中考数学创新题型大集合

专题四新题型考点精要解析新题型是近几年中考试题的一个考试热点，这类试题取材广泛，题目灵活性较大．1．试题呈现形式主要有：纯文型(全部用文字展示条件和问题)，图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)，表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)，改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．2．常见的类型有：规律探索、图形变换与动手操作和阅读理解等．高频考点过关考点一：规律探索例题1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，……，现用等式A M＝(i，j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2013＝( )．A．(45，77) B．(45，39) C．(32，46) D．(32，23)答案：C考点二：图形变换例题2．对正方形ABCD进行分割，如图(a)所示，其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，G分别是OB，O D，E F的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图(b)所示就是用其中6块拼出的“飞机”，若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为________________．答案：14考点三：阅读理解(新定义运算)例题3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点.已知点D(12，12)，E(0，－2)，F(230)．(1) 当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是________．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围解：(1)①如右图所示，过点E作⊙O的切线，设切点为R，∵⊙O的半径为l，∴RO＝l，∵EO＝2，∴∠OER＝30°，根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°∴E点是⊙O的关联点．∵D(12，12)，E(0，－2)，F(23，0)，∴OF＞EO，DO＜EO．∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，故在点D，E，F中，⊙的关联点是D，E．②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，由右图可知∠APB＝60°，则∠CPB＝30°．连接BC，则PC＝2BC＝2r，∴若P点为⊙OC的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，如下左图所示，点P到原点的距离OP＝2×l＝2，过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，t an∠OGF＝233 FOOG==．∴∠OGF＝60°，∴OH＝OG sin60°＝3，sin∠OPH＝3OHOP=.∴∠OPH＝60°，可得点P1与点G重合．过点P2作P2M丄x轴于点M，可得∠P2OM＝30°，∴OM＝OP2cos30°＝3．从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，∴0≤m≤3．(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如下右图所示，即恰好E，F点为⊙K的关联时，则KF＝2KN＝12EF＝2，此时r＝l．故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥l．中考真题链接真题1．(日照中考)如下图所示，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是( )A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1) 真题2．(重庆中考)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )A．51 B．70 C．76 D．81真题3．(永州中考)我们知道，一元二次方程x2＝－l没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－l(即方程x2＝－1有一个根为i)；并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i；i2＝－1，i3＝i2•i＝(－l) •i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1.从而对任意正整数n，我们可得到i4n＋1＝(i) 4n•i＝(i4)n•i＝i，同理可得i4n＋2＝－l，i4n＋3＝—i，i4n＝l，那么，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2012＋i2013的值为( )A．0 B．1 C．－1 D．i真题4．(菏泽中考)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫作该平面图形的“面线.“面线”被这个平面图形截得的线段叫作该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________ (写出1个即可)．真题5．(扬州中考)如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d(n)，由定义可知:10b＝n与b＝d(n)所表示的b，n两个量之间的同一关系．1．根据劳格数的定义，填空d(10) ＝ ______，d(10－2)＝_________；2．劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d(mn) ＝d(m)＋d(n)，d(mn)＝d(m)－d(n).根据运算性质，填空：() ()3d ad a＝_____________(a为正数)，若d(2)＝0.3010，则d(4)＝_______，d(5)＝_________，d(0.08)＝__________．(3)下表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．真题6．(绍兴中考)如下图所示，矩形ABCD中，AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2……，第n次平移将矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n (n＞2)．⑴求AB1和AB2的长；⑵若AB n长为56，求n．真题7．(台州中考)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；(2)如图(a)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A 3，求证：△ABC是“好玩三角形”；(3)如图(b)，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求as的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．(4)依据(3)的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．真题8．(宁波中考)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图(b)，在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．真题9．(绵阳中考)我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫作三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段的比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O是△ABC的重心(如图(a)所示)，连接AO并延长交BC于点D，证明：23 AOAD=．(2)若AD是△ABC的一条中线(如图(b)所示)，O是AD上一点，且满足23AOAD=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB，AC相交于G，H(均不与△ABC的顶点重合)(如图(c )所示)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGHS S V 四边形的最大值．创新思维训练创新1．△ABC 内部一点P ，若点P 与△ABC 其中两个顶点构成的一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的内相似点．(1)对于一类特殊的三角形，譬如有一个角为30°的直角三角形，小峰同学说他可以仅利用一次折叠与直尺就可以找出这类三角形的内相似点.你能替小峰同学说明如何寻找这类三角形的内相似点的过程吗？(2)对于另一类特殊三角形，譬如满足∠A ＜36°，∠B ＝2∠A的△ABC ，小林同学说她利用两次折叠与直尺也可以找出这类三角形的内相似点.你能替小林同学说明如何寻找这类三角形的内相似点的过程吗？(3)如右图所示，在R t △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝8，将△ABC 折叠一次后点A 恰好与其内相似点重合，求折痕的长度．若直线l :y kx b =+与抛物线C :2y ax bx c =++只有一个公共点P (x 0,y 0)，那么称直线l 与抛物线C 相切于点P ，此时点P 成为切点，直线l 称为切线，直线l 的方程称为切线方程。

初中数学竞赛创新试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -2B. 0C. 1D. 22. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π3. 一个数的平方是16，这个数可能是：A. 2B. 4C. -2D. C和-24. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长度是：A. 5B. 6C. 7D. 85. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5C. A和BD. 06. 一个数的立方是-27，这个数是：A. -3B. 3C. -27D. 277. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是：A. 4B. 1/4C. 1/2D. 18. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. -16C. 4D. -49. 如果一个数的平方是25，那么这个数的立方是：A. 125B. 250C. 375D. 62510. 一个数的立方根是-2，那么这个数是：A. -8B. 8D. 2二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是9，这个数是_________。

12. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是_________。

13. 一个数的立方是64，这个数是_________。

14. 一个数的倒数是2/3，那么这个数是_________。

15. 如果一个数的立方根是3，那么这个数是_________。

三、解答题（每题5分，共55分）16. 一个直角三角形的斜边长度是13厘米，其中一个直角边是5厘米，求另一个直角边的长度。

17. 一个数列的前三项是1, 1, 2，每一项都是前两项的和，求这个数列的第10项。

18. 一个圆的直径是14厘米，求这个圆的面积。

19. 一个数的平方是25，求这个数的平方根。

20. 一个数的立方是-125，求这个数。

四、证明题（每题10分，共20分）21. 证明：对于任意一个正整数n，n的平方总是大于或等于n。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，只有C选项满足此条件。

2. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,1)，则线段AB的中点坐标为：A. (3,2)B. (4,2)C. (3,1)D. (4,1)答案：B解析：中点坐标公式为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得(4,2)。

3. 若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=18，则a3的值为：A. 8B. 10C. 12D. 14答案：B解析：由等差数列性质，a1+a5 = 2a3，代入得2a3=18，解得a3=9。

4. 若sinA=1/2，cosB=3/5，且A、B均为锐角，则tan(A+B)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：利用正切和公式tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，代入得tan(A+B) = (1/2+3/5)/(1-1/23/5) = 2。

5. 若等比数列{an}的公比q=2，且a1+a3=24，则a5的值为：A. 64B. 32C. 16D. 8答案：A解析：由等比数列性质，a1a3 = a2^2，代入得a1a3 = 2^22^2 = 16，又因为a1+a3=24，解得a1=4，a3=20，所以a5=a3q^2=202^2=64。

二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x-1，则f(-3)的值为______。

答案：-7解析：将x=-3代入函数f(x)中，得f(-3)=2(-3)-1=-7。

7. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是______三角形。

答案：直角解析：根据勾股定理，a^2+b^2=c^2，代入得3^2+4^2=5^2，满足条件，所以△ABC 是直角三角形。

一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600 B．750 C．900 D．950【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55°C．60° D．65°【3】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A．2 B．4 C．8 D．10图（1）第3题图A图（2）【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。

则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-四．折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形 B．菱形【9】在下列图形中，（ ）A. B. C. D.【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )E A A ABB B CC C GD D D FF F图a图b图c第6题图第7题图第8题图第9题图【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。

数学中考创新题型选择题汇总1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的零点个数。

2. 已知a、b、c为三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证三角形ABC是直角三角形。

3. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求第10项a10的值。

4. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求g(x)的导数。

5. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=2，求第6项b6的值。

6. 已知函数h(x) = log2(x+1)，求h(x)的反函数。

7. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0，求f(x)的顶点坐标。

8. 已知等差数列{cn}的首项c1=1，公差d=2，求第10项c10的值。

9. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求g(x)的极值点。

10. 已知函数h(x) = log2(x+1)，求h(x)的定义域。

11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0，求f(x)的单调区间。

12. 已知等比数列{dn}的首项d1=2，公比q=2，求第6项d6的值。

13. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求g(x)的拐点坐标。

14. 已知函数h(x) = log2(x+1)，求h(x)的值域。

15. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0，求f(x)的奇偶性。

16. 已知等差数列{en}的首项e1=1，公差d=2，求第10项e10的值。

17. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，求g(x)的单调递增区间。

18. 已知函数h(x) = log2(x+1)，求h(x)的单调递减区间。

19. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0，求f(x)的周期。

ABCDEF 第21题5．今年国家首次将4月5日清明节确定为法定节日放假一天，初一(1)班小明对本班52名同学参加扫墓活动所花费的时间进行了调查统计，结果如下表：则该班学生外出扫墓所花时间的众数和中位数分别是（ ）A. 2、3B. 2、2C. 7、3.5D. 12、10.515、观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4× 6 将你猜想到的规律用一个式子来表示：______________________。

11、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B点．从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ (填甲或乙). 21．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在射线DE 上，并且EF＝AC ． （1）求证：AF=CE ；（6分） （2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论；（6分）16、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． ）2+1=2 S 12（2+1=3 S 222+1=4 S32请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；23（9分）、先阅读下面的材料,然后解答问题: 通过观察，发现方程：1122x x +=+的解为1212,2x x ==;1133x x +=+的解为1213,3x x ==; 1144x x+=+的解为1214,4x x ==;…………………………(1)观察上述方程的解,猜想关于x 的方程1155x x+=+的解是___________（2分）;(2)根据上面的规律,猜想关于x 的方程11x c xc+=+的解是_____________（2分）;(3) 把关于x 的方程21111x x a x a -+=+--变形为方程11x c x c+=+的形式是_______ _（3分）,方程的解是______ ______（2分）。

数学中考创新题型选择题汇总1. 某学校计划为教职工提供两种不同的健康保险方案。

方案A的年保费为1200元，方案B的年保费为800元。

若学校有教职工500人，教职工们平均选择方案A和方案B的人数之比为2:3，那么选择方案A的人数是____人。

2. 一个等差数列的第一个数是5，公差是3，那么这个等差数列的第10个数是多少？3. 一次函数的图像是一条直线，已知这条直线的斜率为2，并且它与x轴的交点是(1, 0)，那么这条直线的方程是什么？4. 一个圆的半径增加了10%，原来的面积是π，那么新的面积是多少？5. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、5cm和3cm，那么这个长方体的对角线长度是多少？6. 三个连续的整数，中间的整数是5，那么这三个整数是什么？7. 一个班级有40名学生，其中有20名女生和20名男生。

如果从班级中随机选择2名学生，那么选出的两名学生中至少有一名女生的概率是多少？8. 一个正方体的边长是4cm，那么它的对角线长度是多少？9. 一个数列的前三项分别是1、2和3，每一项都比前一项多2，那么这个数列的第10项是多少？10. 一个三角形的两边分别是6cm和8cm，第三边的长度是多少？11. 一个圆锥的底面半径是3cm，高是5cm，那么这个圆锥的体积是多少？12. 一个等差数列的前两项分别是1和3，公差是2，那么这个等差数列的第10项是多少？13. 一个正方体的对角线长度是12cm，那么这个正方体的边长是多少？14. 一个班级有30名学生，其中有15名女生和15名男生。

如果从班级中随机选择2名学生，那么选出的两名学生中至少有一名女生的概率是多少？15. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是π，那么新的面积是多少？16. 一个等差数列的前两项分别是2和4，公差是2，那么这个等差数列的第10项是多少？17. 一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm和2cm，那么这个长方体的对角线长度是多少？18. 三个连续的整数，中间的整数是7，那么这三个整数是什么？19. 一个班级有50名学生，其中有25名女生和25名男生。

中考数学全国新题型展示一、几何证明与推理几何证明与推理是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的逻辑推理能力和几何证明技巧。

新题型中，几何证明与推理的难度和复杂度都有所增加，需要学生具备扎实的几何基础和灵活的解题思路。

二、函数与图像分析函数与图像分析是中考数学的重要题型之一，主要考察学生对函数的性质、图像的分析和判断能力。

新题型中，函数与图像分析的题目类型更加多样化，难度也有所提升，需要学生掌握函数的基本性质和图像分析技巧。

三、代数运算与方程求解代数运算与方程求解是中考数学的基础题型之一，主要考察学生的运算能力和解方程的能力。

新题型中，代数运算与方程求解的题目类型更加多样化，需要学生具备扎实的运算基础和灵活的解题思路。

四、数据处理与统计初步数据处理与统计初步是中考数学的重要题型之一，主要考察学生对数据的处理和分析能力。

新题型中，数据处理与统计初步的题目类型更加多样化，需要学生掌握数据处理和分析的基本技巧。

五、逻辑推理与组合数学逻辑推理与组合数学是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的逻辑推理能力和组合数学的知识。

新题型中，逻辑推理与组合数学的题目类型更加多样化，需要学生掌握基本的逻辑推理和组合数学的知识。

六、空间想象与立体几何空间想象与立体几何是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的空间想象能力和立体几何的知识。

新题型中，空间想象与立体几何的题目类型更加多样化，难度也有所提升，需要学生掌握基本的空间想象和立体几何的知识。

七、实际应用与建模问题实际应用与建模问题是中考数学的重要题型之一，主要考察学生将数学知识应用于实际问题的能力。

新题型中，实际应用与建模问题的题目更加接近现实生活和科技前沿，需要学生掌握基本的建模技巧和实际应用能力。

总结：中考数学的新题型在多个方面都进行了拓展和深化，要求考生在各个方面都具备良好的数学基础和灵活的解题思路。

为了更好地应对这些新题型，考生需要加强数学基础知识的掌握，提高自己的逻辑推理能力、空间想象能力、数据处理能力等多个方面的能力。

专题01创新题型模块一：定义应用例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是（ ） A ．[x ] = x （x 为整数） B ．0[]1x x ≤-<C ．[][][]x y x y +≤+D ．[][]n x n x +=+（n 为整数）【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误． 【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．例2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，'y ），给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点（1-，2-）为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________． 【难度】★★ 【答案】（-1，2）【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ， 即点M 坐标为（1-，2）．【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如2212122+⨯*==，则()()421**-=______． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】先计算()4224224+⨯*==，再计算()()2122102+-⨯*-==． 【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2【难度】★★ 【答案】B ．【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；当12<x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ．【总结】考查分段函数求最值的问题．例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+（其中a 、 b 为常数），若113*=，()111*-=，12*=______．【难度】★★ 【答案】4．【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：21=⎧⎨=⎩a b ，所以12*=2×1+1×2=4．【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程()14x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ， 整理得()()211104++++=a x a x ，此方程有两个相等的实数根， 则()()210110+≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩a a a ，解得：1201a a ==-，（舍），所以a=0． 【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行 求解，注意二次项系数不能为零．例7.（2020黄浦区一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度 【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例8.（2020杨浦区一模）.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似（相似比不为1），那么△DEF 的面积为______．【答案】1；【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，∵1AB BC ==，AC =∴:?:?AB BC AC =∵DE =2EF =，DF =∴::2DE EF DF ==∴:?:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴12112DEFS=⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的外心距是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的中点，这两个三角形的外心距 即∆ABD 的中位线，长度是132=BD ．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________． 【难度】★★ 【答案】221=+y x ．【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可 得新函数的解析式为：221=+y x ．【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析 式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M （12，0）关于以原点O为圆心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标 ．AB D【难度】★★★【答案】（2，0）．【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，即21'12=OM ，解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上， 所以点'M 的坐标为（2，0）．【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d （P ，MON ∠）．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d （P ，xOy ∠）= 5，点P 的坐标是__________．【难度】★★★ 【答案】（3，2）．x yP' CPO ENF OPM 图1yx-11-11O图2【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d （P ，xOy ∠）= 5，可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2， 所以点P 的坐标为（3,2）．【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．模块二：阅读理解例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______． 【难度】★ 【答案】8．【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8． 【总结】本题难度不大，运算也比较简单．例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-．若331233x x x x +-=-+，则x =______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由运算法则得()()22333333+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21x x x+-=的解为（ ）A ．1B ．2-C ．11-D ．1+1-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当x >0时，{}max x x x -=，，解方程21+=x x x，得：1=x所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，，解方程21x x x+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；综上，1=+x 1-，故选D ．【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______． 【难度】★★ 【答案】1或2．45x +，45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=12当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =． 如图，2==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴112==CD AC ， 211⨯=．综上所述，该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行 面积的求解．例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三D CBA角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ． 【难度】★★【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合 题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线， 如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =． 在Rt BCD 中，勾股定理得1+()222=x x ， 解得：x，所以BD =2x． 【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______． 【难度】★★ 【答案】8或10．【解析】由题意可知，存在两种情况：（1）一组邻边长分别为3和1，周长=8； （2）一组邻边长分别为3和2，周长=10．【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______（结果保留根号）．DCBA【难度】★★【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()221311+--=-=x x x x ． 【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为（2-，3A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________． 【难度】★★【答案】（0，5）或（-4，1）．【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以圆心距=AB (),5+B x x ，所以=AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为（0,5）或（-4,1）．【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】23<<d ．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．模块三：规律探究例1.观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）A ．2531B ．3635C ．47D ．6263【难度】★★ 【答案】C ．【解析】根据题意，可知规律为221n n -，故第6个数为：3663，化简为47，故选C ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________． 【难度】★★ 【答案】=xy z ．【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以=xy z ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例3.在平面直角坐标系中，有三个点A （1，1-）、B （1-，1-）、C （0，1），点P （0，2）关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，2）C ．（2，4-）D ．（4-，2）【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由题意得1P （2，-4）、2P （-4，2）、3P （4，0）、4P （-2，-2）、 5P （0，0），6P （0，2），每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐标和1P 的坐标相同，故选C ．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．【难度】★★★【答案】20141()2．【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141()2=．【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．1.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ， 由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．2．（2020静安二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A ＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE ＝17+13﹣27＝3， ∴EH ＝12﹣3＝9， 由勾股定理得，EC ＝＝15，∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42， 故答案为：42．3.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个【考查内容】新定义题型，黄金三角形 【评析】中等为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角 【答案】22或215+4.（2020长宁二模）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ．【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可． 【解答】解：根据题意画图如下：连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CD，AM＝CM，∴DM2＝AD2﹣AM2，设AM＝x，则DM2＝（2）2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB（SSS），∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣（5﹣x）2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．5.（2020青浦二模）小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得：BC＝4，∵△BCG∽△DFH，∴＝，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，∴＝，∴DH＝10﹣2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，∴∠AGC＝∠DHE，∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，∴∠A＝∠EDH，∴△AGC∽DHE，∴＝，又DE＝4，∴＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．∴AG＝3．故答案为：3．6.（2020杨浦二模） 定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是 ． 【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可． 【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”， 可得：k ＝2， 故答案为：2．7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数）满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=________． 【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由“旋转函数”的定义得42320⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m nn ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，所以()2017m n +=（-1）2017=-1．【总结】本题考查“旋转函数”的定义．8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______． 【难度】★★【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足； 故只能是直角边上的中线等于此直角边的长， 如图所示，设BD =2x ，CD =x ，则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x，=BC ． 当∠A为较小锐角时，tan A当∠A为较大锐角时，tan A =． 【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ． 【难度】★★【答案】710．【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =95，因为1522==AM AC ，所以5972510=-=-=OM AM OA ． 即奇异中位线的长是710． 【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先DCBA向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______． 【难度】★★ 【答案】[6，8]．【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ， 所以特征数为[6，8]．【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．【难度】★★★ 【答案】5． 【解析】由反演点的定义，可知：2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，则'=OA OA 'OB OB ，即''=OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴'''=OB A B OA AB ，即225''=A B ，解得：''A B =5． 【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+（0k >）和x 轴上，已知点1B （1，1），2B OPP'BOA图1 图2（3，2），则点6B 的坐标是__________，点nB 的坐标是__________．【难度】★★★【答案】（63，32），1(212)n n --，． 【解析】由1A （0，1）、2A （1，2）， 可求得直线解析式为1=+y x ．可求得3A （3，4）、3B （7，4），4A （7，8）、 4B （15，8），5A （15，16）、5B （31，16）， 6A （31，32）、6B （63，32）， ……， 按照此规律可得n B 1(212)n n --，．【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．13.对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点'P 的坐标为（ba k+，ka b +）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生点”为'P （412+，214⨯+），即'P （3，6）．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标：____________． 【难度】★★★ 【答案】（2，1）．【解析】由题意得33⎧+⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ， 只要满足3+=a b 即可，可取点P （2，1）．x yO1 / 13 【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．【难度】★★★【答案】12-n ．【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12-n ．【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．A BCD EF G H。

初中数学创新试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是所有偶数的公因数？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 如果一个数的平方是36，那么这个数是多少？A. 6B. -6C. 6或-6D. 以上都不是答案：C3. 下列哪个选项表示的是一个二次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 - 4x + 4C. y = 3x^3 - 2xD. y = 5答案：B4. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是4厘米，那么长方形的周长是多少？A. 24厘米B. 28厘米C. 32厘米D. 36厘米答案：A5. 一个数加上它的相反数等于？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A6. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少？A. 78.5平方厘米B. 25平方厘米C. 50平方厘米D. 100平方厘米答案：A7. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是45度，那么顶角是多少度？A. 45度B. 60度C. 90度D. 180度答案：C8. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 6C. 4D. 2答案：A9. 如果一个数除以3余1，除以4余2，那么这个数最小是多少？A. 7B. 10C. 13D. 14答案：C10. 下列哪个选项是所有奇数的公倍数？A. 1B. 3C. 5D. 以上都不是答案：D二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______。

答案：±52. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。

答案：173. 如果一个三角形的两边长分别是3厘米和4厘米，那么第三边的长x必须满足______。

答案：1 < x < 74. 一个数的平方是25，那么这个数的立方是______。

答案：125或-1255. 一个圆的直径是10厘米，那么它的周长是______。

答案：31.4厘米6. 如果一个数的倒数是2，那么这个数是______。

初三数学创新试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. 0.33333…C. πD. √22. 如果一个二次方程的判别式Δ < 0，那么这个方程：A. 有一个实数解B. 有两个实数解C. 没有实数解D. 有无穷多个解3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π4. 一个正方体的棱长为a，它的表面积是：A. 6aB. 6a²C. 12aD. 12a²5. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的相反数是它自己，这个数是______。

7. 如果一个角的度数是45°，那么它的余角是______。

8. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边长是______。

9. 一个数的绝对值是10，这个数可以是______或______。

10. 如果一个分数的分子和分母都乘以同一个数，那么它的值______。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知一个等腰三角形的底边长为6，两腰相等，且周长为18，求两腰的长度。

12. 某工厂生产一批零件，每件零件的成本为5元，售价为10元。

如果工厂希望获得的利润为总成本的60%，求每件零件的售价。

四、证明题（每题10分，共10分）13. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

五、综合题（每题10分，共10分）14. 某班级有40名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了物理竞赛，5名学生同时参加了数学和物理竞赛。

求只参加数学竞赛的学生人数。

答案：一、选择题1. C2. C3. B4. B5. A二、填空题6. 07. 45°8. 59. 10，-10 10. 不变三、解答题11. 设两腰的长度为x，则底边长为6，周长为18，所以2x + 6 = 18，解得x = 6。

初三数学创新试题及答案在数学的海洋里，创新试题总能激发学生的思维火花。

下面是一道初三数学的创新试题，旨在考察学生对函数、几何和代数的综合运用能力。

试题：小明在一次数学竞赛中遇到了一个有趣的问题。

题目是这样的：给定一个二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \)和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。

这个二次函数的图像与\( x \) 轴交于点 \( A \) 和 \( B \)，且 \( A \) 和 \( B \) 的横坐标分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)。

现在，小明需要找到一个新的二次函数 \( y = Ax^2 + Bx + C \)，使得它的图像与原函数的图像关于 \( x \) 轴对称，并且与 \( y \) 轴交于点 \( D \)，其纵坐标为 \( C \)。

小明首先需要确定原函数与 \( x \) 轴的交点坐标，然后根据对称性找到新函数的表达式，最后计算出点 \( D \) 的坐标。

解答：首先，我们知道二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 与 \( x \) 轴的交点可以通过解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 得到。

根据韦达定理，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是这个方程的两个根，因此有 \( x_1+ x_2 = -\frac{b}{a} \) 和 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)。

由于新函数的图像与原函数关于 \( x \) 轴对称，我们可以推断新函数的形式为 \( y = -ax^2 - bx - c \)。

这是因为关于 \( x \) 轴的对称意味着 \( y \) 值取反，而 \( x^2 \) 和 \( x \) 的系数保持不变。

接下来，我们需要找到新函数与 \( y \) 轴的交点 \( D \)。

初三数学创新题第一部分：填空题1、一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

2、有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

3、在关于x的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

4、已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=_ __。

5、若-2是关于x的一元二次方程（k2-1）x2+2kx+4=0的一个根，则k=________．6、已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .7、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为;若有一个根为零,则c= .8、方程的解是。

方程x2-2x-3=0的根是________.9、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3。

10、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为11、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）12、若方程有两个相等的实数根，则= ，两个根分别为。

13、已知关于x的方程x2－（a＋2）x＋a－2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a＋b的值为______________。

14、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是15、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是。

16、已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m= 。

17、代数式有最________值为________。

18、若方程的一个根为1，则= ，另一个根为。

19、已知3- 是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .20、已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m•的值为_______.21、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；+ = ；x21+x22= ；｜x1－x2｜= 。

数学中考创新题型选择题汇总1. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d2. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)3. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:24. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)6. 已知a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c7. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)8. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d9. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)10. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2D. 2:211. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)13. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d14. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)15. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:216. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c17. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)18. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d19. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)20. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:221. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c22. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)23. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d24. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)25. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:226. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c27. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)28. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d29. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)30. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:231. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c32. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)33. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d34. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)35. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:236. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c37. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)38. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d39. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)40. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:241. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c42. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)43. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d44. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)45. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:246. 若a^2 + b^2 = c^2，那么根据勾股定理，a、b、c满足的关系是：A. a = b + cB. b = a + cC. c = a + bD. a = b - c47. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么这个函数的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (-2, 3)C. (2, -1)D. (-1, 0)48. 已知等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，那么第n项可以表示为：A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 - (n-1)dC. a_n = a_1 * (n-1)dD. a_n = a_1 / (n-1)d49. 下列函数中，属于指数函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2^xD. f(x) = x^(-1)50. 已知直角三角形的一个锐角为30度，那么这个直角三角形的两个直角边长度的比是：A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 2:2。

中考数学创新题——找规律问题山东 韩晓琳在中考中，不少地方的试卷中出现了在日常生活中有规律可寻的数学问题，现举几类和读者共同欣赏.一、棋牌游戏问题1．（2004年绍兴）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是( )A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张分析：由于方块、梅花、红桃、黑桃中，只有方块旋转180º后不变.故选（A ）2．（2004年河北省）小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 .分析：设每堆有x 张，中间第一次放入1张，第二次放入2张，故有（x+3）张，左侧拿出2张，还有（x －2）张，因此又从中间拿出（x －2）张，中间一堆最后还有（x+3）－（x －2）=5.3．（2004年泸州）如图(3)所示的象棋盘上，若帅位于点（1，－2）上，相位于点（3，－2）上，则炮位于点（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，2）C ．（－2，1）D ．（－2，2）分析：本题主要是建立坐标系，再找炮的坐标，故选C 。

4．（2004年江西南昌）图(4)是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子， 剩余的格点上没有棋子.我们约图3相帅炮定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步.已知点A 为已方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）A ．2步B ．3步C ．4步D ．5步分析：旗子A 有多种方法到达对方区域，但只有先右上跳，在左跳，再右上跳的路线步数最少.故选B ．二、空间想象问题1．（2004年泸州）把正方体摆放成如图（5）的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n 层有＿＿＿个正方体.分析：第一层有1个；第二层有1+2个；第三层有1+2+3个 …… 第n 层有1+2+3+…+n 个，即有2)1( n n 个.2．（2004年山东日照）如图（6），都是由边长为1的正方体叠成的图形。

九年级数学创新题型
以下是一些可能的九年级数学创新题型：
1. 探究题：探究函数图像的性质，例如对称性、单调性、极值点等，以及这些性质在解决实际问题中的应用。

2. 开放题：题目给出一定条件，让学生根据条件自己提出问题并解答。

例如，给定一个几何图形，让学生自己设计一个问题并解答。

3. 跨学科题：结合其他学科的知识来设计数学题目，例如物理、化学、生物等。

4. 实际应用题：设计一些与实际生活密切相关的题目，例如建筑、环保、经济等领域的实际问题，让学生运用数学知识解决实际问题。

5. 团队合作题：设计一些需要团队合作才能完成的题目，例如让学生分组讨论并解答一些综合性的问题，或者让学生一起完成一个实际项目。

6. 数学建模题：让学生通过数学建模来解决一些实际问题，例如预测未来趋势、优化资源配置等。

7. 数学文化题：结合数学历史和数学文化来设计题目，例如让学生了解数学家的生平、探究数学定理的证明过程等。

8. 创新题：设计一些形式新颖、思路独特的题目，例如让学生自己设计一个数学游戏并制定游戏规则，或者让学生通过实验来探究数学定理的正确性等。

希望这些创新题型能够启发你的教学思路，培养学生的创新思维和实践能力。