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浙教版九年级上册圆 3.4圆心角 同步练习1.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是（ ）A. AB=ADB. BC=CDC.D. ∠BCA=∠DCA2.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，的度数为α ， 以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ， 交AC 于点E ， 则∠A 的度数为（ ）A. 45º－ αB. αC. 45º＋ αD. 25º＋ α3.已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°CBA O4.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°C BAO5.如图，在⊙O 中，＝，∠A ＝40°，则∠B 的度数是（ ）A. 60°B. 40°C. 50°D. 70° 6.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 的五等分点，则∠BAD 的度数是（ ）A. 36°B. 48°C. 72°D. 96° 7.如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。
45 ° C 。
60° D 。
30°OCABDP8.如图，△ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB 的度数是（ ）A. 70°B. 80°C. 82°D. 85° 9.如下图，已知AB 是⊙O 的直径， = = ，∠BOC=40°，那么∠AOE 等于（ ）A. 40°B. 50°C. 60°D. 120° 10.如图,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.11.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.DCBAOED CBAO12.如图，在⊙O 中，，若∠AOB ＝40°，则∠COD ＝________．13.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.DCB AO14.已知弦AB 把圆周分成1：5的两部分，则弦AB 所对的圆心角的度数为________度。
3.3圆心角同步练习一、填空题:1.在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是________________ .2.如图1,直径AB垂直于弦CD，垂足为，.AOC =130；，则AD的度数为 ______________ ，CBD的度数为___ ，N CAD的度数为 ______ ，Z ACD的度数为_________ .3.如图2, CD是半圆的直径，O为圆心，是半圆上一点，且.EOD =93：，是DC延长线上一点，AE与半圆相交于点，如果AB =OC，则.EAD二 ___________ , . EOB二__________ , . ODE = _____ 4•如图3, ACB:ADB=5:4，则.AOB 二___________________ , ACB 二 ___________ , ADB 二_______ _, CAD CBD 二_______________ •5.如图4, ABC内接于O , AB二AC，点，分别在AC和BC上，若.ABC二50，则.BEC二6.如图5反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是_____________ •7.如图，已知：L O是厶ABC的外接圆，• BAC =50：,NABC =47’，则N AOB= _________ 度.图1BC8.二、选择题：1. 下列说法正确中的是（）A. 顶点在圆周上的角称为圆周角 ；E.相等的圆周角所对的弧相等C. 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径D. 圆周角等于圆心角的一半2. 在同圆中，同弦所对的两个圆周角（）A.相等 E.互补 C.相等或互补 D.互余13. 在L O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的—，有以下结论：①AB 为60 ,②.AOB = 60，③6.AOB 二AB=60，④△ ABO 为等边三角形，⑤弦 AB 的长等于这个圆的半径.其中正确的是（）A.①②③④⑤ E.①②④⑤ C.①② D.②④⑤4.,, C ,，依次是LI O 上的四个点， AB=BC=CD ，弦AB , CD 的延长线交于点，若 N ABD =60 , 则.P 等于（的度数是（如图，，在以AB 为直径的半圆上，，C 在AB 上, CDEF 为正方形，若正方形边长为 1, AC 二a ,BC =b ，则下列式子中，不正确的是（A. 40：B. 10；C. 20：D. 30；5. 如图6，圆内接四边形 ABCD 的对角线AC , BD 把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等6. 的角的对数至少有（A. 1对 = 32：，则.ACD7. A. 16 B. 32C. 48D. 64如图8,四边形 ABCD 内接于LI O ，若.BOD =100；,则.DAB 的度数（A. 50B. 80cC . 100〃 D. 130°)B. 2对如图7, AC 是L O 的直径,A. a —b =1B. ab =18.1c. a b = .5 D . a 2 b 2 =5三、解答题:2•如图，BC 为L O 的直径，AD 丄BC ，垂足为，BA 二AF ,BF 与AD 交于.(1) 求证：AE = BE ;(2) 若，把半圆三等分， BC =12，求AE 的长.1.如图，△ ABC 为锐角三角形, △ ABC 内接于圆O , BAC=60 , H 是厶ABC 的垂心, BD 是L O 的直径•求证：AH .2DHcB的度数-AC 的度数).4.如图，AD 是厶ABC 的外角• EAC 的平分线，交BC 的延长线于，延长DA 交厶ABC 的外接圆于点, 连结FB , FC .(1) 求证：FB =FC ; (2) 求证：FB 2 二 FALlFD ；(3) 若AB 是厶ABC 外接圆的直径，• EAC =120%, BC = 6cm ，求AD 的长.3.如图，已知是O 外任意一点, 过点作直线PAB ,PCD ,分别交U 0于点，，C ，•求证：匕(BDPCAOFEACB1 5.求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积.参考答案一、填空题：1.在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是 ________________ •答案：圆周角度数等于圆心角度数的一半2.如图1,直径AB垂直于弦CD，垂足为，• AOC =130，则AD的度数为_______________ , CBD的度数为___ , N CAD的度数为_______ ，/ACD的度数为________ •答案：130 100 50 65u o D3.如图2, CD 是半圆的直径，0为圆心，是半圆上一点，且.EOD =93，是DC 延长线上一点， AE 与半圆相交于点，如果 AB =OC ，则.EAD = , . EOB =, . ODE = ____ .答案：3156 4330如图 3, ACB : ADB =5:4，则AOB 二,CAD CBD 二如图4,A ABC 内接于O ，AB 二AC ，点，分别在 AC 和BC 上，若.ABC =50，则.BEC 二6. 如图5反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是 _____________ . 答案：180;7.如图，已知：L O 是厶ABC 的外接圆，• BAC =50：,NABC =47’，则 N AOB = _________ 度.答案：166 二、选择题：1.下列说法正确中的是（）A. 顶点在圆周上的角称为圆周角B. 相等的圆周角所对的弧相等4. 答案：16080100； 180；5. 答案：80： 100：BCC. 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径D. 圆周角等于圆心角的一半答案：C 2.在同圆中，同弦所对的两个圆周角（ ）A.相等E.互补 C.相等或互补 D.互余答案：C3.在L O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的1 ,有以下结论：①AB 为60 ,②.AOB =60，③6.AOB = AB=60，④△ ABC 为等边三角形，⑤弦 AB 的长等于这个圆的半径.其中正确的是（4.,，C ,，依次是LI O 上的四个点， AB=BC=CD ，弦AB ，CD 的延长线交于点，若 NABD =60， 则.P 等于（答案：C的角的对数至少有（答案：D的度数是（答案：D A.①②③④⑤E.①②④⑤ C.①② D.②④⑤A. 40：B. 10；C. 20：D. 30；5. 如图6，圆内接四边形 ABCD 的对角线AC , BD 把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等A. 1对B. 2对C.D. 4对6.，则• ACDA. 16B. 32C. 487. 如图8,四边形ABCD 内接于 LJ O ，若 BOD =100 ,则• DAB 的度数（A. 50B. 80：C . 100:D. 130如图7, AC 是L O 的直径,答案：(1 )连 AC . 7 ACB ABC 二 90 ,BAD ABD ^90, ACB 二 BAD .；BA 二 AF , - ACB 二 ABF , BAE 二 ABE , AE 二 BE .答案：D在 Rt △ BCD 中, CD=^BD , H 是厶 ABC 的垂心，AH 丄 BC , CH 丄 AB . 2又DC 丄BC , DA 丄AB ，四边形AHCD 为平行四边形.1皿CD _A 「BD .2.如图,BC 为L O 的直径, AD 丄BC ，垂足为，BA=AF , BF 与AD 交于.(1) 求证：AE 二 BE ； (2) 若，把半圆三等分,BC =12，求AE 的长.又.BAC =60：, BD 是L O..CAD =30 , DBC —CAD =30：. 8.如图，，在以AB 为直径的半圆上，，C 在AB 上，CDEF 为正方形，若正方形边长为1, AC = a ,(2)连AO •: BA =AF =FC ,..ABF - FBC =30：, . ABO = 60：•: OA = OB , . ABC = 60：,1△ AOB为正三角形. AD丄BO , . D为BO中点，BO BC =6 , BD = 3 •2BD在Rt△ BDE 中，.EBD =30；, BD =3 , BE Z 3 ,cos/ EBD.AE =BE =2 J3 •13.如图，已知是O外任意一点，过点作直线PAB , PCD ,分别交LI O于点，，C , •求证：.P =1( BD2 的度数-AC的度数).答案：连结BC , ■ BCD 二• P • ABC , • P = BCD -• ABC .1 1：.BCD的度数等于一BD的度数，• ABC的度数等于一AC的度数，2 21■ P ( BD的度数-AC的度数).24.如图，AD是厶ABC的外角• EAC的平分线，交BC的延长线于，延长DA交厶ABC的外接圆于点, 连结FB , FC .(1)求证：FB 二FC ;(2)求证：FB2二FALIFD ；7 FBC = • FBA . CBA ,.CAD - ACF AFC ,.FBA = ACF , CBA 二 AFC ,. CAD "FBC . ?. EAD "CAD ,• FCB "FBC , FB =FC .(2) FAB ^/FCB , FCB ^/FBC ,FAB =/FBC .又 AFB =/BFD ,△ AFB BFD ,更二皂,FB FD即 FB 2 二 FALFD .(3) AB 是直径，• ACB =90 .:.CAD J. EAC =60* , D =30〃 , 2.BAC =180 -/EAC =60：.在 Rt △ ABC 中,ACJtan BAC 二 BC ,AC|Jan 60 = 6 , AC =2.3 .在 Rt △ ACD 中，AD = 2AC = 4、、3 cm .5.求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积.答案：已知：L O 是厶ABC 的外接圆， AD 是厶ABC 中BC 边上的高， AE 是LI O 直径.求证： ABLAC二 AD_AE .证明：连 BE . AE 是直径， ABE =90 . AD 丄 BC , ADC =90： , ABE =/ADC , ■ C =/E , △ ADC s △ ABE , 竺二 A2，即 A 珀AC 二 AD_AE .AE AB-(3) 若AB 是厶ABC 外接圆的直径，• EAC =120；, BC = 6cm ，求AD 的长.答案：(1 )： EAD =/FAB , FAB =/FCB , EAD =/FCB .。
3.4 圆心角（2）第2课时 圆心角定理的推论基础题知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是（ ）A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°3．如图，C ，D 为半圆上三等分点，则下列说法正确的有（ ）①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，⊙O 通过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D ＝60°，则BC ︵的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．55°5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为 （ ）A ．AB ＞CD B ．AB ＝CDC ．AB ＜CD D ．不能确定6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为 （ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空：（1）若AC ＝BC ，则 ；（2）若AC ︵＝BC ︵，则 ；（3）若∠AOC ＝∠BOC ，则 ．8．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，OC ．（1）∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 分别为多少度？（2）若等边三角形ABC 的边长为r ，求⊙O 的半径．9．如图，在⊙O 中，点C 为AB ︵的中点，AD ＝BE ，求证：CD ＝CE ．中档题10．⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AB ＞2AMB ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定11．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC ＝（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°12．如图所示，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，过上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上移动时，则点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分DB ︵D ．随C 点的移动而移动13．如图，在⊙O 中，直径AB ∥弦CD ，若∠COD ＝110°，则AC ︵的度数为 ．14．已知：如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC 、BD 于E 、F ，则下列结论：①OE ＝BE ；②OC ⊥BD ；③AE ＝DF ；④OE ＝OF 中正确的有 (填序号)．15．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E ．（1）求证：BE ＝DF ；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．综合题16．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连结AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ．求证：AE ＝BF ＝CD ．。
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.4 圆心角(第2课时)1．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．2．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．A 组 基础训练1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等2．观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( )第2题图A ．如图1，∵∠AOB ＝∠A′OB′，∴AB ︵＝A ′B ′︵B ．如图2，∵AD ︵＝BC ︵，∴AB ＝CD C ．如图3，∵AB ︵＝40°，∴∠AOB ＝80° D ．如图4，∵MN 垂直平分AD ，∴AM ︵＝ME ︵3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°第3题图3．如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的垂直平分线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，EF 垂直平分AD ，GH 垂直平分BD.下列结论中，不正确的是(C )第4题图A.AC ︵＝CB ︵B.EC ︵＝CG ︵C.AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH5．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ，ON 是弦AB ，CD 的弦心距，根据圆心角定理填空： (1)如果AB ＝CD ，那么____________，____________，____________； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么____________，____________，____________； (3)如果OM ＝ON ，那么____________，____________，____________．第5题图4．如图，AD ︵＝BC ︵，若AB ＝3cm ，则CD ＝________．第6题图7．如图，已知AB ︵＝m120°(指AB ︵所对圆心角的度数为120°)，则∠OAB ＝________．第7题图5．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝AB ，以顶点B 为圆心，AB 长为半径画圆，延长DC 交⊙B 于点E ，则CE ︵的度数为________．第8题图9．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，AC ＝3cm. (1)求证：AC ︵＝BD ︵； (2)求BD 的长．第9题图10．如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上一点，PA 交⊙O 于点A ，B ，PC 交⊙O 于点C ，D ，且∠1＝∠2，求证：AB ＝CD.第10题图B 组 自主提高11．如图，在△ABC 中，∠A ＝48°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于( )第11题图A ．96°B ．114°C ．132°D ．138°12．如图，半圆的直径AB 为2，C ，D 是半圆上的两点．若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值第12题图13．如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC∥MN.求证： (1)四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB ＝18∠BAC.第13题图C 组 综合运用14．如图所示，在⊙O 中，AD ，BC 相交于点E ，OE 平分∠AEC. (1)求证：AB ＝CD ；(2)如果⊙O 的半径为5，AD ⊥CB ，DE ＝1，求AD 的长.第14题图3．4 圆心角(第2课时)【课堂笔记】 1．弦心距 【课时训练】 1－4.BBBC5.(1)∠AOB＝∠CO D AB ︵＝CD ︵OM ＝ON (2)AB ＝CD ∠AOB＝∠COD OM ＝ON (3)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD AB ︵＝CD ︵6.3cm 7．30° 8.60°9. (1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，∴∠AOC ＝∠BOD，∴AC ︵＝BD ︵； (2)∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD ＝3cm .10. 作OG⊥AB 于G ，OH ⊥CD 于H ，∵∠1＝∠2，∴OG ＝OH ，∴AB ＝CD. 11.B第12题图12．如图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D′，连结OC ，OD ，OD ′，CD ′，CD ′交AB 于点P ，此时CP ＋PD 最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，∴∠DOB ＝36°，∠AOC ＝96°，∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°，∴∠COD ′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN ＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB 为2，∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12.∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝ 3.∴CP ＋PD 的最小值为 3.13.(1)∵BC∥MN，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵D 为AO 中点，∴四边形ABOC 为平行四边形，∵AO ⊥BC ，∴▱ABOC 为菱形； (2)∵OB＝ON ，∴∠MNB ＝∠OBN，∴∠MOB ＝∠MNB＋∠OBN＝2∠MNB，∵OD ＝12AO ＝12BO ，∴∠OBD ＝30°.∴∠BOD ＝60°，∴∠MOB ＝30°，∠BOC＝120°，∴∠MNB ＝15°，∠BAC ＝120°，∴∠MNB ＝18∠BAC.第14题图14．(1)证明：作OM⊥AD 于M ，ON ⊥BC 于N ，连结OA 、OC ，如图，则AM ＝DM ，BN ＝CN ，在Rt △OAM 中，AM ＝OA 2－OM 2，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2，∵OE 平分∠AEC，∴OM ＝ON ，而OA ＝OC ，∴AM ＝CN ，∴AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，即AB ︵＋BD ︵＝BD ︵＋CD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD ； (2)∵AD⊥CB，∴∠MEN ＝90°，∵OE 平分∠MEN，∴∠MEO ＝45°，∴△MEO 为等腰直角三角形，∴OM ＝EM ，设ME ＝x ，则OM ＝x ，DM ＝ME ＋DE ＝x ＋1，∴AM ＝DM ＝x ＋1，在Rt △AOM 中，∵OM 2＋AM 2＝OA 2，∴x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，故AD ＝2AM ＝8.。
《3.4圆心角》同步练习1．下列结论中正确的是( )A ．长度相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．弧是半圆2．如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3,3．如图，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A ＝30°，以点C 为圆心，BC 长为半径画圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么DE ︵的度数是( )A ．30° B．40° C．50° D．60°4．如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为2 3 cm 的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角是( )A ．60° B．90° C．120° D．150°5. 如图，若∠AOB＝100°，则ACB ︵的度数为 ．6．⊙O 的一条弦长与半径之比为 2∶1，这条弦将圆周分成的两部分中，劣弧的度数为__ __．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AB于点N.求证：AC ︵＝CD ︵＝BD ︵.8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，OD 为半径，且OD∥AC.求证：CD ︵＝BD ︵.9．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 310．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.11．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．。
浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．556．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．6212．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+619．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是°，∠B2的度数是°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．38．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．（1）求证：AC＝AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．39．如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？40．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．41．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．42．如图，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE 相交于点G，连接AE，BF．（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．43．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD＝BC，连接AC．（1）求证：△MAC是等腰三角形；（2）若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM•AB．浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或2【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连接OC，∵CE＝＝，∴边CD＝＝；如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，∵CE＝＝＝2，∴边CD＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．55【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A＝65°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝65°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×65°＝50°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣50°﹣60°＝40°，则的度数为40°．故选：B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB＝AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：∵在⊙O中，，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．故选：B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，根据勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．12．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出、的度数，再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数，由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．【解答】解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°﹣60°﹣55°＝65°．故选：C．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出∠ABC及∠ACB的度数是解答此题的关键．13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB 的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3+5＝15+5．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值．14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知，＜．【解答】解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；C、弦AB＜AE+BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF+BE+FC＞EF+BE＝AE+BE＞弦AB，所以＞，故正确；D、由图可看出其不相等，故错误．故选：C．【点评】本题利用了在同圆或等中大弦对大弧求解．15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°﹣50°×2＝80°．故选：D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝120°．故选：B．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+6【分析】四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD 的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．【解答】解：∵△ABD是等边三角形∴AB+AD+CD＝18，得P＞18∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝∴P≤18+6∴p的取值范围是18＜P≤18+6．故选：C．【点评】本题解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．19．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故选：A．【点评】本题利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解．20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6【分析】先根据特殊角的三角函数值1求出α的度数，再根据等边三角形的判定定理及性质解答即可．【解答】解：∵cosα＝，∴α＝60°．又∵圆心角的两边为半径，一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴∠α所对的弦长等于6．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值和掌握等边三角形的判定是解题的关键．二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为30°．【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵AB是直径，＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是5cm．【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．所对的圆心角为：×360°＝120°，所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．故答案为：5．【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【解答】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．【点评】解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝75度．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB ＝∠OBA＝45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC＝∠OCD ＝60°，根据圆周角的性质可证∠CDB＝∠CAB，而∠ODB＝∠OBD，所以∠CAB+∠OBD＝∠CDB+∠ODB＝∠ODC＝60°，再根据三角形的内角和定理可求α．【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40度．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO ＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝70度．【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB＝AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得．【解答】解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．【点评】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是①②④．【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②、④．【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，∵AE＝BE，∴＝，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③错误．∵∠BEC＝90°，∴BC＞BE，又∵AE＝BE，∴BC＞AE故⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE＝2AD，∵，∴，∴AB＝AE，∴AB＝2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．【分析】连接OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS 定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并结合弦的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB+AF＝AD；（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的位置﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．【解答】解：（1）连接OB、OF．∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB+AF＝AD．（2）当P在上时，PB+PF＝PD；当P在上时，PB+PD＝PF；当P在上时，PD+PF＝PB．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要注意题目中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的应用．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．【分析】（1）首先由AC＝CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接着得到∠OCB＝∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC＝OB即可证明四边形OBDC为菱形．【解答】（1）证明：∵AC＝CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半径），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC ＝OC×h，S△DBC＝BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形OBDC为菱形．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．【分析】证CD和CE所在的三角形全等即可．【解答】证明：∵OA＝OB AD＝BE，∴OA﹣AD＝OB﹣BE，即OD＝OE．在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SAS）．∴CD＝CE．【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，连OM，OB，可求出∠BOM的度数，∠C＝∠BOM．（2）根据圆内接四边形一外角等于它的内对角，可证明△CDE∽△CBA，两三角形相似对应线段成比例，同时运用（1）中∠C＝60°可得的值，能计算出DE的长．（3）根据直径所对的圆周角是直角，连接AE，在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系．【解答】解：（1）如图：连接OB、OM．则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝，∴OM＝1．∵OM＝，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝∠AOB＝60°．（2）∵四边形ABED内接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE＝∠CBA，∠ECD＝∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．连接BD，则∠BDC＝∠ADB＝90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°．∴BC＝2DC．。
3.3 圆心角同步练习【知识要点】1. 圆是中心对称图称图形，圆心就是它的对称中心。
不仅知此，而且把围绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都和原图形重合，2．顶点在圆心的角叫做圆心角.3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．课内同步精练●A组基础练习1. 顶点在圆心的角叫做角．2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对的弦的相等．3. 弧的度数和的度数相等．4. 如图，AC和BD是⊙O的两条直径．( l )图中哪些量相等？（指劣弧和弦）(2 )当点A在圆周上运动时是否存在一点，使AB = BC=CD=DA .AB AmC=求∠AOC的度数．5. 如图，在⊙O中，已知A B=BC，且:3:4,●B组提高训练7. 如图，已知AB是⊙O的直径，M, N分别是AO, BO的中点，CM⊥AB , DN⊥AB．=.求证：AC BD8．如图，在Rt△AOB中，∠B=400，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB 于点D．求CD的度数．课外拓展练习●A组基础练习A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形2. 如图，在半径为2cm 的⊙O中有长为23cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为( )A. 600B. 900C. 1200D. 15003. 以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的BD是400，则菱形的一个钝角是（)A. 1400B. 1600C.1000D. 1500如果CD=BD,则AD等于（）A.300B. 450C. 600D. 9005. 圆的一条弦把圆分成5 : 1 两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是.6. 如图，若∠AOB=1000，则ACB= ；若∠AC B=2500，则∠AOB= .AC CE EB , 则∠4= ;∠6= .7. 如图，AB, CD, EF都是直径，::2:3:48. 如图，D,E分别是⊙O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则AC与CB弧长的大小关系是 .=, AC=BD.9.如图，在⊙O中，∠AOB =∠COD．求证：AC BD●B组提高训练10. 如图，在条件：①∠COA＝∠AOD=600；②AC=AD=OA；③点E分别是AO,CD的中点；④OA⊥CD 且∠ACO=600中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个．11. 如图，O为等腰三角形ABC的底边A B的中点，以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E，求证：(1 )∠AOE=∠BOD;=(2 ) AD BE12. 如图，在△ABC中，∠B = Rt∠，∠A = 600，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1) 2AD ED : ( 2 ) D 是AC 的中点．。
3.4 圆心角第1课时 圆心角定理基础过关全练知识点1 圆的中心对称性和旋转不变性1.下列说法中,不正确的是( )A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π知识点2 圆心角的定义及其定理3.如图,下列角中不是☉O的圆心角的是( )A.∠AOBB.∠AODC.∠BODD.∠ACD4.【教材变式·P85作业题T2】如图,A、B、C、D是☉O上的点,∠1=∠2,给出下列结论:①AB=CD;②BD=AC;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,AB=8,∠AOC=∠COD=60°,则四边形OACD的面积为 .6.如图,在☉O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.C为弧AB上一点,连结CD、CE、CO,且CD=CE.求证:C为AB的中点.知识点3 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系7.(2023浙江杭州西湖期中)在☉O中,弦AB等于圆的半径,则它所对的劣弧的度数为( )A.120°B.75°C.60°D.30°8.如图,☉O经过五边形OABCD的四个顶点A,B,C,D,若∠AOD=150°,∠A=65°,∠D=60°,则BC的度数为 °.能力提升全练9.【易错题】(2023浙江宁波北仑期中,16,★★☆)在半径为1的圆中,2的弦所对的弧的度数为 .10.【一题多解】(2023江苏常州新北月考,16,★★☆)如图,在☉O中,∠AOC=2∠BOD,则AC 2BD.(填“>”“<”或“=”)()11.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆A于E,连结EF.(1)求证:EF=FG;(2)当∠ADC为多少度时,四边形GCDF为平行四边形?为什么?素养探究全练12.【推理能力】如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且BC+BD=2AB,M是AB上的一点,则MC+MD的最小值3是 .13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC ⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN;(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D 利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积π×(4÷2)2=π.的四分之一,即S阴影=143.D 根据圆心角的定义可知∠AOB、∠AOD、∠BOD都是圆心角,∠ACD不是圆心角,故选D.4.D ∵∠1=∠2,∴AB=CD,∠DOB=∠AOC,∴BD=AC,AC=BD,∴①②③④均正确,故选D.5.答案 83解析 ∵∠AOC=∠COD=60°,OA=OC,OC=OD,∴△AOC和△COD都为等边三角形,∴AC=OA=OC=OD=CD,∠OAC=60°,∴四边形OACD为菱形,∴OC⊥AD,∠OAD=∠CAD=30°,∵AB=8,∴OA=OC=4,∵△OAC 为等边三角形,AE ⊥OC ,∴OE =12OC =2,∴AE =42―22=23,∴AD =2×23=43,∴S 菱形OACD =12OC ·AD =12×4×43=83.6.证明 ∵OA =OB ,AD =BE ,∴OD =OE ,在△OCD 和△OCE 中,OD =OE ,CD =CE ,OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE (SSS ),∴∠COD =∠COE ,∴AC =BC ,即C 为AB 的中点.7.C 如图,连结OA 、OB ,∵OA =OB =AB ,∴△OAB 为等边三角形,∴∠AOB =60°,∴AB 的度数为60°,即弦AB 所对的劣弧的度数为60°.故选C .8.答案 40解析 如图,连结OB 、OC ,∵OA=OB=OC=OD,∴∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°,∴∠AOB=180°-2×65°=50°,∠COD=180°-2×60°=60°,∴∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°,∴BC的度数为40°.能力提升全练9.答案 90°或270°解析 如图,☉O的半径为1,弦AB=2,连结OA、OB,∵OA=OB=1,AB=2,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,∴AB的度数为90°,ACB的度数为270°,即弦AB所对的弧的度数为90°或270°.10.答案 <解析 解法一:如图,以OD为边作∠DOE=∠BOD,OE与☉O交于点E,连结BE、ED,则∠BOE=2∠BOD,BD=DE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOC=∠BOE,∴AC=BE,在△BDE中,BE<BD+ED=2BD,∴AC<2BD.解法二:如图,作∠AOC的平分线交☉O于点E,连结AE、CE,∴∠AOC=2∠AOE=2∠COE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOE=∠COE=∠BOD,∴AE=CE=BD,在△ACE中,AC<AE+CE=2BD,∴AC<2BD.11.解析 (1)证明:如图,连结AG,∵AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG,∴∠DAG=∠EAD,∴EF=FG.(2)当∠ADC为60°时,四边形GCDF为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,∴∠B=60°,∠BAD=120°,AD=BC,AD∥BC,∵AB=AG,∴△ABG是等边三角形,∴∠BAG=60°,BG=AG,∵AF=AG,∴AF=BG,∴DF=CG,又∵DF∥CG,∴四边形GCDF为平行四边形.素养探究全练12.答案 3解析 如图,过D作DD'⊥AB于H,交☉O于D',∴BD=D′B,∵BC +BD =23AB ,∴CD′=BC +BD′=23AB,∵AB 的度数为180°,∴CD′的度数为180°×23=120°,∴∠COD'=120°,连结CD'交AB 于M ,此时MC +MD 的值最小,为线段CD'的长,过O 作ON ⊥CD'于N ,交☉O 于点G ,连结CG ,则CN =ND'.∵OC =OD',∴∠OCD'=∠OD'N =30°.∴∠COG =60°,∵OC =OG ,∴△OCG 为等边三角形,∵CN ⊥OG ,∴ON =12OG ,∵OG =OC =12AB =1,∴ON =12,∴CN=32,∴CD'=3,∴MC +MD 的最小值是3.13.解析 (1)证明:如图,连结OM ,ON.∵OA =OB ,AC =BD ,∴OA -AC =OB -BD ,∴OC =OD.∵MC ⊥AB ,ND ⊥AB ,∴∠OCM =∠ODN =90°,又∵OM =ON ,∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ,∴∠AOM =∠BON ,∴AM =BN .(2)成立.理由如下:如图,连结AM,BN,∵C为OA的中点,MC⊥AB,∴AM=OM,又∵OA=OM,∴△AOM为等边三角形,∴∠AOM=60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。
浙教新版九年级上册《3.4圆心角》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，AB，CD是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是()A. B.C. D.2.如图，A，B，C，D均为上的点，且，则下列说法不正确的是()A.B.C.D.3.如图，AB、CD是的两条弦，于E，于如果，那么下列判断中错误的是()A.B.C.D.4.如图，在三个等圆上各自有一条劣弧分别为，，，如果，那么与EF的大小关系是()A. B. C. D.无法确定二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
5.如图，AB、AC是的弦，、，垂足分别为E、如果那么______.6.如图，在中，点M，N在上，，，，C为OA的中点.下列结论：①；②四边形MCDN是正方形；③其中，正确的是______填序号7.如图，已知AB是的直径，点P在外，连接PA、PB分别交于点C、D，若设，则的度数为______用含n的代数式表示8.如图，AB，CD是的直径，弦，则AC与AE的大小关系是______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题8分如图，A，B是上两点，，C为弧AB上一点，求的度数；若C是弧AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.10.本小题8分如图，的弦AB、CD的延长线相交于点P，且求证：11.本小题8分如图，中，弦AB、CD相交于外点P，且弧AC、弧BD度数分别为和，求的度数.12.本小题8分如图MN为半圆O的直径，半径，C为AM的中点，过C点作交于点求证：答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的认识，垂径定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理和已知条件，利用全等三角形的性质证明即可；【解答】解：，，，，，，故B正确，，，，，故A、D正确，当时，，根据题意不能判断，故C错误，故选：2.【答案】D【解析】解：，，故A正确；，，故B正确；，故C正确；不一定是等边三角形，不一定等于CD，故D错误．故选：由A，B，C，D均为上的点，且，根据弦与圆心角的关系，即可得，继而可得，则可求得此题考查了圆心角、弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3.【答案】D【解析】解：A、，，故本选项正确；B、，，故本选项正确；C、，，，，，，，，故本选项正确；D、不一定等于，故本选项错误；故选：由，，如果，根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等，即可判定A与B正确；然后利用垂径定理与全等三角形性质，即可判定C正确．注意排除法在解选择题中的应用．此题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意排除法在解选择题中的应用．4.【答案】B【解析】解：在上截取，如图，，，，，，故选：在上截取，如图，则，所以，，然后根据三角形三边之间的关系进行判断．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边之间的关系．5.【答案】7【解析】解：，，为AB的中点，F为AC的中点，即EF为的中位线，，又，则故答案为：7由OE垂直于AB，利用垂径定理得到E为AB的中点，同理得到F为AC的中点，可得出EF为三角形ABC 的中位线，利用三角形的中位线定理得到，即可求出BC的长．此题考查了垂径定理，以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．6.【答案】①③【解析】解：连接OM、ON，如图，、，，、D分别是OA、OB的中点，，，，，，，为等边三角形，，，四边形CDNM为矩形，，所以①正确；②错误；，故③正确，故答案为：①③．连接OM、ON，如图，利用，则，则利用可判断；通过证明和四边形CDNM 为矩形可对①②③进行判断．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．7.【答案】【解析】解：连接AD，是的直径，，，，的度数为：故答案为：先根据圆周角定理求得，再由三角形外角的性质求得，进而即可求得弧CD 的度数．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8.【答案】【解析】解：连接OE，弦，，，，，，故答案为：首先连接OE，由弦，可得，，则可证得，然后由圆心角与弦的关系，即可证得AC与AE的大小关系．此题考查了圆心角与弦的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法．9.【答案】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图1所示：，，，；证明：连接OC，如图2所示：是弧AB的中点，，又，和都是等边三角形，，四边形OACB是菱形．【解析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案；证和都是等边三角形，则，根据菱形的判定方法即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．10.【答案】证明：如图，连结BD，优弧优弧，，即，【解析】连结BD，利用圆周角、弧、弦的关系解答即可．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．11.【答案】解：如图，连接BC，弧AC、弧BD度数分别为和，，，，【解析】连接BC，根据圆周角定理、三角形的外角的性质求解计算即可．本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．12.【答案】解：如图，延长BC交AO于点为AM的中点，，，，，，，，，【解析】先作出辅助线，延长BC交AO于点由C为AM的中点，，可得出CD为的中位线，即可得到AD，OD与AO的关系，从而得出，在中，利用特殊三角形可得出，得，即可得出本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用含有的直角三角形的知识．。
3.4 圆心角(第1课时)1．圆心角的定义：顶点是圆心的角；2．圆心角定理：在同圆或等圆．．．．．中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等．3．弧与圆心角的度数关系：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n °的圆心角所对的弧就是n °的弧．A 组 基础训练1．下列命题，正确的是( )A ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的两条弧相等D ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 2．⊙O 中的一段劣弧AB ︵的度数为100°，则∠AOB ＝( )A ．360°B ．180°C ．50°D ．100°3．如图，在半径为2cm 的⊙O 内有长为23cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )第3题图A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°4．(舟山中考)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( )第4题图A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°5．已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则∠AOB 的度数是________．6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC ＝50°，作AE∥CD ，交⊙O 于E ，则弧AE 的度数是________．第6题图7．(菏泽中考)如图，在△ABC 中∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为________．第7题图8．如图，在⊙O 中，已知AB ＝BC ，且AB ︵∶AC ︵＝7∶6，则∠AOC ＝________．第8题图9．如图，AC ，BD 是⊙O 的两条直径． (1)图中有哪些弧(劣弧)相等？(2)当点A 在圆周上运动时，是否存在一点A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA.第9题图10．如图所示，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP∥CD ，∠A ＝68°，那么BD ︵等于PD ︵吗？说明你的理由．如果∠A ＝α，该结论仍成立吗？第10题B 组 自主提高11.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，则弦AB 所对弧的度数为( )第11题图A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．120°或240°12.如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，则∠AOC ＝________．第12题图13．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE.第13题图(1)求证：OE ＝OF ； (2)求证：AC ︵＝BD ︵.C 组 综合运用14．如图，AB 为⊙O 的直径，∠DOC ＝90°，∠DOC 绕点O 旋转，D ，C 两点不与A ，B 重合．(1)求证：AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)AD ＋BC ＝CD 成立吗？为什么？第14题图参考答案3．4 圆心角(第1课时)【课堂笔记】 2．弧 弦 【课时训练】 1－4.ADCC 5.60° 6.80° 7.50° 8.108°9．(1)AB ︵＝CD ︵，AD ︵＝BC ︵； (2)存在，当AC⊥BD 时即可，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.第10题图10．连结OP ，则∠POB＝2∠A＝136°，∵AP ∥CD ，∴∠BOD ＝∠A＝68°，∴∠POD ＝136°－68°＝68°＝∠BOD，∴BD ︵＝PD ︵，如果∠A＝α，则同理可得：∠POB＝2∠A＝2α，∠POD＝2α－α＝α＝∠BOD，∴BD ︵＝PD ︵仍然成立．另证：连结BP ，则BP⊥CD，可由垂径定理得证．11．D 12．54°第13题图13．(1)连结OA ，OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B.又∵AF＝BE ，∴△AOF ≌△BOE ，∴OE ＝OF ； (2)∵△AOF≌△BOE，∴∠AOF ＝∠BOE，∴∠AOF －∠EOF＝∠BOE－∠EOF，即∠AOE＝∠BOF，∴AC ︵＝BD ︵.第14题图14．(1)∵AB 为⊙O 直径，∠DOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOC＝∠DOC＝90°，∴AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)不成立，理由：在CD ︵上截取DE ︵＝AD ︵，故EC ︵＝BC ︵，则DE ＝AD ，BC ＝EC ，在△DEC 中，DE ＋EC ＞DC ，故AD ＋BC ＞CD.。
数学：3.3《圆心角》同步练习3（浙教版九年级上）1. 下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等2. 在半径不等的同心圆中，∠AOB=800, A, B 在大圆中，且以A 交小圆于点A'，OB 交小圆于点B', 则A. AB A B ''=B. AB A B ''=C. AB 与A B ''的相等D. AB 与A B ''的长度相等3．如图，AD BC =，若AB=3，则CD= . 4. 如图，在⊙O 中，AB AC =，则AB= ,∠B= ,∠C= .5. 如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点A 、B 、C 把⊙O 三等分.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求∠AOB 的度数6. 如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点E, BD=CE ．求证：AB=AC.●B 组 提高训练7. 如图，在⊙O 中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO 等于( )A. 200 B . 300 C400 D. 5008. 如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B, A，PC交⊙O于点D, C两点，∠1=∠2，求证： PB=PD.课外拓展练习●A组基础练习1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对=、2. 点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径QA, OB分别交小圆于点C, D．给出下列结论：①AB CD② AB=CD；③AB的度数=CD的度数；④AB的长度=CD的长度．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C.3 个D.4 个3. 在菱形ABCD中，AC=AB，以顶点B为圆心，AB长为半径画圆，延长DC交OB于点E，CE等于( )A. 1200B. 900C. 600D. 3004. 如图, 在⊙O中，AB = AC , ∠B=700，求∠C度数．=5. 如图，AB, AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC，求证: AB AC66. 如图，AB, CD是⊙O的两条弦，且AB=CD , 点M是AC的中点，求证：MB=MD.7. 如图,AB, CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.●B组提高训练8. 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A, B两点）上移动时，点P （）A．到CD的距离保持不变 B．位置不变C．等分DB D．随 C 点的移动而移动9. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD //AC．求证：CD BD10. 如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN, D为OA的中点，过点D作BC//MN，求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形； (2)∠MNB=18∠BAC.。
3.3 圆心角 同步练习一、双基整合：1．如图1，AB 、CE 是⊙O 的直径，∠COD=60°，且AD BC =，•那么与∠AOE•相等的角有_____，与∠AOC 相等的角有_________．BC A ED OBCADOBC AON M(1) (2) (3) 2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 4．如图2，AB 为圆O 的直径，BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______．5．如图3，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，•AB=6，则CD=_______． 6．如果两条弦相等，那么（ ）A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对7．如图4，在圆O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=BCB ．AN BN =C ．AM BM =D ．OC=CNBC AONMBAOBCAE DO(4) (5) (6)8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A ．2 B ．2 C ．24 D ．169．如图5，在半径为2cm 的圆O 内有长为3cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为（•） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°10．如图6，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ •） A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．BD BC =11．已知如图，在⊙O 中，AD 是直径，BC 是弦，D 为BC 的中点，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，写出六条以上结论）二、拓广探索:12．如图7所示，已知C 为AB 的中点，OA ⊥CD 于M ，CN ⊥OB 于N ，若OA=r ，•ON=•a ，•则CD=_______．BC ADO NMBCAO(7) (8) (9)13．如图8，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），•则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．14．如图9所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC•的三边所得的弦长相等，•则∠BOC=（ ） A ．140° B ．135° C ．130° D ．125°15．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，•求证:AC BD ．三、智能升级:16．如图：⊙O 1和⊙O 2是等圆，P 是O 1O 2的中点，过P 作直线AD 交⊙O 1于A 、B ，交⊙O 2于C 、D ，求证：AB=CD ．17．如图所示，点O是∠EPF平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．（1）求证：AB=CD；（2）若角的顶点P在圆上或在圆内，（1）的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；•若成立，请加以证明．答案:1．略略 2．90° 3：2 90° 4．50° 5．6 6．D 7．D 8．B 9．C 10．•C 11．略 1213．（2，0） 14．D15．提示：连接OC，OD，由OM=12OA，ON=12OB，得OM=ON，OC=OD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO，•∵∠COA=∠DOB，∴AC BD=16．提示：过点O1作O1M⊥AB于M，过点O2作O2N⊥CD于N，再证明△O1MP≌△O2NP，•得OM=ON，∴AB=CD17．（1）证明：过点O分别作PB、PD的垂线，垂足分别为M、N，∵点O是∠EPF•平分线上的点，∴OM=ON，从而AB=CD．（2）结论成立，证明略．。
浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质圆周角同步测试一、单项选择题〔共10题；共20分〕1.如图，△ABC内接于⊙O，假定∠OAB=28°，那么∠C的大小为〔)A. 28°B. 56°C. 60°D. 62°2.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，那么∠CPB等于〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数等于〔〕A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°4.如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，那么∠CAD=〔〕A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.如图⊙P经过点A〔0，〕、O〔0，0〕、B〔1，0〕，点C在第一象限的上，那么∠BCO的度数为〔〕A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，那么∠CDB的度数为〔〕A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°7.如下图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，假定∠CAB＝35°，那么∠ADC的度数为〔〕A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°8.如图，点P为弦AB上的一点，衔接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．假定AP=8，PB=2，那么PC的长是〔〕A. 4B.C. 5D. 无法确定9.如图，假定AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD的度数为〔〕A. 116°B. 64°C. 58°D. 32°10.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，假定∠CAB=40°，那么∠ADC的度数为〔〕A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°二、填空题〔共6题；共6分〕11.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处动身沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．12.如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=70°，AD与BC交于点E，那么∠AEB的度数为________．13.如图，AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC区分交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，那么∠EOM=________．14.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且区分与x轴、y轴交于B、C两点，B〔8，0〕，C〔0，6〕，那么⊙A的半径为 ________．15.如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，那么∠A=________．16.如图，AB是⊙O的直径，点D、C都在⊙O上，假定∠ABC=2∠BDC，AB+BC=6，那么弦AC=________．三、解答题〔共4题；共20分〕17.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，求EC的长．18.：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．〔1〕∠E的度数为.〔2〕如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；〔3〕如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．19.在数学活动中，我们曾经学习了四点共圆的条件：假设一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称〝四点共圆〞．如图，四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=，求∠BDC的大小．20.如图，点A，B，C，D，E在圆上，弦的延伸线与弦的延伸线相交于点，AB是圆的直径，D是BC的中点．求证：AB=AC．四、综合题〔共4题；共32分〕21.如图，AB是⊙O的直径，D为圆周上任一点，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．〔1〕求证：；〔2〕假定，⊙O的半径为3，求BC的长．22.如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D〔1〕求证：OD∥AC；〔2〕假定AC=8，AB=10，求AD．23.如图，在菱形ABCD中，AB=4，取CD中点O，以O为圆心OD为半径作圆交AD于E，交BC的延伸线交于点F，〔1〕假定，那么菱形ABCD的面积为________；〔2〕当BE与圆相切时，AE=________．24.点在⊙上，，仅运用无刻度的直尺作图〔保管痕迹〕〔1〕在图①中画一个含的直角三角形；〔2〕点在弦上，在图②中画一个含的直角三角形.答案一、单项选择题1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.A9.D 10.D二、填空题11.140 12.35°13.80°14.5 15.72°16.2三、解答题17.解：设EC=x，那么ED=CD﹣CE=4﹣x，依据题意得AE•BE=CE•DE，所以x〔4﹣x〕=5•1，整理得x2﹣4x+5=0，解得x=2±，即EC的乘为2+或2﹣．18.解：〔1〕如图1，连结OD，OC，BD，∵OD=OC=CD=2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°∴∠DBC=30°∴∠EBD=30°∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴∠E=90°﹣300=600∠E的度数为600；〔2〕①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°，∴∠DAC=30°，∴∠EBD=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=90°﹣30°=60°，〔3〕如图3，连结OD，OC，∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°，∴∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴∠BED=60°，∴∠AEC=60°．19.解：∵AD=4，CD=3，AC=5，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，∵cos∠BCA=sin∠BAC=，∴∠BCA=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣30°=90°，∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，∴∠BDC=∠BAC=30°．20.证明：如图，衔接AD．∵AB为圆O的直径，∴∠AOB=90°，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC四、综合题21.〔1〕证明：衔接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB ∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC∴CF=BF；〔2〕解：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．∴CE=CG，AE=AG在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG〔HL〕∴BE=DG∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即6-BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12BC=±2 〔舍去负值〕∴BC=222.〔1〕证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠DAB=∠D，∴∠CAD=∠D，∴AC∥OD〔2〕解：衔接BC，BD，∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，∴= ，∴CE=BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∴BC= =6，∴CE=BE=3，∴OE= =4，∴DE=1，∴BD= = ，∴AD= =3 ．23.〔1〕〔2〕6-24.〔1〕解：如图：即为所求〔2〕解：如图：∆AMN即为所求。
浙教版初三数学上册第三章圆的基本性质3一、单选题（共10题；共20分）1.如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，且当钟面显示3点时，分针垂直于桌面，分针针尖距桌面的高度为24cm；若此钟面显示3点30分时，分针针尖距桌面的高度为6cm，则钟面显示3点40分时，分针针尖距桌面的高度为（）A.7.5cmB.10.5cmC.6cmD.12cm2.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=D A=4cm，则⊙O的周长为（）A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm3.一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°4.下列命题中，正确的分别是（）A.相等的圆心角，所对的弧也相等 B.两条弦相等，它们所对的弧也相等C.在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等D.顶点在圆周的角是圆周角5.如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A.40°B.60°C.80°D.120°6.如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A.=B.=C.= D.EF=GH7.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO 的度数是（）A.52°B.57°C.66°D.78°8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC 为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A.26°B.64°C.52°D.128°9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A.122°B.120°C.61°D.58°10.下列语句中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧是等弧D.通过圆心的每一条直线差不多上圆的对称轴二、填空题（共6题；共6分）11.如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是______ __．12.如图，若∠1=∠2，那么与________相等．（填一定、一定不、不一定）13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=________．14.在半径为3的⊙O中，弦AB的长为3，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是________．15.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=________．16.如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．三、解答题（共4题；共20分）17.如图，AB是⊙O的直径，且AD∥OC，若弧AD的度数为80°，求弧CD的度数．18.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．19.已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判定四边形OACB形状，并说明理由．20.O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：（1）∠AOE=∠BOD；（2）=．四、综合题（共4题；共45分）21.已知直径CD⊥弦BF于E，AB为ʘO的直径．（1）求证：= ；（2）若∠DAB=∠B，求∠B的度数．22.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知=．（1）求证：BE=DE．（2）假如⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．23.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．24.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．答案一、单选题1.B2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.C9.A 10.D二、填空题11.72π12.一定13.125°14.60°15.30°16.4三、解答题17.解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵弧AD的度数为80°，∴∠DBA=40°，∴∠DAB=50°，∵AD∥OC，∴∠COB=50°，∴弧CD的度数为：180°﹣50°﹣80°=50°．18.【解答】证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，∴=．19.解：AOBC是菱形．证明：连OC，如图：∵C是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．20.解：（1）∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD；（2）∵∠AOD=∠BOE，∴=．四、综合题21.（1）证明：∵直径CD⊥弦BF，∴= ，∵∠AOC=∠BOD，∴= ，∴=（2）解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB，∵∠DAB=∠B，∴∠BOD=2∠B，∵CD⊥BF，∴∠B=30°22.（1）证明：∵=∴AB=CD，在△ABE与△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴BE=DE．（2）解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，依照垂径定理得：AF=FD，BG=OG，∵AD=BC，∴AF=OG，在Rt△AOF与Rt△OCG中，∴Rt△AOF≌Rt△OCG，∴OF=OG，∵AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，∴OF2+AF2=OA2 ，即：x2+（x+1）2=52 ，解得：x=3，x=﹣4（舍去），∴AF=4，∴AE=7．23.（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD （2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=B M，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，∴DE﹣AE=2NE=224.（1）证明：连接OD，如图，∵AD∥OC，∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2，∴= ，即点E是的中点（2）证明：在△OCD和△OCB中，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线（3）解：连接BD，∵DF⊥AB，∴DG=FG，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，BD= = =16，∵•DG•AB= •AD•BD，∴DG= = ，∴DF=2DG= ．。
浙教版九年级数学同步试卷圆心角圆周角( 3 241 C AB O BAC 20° BOC ( )A20°°C40°D50°2 R R ( ) A3Q°B60°C30° 150°D60° 120°3 AOB 100° ACB ( )A130°B120°C100° D80°4 ABCD A=85° DCE ( )A75°R85°C70° D 5B O A D 80°O AB= BC=2 DA60°B120°C135°D150°6 AB O C AC 2BC()A AC 2BCB AB=2BC C AB=2ACD BC=2AC7A BC D8A BC D(324 )9 A B C O O R AB AC R BAC10、如图，点A， B， C 在⊙ O上，∠ A=25°，∠ B＝ 20°，则∠ AOB＝。
11．如图，⊙ O的直径 AB和弦 CD的延伸线订交于点P，∠ AOC=64°，∠ BOD＝ 16°，则∠ APC的度数为．．b5E2RGbCAP12、如图，点A、 B、 C 在⊙ 0 上，当 AC均分∠ 0CB时，能得出结论：（写出随意两个) 。
13．等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为14、假如一个三角形的外心是这个三角形两条中线的交点，那么这个三角形的形状是15、弦 BC分⊙O为 l ： 3两部分，⊙ 0的直径等于4，则 BC=。
16、如图圆中弦AB、 CD订交于点E，，则∠ AEC=三、解答题 (17 ， 18 每题 5 分， 19— 25 每题 6 分，共 52 分 )17．如图，在△ABC中， BD、是两条高。
