2019年高中必修一人教版数学

目录第一章 集合与函数 ............................................................................................................................................... 1 第二章 基本初等函数（Ⅰ） ............................................................................................................................. 24 第三章 函数的应用 (59)第一章 集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈. 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)2.二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.3. 若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]二、动轴定区间1. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2. 求函数在区间上的最小值．()221f x x ax =+-[]0,33. 已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．4.已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．5. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．6. 函数．()23f x x ax =++（1）当时，恒成立，求得取值范围；x R ∈()f x a ≥a （2）当时，恒成立，求的取值范围；[]2,2x ∈-()f x a ≥a 三、定轴动区间1. 若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}2. 已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．来源学*科*网四、综合1.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数()21f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <的取值范围是 ．m 2.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．参考答案二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝，由题意得≥4，解得a ≥8.a2a22.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－，要使m －13得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－＝1，解得m －13m ＝－2.答案：－23. 解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝≤－1，且m <01m ，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．二、动轴定区间1. 解析：选B f (x )＝2－＋b ，(x ＋a 2)a 24①当0≤－≤1时，f (x )min＝m ＝f ＝－＋b ，a 2(－a 2)a 24f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max 与a 有关，与b 无关；{a 24，1＋a ＋a 24}②当－<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，a2∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，a2∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．2.【答案】因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直()()221f x x a a =+--()f x 线．x a =-如图：当即时，函数在上是增函数，0a -<，0a ≥()f x []0,3所以时，；0x =()min 01f f ==-当时，函数在上先单调递减，在单调递增，03a <-<，30a -<<()f x []0,3所以，即；x a =-()2min 1f f a a =---当时，即时函数在上时减函数，3a ->3a <-()f x []0,3所以时，．3x =()()min 386f x f a ==+综上所述，当时，函数的最小值为；0a ≥()f x 1-当，函数单的最小值为；30a -<<21a --当时，函数的最小值为．a ≤-3()f x 86a +3. 解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝.1a ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，1a ∴f (x )在上递减，在上递增．[0，1a ][1a ，1]∴f (x )min＝f ＝－＝－.(1a )1a 2a 1a②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，1a ∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧，1a ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝Error!4. 解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，来源:Z §xx §]设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋，ha ∴|x 1－x 2|＝＝ ＝2，x 1＋x 2 2－4x 1x 2－4h a 解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝，k －22则≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．k －225. 解：f (x )＝2－－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(x ＋a 2)a 24(1)当－<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，a2∴a ≤.73又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－≤2，即－4≤a ≤4时，a2g (a )＝f＝－－a ＋3≥0，(－a 2)a 24∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.a2又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．6. 【答案】恒成立，即恒成立．()f x a ≥230x ax a ++-≥只需，即∴．()2430a a =--Δ≤24120a a +-≤，6a -≤≤2（2）()2223324a a f x x ax x ⎛⎫=++=++-⎪⎝⎭当即时，由∴22a -<-，4a >()()min 227f x f a =-=-+，27a a -+≥，73a ≤，a ∈∅．当即时，得，∴222a-≤-44a -≤≤()2min 34a f x a =-≥，62a -≤≤．42a-≤≤当，即时，，22a->4a <-()()min 227f x f a ==+由得∴．综上得．27a a +≥，7a ≥-，74a -<-≤[]7,2a ∈-三、定轴动区间1.解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.2. 解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f( 1)＝1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.综上可知，g(a)＝Error!四、综合1. 略2.解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at ＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：8。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A 版教材）高中数学必修5第三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。

不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。

因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。

在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2.教学难点： 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情景引入，温故知新（一）、情境导学1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。

高中数学必修 1 知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。

2.元素的性质：(1)确定性。

给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。

集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。

集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4.集合的表示方法：(1)列举法。

把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。

集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。

如用V enn 图表示A包含于B。

AB②数轴法。

5.集合的分类(1)有限集。

含有有限个元素的集合；(2)无限集。

含有无限个元素的集合；(3)空集∅。

不含任何元素的集合。

6.常用集合(1)N：非负整数集 (或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。

规定：①任何一个集合是它本身的子集。

对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合 A 是集合 B的真子集，记作 A⊊ B2.相等关系：例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，记作：{A⊆BB⊆A⟺A=B。

即A，B中的元素是一样的。

3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n - 1个，其非空真子集数为2n - 2 个，其非空子集数为2n - 1个。

特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。

三、集合的基本运算1. 交集： 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与B 的交集，记作 A∩B 。

1．1集__合1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义集合的概念[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2≤9的整数解；(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义表示元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等[提出问题]问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.元素与集合的关系及常用数集的记法[某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 2．常用的数集及其记法常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法NN *或N ＋ZQR[化解疑难]1．对“∈”和“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网集合的基本概念[例1] (1)上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12组成的集合有五个元素； ③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素与集合的关系[例2] (1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈AD ．a ＝A(2)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1B ．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.集合中元素的特性及应用[例3][解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.[类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．解：∵x 2∈A ，∴x 2是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 2＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.1.警惕集合元素的互异性[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．[解析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．[成功破障]若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1[随堂即时演练]1．下列选项中能构成集合的是()A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍解析：选C根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.答案：2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.[课时达标检测]一、选择题1．下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)素数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．A．1B．2 C．3 D．4解析：选C(1)正确；(2)若1a＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析：选B从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：选A由于选项A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．4．已知集合M中的元素x满足x＝a＋b2，其中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合M中元素的个数是()①0；②－1；③32－1；④23－22；⑤8；⑥11－2.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A 当a ＝b ＝0时，x ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，x ＝－1；当a ＝－1，b ＝3时，x ＝－1＋32；23－22＝2(3＋22)(3－22)(3＋22)＝6＋42，即a ＝6，b ＝4；当a ＝0，b ＝2时，x＝22＝8；11－2＝1＋2(1－2)(1＋2)＝－1－2，即a ＝－1，b ＝－1.综上所述：0，－1,32－1，23－22，8，11－2都是集合M 中的元素．5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.解析：∵方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等， ∴a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2. 答案：27．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ______A ，ab _____A ．(填“∈”或“∉”)解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为________．解析：∵a ∈A ，且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜6，3a ＜6， 解得a ＜2. 又∵a ∈N ， ∴a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、解答题9．已知集合M 由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成，若2∈M ，求x . 解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意；当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，x ＝－3或x ＝2，经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－2.11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解：∵3∈M ， ∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，∴1＋⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有元素－2，－13，12.12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．解：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素． (1)其他所有元素为－1，12.(2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32.(3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 证明如下：由已知，若a ∈A ，则11－a∈A 知，11－11－a＝a －1a∈A ，11－a －1a＝a ∈A . 故A 中只能有a ，11－a，a －1a 这3个元素．下面证明三个元素的互异性：若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a. 同理可证，a ≠a －1a ，11－a≠a －1a .结论得证．第二课时 集合的表示列举法[提出问题] 观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？ 提示：用列举法表示． [导入新知]列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[化解疑难]使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法[提出问题]观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．[导入新知]描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[化解疑难]1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.用列举法表示集合[例1] (1)( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．9(2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解] 选B (1)∵x ∈A ， ∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．[类题通法]用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． [活学活用]已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .解：对任意a ∈A ，有|a |∈B . 因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.用描述法表示集合[例2](1)①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．[答案](1)①∈∉②∈[类题通法]利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[活学活用]下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.集合表示的应用[例3] (1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( ) A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N} B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N} C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N} D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N}(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.(2)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32∉N. 所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [类题通法]判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．[活学活用]用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}．解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1.∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．1.集合与方程的综合应用[典例]集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．[解]当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．[多维探究]解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．3．若1∈A ，则a 为何值？ 解：∵1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.4．是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：∵A ＝{1}，∴1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3. 又当a ＝－3时，由－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝－13或x ＝1，即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾．故不存在实数a ，使A ＝{1}．[随堂即时演练]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}． 2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的． 其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________. 解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性， ∴B ＝{0,1,2}． 答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (6)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){x |x ＝3n ，n ∈Z}． (5){1,2}． (6){x |x >3}．[课时达标检测]一、选择题1．下列集合的表示，正确的是( ) A ．{2,3}≠{3,2}B ．{(x ，y )|x ＋y ＝1}＝{y |x ＋y ＝1}C ．{x |x ＞1}＝{y |y ＞1}D ．{(1,2)}＝{(2,1)}解析：选C {2,3}＝{3,2}，故A 不正确；{(x ，y )|x ＋y ＝1}中的元素为点(x ，y )，{y |x ＋y ＝1}中的元素为实数y ，{(x ，y )|x ＋y ＝1}≠{y |x ＋y ＝1}，故B 不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D 不正确．2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M解析：选D 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M .当x ，y ，z 都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M .当x ，y ，z 有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M .综上知选D.3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选B ∵x －3<2，x ∈N *， ∴x <5，x ∈N *， ∴x ＝1,2,3,4.4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集， ∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C 由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时，集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19.二、填空题6．若集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则a －b ＝________.解析：由题意知a ≠0，a ＋b ＝0，b ＝1，则a ＝－1， 所以a －b ＝－2. 答案：－27．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：{a |a ≤－2}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：2 三、解答题9．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值． 解：①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意； 当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1， 此时A ＝{2,0,1}，满足题意． 综上所述，实数a 的值为－1或0. 10．用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点组成的集合． 解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}．(3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．11．(1)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z，求M ； (2)已知集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x ∈Z x ∈N ，求C .解：(1)∵x ∈N ，61＋x∈Z ， ∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x ＝1,2,3,6，即x ＝0,1,2,5. ∴M ＝{0,1,2,5}． (2)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ， ∴1＋x 应为6的正约数，∴1＋x ＝1,2,3,6，此时61＋x 分别为6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}．12．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0有且只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A .解：当k ＝0时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx 2－2x －1，y ＝0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝0，此时集合A 为－12，0；当k ≠0时，要使集合A 有且只有一个元素，则方程kx 2－2x －1＝0有且只有一个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－2)2＋4k ＝0，解得k ＝－1，代入⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0中得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x －1，y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即A ＝{(－1,0)}．综上可知，当k ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0；当k ＝－1时，A ＝{(－1,0)}．1．1.2集合间的基本关系子集[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B. 问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.[导入新知]子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.集合相等[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是．是.[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识(1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.真子集[提出问题]给出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：A⊆B.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中．[导入新知]真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A 是集合B的真子集。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件； 多媒体2a b+≤教学过程教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，当且仅当a=b 时等号成立通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

集合的概念一、知识点：1、集合的定义 。

2、集合常用 表示，元素用 表示。

若ａ是集合Ａ的元素，就说 ，记作 若ａ不是集合Ａ的元素，就说 ，记作 。

3、元素的特征： 、 、4、集合的分类：根据元素的个数分为两类 和 不含任何元素的集合叫 ，记作5、常用集合：自然数集记作 ，正整数集 ， 整数集 ，有理数集 ，实数集 二、典型例题：例1、下列各组对象：①正三角形的全体；②接近0的数的全体；③比1小的正整数的全体；④平面上到点（0,0）的距离等于一的点的全体，其中构成集合的是 。

变式练习下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，指出它们是有限集、无限集、还是空集。

（1）中国所有的人口组成的集合；（2）山东省2010年应届高中毕业生； （3）数轴上到原点的距离小于1的点；（4）方程20x=的解构成的集合；（5）某校高一一班中成绩较好的同学；（6）小于1的正整数构成的集合；例2 1. 用符号“∈”或“ ”填空(1) 3.14 Q (2) Q (3) 0 N+ (4) -2 N+ (5)(6) R例3 已知集合A 中的元素是22a+2,(a+1),a +3a+3,若1∈A ，求实数a 的值。

变式练习 若3A -∈且A 中元素为23,23,7,a a a ---求实数a 的值。

三、巩固练习： 1、下面有四个命题：①集合N 中最小数为1；②若-a ∉N,则a ∈N ；③若a ∈N,b ∈N,则a+b 的最小值为2； ④所有小的正数构成一个集合，其中正确命题的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、已知集合A 是由元素1,2构成的，集合B 是由元素0,2构成的，集合C 是由A ，B 各取一个元素相乘所得的积构成的，则集合C 的所有元素之和为（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、63、一个集合M 中的元素m 满足m N +∈，且5m N +-∈，则集合M 中的元素最多有（ ）个。

A 、3B 、4C 、5D 、64、下列各组对象：（1）比较大的整数；（2）鲜艳的花（3）视力差的人（4）参加2010年南非世界杯的所有球队。

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么a+c=b+c.(2妆口果a=b,那么ac = be或学=#(CH0).(3妆口果a=b, b=c,那么a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据：因d_/2>OOa>b：^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a<b.⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.知识点三两个实数大小的比较(1)“> 如凹"-b>0:(2)"=bO"-b 図=0：(3)固αvZ?Ua —b<0.知识点四不等式的性质⑴如果a>b,那么b<a；如果b<cb那么回“>/?,即国台Z?V".(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即a>b, b>c=叵I ">c.(3)如果a>b,那么d+o画R+c.(4)如果a>b, c>0,那么ac >bc；如果a>b, c<O,那么UC <bc.(5)如果a>b, OcL那么α+c 画 >/?+〃.(6)如果a>b>O, c>d>O,那么ac回如果α>b>O, c<(l<0,那么ac 回G"∙⑺如果a>b>O,那么0 凹R"(n∈N, π≥2).(8)如果回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).【新知拓展】1.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?—d.2.常用的结论(1 )a>b,(2)bvO<"W>*;(3)a>b>O,o√>0=>^>p... r,I a a+m a a~m b b+m b b~m(4)右Qb>0,加>0,则沪书p丹百卩一心0)； £片；茗二需(方_心0).3.比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二者并用.4.利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小:(1)已知S 〃为正数，且a≠b,比较/+，与局+“2；⑵已知XV1,比较X3-I与2X2-2X:(3)已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与〃的大小.［解］(1 )(Λ3 ÷b3)—(a2b ÷ ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2{a-b)-b2(a—b)= (a-b)(a2-b2)= {a~b)2(a+b).Vt∕>O, b>0 且a≠b, Λ(a-b)2>Q9 a+b>O9/. (a y÷ /?3) — (a2b ÷ ab2)>O,即cr+b^>a2b+ab2.(2)X3- 1 — (2x2-2x)=x3-2X2÷2X- 1=(√-X2)-(X2-2X÷1)=X2(Λ:- I)-(X-1)2= (X-I)(X2-χ+1) = (X- 1 {(^-∣)2+∣•Txvl, Λχ- l<0.X^x-^2÷j>0,•••(XT)-(x^⅛+fl <0, ΛX3~1<2Λ2~2X.4 x+y 4 (x+y)2_4Xy (χ∙~y)'χ+y Xy x+y Q(X+y) xy(x÷y)* 乂“ y均为正数，Λ.r>0, y>0, xy>0, x÷y>0, (X-y)2≥0.Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时，等号成立)・金版点睛作差比较法的四个步骤［结论〕—(根据差的符号，判断两数(式)的大小「题型二 不等式的性质及应用例2下列命题正确的是 ___________②α>b 且 c>d=>ac>bch解析］①戸’ n 知 当XO, b>0时，满足已知条件，但推不出a>b, IoO (・•・①错误.②当a = 3, b=∖, C= —2, Cl=—3时，命题显然不成立∙ ∙°∙②错误•④显然c 2>0t Λ两边同乘以$得a>b.④正确.［答案］③④金版点睛 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所 需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结 论，也可举出一个反例予以否定・题型三 利用不等式的性质证明不等式例 3 (1)已知e>f 9 c>0,求证：f-ac<e~bc;(2)已知CVdV0,求证：土缶；-∖a>h>09‰>o一成立・・：③正确・ ③a>b>O 且 c>√>0=>=>^>p*0=>(3)已知bc-ad20, bd>O.求证：一T —W 〃・［证明］(I)Tα>∕?, c>O, .*.ac>hc./. -ac<-hc.'∙f<e,:・f— ac<e—be.(2) T CVdVO, /. —c>—d>0.乂a>b>O, C. ci—c>b—d>0.(3) •： be—adMO, :∙QdWbc,乂T bcl>O,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件.(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围；(2)已知一∣≤cc<^≤^,求笞迫，生亍©的取值范圉.［解］(I)V3≤∕^<10,・•・一10v-bW-3.乂2<t∕≤5τ •：—8<f∕-Z>≤2.⑵T —彳WaV厂W号,・•・-共鈴γ<⅛两式相加得一两式相加得一又*0,・・・三篡0, Λ［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+b,“b的取值范围.解由2<t∕≤5,3≤^<10 得2 +3 V/+b<5 ÷ 10,2 ×3<ab<5 ×10,即5<a÷b< 15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的"范围”间的联系.如已知20<x+yV30,15Vχ-y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出X, y的范围，再求"+3y的范围，应把已知的"x+y” “x—y” 视为整体，即2x+3y=I(X+>-)—∣(Λ—y),所以需分别求出∣(x+y), —∣(χ-y)的范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 •熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.【知识导学】知识点一基本不等式如果。

高中数学必修 1 知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。

2.元素的性质：(1)确定性。

给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。

集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。

集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4.集合的表示方法：(1)列举法。

把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。

集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。

如用V enn 图表示A包含于B。

AB②数轴法。

5.集合的分类(1)有限集。

含有有限个元素的集合；(2)无限集。

含有无限个元素的集合；(3)空集∅。

不含任何元素的集合。

6.常用集合(1)N：非负整数集 (或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。

规定：①任何一个集合是它本身的子集。

对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合 A 是集合 B的真子集，记作 A⊊ B2.相等关系：例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，记作：{A⊆BB⊆A⟺A=B。

即A，B中的元素是一样的。

3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n - 1个，其非空真子集数为2n - 2 个，其非空子集数为2n - 1个。

特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。

三、集合的基本运算1. 交集： 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与B 的交集，记作 A∩B 。

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即。

1.1集合的概念一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、高个子、好人、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

简记为“互异性”．利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ． （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ． 2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 四、常用的数集及其记法备注: 自然数集N 含有元素0；而*N 或+N 不含有元素0；注意N 与*N 或+N 他们的区别。

五、列举法把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用逗号“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物．六、描述法1、定义：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．元素x 与x 的满足的条件需要用竖线隔开.2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．1.2集合间的基本关系一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。

第五章三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。

本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。

是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。

因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝A sin(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；教学重点：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．教学难点：会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．多媒体x R，有由周期函数的定义知，yy z的周期为2x，由x R，得z R，且coscos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x，cos2(x＋π)＝cos 2x，x R由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为R且y=2sinzsinx的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，正弦函数y=sinx在区间[-π2,π2]上单调递增，在区间[π,3π]上单调递减，有正弦函数的周期性可得；2.【解析】 因为 3 sin ⎣⎡⎦⎤12x ＋4π－π4＝ 3 sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x －π4＋2π＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，即f (x ＋4π)＝f (x )，所以函数f (x )的最小正周期为4π. 【答案】 D3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π 3.【解析】 令x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π，k ∈Z ， 得x ∈⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，区间⎣⎡⎦⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎡⎦⎤π2，23π⊆⎣⎡⎦⎤π3，4π3.故选D. 【答案】 D4．比较下列各组数的大小：(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin π5与sin ⎝⎛⎭⎫－7π5. 4．【解】 (1)因为90°<150°<170°<180°，函数y ＝cos x 在区间[90°，180°] 上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π5＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋3π5＝sin 3π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝sin 2π5. 因为0<π5<2π5<π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 所以sin π5<sin 2π5，即sin π5<sin ⎝⎛⎭⎫－7π5.。

第五章三角函数5.4.3 正切函数的图像与性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的图像与性质。

本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。

是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。

因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。

并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝A tan(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：函数图像与函数性质相对应；e.数学建模：正切函数的性质及应用；教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

多媒体当x ∈[0,π2) 时，随狓x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于π2时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y =tan x, x ∈[0,π2)的从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x =π2+kπ， k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．３.单调性观察正切曲线可知，正切函数在区间(-π2, π2)上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-π2+k π, π2+k π),k ∈Z,上都单调递增． ４.值域当x ∈(-π2, π2)时，tan x 在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R ． 典例解析例６. 求函数y =tan (π2x +π3)的定义域、周期及单调区间．分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量x 的取值应满足;π2x +π3 ≠π2+kπ,k ∈Z ；即;x ≠13+2k,k ∈Z所以，函数的定义域是{x|x ≠13+2k,k ∈Z } 设z=π2x +π3，又tan (z +π)=tanz ， 所以tan⁡[(π2x +π3)+π]=tan (π2x +π3) 即; tan⁡[π2(x +2)+π3]=tan (π2x +π3) 因为∀x ∈{x|x ≠13+2k,k ∈Z },【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 4．函数y ＝|tan x |的周期为________． 【解析】 作出y ＝|tan x |的图象，如图所示．由图可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期是π. 【答案】 π5．(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 【解】 (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5，又0<π4<2π5<π2， 而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：正切函数图像和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。