人教版2019年高一数学必修1综合练习(无答案)

1.已知a，b∈R且a<b<0，则下列不等式中一定成立的是()A. 1a <1bB. ba<abC. a2<b2D. ab<b22.不等式2x+1>1的解集是()A. (1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)3.定义{x}为不小于x的最小整数(例如：{5.5}=6，{−4}=−4)，则不等式{x}2−5{x}+ 6≤0的解集为()A. [2,3]B. [2,4)C. (1,3]D. (1,4]4.函数y=1x−3+x(x>3)的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 55设0<m<12，则1m +412−m的最小值为()A. 32B. 910C. 34D. 956.关于x的不等式x2−(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()A. (2,3]B. (3,4]C. [−3,−2)∪(2,3]D. [−3,−2)∪(3,4]7.下列说法正确的有()A. 不等式2x−13x+1>1的解集是(−2,−13)B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件C. 命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0D. “a<5”是“a<3”的必要条件8.已知x，y是正数，1x +2y=1，则2x+yxy+1的最小值为______．9.已知a，b为正实数，且a+b−3√ab+2=0，则ab的最小值为______．10.已知集合A={x|(x−a)(x−a+1)≤0}，B={x|x2+x−2<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)设命题p：∃x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m>8，若命题p为假命题，求实数m 的取值范围．11.函数f(x)=x2+ax+3(1)若命题“对∀x∈R，都有f(x)≥a恒成立”是真命题，求a的取值范围；(2)若命题“∃x∈[−2,2]，使得f(x)<a成立”是假命题，求a的取值范围．12.(1)解不等式：3≤x2−2x<8;(2)已知a，b，c，d均为实数，求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．13.已知关于x的方程(1−a)x2+(a+2)x−4=0，a∈R，求：(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件．。

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.全集U={0,-1,-2,-3,-4},M={0,-1,-2},N={0,-3,-4},则(∁U M)∩N等于( B )(A){0} (B){-3,-4}(C){-1,-2} (D)解析:因为∁U M={-3,-4},所以(∁U M)∩N={-3,-4}.故选B.2.函数y=的定义域是( C )(A)[-1,2) (B)(1,2)(C)[-1,1)∪(1,2) (D)(2,+∞)解析:由解得-1≤x<1或1<x<2.所以函数y=的定义域是[-1,1)∪(1,2).故选C.3.若函数f(x)=lg (10x+1)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,则a+b的值是( A )(A)(B)1 (C)- (D)-1解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即lg (10-x+1)-ax=lg -ax=lg (10x+1)-(a+1)x=lg (10x+1)+ax,所以a=-(a+1),所以a=-,又g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即2-x-=-2x+,所以b=1,所以a+b=.故选A.4.函数f(x-)=x2+,则f(3)等于( C )(A)8 (B)9 (C)11 (D)10解析:因为函数f(x-)=x2+=(x-)2+2,所以f(3)=32+2=11.5.已知a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c之间的大小关系是( D )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)b<a<c解析:因为a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,c=20.3>1.所以c>a>b.故选D.6.函数y=的图象是( A )解析:函数y=的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,函数y= ===,当x>1时,函数y===x,故选A.7.(log94)(log227)等于( D )(A)1 (B) (C)2 (D)3解析:(log94)(log227)=·=·=3.8.某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度达到0.1,则应将D 等分( D )(A)2次(B)3次(C)4次(D)5次解析:等分1次,区间长度为1,等分2次区间长度为0.5,…等分4次,区间长度为0.125,等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意.故选D.9.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(,1] (B)(,+∞)(C)[1,+∞) (D)[1,2]解析:由f(x)在(-∞,1]上单调递增得a≥1.由f(x)在(1,+∞)上单调递增得2a-1>0,解得a>.由f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以-12+2a×1≤(2a-1)×1-3a+6,即a≤2.综上,a的取值范围为1≤a≤2.故选D.10.若函数y=2-|x|-m的图象与x轴有交点,则m的取值范围为( C )(A)[-1,0) (B)[0,1](C)(0,1] (D)[0,+∞)解析:若函数y=2-|x|-m的图象与x轴有交点,即y=2-|x|-m=()|x|-m=0有解,即m=()|x|有解,因为0<()|x|≤1,所以0<m≤1,故选C.11.已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意若k>0,函数y=|f(x)|-1的零点个数等价于y=|f(x)|与y=1交点的个数,作出示意图,易知y=|f(x)|与y=1交点的个数为4,故函数y=|f(x)|-1有4个零点.12.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次购物不超过200元,不予以折扣;②如一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( C )(A)608元 (B)574.1元(C)582.6元(D)456.8元解析:由题意得购物付款432元,实际标价为432×=480元,如果一次购买标价176+480=656元的商品应付款500×0.9+156×0.85=582.6元.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知甲、乙两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数,则此函数表达式为.解析:当0≤t≤2.5时s=60t,当2.5<t<3.5时s=150,当3.5≤t≤6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t,综上所述,s=答案:s=14.计算:lg -lg +lg -log89×log278= .解析:lg -lg +lg -log89×log278=lg(××)-×=lg 10-=1-=.答案:15.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1) = .解析:因为y=f(x)+x2是奇函数,所以f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],所以f(x)+f(-x)+2x2=0.所以f(1)+f(-1)+2=0.因为f(1)=1,所以f(-1)=-3.因为g(x)=f(x)+2,所以g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.答案:-116.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .解析:g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.(1)分别求A∩B,(∁R B)∪A;(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.解:(1)A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},A∩B={x|2<x≤3}.(∁R B)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x ≤3}={x|x≤3}.(2)①当a≤1时,C= ,此时C⊆A;②当a>1时,C⊆A,则1<a≤3;综合①②,可得a的取值范围是(-∞,3].18.(本小题满分12分)已知a为实数,函数f(x)=1-.(1)若f(-1)=-1,求a的值;(2)是否存在实数a,使得f(x)为奇函数;(3)若函数f(x)在其定义域上存在零点,求实数a的取值范围. 解:(1)因为f(-1)=-1,所以1-=-1,解得a=3.(2)令f(-x)=-f(x),则1-=-1+,得2=+,2=+,得a=2.即存在a=2使得f(x)为奇函数.(3)令f(x)=0,得a=2x+1,函数f(x)在其定义域上存在零点,即方程a=2x+1在R上有解, 所以a∈(1,+∞).19.(本小题满分12分)已知a>0,且a≠1,f(log a x)=·(x-).(1)求f(x);(2)判断f(x)的单调性;(3)求f(x2-3x+2)<0的解集.解:(1)令t=log a x(t∈R),则x=a t,且f(t)=(a t-).所以f(x)=(a x-a-x)(x∈R).(2)当a>1时,a x-a-x为增函数,又>0,所以f(x)为增函数;当0<a<1时,a x-a-x为减函数,又<0,所以f(x)为增函数.所以函数f(x)在R上为增函数.(3)因为f(0)=(a0-a0)=0,所以f(x2-3x+2)<0=f(0).由(2)知,x2-3x+2<0,所以1<x<2.所以不等式的解集为{x|1<x<2}.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(4-2x)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x).由解得所以-1<x<2.所以函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)由f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x),①当a>1时,由①可得x+1>4-2x,解得x>1,又-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,由①可得x+1<4-2x,解得x<1,又-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述:当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).21.(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4,且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;当x∈[0,]时,y≤f()<26.4;当x∈(,]时,y≤f()<26.4;当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5(吨),付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).22.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=(a∈R)是奇函数,函数g(x)=的定义域为(-1,+∞).(1)求a的值;(2)若g(x)=在(-1,+∞)上递减,根据单调性的定义求实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,得a=0.(2)因为g(x)=在(-1,+∞)上递减,所以任给实数x1,x2,当-1<x1<x2时,g(x1)>g(x2),所以g(x1)-g(x2)=-=>0,所以m<0.即实数m的取值范围为(-∞,0).(3)由a=0得f(x)=,令h(x)=0,即+=0,化简得x(mx2+x+m+1)=0,所以x=0或mx2+x+m+1=0,若0是方程mx2+x+m+1=0的根,则m=-1,此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为1,不符合题意,所以函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,等价于方程mx2+x+m+1=0(※)在区间(-1,1)上有且仅有一个非零的实根.①当Δ=12-4m(m+1)=0时,得m=,若m=,则方程(※)的根为x=-=-=-1∈(-1,1),符合题意;若m=,则与(2)条件下m<0矛盾,不符合题意,所以m=.②当Δ>0时,令 (x)=mx2+x+m+1,由得-1<m<0,综上所述,所求实数m的取值范围是(-1,0)∪{}.。

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

2019年人教版高中《数学必修1》精选试题及答案单选题（共5道）1、若x∈R，n∈N+，定义Mxn=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如M﹣55=（﹣5）（﹣4）（﹣3）（﹣2）（﹣1）=﹣120，则函数f（x）=xMx﹣919的奇偶性为[]A是偶函数而不是奇函数B是奇函数而不是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数2、定义在R上的函数f（x）在（-∞，1）上为减函数，且y=f（x）的图象关于x=1成轴对称，则f（-1）与f（3）的大小关系是（）Af（-1）＞f（3）Bf（-1）＜f（3）Cf（-1）=f（3）D大小关系不确定3、函数y=x3+x的图象（）A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称4、已知f（x）=a-x（a＞0且a≠1），且f（-2）＞f（-3），则a的取值范围是（）Aa＞0Ba＞1Ca＜1D0＜a＜15、已知集合M={1，3}．N={x|0＜x＜3，x∈Z}，又P=M∪N，那么集合P的真子集共有（）A3个B7个C8个D15个简答题（共5道）6、已知函数是常数,且,满足,且有唯一解,求的解析式7、某太阳能热水器厂2007年的年生产量为670台，该年比上一年的年产量的增长率为34%．从2008年开始，以后的四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2008年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2008年该厂太阳能热水器的年生产量（结果精确到0.1台）；（2）求2011年该厂太阳能热水器的年生产量（结果精确到0.1台）；（3）如果2011年的太阳能热水器的实际安装量为1420台，假设以后若干年内太阳能热水器的年生产量的增长率保持在42%，到2015年，要使年安装量不少于年生产量的95%，这四年中太阳能热水器的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？（参考数据：1.423≈2.863，1.424≈4.066，1.6853≈4.788，1.6154≈6.8，1.5634=5.968）．8、已知函f（x）=1﹣2ax﹣a2x（a＞1）（1）求函f（x）的值域；（2）若x∈[﹣2，1]时，函f（x）的最小值﹣7，求a的值和函f（x）的最大值．9、（12分）己知下列三个方程:x2+4ax-4a+3="0,"x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.。

人教A 版（2019）第一二章综合测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.若命题:p 函数21y x =-的图像过点(-3,2),则p 与p ⌝的真假情况是( ) A.都是真命题 B.都是假命题 C.p 真,p ⌝假D.p 假,p ⌝真2.已知集合{|(2)(4)0},{|||(0)}A x x x B x x m m =+-=>，若B A ⊆，则m 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.43.已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是( )A.(,2)-∞B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.(1,2)D.(2,)+∞4.集合{}41x N x ∈-<用列举法表示为( ) A.{}0,1,2,3,4B.{}1,2,3,4C.{}0,1,2,3,4,5D.{}1,2,3,4,55.已知集合{}0,2,4,6A =，{}233n B n N =∈≤，则集合A B 的子集个数为（ ）A.4B.6C.7D.86.设3x <，则43x x +-（ ）A.最大值是7B.最小值是7C.最大值是1-D.最小值是1-7.已知m ∈R，若函数||()x m f x e +=对任意x ∈R 满足(2021)(2120)f x f x -=-，则不等式1(ln )ln 2f x f ex ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( )A.1,[,)e e ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,[,)e e ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.[,)e +∞8.若不等式220x x m --<在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是( )A.[1,)-+∞B.(1,)-+∞C.3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞9.已知,0x y >，97x y xy ++=，则3xy 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.410.正数a ，b 满足21a b +=，则2aab-的最小值为( )A.10B.6+C.D.1211.若12x -<<，则12x x +-的（ ）A.最小值为0B.最大值为4C.最小值为4D.最大值为012.已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为( ) A.40B.1674C.42D.169413.已知0,0x y >>，且4x y +=，则xy 最大值为( ) A.1B.2C.3D.4二、多项选择题14.设正实数,a b 满足1a b +=，则( )A.11a b+有最小值4 12D.22a b +有最小值1215.设正实数a b ，满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+有最小值412D.22a b +有最小值1216.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,3)-，则下列说法正确的是( ) A.0a >B.0bx c ->的解集是32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣C.20cx ax b +->的解集是23x x ⎧<-⎨⎩∣或1}x >D.a b c +<17.已知0a >，0b >，且1a b -=，则( )A.33a b >B.sin sin a b >C.22a b -+>D.b a a b >三、填空题18.若集合1{}1{|1}A B x mx =-==，，，且B A ⊆，则实数m 的值为_______. 19.已知集合126A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ∣用列举法表示集合A =_______.20.设全集为R ,集合{}|24A x x =≤<,集合{}|12B x x m =≤-,若A B ⋂≠∅,则实数m 的取值范围为___________.21.}{25A x x =-≤≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 取值范围是_______.22.已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.23.已知集合{}211A x x =<≤，{}20B x x a =->.若A B ⊆，则实数a 的取值范围为__________. 24.若0a >，0b >且240a b +-=，则12a b+的最小值为__________. 25.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米.26.已知4a b +=，则22a b +的最小值为________. 27.在R 上定义运算：b a bcd a d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．28.若正数,a b 满足2e a a =，()ln 12e b b -=，则ab =_________. 29.若不等式210x qx p p++>的解集为{|24}x x <<，则实数p =________，q =_______. 四、解答题30.已知集合{|22}A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥. (1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围. 31.已知集合{}2210,,A x ax x a R x R =++=∈∈（1）当A 只有一个元素时，求a 的值，并写出这个元素； （2）当A 至多含有一个元素时，求a 的取值范围.32.已知集合{|25}A x x =-≤≤,{}|121B x m x m =+≤≤- ,若B A ⊆，求实数m 的取值范围.33.已知集合}{2340A x ax x =--=.（1）若A 中有两个元素,求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素,求实数的a 取值范围. 34.解下列不等式: （1）29610x x -+>；（2）212202x x -++>；（3）2690x x -+≤； （4）2230x x -+->.35.已知函数()2|2||2|f x x x =-++的最小值为m . (1)求m ；(2)若正实数a ，b ，c 满足2a b c m ++=，求211a b c++的最小值. 36.求解下列各题：（1）求2340)2x x y x x ++=<（的最大值；（2）求281)-1x y x x +=>（的最小值.37.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.参考答案1.答案：D解析：∵p 与p ⌝必一真一假，而本题中p 显然是假命题，∴p ⌝必为真命题。

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

1.A.{1,4}:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}.:C2.函数y=-1+l ≥4)的值域是( )og 14x (xA.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞):∵函数y=-1+l [4,+∞)上单调递减,og 14x 在≤-1+log 144=‒2,所求函数的值域为(-∞,-2].:A3.A.(-∞4.5.(12) B .(12,1) C .(1,32) D .(32,2):∵f(12)=e 12‒2<0,f (1)=e ‒1>0,·f (1)<0,∴函数f (x )=e x12)‒1x 的零点所在的区间是(12,1).:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log 70.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log 70.3<0,7.A.f (∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.答案:A8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于( )A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴{k2=9,kb+b=8,解得{k=3,b=2或{k=-3,b=-4.∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.答案:D9.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( )A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,12.①② B.②③ C.③④ D.①④:分别画出它们的图象,可知函数y y=log 2x 满y=x 2与函数=x 与函数足f(x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2;函数满足f(x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,427),则f (x )的解析式是____________________.:设f (x )=x α,则由已知得3α=427=334,=3,∴f (x )=x 34.14.解析15.x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数ℎ(x )=f (x )+x ‒a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是___________________.:由题意可画出函数f (x ),如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象)的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.(1)当若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.(1)1<x ≤3,即集合A=(1,3];由{x -1>0,3-x ≥0,得-4≤0,得2x ≤22,x ≤2,即集合B=(-∞,2].∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3].由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A.B=⌀,则m ≥0;B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ).19.680(0≤x ≤210).(x ‒220)2+1f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利为‒15(210‒220)2+11 660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (0.比较f(12)与f (13)的大小;判断f (x )的单调性,并加以证明;0≤x{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得<16.即不等式f (x +12)<f (1‒2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l .og 121-ax x-1为奇函数,a 为常数(1)求a 的值;证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>+m 恒成立,求实数m 的取值范围.(12)x (1)∵f (-x )=-f (x ),<0,1)(x 2+1)0<<1,lo >0,(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)g 12(x 1+1)(x 2-1)(x1-1)(x 2+1)x 1)>f (x 2).x )在区间(1,+∞)内单调递增.设g (x )=lo,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,g 12x +1x-1‒(12)x m<g (3)=-.98实数m 的取值范围是m<-.9822.①有且仅有故只需{Δ=4m 2-4(3m +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{m 2-3m -4>0,-2m +2>0,3m +4+(-2m )+1>0⇔{m <-1或m >4,m <1,m >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点,故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。

人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π32．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋cD ．－12a ＋b －12c4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝07.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427B.77C.33D.638．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为111．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为25512．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝2π3，S△AF2B＝23，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤3，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝22，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.542．已知四面体顶点A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为()A ．8B ．9C ．10D ．113.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2.下列结论中正确的是()A.SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0B.SA →－SB →＋SC →－SD →＝0C.SA →·SB →＋SC →·SD →＝0D.SA →·SC →＝04．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．56．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．167．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．228．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为411．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π312．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝1 2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是22318.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC ∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋ 3.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，OM→＋3OD→＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析设直线的倾斜角为α，则tan α＝3＋3－34－1＝33，∴α＝π6.故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案B 解析椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋c D ．－12a ＋b －12c答案A解析OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋12AC →＝OA →＋12(OC →－OA →)＝12OA →＋12OC →，因此BD →＝OD →－OB →＝12OA→－OB →＋12OC →＝12a －b ＋12c .4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)答案B解析设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝6，则x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 2答案B解析在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE →＝AB →＋BE →，AF →＝12AD →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·12→＝12AB →·AD →＋12BE →·AD →.因为ABCD 是正四面体，所以BE ⊥AD ，∠BAD ＝π3，即BE →·AD →＝0，AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos π3＝12a 2，所以AE →·AF →＝14a 2.故选B.6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，∵圆C 与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，∴|3a ＋0＋4|9＋16＝2，解得a ＝2.∴圆心为C (2，0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选D.7.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427 B.77C.33D.63答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，2x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)．cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5答案A解析如图，由题意知以OF ＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝由|PQ |＝|OF |，得c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)答案BD 解析对于A ，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程x a ＋ya＝1表示，所以A 错误；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 错误；对于D y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D 正确．故选BD.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为1答案AC解析对于A ，因为E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，且EF ⊂平面CEF ，故A 1C 1∥平面CEF 成立，A 正确；对于B ，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A (2，0，0，)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，1，2)，B 1D →＝(－2，－2，－2)，FC →＝(0，1，－2)，因为B 1D →·FC →＝0－2＋4＝2≠0，所以B 1D →与FC →不垂直，又CF ⊂平面CEF ，所以B 1D 与平面CEF 不垂直，B 错误；对于C ，12DA →＋DD 1→－DC →＝12(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又CE →＝(1，－2，2)，所以CE →＝12DA→＋DD 1→－DC →成立，C 正确；对于D ，连接B 1E ，EF →＝(－1，1，0)，EC →＝(－1，2，－2)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0，·n ＝0，x ＋y ＝0，x ＋2y －2z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，2，1)，又B 1E →＝(－1，－2，0)，所以点B 1到平面CEF 的距离d ＝|B 1E →·n ||n |＝63＝2，D 错误．故选AC.11．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为255答案BC解析∵x 26＋y 2＝1，∴a ＝6，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝6－1＝5，则C 的焦距为25，e ＝ca＝56＝306.设P (x ，y )(－6≤x ≤6)，则|PD |2＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋1－x 26＝＋45≥45>15，可知圆D 在C 的内部，且|PQ |的最小值为45－15＝55.故选BC.12．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A 错误；对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，因为（x ＋2）2＋（－y ）2·（x －2）2＋（－y ）2＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16，（－x ＋2）2＋y 2·（－x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋y 2·（x ＋2）2＋y 2＝16，所以点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，故B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ(0<θ<π)，则ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，则θ，π3，所以sin θ≤32，则△MPN 的面积S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，故C正确；对于D ，由16＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2≥（x ＋2）2·（x －2）2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得0≤x 2≤20，解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，因为45×43＝1615<64，所以曲线C 在一个面积为64的矩形内，故D 正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．答案23a －13b ＋23c 解析PG →＝PB →＋BG→＝PB →＋23BD→＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋(PC →－PB →)]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x －2)2＋(y －1)2＝12x ＋y －4＝0解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，＝x 1＋42，＝y 1＋22，1＝2x －4，1＝2y －2.因为x 12＋y 12＝4，所以(2x －4)2＋(2y －2)2＝4.整理得(x －2)2＋(y －1)2＝1.①又圆C ：x 2＋y 2＝4，②由①－②得2x ＋y －4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为________．答案22解析由题意知点B 与点A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以∠F 1AF 2＝π3，设|AF 2|＝m ，不妨设点A 在点B 右侧，则|AF 1|＝2a ＋m .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝m 2＋(m ＋2a )2－m (m ＋2a )，化简得4c 2－4a 2＝m 2＋2ma ，即4b 2＝m (m ＋2a )．又S △AF 2B ＝12m (m ＋2a )·32＝23，所以b 2＝2，所以2b ＝2 2.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案[3－1，1)解析设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，则k ＝nm，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以四边形OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n )，BF 1→＝(1＋m ，n )，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1，于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b2≥4，将b 2＝a 2－1代入上式，整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32，又a >c ＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e <1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A (2，3)，B (0，－1)，C (－2，1)．(1)求直线AC 的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B 关于直线AC 的对称点D 的坐标．②若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E ，|BE |＝3，求直线l 的方程．思路分析(1)由A (2，3)，C (－2，1)，可求出直线AC 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E ，12t ＋t 的值，根据B ，E 两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC 的斜率为k AC ＝12，所以直线AC 的方程为y －3＝12(x －2)，即直线AC 的方程为x －2y ＋4＝0.(2)选择问题①：设D 的坐标为(m ，n )，·12＝－1，2·n －12＋4＝0，＝－125，＝195.所以点D －125，选择问题②：设E，12t ＋|BE |＝33，解得t ＝0或t ＝－125.所以E 的坐标为(0，2)－125，所以直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＋4＝0.18．(12分)已知圆C 经过三点O (0，0)，A (1，3)，B (4，0)．(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (3，6)且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＝0，＋9＋D ＋3E ＋F ＝0＋4D ＋F ＝0，＝－4，＝－2，＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C (2，1)，半径为5，弦长为4时，圆心C 到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为y －6＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋6＝0，则|5－k |1＋k 2＝1，解得k ＝125，所以直线方程为y －6＝125(x －3)，即12x －5y －6＝0.综上可知，直线方程为x ＝3或12x －5y －6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析(1)若△POF 2为等边三角形，则P ，±32c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1(3＋1已舍去)．(2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a )2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥42，即a 的取值范围为[42，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且△PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离．解析以点D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0，0，0)，P (0，1，3)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．(1)证明：∵PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量，·PM →＝0，·AM →＝0，y －3z ＝0，＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0，0，1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，∵cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22，∴二面角P －AM －D 的大小为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)为平面AMP 的一个法向量，∴d ＝|DA →·n ||n |＝|22×2|2＋1＋3＝263，即点D 到平面AMP 的距离为263.21．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D .(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)设点F 是A 1C 1的中点，连接DF ，EF ，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B .又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B .又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6，∴D (0，0，0)，A (0，1，0)，A 1(3，0，0)，B (0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)1由m ⊥DE →，得(x ，y ，z10⇒32x －y ＝0.令x ＝1，得y ＝32，∴m ，32，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.22．(12分)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析(1)由题意知P 为线段MN 的中点，设N (x ，y )，则M (－x ，0)，由PM →·PF →＝0x，∴(－x )·10，∴y 2＝4x (x ＞0)，∴点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB |＝42<46，不合题意．故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又2＝4x ，＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk ＝－8，b ＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB |2y1－y 2)2∵46≤|AB |≤430，∴96480.解得直线l的斜率取值范围为－1，－12∪12，1.1．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC的距离为()A．8B．9C．10D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·AB→＝0，·AC→＝0，x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，x，y，z）·（4，0，6）＝0.x－2y－3z＝0，x＋6z＝0＝2x，＝－23x，令x＝1，则n，2AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→·n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0B.SA→－SB→＋SC→－SD→＝0C.SA→·SB→＋SC→·SD→＝0D.SA→·SC→＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →≠0，所以C 错误；连接AC ，在△SAC 中，SA ＝SC ＝2，AC ＝2，所以∠ASC ≠90°，所以cos ∠ASC ≠0，又SA →·SC →＝2×2×cos ∠ASC ，所以SA →·SC →≠0，所以D 错误．故选B.4．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A (－a ，0)，F (－2a ，0)，不妨设0，ba x AP →⊥FP →，得AP →·FP →＝0⇒0＋a ，b a x 0＋2a ，ba x 0⇒c 2a 2x 02＋3ax 0＋2a 2＝0.因为在双曲线E 的渐近线上存在点P ，所以Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0，9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒－324≤e ≤324，又因为E 为双曲线，所以1<e ≤324.故选B.5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝2，则A (2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)，0B (0，2，0)，∴BD →＝(0，－22，0)，设N (0，b ，0)，则BN →＝(0，b －2，0)．∵BD＝λBN →，∴－22＝λ(b －2)，∴b ＝2λ－22λ，∴N，2λ－22λ，，→－22，2λ－22λ，－AD →＝(－2，－2，0)，∵AD ⊥MN ，∴AD →·MN →＝1－2λ－4λ＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．16答案B解析设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2.∵F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，∴F 1D 是△MAN 的中位线，∴|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)．∵点D 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF 1|＋|DF 2|＝4，∴|AN |＋|BN |＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．22答案A解析设点P (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝2，所以|PB |2|PA |2＝（x 0－1）2＋（y 0＋1）2x 02＋（y 0＋2）2＝x 02＋y 02－2x 0＋2y 0＋2x 02＋y 02＋4y 0＋4＝－2x 0＋2y 0＋44y 0＋6＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，令λ＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，则λ≠0，x 0＋(2λ－1)y 0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以|PB ||PA |的最大值为2.8．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面答案BCD解析易知b ＋c ，b －c ，a 不共面；因为2b ＝(b ＋c )＋(b －c )，所以b ＋c ，b －c ，2b 共面；因为a ＋b ＋c ＝(b ＋c )＋a ，所以b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面；因为a ＋c ＝(a －2c )＋3c ，所以a ＋c ，a －2c ，c 共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP答案ACD解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，所以AD ＝AA 1＝1，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，3，0)，C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，B (1，3，0)，则A 1C →＝(－1，3，－1)，D 1A →＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，3，1)，DB →＝(1，3，0)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．当A 1C →＝2A 1P →时，P 为A 1C 的中点，根据长方体结构特征，可知P 为体对角线的中点，因此P 也为B 1D 的中点，所以B 1，P ，D 三点共线，故A 正确；当AP →⊥A 1C →时，AP ⊥A 1C ，由题意可得A 1C ＝1＋1＋3＝5，AC ＝1＋3＝2，因为S △A 1AC ＝12AA 1·AC ＝12A 1C ·AP ，所以AP ＝255，所以A 1P ＝55，即点P 为靠近点A 1的五等分点，所以，35，D 1P →，35，－AP →＝－15，35，D 1P →·AP →＝－425＋325－425＝－15≠0，所以AP →与D 1P →不垂直，故B 错误；当A 1C →＝3A 1P →时，A 1P →＝13A 1C →－13，33，－BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC 1→＝0，·DB →＝0，＋z ＝0，＋3y ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－3，1，－3)，又D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→＝，33，－D 1P →·n ＝0，因此D 1P →⊥n ，所以D 1P →∥平面BDC 1，故C 正确；当A 1C →＝5A 1P →时，A 1P →＝15A 1C →－15，35，－所以D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→，35，－所以A 1C →·D 1P →＝0，A 1C →·D 1A →＝0，因此A 1C ⊥D 1P ，A 1C ⊥D 1A ，又D 1P ∩D 1A ＝D 1，所以A 1C ⊥平面D 1AP ，故D 正确．故选ACD.10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为4答案AC解析如图，过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＝|AC |，所以∠AFC ＝∠ACF ，又因为∠OFC ＝∠ACF ，所以∠OFC ＝∠AFC ，所以FC 平分∠OFA ，同理可知FD 平分∠OFB ，所以∠CFD ＝90°，故A 正确；假设△CMD 为等腰直角三角形，则∠CFD ＝∠CMD ＝90°，则C ，D ，F ，M 四点共圆且圆的半径为12|CD |＝|MN |，又因为|AF |＝3|BF |，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|MN |＝2|BF |，所以|CD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|CD |＝|AB |，显然不成立，故B 错误；设直线AB的方程为x ＝my ＋12＝4x ，＋1，所以y 2－4my －4＝01＋y 2＝4m ，1y 2＝－4，又因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 22y 2＝4m ，3y 22＝－4，所以m 2＝13，所以1m ＝±3，所以直线AB 的斜率为±3，故C 正确；取m ＝331＋y 2＝433，1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝833，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×833＝433D 错误．故选AC.11．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π3答案AD解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，BC 长为半径的圆，设CB 旋转到直线a 上时为CE ，旋转到直线b 上时为CD ，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1，0，0)，A (0，0，1)，设B 点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD 绕端点C 旋转到CB 形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB 在运动过程中对应的向量AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，设AB 与a 所成的角为α，α∈0，π2，则cos α＝22|sin θ|∈0，22，∴α∈π4，π2，故A 正确，B错误；设AB 与b 所成的角为β，β∈0，π2，则cos β＝22|cos θ|，当AB 与a 所成的角为π3，即α＝π3时，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝22，∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴cos β＝22|cos θ|＝12，∵β∈0，π2，∴β＝π3，此时AB 与b所成的角为π3，故D 正确，C 错误．故选AD.12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2，0)，B (4，0)，点P 满足|PA ||PB |＝12.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是()A ．轨迹C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |答案BC解析设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝12，化简得(x ＋4)2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12，设D (m ，0)，E (n ，0)，则（x －n ）2＋y 2＝2（x －m ）2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－(8m －2n )x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4(舍去)，即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使|PD ||PE |＝12，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由|OA ||OB |＝12＝|PA ||PB |，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；假设在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M (x ，y )，则有x 2＋y 2＝2（x ＋2）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，得x ＝2，不合题意，故不存在点M ，所以D 错误．故选BC.13．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．答案－1223解析由题得m ×(－m )－(－1)×1＝0，所以m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝25，所以圆心为C (－1，0)，半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223.14．已知M (－2，0)，N (2，0)，点P (x ，y )为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2＝－8x 解析由题意，知MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理，得y 2＝－8x .15．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0，抛物线C ：y 2＝4x 上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________，P 到直线l 距离的最小值为________．答案134解析设抛物线C ：y 2＝4x 上的点P 到直线4x －3y ＋6＝0的距离为d 1，到准线的距离为d 2，到y 轴的距离为d 3，由抛物线方程可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，则d 3＝d 2－1，|PF |＝d 2，因此d 1＋d 3＝d 1＋d 2－1＝d 1＋|PF |－1，因为d 1＋|PF |的最小值是焦点F 到直线4x －3y ＋6＝0的距离，即|4＋6|42＋（－3）2＝2，所以d 1＋d 3＝d 1＋|PF |－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l 且与抛物线C ：y 2＝4x 相切的直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由x －3y ＋m ＝0，2＝4x ，得y 2－3y ＋m ＝0，因为直线4x －3y ＋m ＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相切，所以Δ＝(－3)2－4m ＝0，解得m ＝94，因此该切线方程为4x －3y ＋94＝0，所以两平行线间的距离为6－9442＋（－3）2＝34，即P 到直线l 距离的最小值为34.16．已知直线l ：y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝5上，求此椭圆的方程．解析(1)x ＋1，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0⇒a 2＋b 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2a 2b 2＋a 2.∵线段AB ，∴2a 2b 2＋a 2＝43，得a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则点F 关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为P (1，1－c )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝5上，∴1＋(1－c )2＝5，即c 2－2c －3＝0.∵c >0，∴c ＝3，又a 2＝2c 2且a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝32，b ＝3，∴椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223解析(1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.。

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。

模块一测试题一一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=,则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-,1}A ∈2．命题“[1x ∀∈,2],220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a3．若命题“[1x ∀∈,4]时,240x x m --≠”是假命题,则m 的取值范围( ) A ．[4-,3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-,)+∞D ．[4-,0]4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ,2x ,则1212ax x x x ++的最小值为( ) A ．8B ．6C ．4D ．25．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分,则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C．D ．46．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,若2020m n +=,(2)(2)2m n f f -+-=,则(a = )A ．1011B ．1009C ．1009-D ．1011-7．已知(2πθ∈-,0),且3cos2cos()02πθθ++=,则sin()(4πθ+= ) ABCD8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>,0)3πϕ-<<,若点11(12π,0)为函数()f x 的对称中心,直线6x π=为函数()f x 的对称轴,并且函数()f x 在区间4(3π,3)2π上单调,则(2)(f ωϕ= )A ．1-B ．32C ．12 D ．12-二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+,{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-,则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图,在AB 上取一点C ,使得AC a =,BC b =,过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径,O 为圆心的半圆周于点D ,连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A (0,0)2a baba b +>> B 2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=,且当0x 时,2()2f x x x =+,则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )A 13-- B ．12C 13-+D 33+ 12．给出下列四个结论,其中正确的结论是( ) A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈,则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈,则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=,则sin cos 1n n αα+= 三．填空题（共4小题）13．对于正数a ,a a a 可以用有理数指数幂的形式表示为 ．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-,1],则实数m 的取值范围为 ．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅,则a b +的最小值为 ．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ,则a 的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ,东西的人行通道宽4m ,如图所示（图中单位:)m ,问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?18．已知a ,(0,)b ∈+∞,且24a 2b =．（Ⅰ）求21a b+的最小值; （Ⅱ）若存在a ,(0,)b ∈+∞,使得不等式21|1|3x a b-++成立,求实数x 的取值范围．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性;（2）对任意的实数1x 、2x ,且120x x +>,求证:12()()0f x f x +>;（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根,求实数a 取值范围． 20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+． （1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间;（2）若[12x π∀∈,]2π,不等式()2m f x m <<+恒成立,求实数m 的取值集合．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>,0ω>,||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1),(8,3)-． （1）求函数()f x 的表达式;（2）求函数()f x 在区间[0,6]的最大值和最小值;（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >,纵坐标不变,再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0,]π内恰有4个零点,求t 的取值范围．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈,将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位,得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值;（2）求函数()y g x =的详细解析式;（3）若0()2x f =求0()g x ．模块一测试题一参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=,则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-,1}A ∈【详细分析】根据题意,用列举法表示集合A ,据此判断各选项,即可得正确答案． 【参考解答】解:根据题意,2{|10}{1A x x =-==-,1}, 对于A ,A ∅⊆,A 错误, 对于B ,1A ∈,B 正确, 对于C ,{1}A -⊆,C 错误, 对于D ,{1-,1}A =,D 错误, 故选:B ．【点评】本题考查元素与集合的关系,涉及集合的表示方法,属于基础题． 2．命题“[1x ∀∈,2],220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a【详细分析】求出函数恒成立的充要条件,根据集合的包含关系判断即可． 【参考解答】解:若[1x ∀∈,2],220x a -恒成立,则2(2)2min a x =,故命题“[1x ∀∈,2],220x a -”为真命题的充要条件是2a , 而(-∞,1)(⊆-∞,2],故命题“[1x ∀∈,2],220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是1a <, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系以及函数恒成立问题,是一道基础题． 3．若命题“[1x ∀∈,4]时,240x x m --≠”是假命题,则m 的取值范围( ) A ．[4-,3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-,)+∞D ．[4-,0]【详细分析】根据全称命题是假命题,得到命题的否定是真命题,利用参数分离法进行求解即可．【参考解答】解:若命题“[1x ∀∈,4]时,240x x m --≠”是假命题,则命题“[1x ∃∈,4]时,240x x m --=”是真命题 则24m x x =-,设22()4(2)4f x x x x =-=--, 当14x 时,4()0f x - 则40m -, 故选:D ．【点评】本题主要考查命题真假的应用,利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键．难度中等．4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ,2x ,则1212ax x x x ++的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【详细分析】由韦达定理求出124x x a +=,212x x a =,再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【参考解答】解:由题意得:124x x a +=,212x x a =,故1212114244a x x a a x x a a ++=+⋅=, 当且仅当12a =时“=”成立, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,考查基本不等式的性质,是一道基础题． 5．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分,则ab的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．D ．4【详细分析】直接利用基本不等式的应用求出结果． 【参考解答】解:动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分, 所以124a b+=, 由基本不等式122424a b a b=+,解得2ab , 当且仅当1242a b ==时,等号成立,故ab 的最大值为2． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:基本不等号式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,若2020m n +=,(2)(2)2m n f f -+-=,则(a = )A ．1011B ．1009C ．1009-D ．1011-【详细分析】在函数()y f x =的图象上取点(,)x y ,则关于直线y x =-对称点为(,)y x --,代入2x a y +=,结合题目条件可得正确答案．【参考解答】解:因为函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,令(2)m f p -=,(2)n f q -=,则2p q +=;故(p -,2)m ,(q -,2)n 在2x a y +=的图象上,所以22m p a -+=,22n q a -+=,即m p an q a =-+⎧⎨=-+⎩,两式相加得()2m n p q a +=-++, 所以2202022022a m n p q =+++=+=, 解得1011a =, 故选:A ．【点评】本题考查图象的对称性,考查学生详细分析解决问题的能力,属于中档题． 7．已知(2πθ∈-,0),且3cos2cos()02πθθ++=,则sin()(4πθ+= )A B C D 【详细分析】由已知结合二倍角公式可先求sin θ,进而可求cos θ,然后结合两角和的正弦公式可求．【参考解答】解:因为(2πθ∈-,0),且3cos2cos()02πθθ++=,所以cos2sin 0θθ+=, 即22sin sin 10θθ-++=, 解得,sin 1θ=（舍)或1sin 2θ=-,所以cos θ=则sin()cos )4πθθθ+=+=故选:A ．【点评】本题主要考查了诱导公式,同角平方关系,和差角公式在三角求值中的应用,属于基础题．8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>,0)3πϕ-<<,若点11(12π,0)为函数()f x 的对称中心,直线6x π=为函数()f x 的对称轴,并且函数()f x 在区间4(3π,3)2π上单调,则(2)(f ωϕ= )A ．1- BC ．12 D ．12-【详细分析】利用两角和差和辅助角公式化简函数函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++,再利用三角函数的单调性、周期性和对称性可得2(21)3ω=+,N ∈．66l ππϕωπ=-+,I Z ∈．又因为03πϕ-<<,且06ω<．解得解得:26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即4(33ππϕ++,3)(3236πππωϕπ++=-,3)6ππ+符合单调性条件,所以函数()sin(2)6f x x π=+,即可得21(2)()32f f πωϕ=-=．【参考解答】解:函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++,并且函数()f x 在区间4(3π,3)2π上单调,因此62T ππω=,所以06ω<． 又因为点11(12π,0)为函数()f x 的对称中心,直线6x π=为函数()f x 的对称轴,因此113126442T Tπππ-==+,N ∈, 所以2321T ππω==+, 解得2(21)3ω=+,N ∈．将6x π=代入函数()f x 时函数有最值,即632m πππωϕπ++=+,m Z ∈,即66m ππϕωπ=-+,m Z ∈．又因为03πϕ-<<,且06ω<．解得:26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即4(33ππϕ++,3)(3236πππωϕπ++=-,3)6ππ+符合单调性条件, 所以函数()sin(2)6f x x π=+,则21(2)()32f f πωϕ=-=,故选:C ．【点评】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、二倍角公式,考查推理论证能力和运算求解能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养． 二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+,{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-,则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆【详细分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A ,由对数函数的性质即真数大于0,解一元二次不等式得到集合B ,判断两个集合的关系,结合选项可得正确正确答案． 【参考解答】解:集合{|4}{|4}(,4)x M y y e y y ==-+=<=-∞,集合{|[(2)(3)]}{|(2)(3)0}{|(2)(3)0}(2N x y lg x x x x x x x x ==+-=+->=+-<=-,3),N M ∴⊆,即RM RN C C ⊆,故选:AB ．【点评】本题考查了集合间的关系,以及指数函数和对数函数的性质,属于基础题． 10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图,在AB 上取一点C ,使得AC a =,BC b =,过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径,O 为圆心的半圆周于点D ,连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A ．(0,0)2a baba b +>> B ．2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 【详细分析】由题意得,1()2OD a b =+,然后结合射影定理可得,2CD AC BC ab =⋅=,从而可判断．【参考解答】解:因为AC a =,BC b =, 所以1()2OD a b =+,由题意得,90ADB ∠=︒,由射影定理可得,2CD AC BC ab =⋅=,由OD CD ,得1()2a b ab +,当且仅当a b =时取等号,A 正确,B ,C ,D 不正确．故选:BCD ．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理,属于基础题．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=,且当0x 时,2()2f x x x =+,则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )AB ．12CD【详细分析】由已知求得函数详细解析式,得到(1)f x -,进一步写出分段函数()()(1)g x f x f x =--,求解方程()0g x =得正确答案．【参考解答】解:()()0f x f x -+=,()f x ∴为定义在R 上的奇函数,当0x 时,2()2f x x x =+,设0x >,则0x -<,得2()2()f x x x f x -=-=-,即2()2f x x x =-+．222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+∴=⎨-+>⎩,则221,1(1)2,1x x f x x x x ⎧-+<-=⎨-+⎩,令22263,1()()(1)21,01221,0x x x g x f x f x x x x x x ⎧-+-⎪=--=-<<⎨⎪+-⎩,当()0g x =时,解得x =或12x =或x =． 故选:ABD ．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,考查函数与方程思想,考查逻辑思维能力与运算求解能力,是中档题．12．给出下列四个结论,其中正确的结论是( )A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈,则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈,则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=,则sin cos 1n n αα+=【详细分析】由诱导公式二即可判断A ;分类讨论,利用诱导公式即可判断B ;利用同角三角函数基本关系式即可判断C ;将已知等式两边平方,可得sin 0α=,或cos 0α=,分类讨论即可判断D ．【参考解答】解:由诱导公式二,可得R α∈时,sin()sin παα+=-,故A 错误; 当2n =,Z ∈时,cos()cos()cos n πααα-=-=,此时1cos 3α=, 当21n =+,Z ∈时,cos()cos[(21)]cos()cos n παπαπαα-=+-=-=-,此时1cos 3α=-,故B 错误;若2πα≠,Z ∈,则sin()cos 12tan()2sin tan cos()2παπααπααα++===--+,故C 正确;将sin cos 1αα+=,两边平方,可得sin cos 0αα=,所以sin 0α=,或cos 0α=, 若sin 0α=,则cos 1α=,此时22sin cos 1αα+=;若cos 0α=,则sin 1α=,此时22sin cos 1αα+=,故sin cos 1n n αα+=,故D 正确． 故选:CD ．【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式的应用,考查了函数思想和分类讨论思想,属于中档题． 三．填空题（共4小题）13．对于正数a,可以用有理数指数幂的形式表示为 78a ．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解:原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故正确答案为:78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则,属于基础题．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-,1],则实数m 的取值范围为 [1,2] ．【详细分析】可求出10x -<时,10y -<,然后根据原函数的值域为[1-,1]可得出0x m 时,0|1|1x -,01y ,这样即可求出m 的范围．【参考解答】解:10x -<时,112x <-,121(1)0log x --<,且原函数的值域为[1-,1],0x m ∴时,0|1|1x -,即02x , 12m ∴,m ∴的取值范围为:[1,2]．故正确答案为:[1,2]．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性,函数值域的定义及求法,考查了计算能力,属于中档题．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅,则a b +的最小值为 8 ．【详细分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求ab ,然后结合基本不等式即可求解．【参考解答】解:因为22log log 16sincos8sin412126a b πππ+=⋅==,所以2log 4ab =, 故16ab =,则28a b ab +=,当且仅当4a b ==时取等号,a b +的最小值8． 故正确答案为:8．【点评】本题主要考查了对数的运算性质,二倍角公式及基本不等式,属于基础题． 16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ,则a 的最大值为98π． ． 【详细分析】分a 在不同区间进行讨论,得出符合条件的a 取值范围,即可求得a 的最大值．【参考解答】解:当[0a ∈,]2π时,2[0a ∈,]π,[0,]sin a M a =,[,2]1a a M =,由[0,][,2]2a a a M M ,得sin 2a,此时不成立;当[2a π∈,]π时,2[a π∈,2]π,[0,]1a M =,[,2]sin a a M a =,由[0,][,2]2a a a M M ,得12sin a ,即2sin 2a ,所以34a ππ;当[a π∈,3]2π时,2[2a π∈,3]π,[0,]1a M =,[,2]sin 2a a M a =或1, 由[0,][,2]2a a a M M ,得12sin 2a ,即2sin 22a且222a ππ+,解得98a ππ; 当3[2a π∈,)+∞时,2[3a π∈,)+∞,[0,]1a M =,[,2]1a a M =,不合题意． 综上,a 得最大值为98π． 故正确答案为:98π． 【点评】本题主要考查三角函数的最值的求法,考查分类讨论的数学思想,考查计算能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的人行通道宽4m,如图所示（图中单位:)m,问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?【详细分析】设矩形车场南北侧边长为xm,则其东西侧边长为1200mx,人行道占地面积为12007200(6)(8)1200848S x xx x=++-=++,然后结合基本不等式即可求解．【参考解答】解:设矩形车场南北侧边长为xm,则其东西侧边长为1200m x,人行道占地面积为120072007200(6)(8)1200848284896 S x x xx x x=++-=++⋅=,当且仅当72008xx=,即30()x m=时取等号,296()minS m=,此时120040()mx=,所以矩形停车场的南北侧边长为30m,则其东西侧边长为40m,才能使人行通道占地面积最小,最小面积是2528m．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用,体现了转化思想的应用．18．已知a,(0,)b∈+∞,且24a2b=．（Ⅰ）求21a b+的最小值;（Ⅱ）若存在a,(0,)b∈+∞,使得不等式21|1|3xa b-++成立,求实数x的取值范围．【详细分析】()I由已知结合指数的运算性质可得,21a b+=,然后结合2121()(2)a b a b a b+=++,展开后利用基本不等式可求,()II 存在a ,(0,)b ∈+∞,使得21|1|3x a b-++成立,则结合()I 得|1|34x -+成立,解不等式可求．【参考解答】解:因为a ,(0,)b ∈+∞,且24a 222b a b +==, 所以21a b +=,212144()()(2)4428b a b I a b a b a b a b a +=++=+++=, 当且仅当4b a a b =且21a b +=,即14b =,12a =时取等号,故21a b+的最小值8, ()II 由21()I a b+的最小值4,又存在a ,(0,)b ∈+∞,使得21|1|3x a b-++成立, 所以|1|34x -+>, 所以|1|1x ->, 解得,2x >或0x <,故x 的范围{|2x x >或0}x <．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用,属于中档题．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性;（2）对任意的实数1x 、2x ,且120x x +>,求证:12()()0f x f x +>;（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根,求实数a 取值范围．【详细分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;（2）证明函数2log (1)y x =+在[0,)+∞上是严格增函数,结合函数的奇偶性可得12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数,从而()y f x =在R 上是严格增函数,由120x x +>,即可证明12()()0f x f x +>;（3）由（1）知,()y f x =是R 上的奇函数,故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=,把原方程有两个不等正根转化为关于a 的不等式组求解． 【参考解答】解:（1）2(0)log (10)0f =+=．当0x >时,0x -<,有122()[1()](1)()f x log x log x f x -=--=-+=-,即()()f x f x -=-．当0x <时,0x ->,有212()[1()](1)()f x log x log x f x -=+-=--=-,即()()f x f x -=-．综上,函数()f x 是R 上的奇函数;证明:（2）函数2log y x =是(0,)+∞上的严格增函数,函数1u x =+在R 上也是严格增函数,故函数2log (1)y x =+在[0,)+∞上是严格增函数． 由（1）知,函数()y f x =在R 上为奇函数,由奇函数的单调性可知,12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数,从而()y f x =在R 上是严格增函数． 由120x x +>,得12x x >-,122()()()f x f x f x ∴>-=-,即12()()0f x f x +>;解:（3）由（1）知,()y f x =是R 上的奇函数,故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=． 令()f x t =,则当0x >时,()0t f x =>,于是,原方程有两个不等正根等价于: 关于t 的方程23()04t at a -+-=有两个不等的正根．即234()04034a a a a ⎧=-->⎪⎪>⎨⎪⎪->⎩⇔1,3034a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪>⎩或⇔314a <<或3a >． 因此,实数a 的取值范围是3(4,1)(3⋃,)+∞．【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用,考查函数的单调性,考查函数零点与方程根的关系,考查化归与转化思想,是中档题．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+． （1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间;（2）若[12x π∀∈,]2π,不等式()2m f x m <<+恒成立,求实数m 的取值集合．【详细分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数详细解析式,代入计算可求()3f π的值,结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间;（2）求出()f x 在[12π,]2π上的值域,根据题意列出不等式组即可解出m 的范围．【参考解答】解:（1）211cos2()sin (cos )sin cos sin 2sin(2)223x f x x x x x x x x x π-====-,()sin(2)sin 3333f ππππ∴=⨯-==, 令222232x πππππ-+-+,解得51212xππππ-++,Z ∈．()f x ∴的单调递增区间是[12ππ-+,5]12ππ+,Z ∈． （2）[12x π∈,]2π,可得2[36x ππ-∈-,2]3π,∴当232x ππ-=时,()f x 取得最大值1,当236x ππ-=-时,()f x 取得最小值12-． ()2m f x m <<+恒成立,∴1221m m ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩,解得112m -<<-．∴实数m 的取值范围是1(2-,1)-．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的单调性,三角函数的值域,考查了转化思想和函数思想,属于中档题．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>,0ω>,||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1),(8,3)-． （1）求函数()f x 的表达式;（2）求函数()f x 在区间[0,6]的最大值和最小值;（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >,纵坐标不变,再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0,]π内恰有4个零点,求t 的取值范围． 【详细分析】（1）由最值求出A 、B ,由周期求ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的详细解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域,得出结论．（3）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的性值,求得t 的取值范围．【参考解答】解:（1）由题意可得,1A B +=,3A B -+=-,故2A =,1B =-．12822πω⋅=-,6πω∴=．根据五点法作图,262ππϕ⨯+=,6πϕ∴=,()2sin()166f x x ππ=+-． （2）[0x ∈,6],∴7[]6666x ππππ+∈, 故当662x πππ+=时,()f x 取得最大值为211-=;当7666x πππ+=时,()f x 取得最小值为12()122⨯--=-． （3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6t π倍(0)t >,纵坐标不变, 可得62sin()12sin()1666t y x tx ππππ=⨯+-=+-的图象; 再向上平移1个单位得到()2sin()6y g x tx π==+的图象． 当[0x ∈,]π,[66tx ππ+∈,]6t ππ+, 若函数()y g x =在[0,]π内恰有4个零点,则456t ππππ+<, 求得232966t <． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于中档题．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈,将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位,得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值; （2）求函数()yg x =的详细解析式;（3）若0()2x f =求0()g x ． 【详细分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简()f x 的详细解析式,可得()3f π的值．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,得出结论．（3）由题意求得0sin()6x π-的值,再利用诱导公式、二倍角公式,求得0()g x 的值． 【参考解答】解:（1）函数2()4cos sin()1cos 2cos 12cos22sin(2)66f x x x x x x x x x ππ=-+=-+=-=-, 故()2sin 232f ππ==． （2）将函数()2sin(2)6y f x x π==- 的图象向左平移6π个单位, 得到函数()2sin(2)6y g x x π==+的图象,（3）若00()2sin()26x f x π==-,则0sin()6x π-= 000()2sin(2)2cos(2)2cos(63g x x x ππ∴=+=-=2002)2[12sin ()]36x x ππ-=⨯-- 32[12]14=-⨯=-． 【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,属于中档题．。

综合卷五1．设集合A＝{3，5，6，8}，集合B＝{4，5，7，8}，则A∩B等于（）A．{3，4，5，6，7，8}B．{3，6}C．{4，7}D．{5，8}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜03．已知角α的终边经过点P（﹣1，），则cosα＝（）A．B．C．D．4．若函数f（x）＝，则f（f（10））＝（）A．lg101B．2C．1D．05．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（﹣1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．D．7．当a＞1时，函数y＝a﹣x与y＝log a x的图象是（）A．B．C．D．8．已知α＝﹣2rad，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．若函数y＝a x（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为（）A．B．C．或2D．或10．已知x＝20.2，y＝log20.2，z＝0.20.3，则下列结论正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜z＜x C．z＜y＜x D．z＜x＜y11．求函数f（x）＝log3（x2﹣2x﹣3）的单调增区间（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）12．已知正数满足，则a+b的最小值是（）A．2B．3C．4D．513．已知1＜a＜4，2＜b＜8，则a﹣2b的取值范围为．14．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝．15．已知函数f（x）＝lnx﹣m的零点位于区间（1，e）内，则实数m的取值范围是．16．给出下列四个命题：①f（x）＝sin（2x﹣）的对称轴为x＝，k∈Z；②函数f（x）＝sin x+cos x的最大值为2；高一年级数学学科假期作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：③∀x∈（0，π），sin x＞cos x；④函数f（x）＝sin （）在区间[0，]上单调递增．其中正确命题的序号为．17．计算：（1）；（2）已知，求．18．设全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}．（1）求A∪（∁R B）．（2）若C＝{x|a﹣1≤x≤a+3}，A∩C＝A，求实数a 的取值范围．19．有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．20．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若，求f（x）的值域．21．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；②年销售额x（万元），x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝log a x，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．（1）求奖金y关于x的函数解析式；（2）若某营销人员争取奖金y∈[4，10]（万元），则年销售额x（万元）在什么范围内？22．已知，（1）求．（2）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值．（3）求的值．（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？综合卷五答案1．解：∵集合A＝{3，5，6，8}，集合B＝{4，5，7，8}，又∵集合A与集合B中的公共元素为5，8，∴A∩B＝{5，8}，故选：D．2．解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故选：A．3．解：∵角α的终边经过点，∴x＝﹣1，y ＝，∴r＝2，∴cosα＝＝﹣．故选：D．4．解：因为函数f（x ）＝，所以f（10）＝lg10＝1；f（f（10）＝f（1）＝2．故选：B．5．解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），因为x≥0时，f（x）＝2x2﹣x，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣1）＝﹣1，故选：B．6．解：由题意知，x＝﹣3，x＝1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可得﹣3+1＝﹣a，解得a＝2；所以不等式为2x2+x﹣3＜0，即（2x+3）（x﹣1）＜0，解得，所以不等式的解集为（﹣，1）．故选：D．7．解：由a＞1知，函数y＝a﹣x ＝w为减函数，y＝log a x为增函数．故选：A．8．解：α＝﹣2rad≈﹣2•57.30°＝﹣115°，在第三象限，故选：C．9．解：当a＞1时，y＝a x在[1，2]上递增，y的最大值为a2，最小值为a，∵函数y＝a x在[1，2]上的最大值与最小值的差为，∴，解得或a＝0（舍）．当0＜a＜1时，y＝a x 在[1，2]上递减，y的最大值为a，最小值为a2，∵函数y＝a x在[1，2]上的最大值与最小值的差为，∴，解得或a＝0（舍）．综上，或．故选：D．10．解：∵x＝20.2＞20＝1，y＝log20.2＜log21＝0，0＜z＝0.20.3＜0.20＝1，∴y＜z＜x．故选：B．11．解：由x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．由于y＝log3x在定义域上是增函数，y＝x2﹣2x﹣3开口向上、对称轴为x ＝1．根据复合函数单调性同增异减可知，f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．故选：D．12．解：设a+b＝x，10﹣x ＝，x（10﹣x）＝（a+b ）（）≥（1+3）2＝16，当且仅当a ＝3b取等号，所以x2﹣10x+16≤0，得x∈[2，8]，故a+b的最小值为2，故选：A．13．解：若1＜a＜4，2＜b＜8，则﹣16＜﹣2b＜﹣4，∴﹣15＜a﹣2b＜0，故答案为：（﹣15，0）．14解：∵函数f（x ）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期∴T＝π，则函数f（x ）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期T＝2π则ω＝1故答案为：115．解：由题意，函数f（x）＝lnx﹣m在定义域上单调递增，又因为函数零点位于区间（1，e）内，所以f（1）＝﹣m＜0，f（e）＝1﹣m＞0，解得0＜m＜1，故m∈（0，1）．故答案为：（0，1）．16．解：①y＝sin x的对称轴为x＝kπ+（k∈Z），故f（x）＝sin（2x ﹣）的对称轴由（k∈Z ），解得（k∈Z），故①正确；②函数f（x）＝sin x +cos x＝2sin（x +），故该函数的最大值为2，故②正确；③∀x∈（0，π），sin x＞cos x；当x ＝时，sin x＝cos x，故③错误．④函数f（x）＝sin （）在区间[0，]上单调递减．故④错误．故答案为：①②．17．解：（1）原式＝；（2）∵，∴sinα＝2cosα，∴．18解：（1）全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}＝{x|x≥3}，∁R B＝{x|x＜3}，∴A∪（∁R B）＝{x|x＜4}；（2）C＝{x|a﹣1≤x≤a+3}，且A∩C＝A，知A⊆C，由题意知C≠∅，∴，解得，∴实数a的取值范围是a∈[1，3]．19．解：设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意可知4x+3y＝240，20．，当且仅当x＝30取等号，所以x＝30时，当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，20．解：（1）∵，∴4x﹣1＞0解得x＞0，故函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（2）令t＝4x﹣1，∵，∴t∈[1，15]∴f（t）＝log4t∈[0，log415]，∴f（x）∈[0，log415]，即函数f（x）的值域为[0，log415]，21．解：（1）根据题意，当年销售额为x，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝log a x，y∈[3，6]，又由y＝log a x在x∈[8，64]上为增函数，所以，解可得：a＝2，所以y ＝（2）若某营销人员争取奖金y∈[4，10]（万元），易知x≥8．（3）当8≤x≤64时，要使y∈[4.10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64．当x＞64时，要使y∈[4，10]．则40≤x≤100，所以64＜x≤100．综上所述，当年销售额x∈[16，100]（万元）时．奖金y∈[4，10]（万元）．22．解：（1）由题意可得＝＝cosα，故f （）＝cos ＝．（2）∵tanα＝2，故4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α＝＝＝1．（3）＝sin50°•＝sin50°•＝＝1．（4）∵已知，＝sin（α﹣﹣）＝﹣cos（α﹣）＝﹣cos （﹣α）＝﹣．通过以上题目的解答，可以看出，结三角函数求值（化简）最应该注意诱导公式的应用中符号的选取．。

人教A 版（2019）数学必修第一册1.1集合的概念一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．拥有手机的人B ．2019年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于 π 的正整数2．（2分）下列四个区间能表示数集 A ={x|0≤x <5 或 x >10} 的是（ ）A ．(0,5)∪(10,＋∞)B ．[0,5)∪(10,＋∞)C ．(0,5]∪[10,＋∞)D ．[0,5]∪(10,＋∞)3．（2分）若 1∈{a,a 2} ，则 a 的值为（ ）A ．0B ．−1C ．1D ．±14．（2分）方程组 {y =3x,y =x 2的解集为（ ） A ．{0,3} B ．{3,9} C ．{(0,0),(1,3)}D ．{(0,0),(3,9)}5．（2分）设集合 A ={x|x 2+2x −8=0} 则下列关系正确的是( ).A ．−2∈AB ．2∈AC ．2∉AD ．−4∉A6．（2分）已知集合S ={a,b,c,}中的三个元素可构成 △ABC 的三条边长，那么 △ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．（2分）若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m ∈R ｝中有且只有一个元素，则m 的取值集合是（ ） A ．｛1｝ B ．｛ −1 ｝ C ．｛0，1｝D ．｛ −1 ，0，1｝8．（2分）有下列说法：（1）0与 {0} 表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 {1,2,3} 或 {3,2,1} ；（3）方程 (x +1)(x −2)2=0 的所有解的集合可表示为 {−1,2,2} ；（4）集合 {x|−3<x <4} 是有限集.其中正确的说法是（ ） A ．只有（1）和（4） B ．只有（2）和（3） C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对9．（2分）函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数， 例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2 已知 定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x]，若A={y|y=g(x)，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为（）A．1B．3C．4D．610．（2分）设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合A ⊙B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A ⊙B中所有元素之积为（）A．-8B．-16C．8D．16二、填空题(共5题；共6分)11．（2分）用符号“∈”或“∉”填空：（1）（1分）若集合P由小于√11的实数构成，则2 √3P；（2）（1分）若集合Q由可表示为n2+1( n∈N∗)的实数构成，则5Q.12．（1分）下面有四个命题：其中正确命题的个数为．①集合N中最小的数是1；②若﹣a不属N，a属N；③若a∈N，b∈N则a+b的最小值为2；④x2+1=2x的解可表示为{1，1}．13．（1分）已知集合A={1,2,x3}，若x∈A，则x=14．（1分）定义A-B={x|x∈A且x ∉B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=．15．（1分）已知集合A={x|ax−1<0}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围x−a是．三、解答题(共5题；共35分)},求实数a应满足的条件.16．（5分）已知集合A可表示为{a,a2, 1a17．（5分）已知集合A={−1，3，2m−1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，求实数m的值. 18．（10分）已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R.∈A，用列举法表示A；（1）（5分）若12（2）（5分）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.∈N}．19．（10分）设集合B＝{x∈Z| 63−x（1）（5分）试判断元素1,-1与集合B的关系；（2）（5分）用列举法表示集合B.20．（5分）已知集合A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】对A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.对B, 2019年高考数学难题界定不明确,不能构成集合 对C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合 对D,小于 π 的正整数分别为1,2,3,能够组成集合 故答案为：B【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】根据区间的定义可知数集 A ={x|0≤x <5 或 x >10} 可以用区间 [0,5)∪(10,＋∞) 表示.故答案为：B.【分析】根据区间的定义，将集合 A 表示为区间的形式，由此确定正确选项.3．【答案】B【解析】【解答】若 a =1 ，则 a =a 2 ，不合题意，舍去；若 a 2=1 ，则 a =±1 ，易知当 a =−1 时满足题意. 故答案为：B【分析】分 a =1 和 a 2=1 两种情况讨论，即得解.4．【答案】D【解析】【解答】由 {y =3x,y =x 2. 解得 {x =0y =0 或 {x =3,y =9, 故所求方程组的解集为 {(0,0),(3,9)} . 故答案为：D【分析】解方程组得 {x =0y =0 或 {x =3,y =9, 即得方程组的解集.5．【答案】B【解析】【解答】因为 x 2+2x −8=0 ，解得 x 1=−4 ， x 2=2 ，所以 A ={−4,2} ，即 2∈A . 故答案为：B【分析】解一元二次方程求出集合 A 的元素即可得出选项.6．【答案】D【解析】【解答】因为集合M={a.b,c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形,故答案为：D.【分析】由已知利用集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，即可判断三角形的形状.7．【答案】D【解析】【解答】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根，因此m=0或{m≠0Δ=0,，,∴,m,=,0,,,1,,,−,1，故m的取值集合是｛−1，0，1｝.故答案为:D.【分析】集合A中只含有一个元素，所以方程mx2＋2x＋m＝0为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,得到m的值.8．【答案】C【解析】【解答】由题意，（1）中，0是一个实数，{0}表示同一个集合，所以（1）不正确；（2）中，根据集合的表示方法，可得由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}，所以（2）是正确的；（3）中，根据集合的表示方法，得方程(x+1)(x−2)2=0的所有解的集合可表示为{−1,2}，所以（3）不正确；（4）中，集合{x|−3<x<4}是无限集，所以（4）不正确.故答案为：C.【分析】根据集合的的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案.9．【答案】C【解析】【解答】解：当x∈[0，12)时，[x]=0，[2x]=0，g(x)=0，当x∈[12，1)时，[x]=0，[2x]=1，g(x)=1，当x=1时，[x]=1，[2x]=2，g(x)=3，因此A中所有元素的和为1+3=4，故答案为：C.【分析】对x的范围进行讨论，[2x]在[0，2]上取整结果不同。

人教版高一数学必修一期末综合练习题(含答案)人教版高一数学必修一期末综合练题（含答案）一、单选题1.已知实数a，b，c满足lga=10=b，则下列关系式中不可能成立的是（）A。

a>b>cB。

a>c>bC。

c>a>bD。

c>b>a2.已知函数f（x）=x（e^x+a），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A。

0B。

1C。

2D。

-13.命题：“对于任意实数x，x^2+x>0” 的否定是( )A。

存在实数x，使得x^2+x≤0B。

对于任意实数x，x^2+x≤0C。

存在实数x，使得x^2+x＜0D。

对于任意实数x，x^2+x≥04.已知sin2α=-1/2，则cos(α+π/3)=（）A。

-1/3B。

-2/3C。

1/3D。

2/35.已知ω＞0，函数f(x)=cos(ωx+π/2)，则ω的取值范围是（）A。

(0,π/12]B。

(0,π/6]C。

(0,π/4]D。

(0,π/2]6.为了得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin(2x-π/2)的图象上所有点A。

向右平移π个单位B。

向左平移π个单位C。

向右平移π/2个单位D。

向左平移π/2个单位7.下列函数中，与函数y=x相同的是（）A。

y=1/xB。

y=x^2C。

y=√xD。

y=|x|8.若2sinx-cos(π/2+x)=1，则cos2x=（）A。

-8/9B。

-7/9C。

7/9D。

8/99.设A={x|x^2-4x+3≥0}，B={x|x^2-6x+5≤0}，则“A包含于B”是“B包含于A”的（）A。

充分必要条件B。

必要不充分条件C。

充分不必要条件D。

既不充分也不必要条件10.已知集合A={x|y=ln(x+1)}，集合B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A。

(-1,2]B。

[0,2]C。

(0,∞)D。

(5,6]11.已知集合P={x|x-3≤2，x∈R}，Q={3,5,6}，则P∩Q=（）A。

综合试卷一一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞）B．y＝f（x）在其定义域上为减函数C．y＝f（x）是偶函数D．y＝f（x）是奇函数3．（5分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b＞c＞0，则B．若a＞b＞0，则b2＜ab＜a2C．若a＞b＞0，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则5．（5分）已知，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．（5分）设命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有的矩形都不是平行四边形B．存在一个平行四边形不是矩形C．存在一个矩形不是平行四边形D．不是矩形的四边形不是平行四边形7．（5分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[1，2]D．[1，2）8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，图象恒过（1，1）点，对任意x1＜x2，都有则不等式的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，log23）C．（﹣∞，0）∪（0，log23）D．（0，log23）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角高一年级数学学科假期作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：B ．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C．若角α的终边过点P（﹣3，4），则D．若角α为锐角，则角2α为钝角10．（5分）已知函数其中a＞0且a≠1，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）在其定义域上有零点C．函数f（x）的图象过定点（0，1）D．当a＞1时，函数f（x）在其定义域上为单调递增函数11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有三个零点C ．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小值为﹣4B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增C．函数f（|x|）为偶函数D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）已知tan（α﹣）＝2，则tanα＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x ＞0时，f（x）＝．16．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则＝，函数g（x）的值域为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①tanα＝4，②7sin2α＝2sinα，③cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，cos（α+β）＝﹣，，求cosβ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4．（1）若函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，求实数k的取值范围；（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．20．（12分）物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，x＞0），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．（12分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）当a＝时，求函数g（x）＝的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．（12分）已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（﹣x）+cos x+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）＜0成立的实数x的取值集合．期末综合一答案1．解：∵集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，∴集合A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，0）}．∴集合A∩B的子集个数为2．故选：C．2．解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x ）的图象过点，∴，∴，∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B 正确，∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．3．解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．解：A．∵a＞b＞c＞0，∴ab＞0，∴，∴，∴，故A不正确；B．∵a＞b＞0，∴a（a﹣b）＞0，b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故B正确；C．由a＞b＞0，取c＝0，则ac2＞bc2，故C错误；D．∵a＜b＜0，∴，故D错误．故选：B．5．解：∵a＝tan＝tan （+）＝＝2+＞2，b＝cos＝cos （+）＝﹣sin＜0，c＝cos （﹣）＝cos ＝＜1，∴a＞c＞b．故选：D．6．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为：存在一个矩形不是平行四边形．故选：C．7．选：A．8．解：由题意可得f（1）＝1，对任意x1＜x2，都有，则f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，令g（x）＝f（x）+x，则可得g（x）在R单调递增，且g（1）＝2，由可得，g[log2（2x﹣1）]＜g（1），故，解可得，0＜x＜log23．故选：D．9．解：对于A ：是第而二象限角，所以A不正确；对于B ：若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为：＝．所以B正确；对于C：若角α的终边过点P（﹣3，4），则，所以C正确；对于D：若角α为锐角，则角2α为钝角，反例α＝1°，则2α＝2°是锐角，所以D不正确；故选：BC．10．解：函数其中a＞0且a≠1，由于f（﹣x）＝﹣f（x），且x∈R，所以函数为奇函数．当x ＝0时，f（0）＝0，所以函数在其定义域上有零点，当当a＞1时，函数中都为整函数，故在其定义域上为单调递增函数．故选：ABD．11．解：T ＝＝＝π，故A正确；令f（x）＝0，2x +＝kπ，当x∈[0，π]时，x ＝，，故B不正确；当x ＝时，f（x ）＝取得最大值，故C正确；为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），故D错误；故选：AC．12．解：二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误；由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；令h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a 的零点转化为y＝h（x）与y＝a的交点，作出h（x）图象如右图所示：图象关于x＝1 对称，当y＝h（x）与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4，故选项D正确．故选：ACD．13．解：原式＝．故答案为：．14．解：∵tan（α﹣）＝tan（α﹣）＝＝2，则tanα＝﹣3，故答案为：﹣3．15．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x（x+1）．故答案为：﹣x（x+1）．16 .f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），g （）＝f （﹣[]）＝f （）＝f （）＝2，由g（x）＝2x﹣[x]，[x]∈（x﹣1，x]，x﹣[x]∈[0，1），所以g（x）∈[1，2），故答案为：；[1，2）．四、解答题17．解：方案一：选条件①解法一：因为，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或因为，所以．因为，由平方关系sin2（α+β）+cos2（α+β）＝1，解得．因为，所以0＜α+β＜π，所以，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．解法二：因为，所以点在角α的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件②因为7sin2α＝2sinα，所以14sinαcosα＝2sinα，因为，所以sinα≠0，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件③因为，所以由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．因为，所以．以下同方案一的解法一．①18．解：（1）由函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4知，函数f（x）图象的对称轴为x＝1﹣k．因为函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，所以1﹣k≤2或1﹣k≥4，解得k≤﹣3或k≥﹣1，所以实数k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）．（2）解法一：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则△＜0，所以4（k﹣1）2﹣16＜0，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的取值范围为（﹣1，3）．解法二：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则f（x）min ＞0，所以，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的为（﹣1，3）．19．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣3＜x＜3．所以函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．（2）函数f（x）为偶函数．理由如下：因为∀x∈（﹣3，3），都有﹣x∈（﹣3，3），且f（﹣x）＝log a（3+x）+log a（﹣x+3）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）＝f（x），所以f（x）为偶函数．（3）当a＝3时，f（x）＝log3（3﹣x）+log3（x+3）＝log3[（3﹣x）（x+3）]＝．令t＝9﹣x2，且x∈（﹣3，3），易知，当x＝0时t＝9﹣x2取得最大值9，此时取得最大值log39＝2，所以函数f（x）的最大值为2．20．解：设，其中x＞0，当x＝9时，，解得k＝20，m＝0.8，所以，y2＝0.8x，设两项费用之和为z（单位：万元）则＝＝7.2当且仅当，即x＝4时，“＝”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．21．解：（1）当时，函数，要使根式有意义，只需，所以，化简得3x≥3＝31，解得x≥1，所以函数g（x）的定义域为[1，+∞）；（2）函数f（x）在定义域R上为增函数．证明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则＝，由x1＜x2，可知，则，又因为，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f （x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域R上为增函数．22．解：（1）∵＝＝＝＝．（1）函数f（x）的最大值为2+a＝1，所以a＝﹣1．（2）对于函数f（x），由，解得，所以f（x）的单调递增区间为．（3）由（1）知．因为f（x）＜0，即．∴，∴．所以，所以使f（x）＜0成立的x的取值集合为．。

2019年人教版数学高一上学期综合检测卷一一、选择题(每小题5分，共60分)1、设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )．A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2、函数22232xy x x -=--的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．直线3x+y+1=0的倾斜角为 ( )A ．50ºB ．120ºC ．60ºD ． －60º4、在空间中，l ，m ，n ，a ，b 表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A 、若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α B 、若l ⊥m ，m ⊥n ，则m ∥n C 、若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D 、若l ⊥α，l ∥a ，则a ⊥α5、过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝06．设函数11232221,,log ,333a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a << 7、如果0<ac 且0<bc ，那么直线0=++c by ax 不通过（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限8, 已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为 （ ）A 、12-； B 、12； C 、2-； D 、2。

人教版2019学年高一数学考试试题（一）一、选择题1.已知D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确的是A =+B =++C EC DA DE =+D FD DE DA =+ 2.设θ是第二象限角，则点))cos(cos ),(sin(cos θθP 在A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7 4.若││=2sin150,││=4cos150, 与的夹角为030，则•的值是A23B 3C 23D 215.把函数)34cos(π+=x y 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为A 6πB 3πC 32πD 34π6.用秦九韶算法计算多项式283512)(x x x f +-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为A. －845B. 220C. 7.输出的结果为A 8B 20C 9D 8.函数)2cos 21(log 21x y -=A )0,6(π-B 4,0(π) C [2,6ππ9.下面是某个算法的程序，如果输入的x 值是20， 则输出的y 值是A ．100B ．50C ．25D ．15010.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ］是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则=-||b a A ．h m B ．hm C ．mhD ．m h + 11.若函数()()sin f x x ωϕ=+的图象（部分）如图所示，则ω和ϕ的取值是 A ．1,3πωϕ== B. 1,3πωϕ==-C. 1,26πωϕ==D. 1,26πωϕ==-12.已知平面上直线l 的方向向量=(53,54-),点)0,0(O 和)2,1(-A 在l 上的射影分别是O '和A '，则A O ''=λ,其中λ等于A511 B - 511C 2D -2 二、填空题13.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有____学生 14.若41log )sin(8=-απ,且)0,2(πα-∈,则)2cos(απ-的值是____________ 15.两个正整数840与1764的最大公约数为____ _____16.函数x x y cos sin -=的图象可以看成是由函数x x y cos sin +=的图象向右平移得到的，则平移的最小长度为_____________. 选择题答题卡三、解答题17.已知平面内三个已知点)3,8(),0,0(),7,1(C B A ，D 为线段BC 上的一点，且有⊥++)(，求点D 的坐标.18.设一元二次方程02=++C Bx x ，若B 、C 是一枚骰了子先后掷两次出现的点数，求方程有实根的概率。

2019级高一数学必修一综合1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知幂函数的图象与轴无公共点，则的值的取值范围是A.B. C.D.2. 函数是指数函数，则a 的值为( )A.B. 1C.D. 1或3. 已知集合A ＝{x |y ＝}，B ＝，则A ∩B ＝()A. [－2，－1]B. [－1,2)C. [－1,1]D. [1,2)4. 已知a =log 2，b =5-3，c =2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜cB. a ＜c ＜bC. c ＜b ＜aD. c ＜a ＜b5. 已知函数g （x ）＝f （x ）＋x ，若g （x ）有且仅有一个零点，则a的取值范围是（ ）A. （－∞，－1）B. [－1，＋∞）C. （－∞，0）D. [0，＋∞）6. 已知函数f （x ）=，方程f （x ）=k 恰有两个解，则实数k 的取值范围是（ ）A. （，1）B. [，1）C. [，1]D. （0，1）7. 已知f （x ）=，则方程f （f （x ））=1的实数根的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A.B.C.D.9. 已知f （x ）=满足对任意x 1≠x 2，都有＜0成立，那么a 的取值范围是（）A. （0，]B. [,1）C. [,]D. [，1）10. 已知函数若均不相等，且，则的取值范围是 A. （0,9） B. （2,9）C. （2,11）D. （9,11）11. 已知函数，若，则的取值范围是（）A. B.C.D.12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（）A.B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算= ______ ．14. 函数的单调递减区间为______________. 15. 已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为__________.16. 函数的值域为 ________________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 设集合，．（Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求实数组成的集合．18.已知函数f（x）=（a2-3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）-f（-x）的奇偶性，并加以证明；（3）解不等式：log a（1-x）＞log a（x+2）。