面为等边三角形,取G为CD的中点,在等边三角形VCD中,VG=√32VC=2√3,点V在平面ABCD 的投影为正方形ABCD的中心O,在Rt△BCD中,DB=√BC2+DC2=4√2.则DO=12DB=2√2,所以在Rt△VOD中,VO=√VD2-DO2=2√2.9.√13由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是√13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是√17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是√13cm.10.解设该正四棱台的斜高为h',高为h,由题意得,22+42+4×(2+4)ℎ'2=80,解得h'=5.∴h=√ℎ'2-(2-1)2=√25-1=2√6.∴该四棱台的高为2√6.11.A 根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D中都有相同的图案相邻,故选A.12.A 根据两个不同放置的图形,明显可知C的对面不是A,B,D,E,故C的对面是F,则与D相对的面为E或B,若E面与D面相对,则A面与B面相对,这时与图②放置矛盾,故与D面相对的是B面.故选A.13.A 由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为√2,则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2-4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选A.14.10 在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.第11页 共11页 15.√3a 2 由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S △SBC =12a 2sin60°=√34a 2. 因此,四面体S-ABC 的表面积S=4×√34a 2=√3a 2.16.解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)①不对.只有一条棱着地水面才是矩形;②不对.只有一条棱着地水才是棱柱.。
11.1.3 多面体与棱柱-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、教学目标1.了解并掌握多面体和棱柱的数学概念和相关术语，如：多面体、棱柱、底面、侧面、顶点、棱等。
2.能够准确区分多面体和棱柱，并能在图形上进行判断和操作。
3.能够根据多面体和棱柱的特征进行计算，如：表面积、体积、侧棱长等。
4.发扬创新和实践能力，能够运用多面体和棱柱的知识解决实际问题。
二、教学重点1.多面体和棱柱的定义和特征。
2.多面体和棱柱的计算方法。
3.在实际问题中运用多面体和棱柱的知识。
三、教学难点1.同学们对于多面体和棱柱的概念理解是否清晰。
2.同学们在计算多面体和棱柱体积时是否能够正确运用知识。
四、教学过程1. 导入新知识教师介绍多面体和棱柱的基本概念和特征，如：多面体有面、顶点、侧棱；棱柱有底面、侧面、侧棱、顶点等，希望同学们初步掌握这些术语和概念。
2. 讲解多面体教师将多面体分为长棱锥、正棱锥、长方体、正方体、正八面体、正二十面体等，并介绍它们的特点和区别。
同学们可以在课堂上进行观察和感受。
在此基础上，教师可以进行一些简单的计算练习，如：长方形的表面积和体积，正方形的表面积和体积等。
3. 讲解棱柱教师将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，并介绍它们的特点和区别。
同学们可以在课堂上进行观察和感受。
在此基础上，教师可以进行一些简单的计算练习，如：计算三棱柱的表面积和体积，四棱柱的表面积和体积等。
4. 案例演练教师通过具体案例，让同学们学会如何运用多面体和棱柱的知识解决实际问题。
如：案例一：某公司需要制作一个看板，形状为长方体，长为2米，宽为1米，高为1.5米，请问需要多少金属板？案例二：某学校图书馆需要购买10个木制的正方体书架，每个书架的边长为1米，请问需要多少木料？同学们可以在课堂上结合实际情境进行思考和讨论，并在教师的指导下进行计算和解答。
5. 课堂小结教师对本节课的内容进行总结和归纳，让同学们对所学到的知识有一个清晰的概括。
11.1.3 多面体与棱柱-人教B版高中数学必修第四册
（2019版）教案
课时安排
本课预计使用时间为1课时（45分钟）。
教学目标
1.掌握多面体、棱柱的定义；
2.理解棱、面、顶点的概念以及它们之间的关系；
3.掌握求多面体表面积和体积的方法。
教学重难点
1.掌握多面体的表面积和体积的计算方法；
2.理解棱柱的概念及其性质。
教学内容及步骤
教学内容
本课主要内容包括多面体与棱柱的定义、概念，以及多面体的表面积和体积的计算方法。
教学步骤
步骤一：引入课题（5分钟）
引导学生回忆上一课时所学的内容，准备进入本课的主题。
步骤二：讲解多面体与棱柱的定义 (20分钟)
1.介绍多面体和棱柱的定义；
2.通过示意图和实物进行讲解，帮助学生理解棱柱的概念以及它与多面体的关系；
3.让学生用自己的话解释多面体和棱柱，并回答问题。
步骤三：讲解多面体的表面积和体积的计算方法 (15分钟)
1.对多面体的表面积和体积进行讲解；
2.通过实例演练，让学生掌握计算多面体表面积和体积的方法。
步骤四：练习和巩固 (5分钟)
1.给学生布置相应作业，巩固所学知识；
2.检查学生掌握程度。
总结
通过本课的学习，学生们已经掌握了多面体与棱柱的概念及其性质，同时也学会了求多面体表面积和体积的计算方法。
在实际生活中，多面体与棱柱表面积和体积的计算被广泛应用。
这些方法不仅能够帮助学生在学习数学时获得更好的成绩，也能够让学生在实际生活中更加方便地进行计算。
第十一章立体几何初步[数学文化]——了解数学文化的发展与应用几何原本《几何原本》由古希腊数学家欧几里德编著，大约成书于公元前300年，距今已有2000多年的历史.《几何原本》全面而系统地将远古人类创造的零散数学成果进行整理，以五大公设为基础、由简单到复杂，用严谨的逻辑思维进行层层推理、严格证明，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何……，应用丰富的数学思想：分析法、综合法和归谬法进行层层推演，其惊艳的逻辑美伦美奂，令人陶醉.这是古代文明史上的一大壮举，远古人类第一次用“公理系统”构建起了古代的数学大厦，对近代和现代数学，产生了深远的影响.《几何原本》的内容与我们在中学阶段学习的大部分几何知识基本等同，但是，真正宝贵的是蕴含于其中的“数学思想”.[读图探新]——发现现象背后的知识法国国防部的“法国五角大楼”，从外部看犹如一座城堡.而它的内部围成中庭，呈六边形，与法国本土轮廓相似，因而也被称为“巴拉尔六角大楼”.大楼的外墙可以承受导弹攻击，指挥中枢位于地下，安全措施严密.国防部大楼也并非完全一座冷冰冰的军事堡垒，内部还建有庭院、美发室、图书馆、游泳池、体育设施和餐厅，甚至还有幼儿园.这壮观的大楼是由几何体组成的.问题1：建筑中有哪些几何体？几何体中的点、线、面之间又具备怎样的关系呢？问题2：多面体和旋转体的表面积及体积怎样计算？链接：建筑中的几何体有多面体和旋转体，主要包括柱体、锥体、台体及球体，其中的线与线之间可能是平行、相交和异面；直线与平面之间有平行、相交，特别的有直线与平面垂直；平面与平面也有平行或相交.表面积是各面面积之和，各几何体的体积也有各自的计算公式.11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法课标要求素养要求1.认识空间几何体.2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、圆柱、棱柱等)的直观图. 从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.教材知识探究随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体.问题你能从中抽象出几何体吗？用什么方法画出来这些几何体的直观图？提示由斜二测画法画出空间图形的直观图.1.空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.2.斜二测画法(1)立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图.(2)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之相对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°).②平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变；平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半.③连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.(3)用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴和y′轴).②在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变.连接有关线段.③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).教材拓展补遗[微判断]1.平行四边形的直观图可能是梯形.(×)提示平行的线段在直观图中仍平行，故平行四边形的直观图仍是平行四边形.2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x′Oy′时，∠x′Oy′必须为45°.(×)提示∠x′Oy′是45°或135°.[微训练]1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B2.如图所示为一个平面图形的直观图(A′D′∥B′C′)，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案 D[微思考]1.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？提示如果两条相等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若不平行则对应的线段长度不确定.2.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？提示矩形直观图的面积是原图形面积的24倍.题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.题型二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.解(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面的直观图.①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示).②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为A′D′及M′N′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如图(2)所示).(3)擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示).规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”【训练2】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP＝3.(4)成图：顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图(2).题型三直观图的还原与计算【例3】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.24a2 B.22a2C.a2D.2a2解析由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.答案 B规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置.若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝24S 原.【训练3】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2C.62a2 D.6a2解析直观图是边长为a的正三角形，所以S直＝34a2，则S原＝22S直＝62a2.答案 C一、素养落地1.通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.2.用斜二测画法画直观图的关键是确定直观图中的顶点或其他关键点，因此应尽量把顶点或其他关键点放在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.3.将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形的过程，是画直观图的逆过程，即平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍.4.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为S直S原＝2 4.5.斜二测画法保留了原图形的三个性质：①平行性不变，即原图形中平行的线在直观图中仍平行，②共点性不变，即在原图形中相交的直线仍相交，③平行于x 轴或z轴的线段长度不变.二、素养训练1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析用斜二测画法时保持平行性不变，但线段的长度、角度不确定.答案 B2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A.2B. 2C.2 2D.4解析原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故原梯形面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，又梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4. 答案 D3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形OPQR是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案104.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB ＝12OA·OB＝6.答案 6基础达标一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故∠A′＝45°或135°.答案 C2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边在其原图中与底边垂直.答案 C3.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析∵A′B′∥y′，∴由斜二测画法可知原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.答案 B4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.答案 D5.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的()A.2倍B.2 4倍C.22倍 D.12倍解析底边在x轴上，则在直观图中底边长不变，设为a，又高h在直观图中变为24h，∴S直观图＝12a×24h＝24·⎝⎛⎭⎪⎫12a·h＝24S原.答案 B二、填空题6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.解析由直观图知，原平面图形为直角三角形且∠ACB＝90°，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.答案 2.57.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是________(填序号).解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.答案①②8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________.解析过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝2 2，∴原平面图形是直角梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案2＋2 2三、解答题9.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.解(1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，如图(2)所示；(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图(2)中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；(4)连接AB，BC，则△ABC即为原图形，如图(2)所示.10.用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被面遮挡的线段AD，CD，DD′改为虚线)，就得到正方体的直观图，如图②.能力提升11.如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′∥y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形的线段AB，AD，AC中()A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB(且AB＝AC)，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC解析在原图形中，AD⊥BC，又D为中点，故AB＝AC＞AD.答案 C12.在如图的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.解析由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2).答案矩形8创新猜想13.(多选题)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长C.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形解析在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，但线段上点的相对位置不变.答案CD14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积.解正方形A′B′C′D′的原图形为如图所示的四边形ABCD.∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，A′D′＝B′C′，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，DA＝BC＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。
