一元函数微分学综合练习题 (1)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。

第二章 一元函数微分学测试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()f x 在0x x =可导，则下列各式中结果等于0()f x '的是 （） A ．000()()lim x f x f x x x∆→-+∆∆；B ．000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆C ．000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆； D ．000(2)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆． 2．函数()1f x x =-（）A ．在1x =处连续可导B ．在1x =处不连续C ．在0x =处连续可导D ．在0x =处不连续 3．设x x y =,则='y（ ）A ．)1(ln +x x xB ．)1ln (+x x x xC ．x x x lnD ．x x4．若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，且（ ）时，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立．A ．()()f a f b =；B ．()()f a f b ≠；C ．0)()(>b f a f ；D ．0)()(<b f a f ． 5．若()f u 可导，且()x y f e =，则有dy（ ）A ．()x f e dx '；B ．()x x f e de ；C ．[()]x x f e de '；D ．[()]x x f e e dx '．二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知 2ln sin y x =，则y '= ； 2．求极限：1lim1ln xx x xx x→--+= ；3．已知曲线方程为2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，则()y x ''= ； 4．已知函数410()3f x x e =，则(10)y = ； 5．曲线ln sec y x =在点(,)x y 处的曲率半径为 ； 三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+2．tan 0lim x x x +→3．0limln(1)x x x x→+-4.已知ln(y x =-，求()y x ¢5.已知 y x x y =，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分）1、设曲线)(x f y =与x y sin =在原点处相切，求极限)2(lim nnf n ∞→ 2、当20π<<x 时，证明xx x <<sin 2π.3.若曲线32y ax bx cx d =+++在点0x =处有极值0y =，点(1,1)为拐点，求,,,a b c d 的值.4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？参考答案：一、选择题：（每小题3分，共计15分）1-5． DCAAC二、填空题（每小题3分，共计15分）1．22cot x x ；2． 2；3．34(1)t -；4．0；5．232sec (1tan )xx +三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+222211()11ln(1)11:limlim lim1cot 122limlim1212x x x x x xxx xarc x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅-+++==+-+===+解2．tan 0lim xx x+→tan 221ln :lim lim exp tan ln exp lim exp lim cot csc sin exp lim 1xx x x x x x x xx x xx x e x+++++→→→→→===--===解3．0limln(1)x x x x→+-:limtan 1cos lim ln(1)11cos 1sin limlim12ln(1)2111sin (1)1lim22x x x x x x x xx xx x x x xx x x→→→→→=-=⋅+--==+--++==--解原极限4.已知ln(y x =-，求()y x ¢12211(1)2:x xy---⋅'===-解5．已知y xx y=，求d yd x: :ln lnln lnlnlnlnlny x x yy yy x y xx yyyx y yxyx y x xxy=''+=+⋅--'==--解两边取对数得四、解答题（每题8分，共40分）1、解:因为曲线)(xfy=与xy sin=在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1x xx y fy x f======''===当时且则00lim lim2()()()(0)lim lim lim(0)120limn nn x xnff x f x fn fx xn→∞→∞→∞→∞→→→∞→∞∴==-'====-∴==2、sin,(0,]:()21,0xxf x xxπ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩证明构造函数2cos sin ()[0,](0,),(0,),()<0 222x x xf x x f xx πππ-'∴∀∈=在上连续.在内可导且对于总有2sin ()[0,],(0,),()<()<(0)1,2222s 2s in n <1,i #<x f x x f f x f xx xx x x ππππππ<<∴∀∈===在上单调递减所以有即所以3.32:00,y ax bx cx d x y =+++==解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022y ax bx c y c y d y ax b y a b y a b c d a b a b c d '=++'∴===''=+''∴+==+++==-=∴=-===为拐点,解得4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性.22222:(00)lim (00)lim (00)(00)(0)0()0,R (0)lim 1sin1sin1sin1sin1sinlim 0(0)lim 1sinlim 0()0x x x x x x f f f f f f x x f x x xx xx xxx f x x x xf x x -+--++→→-→→+→→-=+=-=+==='==-'====-=--=解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,n x z y nxz x n x nn y n zy n zy n y z n y =--=⇒=---∴=-'=-'''===-<=解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为 则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷（B ）一、单项选择题：（每小题3分，共计15分） 1．设()f x 在x a =可导，则0()()limx f a x f a x x®+--=（ ）A ．()f a ¢B ．2()f a ¢C ．()f x ¢D ．(2)f a ¢ 2．下列结论错误的是（ ） A ．如果函数()f x 在x a =处连续，则()f x 在x a =处可导B ．如果函数()f x 在x a =处不连续，则()f x 在x a =处不可导C ．如果函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处连续D ．如果函数()f x 在x a =处不可导，则()f x 在x a =处也可能连续 3．在曲线ln y x =与直线x e =的交点处，曲线ln y x =的切线方程是 （ ）A ．0x ey -=B ．20x ey --=C ．0ex y -=D ．0ex y e --=4. 若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，则()f x '在(),a b 内 （ ）A ．只有一实根B ．至少有一个实根C ．至少有两个实根D ．没有实根 5．2cos 2y x =，则dy =( )A ．2(cos 2)(2)x x dx ''B ．2(cos 2)cos 2x d x 'C. 2cos 2sin 2x xdx -D. 2cos 2cos 2xd x二、填空题（每小题3分，共计15分） 1．已知 1arctan 1x y x+=-，则y '= ；2．求极限： 21sin(1)lim1x x x →--= ；3．已知曲线方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，则()y x '= ；4．已知函数ln y x x =，则(10)y = ；5．椭圆2244x y +=在点(0,2)处的曲率为 ； 三、计算题（每题5分，共30分） 1．求011lim ()1xx xe ®--2．求()1lim 1sin x x x ®+3．0limx ®4. 已知xx xxe e y e e---=+，求()y x ¢5. 已知 ln y x y =+，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分） 1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b 的值.2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性.4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?参考答案：一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1-5 BAABD二、填空题（每小题3分，共计15分）1．211x+；2．2；3．cot b t a-；4．98!x；5．2三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim ()1xx xe ®--1111lim ()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxx xx xx xxxxx xe x e xe x e e xeee e xex解： ----==---+===++++2．求()1lim 1sin x x x ®+()()111ln(1sin )lim 1sin lim exp[ln 1sin ]exp lim sin exp limx x xx x x x x x xxe ex解： ®++=+====3．0limx ®1.41.8θ332212limlimlim1sin 236limlim61cos sin x xx x xxxx xxx xx解： ==-===-4. 已知x x xxe e y e e---=+，求()y x ¢22()()()()4()()()x xxx xxxxxxxxe ee e e ee e y x e ee e解：------++---¢==++5. 已知 ln y x y =+，求d y d xln 111y x y dy dy dx y dxdy y dx y 解：=+=+=-四、解答题（每题8分，共40分）1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b22222212ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2x xx x x xx x a bx x ax bxxxxx x a bx xa bx xbbx x ax bxx xxxb x 解：且当为无穷小，即 ®® ®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01y x x y x x x x y x x y x x x x y x =-+'=-=-'===''=-=-''==解令得驻点为时或33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).∞∞-∞∞单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 222221:lim ()lim sin(0)0()0,()R 1sin 0()(0)1(0)limlimlim sin()0,()R .x x x x x f x x xf f x x f x x f x f xf x x xxf x x f x →→→→→===∴=--'====-∴=解在处连续则在上处处连续在处可导则在上处处可导4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=[]():()=(),()0,,0,,F(0)=F()=0,,(0,),F ()=0.()()0#x xf x x a a a a f f ξξξξξ''∃∈+=证明令F 则F 在上连续在内可导且从而满足罗尔中值定理条件所以使得即5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2222222221.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)3.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)0, 2.4(0m,,,, 2.4 ,)m .x x x x x x x x x x 则令得驻点根据问题的实际意义观察者最佳站位存在驻点又唯一因此观察者站在距离墙处看图最解：设观察者清楚与墙的距离为q q q +=-? ---¢=+=++++¢==?1.4 1.8。

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。

∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。

选项A中，[*]，原等式成立。

选项B中，[*]，原等式成立。

选项C中，[*]，原等式不成立。

选项D中，[*]，原等式成立。

3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。

4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。

二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。

8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。

第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。

函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。

例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。

（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。

这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。

一种题型是选择题或判断题。

比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。

（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。

下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。

考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=a处可导，则等于( )．A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：应选(B)．知识模块：一元函数微分学及应用2．F(x)=cosx｜sin2x｜在(0，2x)内( )．A．有一个不可导点B．有两个不可导点C．有三个不可导点D．可导正确答案：D解析：当x=时，F(x)=0．同理=0，故F(x)=cosx｜sin2x｜在(0，2π)内可导，应选(D). 知识模块：一元函数微分学及应用3．设f(x)=则f(x)在x=1处( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：D解析：由f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1得f(x)在x=1处极限存在且连续因为f’-(1)=f’+(1)=2，所以f’(1)=2，应选(D)．知识模块：一元函数微分学及应用4．设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则( )．A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)=f’(0)D．f(0)=-f’(0)正确答案：A解析：F(0)=f(0)，因为F(x)在x=0处可导，所以F’-(0)=F’+(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学及应用5．曲线上t=1对应的点处的曲率半径为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学及应用6．下列曲线有斜渐近线的是( )．A．y=x+sinB．y-x2+sinxC．y=sinD．y=x2+sin2x正确答案：A解析：由=0得曲线y=x+sin有斜渐近线y=x，应选(A)．知识模块：一元函数微分学及应用填空题7．设f(x)=可导，则a=________，b=______．正确答案：a=3，b=-2．解析：f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=-2．知识模块：一元函数微分学及应用8．的斜渐近线为______正确答案：y=-x-2及y=x+2．解析：y=x+2为曲线的另一条斜渐近线．知识模块：一元函数微分学及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

三、一元函数积分学 练习题（ A ） 一．选择题1. =+⎰dx x )1(cos （ ）C x x A ++sin . C x x B ++-s i n . C x x C ++c o s . C x xxD ++-cos .2.=⎰dx x 41（ ） C x A +-331. C x B +331. C x C +31. C xD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（ ） A 21x - B 21x + C 22x x - D 22x x +4. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （ ）A 1B -1C 0D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ） A1x B 21x- C ln x D ln x x 6. 定积分⎰1221ln xdx x 值的符号为（ ）.A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定7. 曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（ ）.A ⎰--10)2)(1(dx x x x ； .B ⎰--20)2)(1(dx x x x ；.C ⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D ⎰⎰--+--2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x8. 已知dt t x F x ⎰+=021)(，则=)('x F （ ）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9.=⎰-dx x 115（ ）2.-A 1.-B 0.C D .110.若()211x x F -='，()231π=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.π+x arccos D. π+x arcsin二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为 (2) cos x -的原函数为 (3)12t的原函数为(4) 221x--的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -； （3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2x e dx -= 2()x d e -；（5）219dxx =+ (a r c t a n 3d x ； （6）212dxx =+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dxx= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x =- 21d x -.3. 若()1x f e x '=+,则()f x =4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）120x dx ⎰130x d x⎰（2）1x e dx ⎰10(1)x dx +⎰5. _________3=⎰dx e x6.__________1=⎰dx e x 7. ⎰+dx xxln 1=_____________ 8. 已知一阶导数 2(())1f x dx x '=+⎰ ，则(1)f '= 9. 当x = 时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值.10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，()⎰20dx x f =11. 已知⎰=xdt t xf y 0)(，则=dxdy12. dt ttx x x )1sin (1lim3-⎰→=三．计算题 1.不定积分的计算 （1）1xxedx e +⎰ （2）12xe dx x ⎰（3）ln dx x x ⎰ （4）211x dx x --⎰（5）3431x dx x-⎰ （6）12dx x -⎰（7）223x dx x -⎰ （8）3x a dx ⎰（9）sin tdt t⎰ （10）2cos ()x dx ωϕ+⎰（11）2cos ()sin()x x dx ωϕωϕ++⎰ （12）22(arcsin )1dxx x-⎰（13）3tan sec x xdx ⎰ （14）sec (sec tan )x x x dx -⎰ （15）11cos 2dx x+⎰ （16）2(4)x x dx -⎰（17）32(32)x dx -⎰ （18）221dx xx-⎰（19）1231dx x -+⎰ （20）sin x xdx ⎰（21）x xe dx -⎰ （22）arcsin xdx ⎰（23）2t te dt -⎰ （24）2arcsin 1x dx x-⎰（25）sin cos x xe dx ⎰ （26）1cos sin xdx x x++⎰（27）dxx 43-⎰ （28）dx x 122-⎰（29）dxx xe e --⎰ （30）e 32x dx +⎰（31）()232xx dx +⎰ （32）1252+⎰x dx（33） sin 5xdx ⎰ （34）cos 25xdx ⎰（35）()()244522x dxx x +++⎰ （36）x dx x 23412-⎰（37）sin cos sin cos x x x x dx +-⎰3 （38）dxx x (arcsin )221-⎰（39）dxx x 222-+⎰ （40）sin cos sin x xx dx 14+⎰（41）2xxe dx ⎰ （42）23523x xxdx ⋅-⋅⎰2.定积分的计算（1）10e x x dx -⎰ （2）e1ln x xdx ⎰（3）41ln x dx x ⎰ （4）324sin xdx xππ⎰（5）220e cos x xdx π⎰ （6）221log x xdx ⎰（7）π2(sin )x x dx ⎰ （8）e1sin(ln )x dx ⎰（9）121ln(1)x x dx -++⎰ （10）41xdx ⎰（11）dx x x x )1(241+⎰ （12）dx xx ⎰+10241 （13）dx x⎰+20241（14）dx x x ⎰40tan sec π（15）xdx ⎰242cot ππ （16）⎰--112d x x x（17）dx ⎰2121)-(3x1 （18）dx ⎰+3ln 0x x e 1 e（19）dx x x ⎰-123 （20）⎰1arctan xdx x3.反常积分的计算 （1）2048dxx x +∞++⎰ （2）21arctan x dx x+∞⎰ （3）11(1)dx x x -⎰ （4）1ln e dx x x ⎰4. 比较下列各对积分的大小：（1）⎰40arctan πxdx 与⎰402)(arctan πdx x（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x（3）dx x ⎰-+1141与dx x ⎰-+112)1(（4）⎰-2)cos 1(πdx x 与⎰2221πdx x四．综合题 1.求导数（1）201x d t dt dx +⎰ （2）5ln 2x t d t e dt dx -⎰（3）cos 20cos()x d t dt dx π⎰ （4）sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >).2. 验证下列等式 (1) 2311d 2-=-+⎰x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰.3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++⎰；(2) 21()1f x dx C x=++⎰.4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积： (1) 2y x =与22y x =-(2) x y e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x==轴，分别绕x轴与y轴；(3) 22,y x x y==，绕y轴；(4) 22(5)1x y-+=，绕y轴．(5).32y x=，x=4 ,绕y轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散?7. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰．8. 求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()baf a b x dx +-⎰．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程．11. 设3()1x x f e e '=+,且(0)1f =,求()f x .12. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ.13. 设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dxx f .14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x .三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 因为5x 为奇函数 10. D二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1-（8）31；（9）1-；（10）1-3. ()(1ln )ln f x x dx x x C =+=+⎰4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）11230x dx x dx >⎰⎰；∵ 当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x 3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰（2）11(1)x e dx x dx >+⎰⎰；令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以11(1)x e dx x dx >+⎰⎰5. C e x+33 6. C e x +-- 7. c x x ++2ln 21ln 8. 229. 0. 10.3811. )()(0x xf dt t f x+⎰ 12. 181-三．计算题 1.不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11x x x x x e dx d e e C e e=+=++++⎰⎰ （2）11121xxx e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰（3）ln ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰ （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+⎰⎰⎰（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰ （6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--⎰⎰ （7）22222211(23)123263232323xdx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰（8）33311(3)33ln x x x a dx a d x a C a==+⎰⎰ （9）sin 2sin 2cos tdt td t t C t==-+⎰⎰ （10）21cos(22)cos ()2x x dx dx ωϕωϕ+++=⎰⎰11 cos(22)(22)24x x d x ωϕωϕω=+++⎰ 11sin(22)24x x C ωϕω=+++ （11）221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x ωϕωϕωϕωϕω++=-++⎰⎰31cos ()3x C ωϕω=-++ （12）222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd x C x xx x ==-+-⎰⎰（13）32231tan sec tan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰⎰（14）2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰（15）221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ （16）515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰⎰（17）33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰（18）令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以22222cos 1csc cot sin cos 1dxtdt x tdt t C C t t x xx-===-+=-+⋅-⎰⎰⎰ （19）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以 11(1)ln(1)11231tdt dx dt t t C t t x ==-=-++++-+⎰⎰⎰23ln(231)x x C =---++（20）sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰ （21）x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （22）222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x x x =-⋅=+---⎰⎰⎰ 2arcsin 1x x x C =+-+ （23）2222221111122224t tt t t t te dt tde te e dt te e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （24）22arcsin 1arcsin arcsin arcsin 21xdx xd x x C x ==+-⎰⎰（25）sin sin sin cos sin x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰ （26）1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x ++==++++⎰⎰（27）dx x 43-⎰=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-⎰。

第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。

浙江专升本高数练习题一、函数、极限与连续1. 判断下列函数的单调性：(1) y = 3x 5(2) y = 2x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx x) / x^3(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)3. 讨论函数f(x) = |x 1|在x = 1处的连续性。

4. 求函数f(x) = e^x / (1 + x)的间断点。

二、一元函数微分学1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x^2 + 2(2) y = (3x + 1)^52. 求下列函数的微分：(1) y = sin(2x + 1)(2) y = ln(x^2 + 1)3. 设函数f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的切线方程。

4. 求函数f(x) = x^3 3x在区间[1, 2]上的最大值和最小值。

三、一元函数积分学1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x cosx)dx2. 计算定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) 1/x dx3. 设函数f(x) = x^2，计算曲线y = f(x)与直线x = 1，x = 3及x轴所围成的平面图形的面积。

四、多元函数微分学1. 求二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 2x 4y + 6的极值。

2. 设函数z = f(x, y) = x^2 + y^2，求∂z/∂x和∂z/∂y。

3. 求函数f(x, y) = x^3 + y^3 3xy在点(1, 1)处的切平面方程。

五、多元函数积分学1. 计算二重积分：(1) ∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆x^2 + y^2 ≤ 1所围成的区域。

(2) ∬D e^(x+y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2。

2. 计算三重积分：(1) ∭E (x^2 + y^2 + z^2) dV，其中E为球体x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4所围成的区域。

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。

第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量.(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。

(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.答D2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有（ ）（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）（A ）必要条件。

(B) 充分条件。

（C ）充要条件。

（D ）既非必要，又非充分条件。

答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ）（A ）间断点。

（B ）连续而不可导的点。

（C ）可导的点，且0)0(='f 。

（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。

答C6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D）没意义答C9．x(，其定义域是0f=)xx，其导数的定义域是（）≥（A）0x≥（B）0≠x（C）0x>（D）0x≤答C10．设函数)f在点(xx不可导，则（）（A）)(xf在点x没有切线（B）)(xf在点x有铅直切线（C）)f在点(xx有水平切线（D）有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()f x f x f x00, 则( )000(A) x是'f x()的极大值点是f x()的极大值点(B) x是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题I 的（ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 B ）13．初等函数在其定义域内（ ）（A ）可积但不一定可微 （B ）可微但导函数不一定连续（C ）任意阶可微 （D ）A, B, C 均不正确 （答 A ）14． 命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命 题II 的 （ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 A ）15．设 )(x u e y = 。

考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设f(χ)＝ln(1＋χ)，当χ＞0时，f(χ)＝f′(θχ)χ2.00）填空项1:__________________2.函数f(χ)＝χe －2χ的最大值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________3.曲线t 2.00）填空项1:__________________4.＝ 1 2.00）填空项1:__________________5.曲线y＝(3χ＋ 2.00）填空项1:__________________二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 7.设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，设u(χ)为曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))处的切线在χ 2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0’试证明存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________10.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________11.设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 12.设f(χ)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ f(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________13.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0， 2.00）__________________________________________________________________________________________ 14.设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f′(ξ)＋f′(η)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________15.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 16.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y＝f(χ)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 17.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________18.设b＞a＞0 2.00）__________________________________________________________________________________________19.设f(χ)在[a，b]上满足｜f〞(χ)｜≤2，且f(χ)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________20.设f(χ)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)＝f(1)，又｜f〞(χ)｜≤M，证明：｜f′(χ)数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 21.设函数f(χ)，g(χ)在[a，＋∞)上二阶可导，且满足条件f(a)＝g(a)，f′(a)＝g′(a)，f〞(χ)＞g〞(χ)(χ＞a)．证明!当χ＞a时，f(χ)＞g(χ)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 22.证明：当χ＞0时，χ2＞(1＋χ)ln 2 (1＋χ)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________23.证明不等式：χarctanχ≥ 2.00）__________________________________________________________________________________________ 24.求y＝∫0χ (1－t)arctantdt的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________25.设PQ为抛物线y 2.00）__________________________________________________________________________________________ 26.证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln 2 (1＋χ)＜χ2．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________27.证明：对任意的χ，y∈R且χ≠y 2.00）__________________________________________________________________________________________。

高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学系专业 班 姓名 学号习题一导数概念一．填空题f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )1．若 f ( x 0 ) 存在，则 limx=,x 0f (x 0 h)f ( x 0h) 2 f (x 0 )2．若 f ( x 0 ) 存在， limh=h 03．设 f ( x 0 )2 x14, 则 limf (x 0) )x 0f (x 0 2x). limf ( x 0 3 x)f (x 0 ) 3 f ( x 0 )x=.x 04．已知物体的运动规律为s tt 2 (米 )，则物体在 t2 秒时的瞬时速度为 5m/ s1 3 )1 2 3 ( x) 5．曲线 ycos x 在 x处的切线方程为y( x y22 ，法线方程为23 3336．用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，极限存在 ?连续?可导。

二、选择题1．设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在，则 limf ( x)=[B]x 0x（ A ） f (x)( B) f(0)(C) f (0)1 f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则f ( x a x)f ( x b x)[ B ]limx=x 0a b（ A ） f (x)( B) (ab) f ( x)(C) ( ab) f (x)(D) f ( x)23. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件[ B ]（ A ）充分但不是必要 （ B ）必要但不是充分 （ C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要4．设曲线 y x 2x2 在点 M 处的切线斜率为3，则点 M 的坐标为[B]（ A ）(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5．设函数 f ( x) | sin x | ，则 f ( x) 在 x0 处[B ]（ A ）不连续。